小学数学教材的变化

一、课程目标发生了根本变化

（一）主要表现在三点

1. 1952年，提出“双基”教学目标。是“基础知识”和“基本技能”的简称。

2. 2006年，修订课程标准时认识到，只有“双基”是不够的，又提出了“基本思想”和“基本活动经验”，同时又提出“四能”。

3. 2017年，不仅要重视数学特征，还要重视数学教育的特征。不仅要重视知识技能，还要重视核心素养的达成。

过去50年的时间都在打牢基础，就是“双基”，只有双基不行，没有双基更不行。

（二）三大能力包括：运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力

（三）基本思想包括: 数学抽象、逻辑推理、数学模型

数学抽象是指舍弃事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，包括描述研究对象性质、关系和规律的数学术语。

数学发展依赖的是有逻辑的推理，是从命题判断到命题判断的思维过程，包括得到数学命题的思维过程，也包括验证数学命题的思维过程。

数学模型是描述现实世界中规律性的东西，是用数学的语言讲述现实世界的故事，数学模型的出发点不仅是数学，还包括现实世界中要讲述的东西。

（四）教学形态发生了根本性变化

从关注教师教（凯洛夫三中心，课堂为中心、教师为中心、教材为中心），到关注学生学【在掌握知识技能的同时，引导学生学会思考、学会做事（即基本活动经验的表现）】，再到关注学生掌握“三会”，会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。

（五）教学形态与核心素养存在本质联系

核心素养与数学知识没有本质联系，但与数学知识的表现形态有本质联系。也就是说研究对象的概念、性质、关系、运算等属性，与核心素养存在关联。

与概念有关的内容:与抽象更为接近

与性质有关的内容:与推理更为接近

与关系有关的内容:与模型更为接近

与运算有关的内容:与运算更为接近

二、合理的课程结构初步形成

课程结构:知识结构+抽象结构(表达形式)

低年级：为了理解计数单位，增加一节课:10的再认识，从会认识数到会表达，横式比竖式重要，前者说的是算理、后者说的是算法。

高年级，计数单位的表达是抽象的表达，是不变的，个数、顺序。借助工具的表达是具体的表达，是变化的，重量、面积、体积。

2022年版义教数学课标特别强调课程结构，课程理念五条中有两条与结构有关:

第一条 确立核心素养导向的课程目标

核心素养是在数学学习过程中逐渐形成和发展的，不同学段发展水平不同(意识、观念、能力)

第二条 设计体现结构化特征的课程内容

重点是对内容进行结构化整合;处理好直观与抽象的关系，表达为“研究对象+”比如把“数的认识”“数的运算”合为“数与运算”。比如，小学数学“数与代数”领域由传统的六个主题，合并为“数与运算”“数量关系”两个主题，强调:数认识的一致性、数运算的一致性。

变化；取消了简易方程，增加数量关系，用符号表示数量关系，比方程更具一般性。

三、概念与方法的表达有待进一步提升

（一）主要讨论三个问题

第一个问题，抽象结构

数学知识源于理性。现代科学发展表明，先天理性之光是存在的，是数学认知的两个先天本能: 对数量多少的感知、对距离远近的感知。

两个特殊能力:抽象能力、想象能力。

数学教育、特别是基础教育阶段的数学教育，应当关注学生两个先天本能、两个特殊能力的培养，让受教育者会用数学的眼光观察现实世界。

对数量多少的感知，从数量多少的感知到数大小的感知。在形式上去掉数量的名词，在实质上舍去事物的背景，数具有了一般性数量关系。两个量中，一个量不知道叫做方程；两个量都不知道，叫做关系。

对距离远近的感知，从距离远近的感知到线段长短的感知即为抽象。

第二个问题，商为分数的整数除法、商为小数的整数除法

商为分数的整数除法、只要求表达; 商为小数的整数除法要求十进制的结果厘清关系:除法，整数、分数、小数;几分之几、几倍;比、比例。

除法是运算，以等分除的形式表达，或者，以十进制小数的形式表达，前者是分数、后者是小数。

欧几里得《几何原本》给出十八个量有关的定义，其中前两个与“倍”和“几分之几”有关。“倍”不应当放在除法，而应当在乘法。

1. 当一个较小量能尽一个较大量时，把较小量叫做较大量的部分。

2. 当一个较大量能被较小量尽时，把较大量叫做较小量的倍量。

基于欧几里得表述，可以考虑把“倍”与“几分之几”对应表述如下：

两个数相乘，如果乘数是一个无量纲的数，那么乘积与被乘数满足倍数关系。习惯上，如果乘数大于1，那么乘积是被乘数的多少倍，如果乘数是一个真分数，那么乘积是被乘数的几分之几。

第三个问题，如何理解绝对值，涉及到数形结合的本质（关于绝度值和数轴的一个注，史宁中，《数学教育学报》，2023年）

数形结合始于初中数学，基本路径是:

通过数轴实现点与数的对应，通过绝对值实现长度与数量的对应。点与数的对应是基于形式的，长度与数量的对应是基于量化的。

初中教材关于绝对值的定义是:

在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值。因为距离是通过线段长度定义的，因此点的绝对值是线段长度。

可是，点的大小是度量出来的，这可能吗?数是什么?

（二）几个容易产生争论的话题

1. 单元整体教学重要的不在于单元，而在于层次。

2. 大部分情况下空集不算集合。

3. 数学的基本原则，给出任何一个定理之前都有一定的背景（或者说都是有前提的），比如“最小的一位数是几？”“5能分成5和0吗？（必须有现实背景）”

4. 不把0当作自然数比较麻烦，因为没有0就产生不了负数。

5.“发现问题、提出问题”培养归纳能力，有助于学生创新意识的培养。

6. 数学核心素养是“三会”，11个核心词（初中是9个，高中是6个）是表现，到了大学就是“三会”了。“三会”具有了思维品质，思维能力在里面。

7. 数学最大的特征就是想象，比如“直线”，生活中找不出例子。