2026年11月佛山高中数学教师解题能力比赛选题精讲(第8、14题)

佛山市作为对初高中学科能力十分重视的城市之一，每年都会举办诸如教师命题、讲题、解题之类的比赛，不得不说，教好学生的前提是老师需得既有素质，又有能力。前几日的2026佛山高中教师解题试卷难度不大，目的为考察基本功，所以亦很适合高三学生练手。我们从中挑了四道，分别为：11的新定义多选，14题填空，17的解析几何跟18题的概率题．它们各自藏着值得细讲的分析，也都不止一种解法．虽然题目不难，但有不少“多想”就能“少算”一点的地方。

第 11 题　将点集翻译回函数

11．对于函数，，设．对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”．对于函数和，以下说法中正确的是

A. 若，则没有最低点

B. 若和都有最小值，则有最低点

C. 若有最低点，则和都有最小值

D. 若有最低点，则或有最小值

答案　AD

题目分析

题目把“最低点”定义在点集上，可四个选项问的都是、有没有最小值，所以这题的关键是我们能不能把点集语言翻译回函数语言

第一眼我们应看的是长什么样，它是函数图象连同图象上方的部分：对定义域里的每一个，从图像上的点往上竖一条射线，这些射线拼在一起就是．这样我们很明显就能看出来：里纵坐标最小的点只会是某条射线的端点．所以

而且最低点的纵坐标就是最小值．注意定义只要求最低点存在，并不要求唯一，比如常数函数图像上的每一点都是的最低点．

剩下的问题只有一个：交集、并集对应什么函数？点在里，要求它同时在两条曲线的上方，即在较高的那条曲线上方，所以是的上方区域；点在里，只要在其中一条曲线上方就行，即是在较低的那条上方，所以对应．于是四个选项变成了：

• A：有没有最小值；
• B：、都有最小值，一定有最小值吗；
• C：有最小值，、一定都有吗；
• D：有最小值，、中至少有一个有吗．

翻译到这一步，对这种翻译比较熟的同学心里大概已经有数了：AD 对，BC 错．如果我们在考场上，这题已经结束了~剩下的工作是把 D 证严，再给 B、C 各找一个站得住的反例．

这题容易出错的有两个地方

1. B 选项“看起来很对”．两个函数都有最小值，当然就有下界，然而，但有下界不等于下确界取得到哦

2. 忽略定义域．题目并没有说、的定义域相同，两个定义域甚至可以不相交，这时，当然没有最低点

解法一　定义法：在点集里逐项推

为了让反例更有说服力，下面 B、C 的反例都取同一个定义域上的连续函数．

解　记、的定义域分别为、，则

A 项的定义域为．假设有最低点．取，则，且，所以．但，与是最低点矛盾．所以没有最低点，A 正确．

B 项　取，

因为

且等号分别当、时成立，所以与都有最小值．

下面证明没有最低点．假设是的最低点，则且，两式相加得

所以．

取，则且．令．因为

所以且，即．又，，所以

这与是最低点矛盾．所以没有最低点，B 错误．

C 项　取，，．若，则且，相加得；又，所以是的最低点．但对任意，有，，所以与都没有最小值．C 错误．

D 项　设是的最低点，则或．不妨设，则且．

一方面，，由最低点的定义得，所以．

另一方面，对任意，有，所以．

所以是的最小值．同理，若，则是的最小值．所以或有最小值，D 正确．

综上，选 AD．

解法二　数形结合：交集看上包络，并集看下包络

其实看解法一，A、D 本质在重复同一个动作：最低点一定落在图像上，它的纵坐标就是最小值．既然如此，不妨把这个动作提炼成引理，再把交集、并集翻译成函数之后问题自然就变成了我们最熟悉的最值问题了

引理：有最低点的充要条件是有最小值．

证明　充分性：设是的最小值，则，且对任意，有，所以是的最低点．

必要性：设是的最低点，则，且．又，所以，从而．对任意，有，所以，即是的最小值．

令

则，且，，且．所以．

再令是定义在上的分段函数：

• 当时，；
• 当只属于时，；
• 当只属于时，．

当时，“或”等价于；当只属于（或只属于）时，条件只剩（或）．所以．并且由的定义，对任意有，对任意有．

从图上看，在公共定义域上，的下边界由两条曲线中较高的部分拼成（上包络），的下边界由较低的部分拼成（下包络）．

由引理，

A：对任意，有，所以没有最小值，由引理，没有最低点，A正确

B：取解法一中的，（），它们的最小值都是．由知

显然．当时，．对任意，取，则，且

所以没有最小值，由引理，没有最低点，B错误

从图象上看：的图象在处下探到，的图象在处下探到；而上包络恰好绕开了这两个最低处，在时取，在时取，两端都向逼近，却始终在轴上方．

C：取，（），则，最小值为，故有最低点；但、都没有最小值，C错

D：设有最小值，．由的定义，（此时）或（此时）．不妨设，则对任意，

所以有最小值．同理，若，则有最小值．D正确

综上，选AD

解法三　小题小做

当然，考场上没有必要把每一项都写成证明．真正用到的只有一条朴素的原理：大集合的最低点落在哪个小集合里，它就是那个小集合的最低点~其实按我们的分析部分，瞪眼法都瞪出来了

原理　若，点是的最低点且，则也是的最低点．这是因为中的点都在中，它们的纵坐标都不小于的纵坐标．

结合引理（有最低点有最小值）：

• A：函数的值域是，没有最小值，所以没有最低点，A 正确．
• D：设是的最低点，则或．由原理（，或），或有最低点，再由引理，或有最小值，D 正确．
• C：取，，则，最低点为，但、都没有最小值，C 错误．
• B：取，；，．两个函数都有最小值，但两个定义域不相交，，空集没有最低点，B 错误．（若把题中的理解为两个函数的公共定义域，就改用解法一的反例．）

所以选 AD

注　B 项的反例还可以让两个定义域有公共部分，只是公共部分取不到端点：取，（最小值）；，（最小值）．公共定义域为，其上，所以，没有最低点．如果坚持要求、的定义域相同且都连续，就要用解法一那样、下确界在无穷远处（或开区间端点处）取不到的例子，理由见下面的小结．

三种解法的计算量都不大。

四个命题间的关系：　B、C 互为逆命题，D 也有逆命题，再加上“都有最小值并集有最低点”，可以列成下面五条（定义域可以不同）：

1. 、都有最小值有最低点：真．两个最小值中较小的那个，就是型函数的最小值
2. 、都有最小值有最低点：假（B）．上包络可能跑到无穷远，或公共定义域为空
3. 有最低点、都有最小值：假（C）．例如，，两个都没有
4. 有最低点或有最小值：真（D）．但未必都有，例如，．
5. 或有最小值有最低点：假．例如（），，并集向下无界

第1条的理由：设、分别是两个最小值，不妨，则对任意，有或，而，所以是最低点．第 4 条的例子：并集是，最低点为，但没有最小值

可以看出，并集与最小值可以说是相处融洽，交集则不然．笔者推测这也是命题人在交、并两类选项里只把D设成正确项、把B设成陷阱的原因

B的反例是怎么造出来的呢？　我们想要的下确界取不到，最自然的办法是让在无穷远处趋于而始终为正，这就想到分母为的有理函数．为了让自己有最小值，让它在左侧变负并在某处触底，分子取一次式即可；系数、是凑出来的，目的是让的分子完全平方，立德最小值．再取，让在右侧触底．这样每个函数都在对方高的地方挖坑，而上包络就绕开了所有的坑

为什么反例会往取不到的地方找？因为闭区间上的连续函数一定有最小值，而两个连续函数取大仍连续（）．所以若、是同一闭区间上的连续函数，B就成立了．B的反例只能从“闭区间上连续”之外找：定义域无界、端点取不到、函数间断，或者两个定义域不相交