AI聊数学:总习题一第10-14题 同济大学《高等数学》第8版上册)

不断扩容的专业高质知识库，成为学生和教师检索信息、解决问题的智能化工具。特别擅长数学软件GeoGebra相关使用，为数学教与学首选智能体，安全起见，建议到本公众号扫码。

“学生身边的数学”ima知识库

以上“免费播客系列视频结构化链接”知识库极为方便地打开本公众号自创的各个免费数学播客系列视频，每个文件的摘要是掌握学习进度的助手。一年365天订阅费1元。

其他众多免费知识库提供教案、学案、教学PPT、考题、测试卷、专题讲义等大量数学教与学资源，以及英文资料、数学竞赛等拓展性资源，可通过本公众号菜单进入，或到ima中检索“学生身边的数学”知识号。

ima免费领新人算力福利地址：

https://ima.qq.com/copilot-invite-reward-token/assist/V_5sH_yCk-2uWxsf86efmg

继续总习题一，今天做第10到第14题。这几道题涉及分段函数连续性、极限函数间断点、夹逼准则、零点定理，还有斜渐近线，很综合。

第10题：设埃夫埃克斯在埃克斯大于0时为埃克斯乘正弦埃克斯分之1，在埃克斯小于等于0时为诶加埃克斯平方。要使埃夫埃克斯在负无穷到正无穷内连续，应当怎样选择诶？

埃夫埃克斯在负无穷到0和0到正无穷这两个区间内都是初等函数或有定义的连续函数，所以只需要保证在埃克斯等于0处连续就行。

对。计算左右极限：右极限是埃克斯趋于0正时埃克斯乘正弦埃克斯分之1，因为正弦有界而埃克斯趋于0，所以右极限等于0。左极限是埃克斯趋于0负时诶加埃克斯平方等于诶。又埃夫0等于诶。要连续，需要诶等于0。

所以诶等于0。这道题的要点是：分段函数在分界点连续，需要左极限等于右极限等于函数值。右极限用夹逼准则判断为0，左极限直接代入为诶，所以诶必须等于0。

第11题：设埃夫埃克斯等于恩趋于无穷时1加埃克斯除以1加埃克斯2恩次方的极限，求埃夫埃克斯的间断点并说明类型。

首先要把这个极限函数求出来。恩趋于无穷时，1加埃克斯2恩次方的行为取决于埃克斯的绝对值。

分三种情况。当埃克斯的绝对值小于1时，埃克斯2恩次方趋于0，所以埃夫埃克斯等于1加埃克斯。当埃克斯的绝对值大于1时，埃克斯2恩次方趋于无穷大，分母趋于无穷，埃夫埃克斯等于0。当埃克斯等于1时，1加1等于2除以1加1等于1。当埃克斯等于负1时，1加负1等于0除以1加1等于0。

所以埃夫埃克斯是分段函数，分界点在正负1处。现在判断这两个点是否连续。

埃克斯等于负1处：左极限是埃克斯的绝对值大于1时的值等于0，右极限也是0，埃夫负1也等于0，三者相等，所以负1是连续点。

埃克斯等于1处呢？

左极限是埃克斯小于1且埃克斯趋于1时的1加埃克斯等于2，右极限是埃克斯大于1时的值等于0。左极限2不等于右极限0，所以埃克斯等于1是间断点。左右极限都存在但不相等，属于第一类间断点中的跳跃间断点。

这道题的关键是：先求出极限函数的显式表达式，再在分界点处判断连续性。注意埃克斯等于负1恰好不是间断点，虽然它是分界点——不能想当然地认为分界点一定间断。

第12题：证明恩趋于无穷时，根号恩平方加1分之1加根号恩平方加2分之1一直加到根号恩平方加恩分之1的极限等于1。

这是典型的夹逼准则应用。关键是找两个容易算极限的数列把目标夹在中间。

每一项根号恩平方加爱分之1，当爱从1到恩变化时，分母最小是根号恩平方加1，最大是根号恩平方加恩。所以恩项根号恩平方加恩分之1的和小于原式，原式小于恩项根号恩平方加1分之1的和，即恩除以根号恩平方加恩小于原式小于恩除以根号恩平方加1。

两个边界的极限呢？

恩除以根号恩平方加恩等于恩分之1除以根号1加恩分之1，恩趋于无穷时趋于1。恩除以根号恩平方加1直接就是1。两边都趋于1，由夹逼准则，原式极限等于1。

夹逼准则的核心思想：把复杂的和式用最值放大缩小，而最值的和容易算极限。这里每一项的分母用最大和最小来控制，总和就夹在两个简单表达式之间。

第13题：证明方程正弦埃克斯加埃克斯加1等于0在开区间负2分之派到2分之派内至少有一个根。

又是零点定理的应用。设埃夫埃克斯等于正弦埃克斯加埃克斯加1，验证端点异号。

埃夫负2分之派等于负1减2分之派加1等于负2分之派小于0。埃夫2分之派等于1加2分之派加1等于2加2分之派大于0。埃夫在负2分之派到2分之派上连续，端点异号，由零点定理，至少存在一点克西在开区间内使埃夫克西等于0，即正弦克西加克西加1等于0，克西就是方程的根。

这道题和之前第2题类似，都是构造函数验证端点异号。注意这里用的是零点定理而非介值定理——因为我们要证的是埃夫等于0有解，不是埃夫等于某个非零值。

第14题最综合，关于斜渐近线。第一小题是证明斜渐近线的公式，第二和第三小题是求具体曲线的渐近线。

先看第一小题的证明：直线歪等于开埃克斯加必是曲线歪等于埃夫埃克斯的渐近线的充要条件是开等于埃夫埃克斯除以埃克斯的极限，必等于埃夫埃克斯减开埃克斯的极限。

证明思路：如果歪等于开埃克斯加必是渐近线，则动点到直线的距离趋于0。把距离转化为竖直方向的距离：歪的差等于埃夫埃克斯减开埃克斯减必，这个差的极限等于0。由此推出埃夫埃克斯减开埃克斯的极限等于必，以及埃夫埃克斯除以埃克斯的极限等于开。反过来，如果这两个极限成立，则竖直距离趋于0，渐近线成立。当开等于0时就是水平渐近线歪等于必。

第二小题：求曲线歪等于2埃克斯减1乘伊的埃克斯分之1次方的斜渐近线。

先算开：埃夫埃克斯除以埃克斯等于埃克斯分之2埃克斯减1乘伊的埃克斯分之1次方，埃克斯趋于无穷大时等于2乘1减0乘1等于2。再算必：埃夫埃克斯减2埃克斯等于2埃克斯乘伊的埃克斯分之1次方减1减伊的埃克斯分之1次方。伊的尤次方减1等价于尤，令尤等于埃克斯分之1，所以2埃克斯乘埃克斯分之1等于2，减去伊的0次方等于1，必等于2减1等于1。斜渐近线为歪等于2埃克斯加1。

第三小题：求曲线歪等于埃克斯乘恩伊加埃克斯分之1的渐近线。

先看铅直渐近线：当埃克斯趋于负的伊分之1正方向时，伊加埃克斯分之1趋于0正，恩趋于负无穷，埃克斯为负数，负数乘负无穷等于正无穷，所以有铅直渐近线埃克斯等于负的伊分之1。再看水平渐近线：埃克斯趋于无穷时歪趋于无穷，没有水平渐近线。

斜渐近线呢？

开等于埃夫埃克斯除以埃克斯的极限等于恩伊加埃克斯分之1，当埃克斯趋于无穷时等于恩伊等于1。必等于埃夫埃克斯减埃克斯等于埃克斯乘恩伊加埃克斯分之1减1，等于埃克斯乘恩1加伊乘埃克斯分之1，用等价无穷小恩1加尤等价于尤，这里尤等于伊乘埃克斯分之1，所以必等于埃克斯乘伊乘埃克斯分之1等于伊分之1。斜渐近线为歪等于埃克斯加伊分之1。

总结这5道题：第10题分段函数连续性求参数，第11题极限函数求间断点类型，第12题夹逼准则证和式极限，第13题零点定理证方程有根，第14题斜渐近线公式证明与计算。第14题是总习题一里最综合的，把极限、连续和渐近线联系在了一起。