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高级中学初二期中数学卷:洗牌已经开始
这两天我研究了高级中学这次初二期中数学试卷。
看完之后，我有一个比较明显的感受：
这份试卷其实是在给学生进行一次「洗牌」。
为什么这么说？
因为它考查的已经不只是孩子掌握了多少知识点、记住了多少数学模型，而是孩子拿到一道没有见过的题目时，能不能自己分析条件、找到解题入口，并且把学过的知识联系起来，最终独立完成解题。
这也是为什么，有些孩子平时数学学得不错，老师讲过的题目也能做出来，但是遇到这次考试中的综合题，还是会出现明显的困难。
我觉得，这份试卷有几个地方特别值得家长关注。
一、第一类孩子：拿到题目，不知道从哪里开始
我在教学中经常遇到这样的学生。
平时上课，老师讲什么，他基本都能听懂。知识点也学过，练习题也做过。
但是考试时，题目稍微换一种表达方式，或者把几个知识点放在一起，他就不知道应该怎么做了。
问题出在哪里？
不是完全没有知识储备，而是缺少独立分析问题的能力。
一道题拿到手，他不知道应该先看哪个条件，也不知道题目给出的条件和最终要求之间有什么联系。
更重要的是，他不知道第一步应该做什么。
这类孩子在基础题上可能还能拿到分数，但是遇到综合题，就容易被拉开差距。
二、第二类孩子：会背模型，但是不理解模型背后的原理
还有一类孩子，学习数学比较依赖模型。
尤其是初二几何，孩子会记住很多常见模型。
比如手拉手模型、一线三等角模型，以及各种全等三角形的辅助线构造方法。
这些模型当然有用。
但是问题在于，有些孩子只是记住了模型的外在形式，并没有真正理解模型为什么成立、需要满足什么条件，以及遇到变化之后应该怎样调整。
所以，题目一旦换一个图形，改变一个条件，或者不再直接呈现熟悉的模型，孩子就不知道怎么办了。
记住模型，不等于真正掌握模型。
真正重要的是理解模型背后的数学原理，知道它是怎么形成的，什么情况下可以使用。
这也是为什么，我一直不建议孩子只靠背模型来学习几何。
三、第13题：一道题，把多个知识点串联起来
这次试卷的第13题，我觉得很有代表性。
题目给了一个长方形，涉及折叠、点的共线、角平分线，最后要求线段的长度。
如果孩子只是一个知识点一个知识点地记忆，可能看到题目之后就不知道从哪里入手。
但是，如果平时真正理解了这些知识之间的联系，就会有不一样的思考方向。
比如：
看到折叠，我们应该想到什么？
首先想到轴对称，折叠前后的对应线段相等，对应角相等。
接下来，题目又给了长方形。
长方形的对边平行，我们就可以进一步利用平行线的性质，建立角度之间的联系。
当折叠产生的角度关系和平行线产生的角度关系联系起来之后，就有机会识别出等腰三角形。
那么，题目最后要求的是线段长度，我们又应该想到什么？
如果能够建立直角三角形，就可以考虑利用勾股定理建立数量关系。
与此同时，题目还给出了角平分线，我们需要进一步利用角平分线的性质，把角度关系和线段关系联系起来。
你看，一道题里面涉及了折叠、矩形、平行线、等腰三角形、勾股定理和角平分线。
这些知识点单独拿出来，孩子可能都会。
但问题是：
孩子能不能知道什么时候使用哪个知识点，又怎样把这些知识点按照正确的顺序联系起来？
这才是综合题真正考查的能力。
四、第20题：真正考查孩子有没有知识迁移能力
如果说第13题考查的是多个知识点的综合运用，那么我觉得第20题更加值得关注。
这道题的设计方式和我们平时常见的几何综合题不太一样。
它没有直接告诉学生，这道题应该使用哪个模型，也没有直接给出一条熟悉的辅助线。
而是先给出一个矩形内部的探究示例。
通过向矩形的边作垂线，利用勾股定理和矩形的性质，推导出一个重要结论：
然后让学生继续利用这个结论解决后面的问题。
这里面其实有几个层次。
第一层：你能不能看懂题目给的示例？
为什么要这样添加辅助线？
为什么可以使用勾股定理？
为什么最后能够得到这样的平方关系？
如果学生只是照着题目抄一遍过程，并没有真正理解推导逻辑，那么后面就很难继续。
第二层：你能不能理解这个结论？
学生需要知道这个结论是怎么来的，背后依靠的是什么数学原理。
而不是只记住一个等式。
第三层：你能不能把这个结论迁移到新的问题中？
题目改变了图形和条件，学生还能不能判断原来的结论是否适用？
需要满足什么条件？
又应该怎样建立新的数学关系？
第四层：你能不能独立解决后面的问题？
尤其是最后一问，已经进一步涉及几何关系和最值问题。
这时候，学生需要把前面理解的方法真正应用起来。
我觉得这道题特别值得家长思考：
有些孩子老师讲第一问的时候，他听得很明白，甚至觉得自己都会了。
但是让他独立完成第二问、第三问，他就不知道怎么做了。
为什么？
因为听懂老师的推导，不代表自己具备独立推导的能力。
真正的学习，不是记住老师给出的结论，而是理解结论是怎么来的，并且知道什么时候可以使用。
五、为什么有些孩子刷了很多题，遇到新题还是不会？
结合这次试卷，我觉得这个问题值得初二家长认真思考。
很多孩子平时确实很努力。
几何模型记了不少，练习题也做了不少。
但是学习过程中可能存在一个问题：
孩子花了大量时间记住一道题怎么做，却没有花足够的时间思考这道题为什么这样做。
比如一道几何题，老师添加了一条辅助线，孩子就记住了这条辅助线。
但是他没有思考：
为什么要添加这条辅助线？ 添加之后形成了什么新的图形？ 这个图形和题目已知条件有什么联系？ 如果改变其中一个条件，原来的方法还适不适用？
这些问题没有想明白，下一次遇到类似但不完全相同的题目，孩子还是需要重新依赖老师。
所以，我一直认为：
刷题的价值，不是让孩子见过更多题目，而是让孩子通过一道题，真正掌握一种分析问题的方法。
一道题做完了，不应该只对答案。
更重要的是把解题思路整理出来，知道每一步为什么这样做。
六、不同基础的孩子，接下来应该怎样调整？
这次考试之后，我建议家长不要只看孩子考了多少分，还要结合具体错题，判断问题到底出在哪里。
第一种：基础题都不够稳定的孩子。
这类孩子暂时不要急着大量做综合题。
先把基本概念、性质、公式和计算能力夯实。
尤其要做到：看到一个基本条件，能够准确判断它对应的数学关系。
第二种：基础题会做，但是综合题没有思路的孩子。
这类孩子应该把训练重点放在条件提取和解题入口上。
做题时不要马上看答案，先让自己回答三个问题：
题目给了哪些条件？ 最终要求什么？ 已知条件和所求之间，可以通过哪个知识点建立联系？
先把第一步想清楚，再开始写过程。
第三种：常见模型会做，但是遇到变式题就不会的孩子。
这类孩子需要减少单纯重复刷题。
更重要的是研究模型的形成过程、成立条件和使用范围。
一道模型题做完之后，可以改变一个条件，或者改变图形位置，让孩子重新分析。
重点不是让孩子背出原来的步骤，而是看他能不能根据新条件调整解题方法。
第四种：基础和常见综合题都能完成，但是探究题、压轴题容易卡住的孩子。
这类孩子要重点训练新定义理解、示例阅读和知识迁移。
尤其是题目给出一个新的结论或者推导示例时，一定要真正理解它的形成过程。
不能只记答案，要能自己重新推导出来。
七、胡老师想说：初二数学，真正重要的是建立自己的解题路径
通过这次高级中学的期中试卷，我更加确定了一件事：
数学学习不能一直停留在记知识点、背模型、模仿例题这个层面。
这些当然是学习的基础，但还不够。
真正到了综合题、新定义题和探究题的时候，孩子需要具备的是一套完整的思考流程：
第一，读懂题目，准确提取条件。
第二，分析条件之间的联系，找到可以使用的知识点。
第三，根据题目目标，判断解题入口。
第四，建立数学关系，逐步完成推导。
第五，检查过程是否完整，结论是否符合题目条件。
我一直强调，数学学习最重要的，不是孩子听老师讲的时候觉得自己会了，而是老师不在旁边的时候，他能不能自己把一道题做出来。
我们最终希望培养的，不是一个记住很多解题套路的孩子，而是一个面对没有见过的题目，也能够独立思考、找到方法、解决问题的孩子。
这才是数学学习真正应该达到的目标。
——胡老师数学
