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CMC数学专业组 · 矩阵秩不等式 模拟题(含完整解答)
CMC数学专业组 · 矩阵秩不等式 模拟题（含完整解答）
难度：CMC数专低年级决赛，考点：Sylvester、Frobenius、分块矩阵、幂秩稳定、伴随矩阵、 型，证明题为主（竞赛秩大题几乎全是证明）
前置笔记：上一份文档的全部秩不等式
试卷
满分 100，共5大题
题1（15分，基础Sylvester）
设 均为 阶方阵，满足 。证明：
题2（20分，Frobenius不等式，竞赛压轴级）
设 是数域上 阶方阵，求证：
题3（20分，幂秩稳定经典等价命题，高频考点）
设 为 阶方阵。证明下面三条等价：
(1)
(2)
(3)
题4（20分，分块矩阵构造难题，CMC风格）
设 是 阶方阵，证明：
题5（25分，伴随矩阵+分块综合，高难度）
设 为 阶方阵， 表示 的伴随矩阵。
(1) 写出伴随矩阵秩的三段式结论（5分）
(2) 若 ，证明：（20分）
参考答案与详细解答
题1 解答
定理回忆：Sylvester不等式
对于 阶方阵 ：
代入条件 ：
证毕。
评注：这是Sylvester最经典的直接套用，初赛、决赛选择证明都出过；等号可以取到，举例子： 都是 阶矩阵，左上角子块为 ，最后一行全0，则 ， 的秩恰好等于 。
题2 解答（Frobenius不等式证明，分块初等变换）
要证：
构造分块矩阵
第一步，分块列变换：（右乘 ，列变换，不改变秩）
分块上三角矩阵的秩满足：
另一方面，对原矩阵 做行变换：
联立两个不等式：
证毕 ✅
评注：Frobenius是Sylvester的推广，令 ，立即得到Sylvester ，数专组决赛经常考它的衍生变形。
题3 解答（幂秩稳定等价性）
，核空间；，像空间
：
任取
，由维数公式：
又显然 ，维数相等推出 。
于是 。
故交集只有零向量。
：
显然 ，只需证明反向包含。
，则 。考虑 。
若 ，则 不能写成 ，等价于不存在 使得
即 ；同时 ，由条件只能是0，矛盾。
因此 ，。
：
矩阵秩等于像空间维数：
像空间相等，维数相等，。
三个命题互相推出，等价成立 ✅
评注：这是幂秩稳定最核心等价刻画，CMC数专高频证明，很多人只会背 ，不会证明等价条件。
题4 解答
求证：
构造分块矩阵
做分块行变换 ：
$
$再做分块列变换 ：
分块对角矩阵秩：
另一方面，对原矩阵重新变形：
$
$利用分块变换消元，可以得到：
联立：
移项得到：
证毕 ✅
评注：属于CMC决赛中档偏难原题风格，核心套路就是构造分块矩阵、分块初等变换，两边算同一个分块矩阵的秩，秩不等式难题几乎全是这个套路。
题5 解答（伴随矩阵综合大题）
(1) 伴随矩阵秩三段式（）
(2) 已知 ，证明
已知 ，基础秩不等式给出：
分全部三种情形讨论
Case ①：
此时 ，于是 ，成立。
Case ②：
由三段式，
由
若 ：，
若 ：此时 ，而 ，矛盾！
👉 当 时，**不可能出现 **，因此 ，即
Case ③：， 可逆
，于是 是零矩阵，，
，于是 ，取等号，不等式成立。
全部情形验证完毕， ✅
评注：伴随矩阵的分类讨论是数专组一大坑，很多人忘记： 且 在 时不可能同时成立，容易直接写 得到和为2，漏掉矛盾点扣分。
整套卷考点复盘（备考重点）
基础：Sylvester 不等式（必背，第一优先级）
压轴：Frobenius不等式 + 分块初等变换（决赛秩难题90%是这个模板）
高频：幂矩阵秩稳定、像空间核空间等价命题
难点：伴随矩阵三段式 + 分类讨论
万能工具：同一个分块矩阵，两种不同变换方式，得到两个秩表达式联立等式/不等式（CMC秩大题的灵魂套路）
