1137.俞正强:小学数学知识全景图

在这里，我不罗列先哲们对知识的认识，只想谈一谈我的认识。我想，我的认识也是在阅读了先哲们对知识的认识之后的认识。

知识是什么？知识是人脑对客观世界的反映与表达。

将这个认识画成一幅图，应该是这样的（图1）：

图1

头脑作用于世界的方式包括眼、耳、口、鼻、舌、触六个通道，这六个通道作用于世界，这个作用在《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称《课标 2022 年版》）中称为“数学的眼光”。如果我们用一只眼来代表头脑，那么“反映”就是《课标 2022 年版》中的“数学的思考”，“表达”则是《课标 2022 年版》中的“数学的语言”。

因此，将这幅图换作《课标 2022 年版》中的说法，就是这样的（图2）：

图2

在形成知识之后，这个知识就会改善人的大脑，继而用更数学化的眼光去看待这个世界。如此循环往复，人与世界之间的互动质量便不断得到改善，人对世界的主动性及主动能力便不断得到发展。

既然知识是人脑对客观世界的反映与表达，那么所有的知识都应该与这个世界的主角具有相关性。因为某个具体人脑的反映一定是对某个具体对象的聚焦，这个对象便是这个世界的主角。

显然，这个世界的主角是“物”。物是一种存在，例如，人类是一种物，桌子也是一种物。

物 与 物 之 间 发 生 运 动 ，这 个 运 动 便 是“事”。“事”是“物”存在的意义，如果物与物之间不发生联结，那么就没有事产生，物也就失去了存在的意义。

因此，世界供人的大脑起反映的主角其实就是“物”，以及与“物”相连的“事”。从这个意义上说，人类的知识，包括小学数学知识，其实可以分为两大类：第一类是对“物”的反映与表达而形成的知识，第二类是对与“物”相连的“事”的反映与表达而形成的知识。下面，先对这两类分别进行梳理。

1. 对一个“物”的数学认识

为了叙述方便，我们将这个物具象化为一个人（图3）：

图3

当一个人将他的眼光聚焦于这个具体的人时，他的反映会是什么呢？显然，他会反映出这个人是有长度的，有大小的，有轻重的，有形状的，有颜色的，有位置的，等等。

事实上，人对这个对象的反映都是基于这个对象的某个具体属性，而人对这个对象的整体认识是由很多个具体属性综合而成的。

我们对这个对象不同属性的反映与表达就形成了基本的知识概念。如长度，就成了数学概念；如颜色，就成了美术概念；如善恶，就成了社会学概念；等等。我们把对这个对象的不同属性的关注与表达，最终发展成了人类知识的不同学科。

这样分析下来，小学数学知识的第一类别指向对于对象属性的认识而形成的知识，它们分别是哪些呢？我们可以从表1中一探究竟。

表1

这样分析下来，数学知识自然就徐徐展开了。

当一个对象处于静止状态时，人类作为一个智能体，会通过双眼对长短感、大小感、轻重感、持续感等作出反映，这些反映便是最基础的认识。并且，这些认识用大家都能理解的意思让大家准确明白，于是便有了数学语言。例如，大小感区分为面的大小与体的大小，而为了让大家精准明白面的大小，又规定了面的计量单位。这样，在不断以更精准的方式表达的过程中，或者说在这个用表达的方式来解决大家都明白的问题的过程中，数学知识便渐渐丰富了起来，而小学数学知识便是数学学科初级阶段的知识。

当一个对象处于运动状态时，对象会产生位置上的变化。于是，数学中便有了关于确定位置的知识，发展出许多用于描述位置的工具。同时，对运动方式进行区分，便有了平移、旋转、轴对称这样的数学知识。

2. 基于两个“物”比较的数学知识

同样地，为了叙述方便，将这两个物具象化为两个人（图 4），作为我们这个智能体所认识的两个对象。

图4

当两个对象（也包含由这两个对象组成的整体）静止不动时，我们作为智能体会抑制不住地做一件事，即进行两个对象的比较。在比较的过程中，两个对象就建立起了关系。于是，小学数学就有了基于比较的、用于表达关系的知识，即“相差”“倍”“率”“比”这些数学概念（表2）。

表2

这部分知识所形成的数学内容涵盖小学六年的数学学习，且在五、六年级的分数问题中成为许多孩子的学习难点:

① 甲比乙多1根。

② 甲比乙多1倍。

③ 甲比乙多 12。

④ 甲比乙多 12 根。

⑤ 甲与乙的比为2∶1。

这些表述的差别让许多孩子十分“抓狂”，而起因往往是我们在教学的时候，把它们当成独立的数学知识来教。如果从这些数学知识的本源出发去认识它们，那么就只是两个对象进行比较后自然而然产生的认识。

当两个对象处于静止状态时，我们作为智能体会对它们进行比较，于是就形成了对“关系”的认识。

当两个对象相互之间发生运动时（不包括各自的独立运动），它们就会形成一种新的状态，我们把这种状态称为“事”。

“物”是以“事”的方式存在的。于是，事就成了我们的认识对象。

“事”有形形色色、千千万万。不同的“物”又会让“事”变得更加错综复杂。

但对我们智能体而言，“事”看似错综复杂，其实也十分简单。

1.“事”的确定性

为便于讨论，我们依然将两个对象具象化为两个人，他们之间可能发生下面这些事（图5）：

图5

从图5中我们不难发现，两个对象之间所发生的事其实也十分简单，而且十分确定。两者之间因为运动，使得距离在缩短；或者两者之间因为运动，使得距离在增加。我们把渐趋渐近的状态称为“合”，把渐趋渐远的状态称为“分”。因此，从这两个对象所发生的事来看，确实也只能发生“合”与“分”这两种，这是十分确定的。

大家一定会接着问一个问题：是先有“合”还是先有“分”呢？我们从图5中可以知道，“合”不是来自“分”，“分”也不是来自“合”，最初的“合”与“分”都来自原来两个静止的对象。因此从源头上来看，“合”与“分”是没有先后的。

当对这个“事”形成认识之后，我们就要将其进行表达。从数学的角度来看，我们把“合”表述为“加”；从政治的角度来看，我们把“合”表述为“统一”；从化学的角度来看，我们把“合”表述为“化合”；等等。可见，不一而足。“分”亦是如此。不同的学科从不同的角度来表述同一件“事”，这种对“事”的最根本的表述成为这些学科的基本概念，由这些概念出发，构建出不同学科的知识体系。例如，表3是数学学科的知识体系。

表3

当我们把这个世界上的事区别为“分”与“合”这两件事之后，世界变得简单起来，这便是认识的伟大。我们作为智能体，总是在反映中形成认识，然后用认识去把握世界。

继续以世界上的“事”为对象，我们又发现每一件事都有“一般”与“特殊”之分。这样，“合”又可分为“一般的合”与“特殊的合”，“分”也可分为“一般的分”与“特殊的分”。其中，我们把“特殊的合”称为“等合”，把“特殊的分”称为“等分”（表4）。

表4

如此，小学中的四则运算便“诞生”了。四则运算对应这个世界中的两件事，以及每件事中的一般与特殊之事。

有了这个“明白”之后，如何教学加减乘除四则运算的含义，心中也就有谱了。

我认为，当前小学数学中关于加减乘除的定义是有问题的，这里略作讨论：

① 把两个数合并成一个数的运算叫作加法。

② 已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算叫作减法。

③ 乘法是加法的简便运算。

④ 已知两个乘数的积与其中一个乘数，求另一个乘数的运算叫作除法。

这四个运算形成了如下逻辑线（图6），其中加法成了源头，其他运算都依附于加法。然而，这个对运算的认识没有与“事”相关联，导致学生在问题解决的过程中无法将“运算”与“事”联系起来，这也是当前在小学中段，学生在问题解决方面出现困难的根本原因。

图6

“事”有简单的“事”，也有复杂的“事”。复杂的“事”是由简单的“事”连续发生而产生的，许多简单的“事”连接成复杂的“事”，这就有了“情节”，我们称为“事情”。事情有先有后，这就成了数学中的混合运算，所以复杂的“事”多半都需要用混合运算来解决。

2.“事”的可能性

“事”，其实是“物”之间发生运动的显现，因此“事”本质上是一种运动。运动是哲学上的说法，在数学上其实是一种运算。

从图 5 中可知，两个对象在未发生运动时，彼此之间并没有“事”发生；一旦彼此之间发生运动，便无外乎“合”与“分”两种，这是确定的。但是，“合”与“分”不会同时发生。在发生运动的瞬间，只能产生“合”与“分”中的一种运动，可以是“合”，也可以是“分”。当发生“合”的时候，意味着“分”被排除了；同样地，当发生“分”的时候，意味着“合”被排除了。

但是，在“合”与“分”发生之前，人们又会控制不住地思考：接下来会发生“合”还是发生“分”呢（图7）？

图7

在“合”与“分”未发生之前，发生“合”与发生“分”都是有可能的，这个认识便被表达为“概率”。

由于人们想作出“发生‘合’还是发生‘分’”的判断，因此就产生了“赌”的行为。而为了提高“赌”这种判断行为的可靠性，人们便去回溯之前两个对象所发生“事”的规律，或者在当前的环境条件下与对象 A、对象 B 产生影响而带来的行为的可能性，等等。这些认识，被表达为“统计”。

于是，数学里的又一块知识“统计与概率”就出现了。

通过以上分析，我们对小学数学知识的全景图有了一个基本轮廓。这幅图，纵向上已经完整；横向上，老师们在阅读了“认识知识（2）”（见本刊2026年第9期）之后补充完整即可；深度上，老师们在阅读了“认识知识（2）”之后也会有基本的认识。当这三个方向全部补满后，小学数学知识全景图便完整了。这幅图包含“是什么”“怎么得到”“得到后有什么用”这三部分，分别对应“认识”“方法”“应用”（图8）。

图8

本文所呈现的全景图（表5）主要是“认识”部分的内容，限于篇幅，“方法”“应用”两部分便不在这里完整呈现了，各位读者可以自己补充完整。

表5

有了这幅全景图，小学数学知识便基本了然于胸了。知识的源头，其实就是人的认识方式的起源。我们只要知道知识是怎么来的，便知道人是怎么认识这个世界的。知道人是怎么认识这个世界的，就知道该如何组织孩子去认识，如何帮助孩子形成认识，如何协助孩子以自己的方式将认识表达出来，继而将这个认识规范化，成为知识。

可见，研究知识与研究孩子，其实是同一件事。

文章来源| 《小学数学教师》2026年第5期

图片来源 | 图虫网

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