高三数学 · 每日一题第 15 期

两个动作：
① 翻译对称条件——「两图象关于直线 y = x 对称」⟺「两函数互为反函数」。反函数的本质是x,y互换：g(x) 中的x，正是 f(x) 的y。
② 选一条最短的路——问 g(5)，就是解方程 f(x) = 5，不必先求出 g 的解析式；当然也可以先反解出 g(x) = log₂(x − 1) 再代入。两条路互相当验算用。

方法一：不解 g，直接解方程（推荐）

第 1 步（翻译对称条件）：图象关于直线 y = x 对称 ⟺ f 与 g 互为反函数。反函数的对应关系：g(x)中x = f(x)的y。所以g(5)问的是：x 取何值时 f(x) = 5？

第 2 步（解指数方程）：2ˣ + 1 = 5，即 2ˣ = 4，即 2ˣ = 2²，得 x = 2。故 g(5) = 2，选 A。

方法二：先反解出 g，再代入

第 3 步（反解解析式）：由 y = 2ˣ + 1 反解：2ˣ = y − 1，得 x = log₂(y − 1)。交换 x、y，得 g(x) = log₂(x − 1)，定义域 x > 1——正是原函数 f 的值域。

第 4 步（代入）：g(5) = log₂(5 − 1) = log₂4 = log₂2² = 2。两条路同答。

第 5 步（排除干扰项）：B（33）是 f(5) = 2⁵ + 1，把「反函数在 5 处的值」误算成「f 在 5 处的值」；C（log₂5）是解 2ˣ = 5 的结果，把常数项 +1 丢了；D（log₂5 + 1）是反解时移项方向弄反得到的假反函数 log₂x + 1 在 5 处的值。

验算

① 正向代入：f(2) = 2² + 1 = 5，点 (2, 5) 在 f 图象上；它关于 y = x 的对称点 (5, 2) 应落在 g 图象上，即 g(5) = 2 ✓
② 互逆复合：取 x = 3，f(3) = 9，g(9) = log₂8 = 3 ✓；再取 x = 1，g(f(1)) = g(3) = log₂2 = 1 ✓
③ 几何核对：(2, 5) 与 (5, 2) 的中点 (3.5, 3.5) 恰在直线 y = x 上，且连线斜率为 −1，符合轴对称特征 ✓
④ 定义域核对：g 的定义域 (1, +∞)，5 在其中，g(5) 有意义 ✓
⑤ 选项核对：log₂5 ≈ 2.32，log₂5 + 1 ≈ 3.32，f(5) = 33，均不等于 2，三个干扰项排除无误 ✓

本题的分水岭在两处：把「关于 y = x 对称」翻译成「互为反函数」，再认准反函数「输入输出互换」的对应方向。认准了，g(5) 就只是一道解方程 2ˣ + 1 = 5 的口算题；认错了，就会一头栽进 f(5) = 33 那个选项。指数与对数的衔接，收官在此。