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高三数学 · 每日一题第 03 期
高三数学 · 每日一题第 03 期日期 10月11日 周日性质 本周复盘考点 本周：对称中心 + 奇偶性与单调性综合建议用时 10 分钟 周日复盘：三条结论速查 + 自测 2 题 一、本周三条核心结论速查 结论 1｜三次函数的对称中心，横坐标一眼看出f(x) = ax³ + bx² + cx + d（a ≠ 0）中心对称，横坐标 x₀ = −b / (3a)，纵坐标 f(x₀)。第 01 期 f(x) = x³ − 3x²：a = 1、b = −3，x₀ = 1，f(1) = −2，中心 (1, −2)。选择填空里问「对称中心」，先用 −b/(3a) 定横坐标，再代一次定纵坐标，不必每次都做平移代换。 结论 2｜分式型函数，先分离常数再谈性质f(x) = (2ˣ − 1)/(2ˣ + 1) = 1 − 2/(2ˣ + 1)。分完之后两个性质都看得见：f(x) + f(−x) = 0（奇函数）；2/(2ˣ+1) 减，前面 1 减它，整体增（在 R 上单调递增）。凡「同底指数式 ± 常数」型分式，第一动作就是分离常数，不要硬展开。 结论 3｜抽象不等式三板斧：搬符号 → 脱符号 → 解出来以第 02 期为例：f 奇且增，解 f(m) + f(m² − 2) < 0——① 搬符号：f(m) < −f(m² − 2) = f(2 − m²)；② 脱符号：增函数「函数值小 ⟺ 自变量小」，得 m < 2 − m²；③ 解出来：m² + m − 2 < 0，(m + 2)(m − 1) < 0，得 −2 < m < 1。「奇偶性 + 单调性」解抽象不等式，三步顺序固定。 先做自测，再对答案 二、自测 2 题 自测 1（填空，建议 3 分钟）f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 的图象的对称中心是________。 自测 2（解答，建议 6 分钟）f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且在 (0, +∞) 上单调递增，f(1) = 0。解不等式 f(x) > 0。 答案 自测 1：(2, 3) 自测 2：(−1, 0) ∪ (1, +∞) 三、本周考点串讲（三句话） 四、给学生的一句话 昨日回顾第 02 期（指数型分式的奇偶性与单调性）正确答案：（1）奇函数 （2）m ∈ (−2, 1)。核心链条：奇函数搬符号、单调性脱符号、二次不等式收尾。留言打卡把你两道自测的答案发到留言区，格式：两个答案 + 你用了几分钟。顺带说一句：这周哪条结论你打算写进错题本？
要点：a = 1、b = −6，x₀ = −b/(3a) = 2；纵坐标 f(2) = 8 − 24 + 18 + 1 = 3。验算：令 x = 2 + t，f(2 + t) = t³ − 3t + 3，t³ − 3t 是 t 的奇函数，故图象关于 (2, 3) 中心对称 ✓
要点：① 奇函数在对称区间上单调性一致，故 f(x) 在 (−∞, 0) 也递增；② 由 f(1) = 0 得 f(−1) = 0；③ 画示意草图逐段读：x > 1 时 f(x) > 0；对 −1 < x < 0，−x ∈ (0, 1)，f(−x) < f(1) = 0，翻符号得 f(x) > 0。易错提醒：最容易漏掉 (−1, 0) 这一段——负半轴的解集必须靠「图象关于原点对称」翻过去，不能只看正半轴。
① 对称性说「图形长什么样」，单调性说「沿 x 轴往右怎么变」——两者串起来，才有第 02 期那种解抽象不等式的完整武器。
② 下周主线预告：周期性（f(x + T) = f(x) 的识别与证明）与「对称性推周期性」（两心隔半周期、一轴一心隔一周期），抽象函数大题年年考。
③ 复盘方法：把第 01、02 期的「详解」遮住，只看题干重做一遍。5 分钟内走完第 02 期三步算过关；卡在哪一步，那一步就是下周要补的点。
本周练的是「函数对称性与单调性」的配合使用，属于高考抽象函数大题的基本功。您可以问一句：「第 02 期那道题的三步是什么？」他若能说出「搬符号、脱符号、解不等式」，说明方法装进去了；说不出，就把那两期翻出来再走一遍，比多刷十道新题有效。