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2026上海高考数学全卷精析|纪律性是我们的制胜法宝
1 讲座通知
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2 纪律性
本卷除去T21(3)，大部分难点我都已在半年来的课堂上强调过，有些相似考点CEEMT都考察过.学生在实战中，主要卡点在T17-T20——也是符合我在春考结束后对于秋考的预测的，总结而言，纪律性足够强的学生就能在这张卷子中脱颖而出.
对于这张高考卷的整体评价，我将基于半年内的高三课堂，谈谈我为学生做好了哪些准备，能真正在考场上帮到他们——也算是我向26届学生全体的述职报告。
T1-T9过于常规，功成不必在我.按照我们最后阶段对大家草稿习惯的要求去做，就不会错.
T10考察平面向量唯一分解定理，考前我根据新课标调整的信息，特别和学生强调过这一考点：
寒假里，《向量》自编教材的第一章我们花了大量篇幅在强调“有基是线性空间最重要的性质”，最后一次CEEMT相同位置我们也放了同一考点、难度的题目：
T11数学建模本质考察三角函数图像性质，这个考点作为次压轴题考察，恰好是最后一次CEEMT的T15选择压轴：
T12本质计数原理分类讨论，其中类似的讨论方法在冲刺课上也有特别讲过：
以及23年秋考T12，我们介绍的“C位讨论法”，结合这个题，学生评价做起来特别顺：
T13-T15比较常规，功成不必在我.
T16空间建系，去年年末春考前的CEEMT选择压轴有考察过：
为了加深记忆，我寒假在讲空间向量的时候再讲了一遍空间平面方程——不过学生反馈下来，这道高考题他们考场都是凭想象做的.
T17纯默写.
T18我在春季特别安排了四节课，带学生复习了一遍立体几何的几何法相关考点.许多老师声称“立体几何只需要会建系就可以了”，我曾有一篇推文旗帜鲜明地驳斥了这一点：
本道高考题就是印证——对只会建系的学生施加惩罚，得求两个平面的法向量，远比几何法来的繁杂.
T19同解变形+解量词嵌套，这是我下半学期教T19、T20(3)、T21(2)时给学生重点布防的两个考点，今年秋考果真作为难点考察.
类似的题有24届闵行一模压轴，我考前两周在冲刺课给学生特别讲过：
上面这道题可以算是这次高考T19的上位替代，考前吃透了就一定畅通无阻.
T20第一步弄清楚讨论域，这一点我考前在浦东二模解析几何讲评中特别强调过：“双曲线里面特别喜欢搞这种直线斜率的定义域问题”，搞清楚之后，第二步转化为任意存在语言，解量词嵌套，也都是很基本的考点.
我的教学风格强调学院派与规范性，我对自己讲题目的思路要求是：要让区重点的学生也能接受我的公式化打法，难题不能只靠灵机一动.实战中，这位区重点学生证实了我对“参变量问题”的教学是强硬有效的.
T21第二问还是解参变量问题，不多说。第三问我跟学生有在策略上强调过：遇到这种明显难的T21(3)，做4分可以直接“下班”了——保证前面不要错，数学分数够你考复旦交大甚至清北了.
这就是纪律性，这个孩子一看最后一题不对劲，回头去检查前面的题目了，对下来前面答案都没错，那基本140+没什么问题——在今年的难度下考复旦交大已经可以拉开别人很多差距了.
要真说第三问有多难，我个人看法是一堆选择压轴的缝合产品，考虑到前面的题要保证准确率，已经压榨了相当多的时间，最后一题当场完整做出实属不易.
以下为全卷精析——
3 全卷精析
T1 集合运算
集合，且，则 .
❝答案:.
解析
T2 数列
等比数列中，，，则 .
❝答案:.
解析
T3 和差角公式
已知，则 .
❝答案:.
解析
T4 互斥事件
已知事件和事件互斥，且，，则 .
❝答案:.
解析
T5 函数性质
函数是偶函数，当时，，若，则 .
❝答案:.
解析
.
T6 二项式定理
在的二项展开式中， 项的系数为 .
❝答案:.
解析
考虑的构成：
，故系数为.
T7 基本不等式
已知，则 的最大值为 .
❝答案:.
解析
取最大值时不妨.
故，时取等.
T8 期望
随机变量的分布列为
若，则.
❝答案:.
解析
故.
T9 数列
已知等差数列中，首项，公差为，为前项和，若数列中至少有两项在区间内，则的取值范围是 .
❝答案:.
解析
Case.I
对于任意，有：
Case.II
即有，故.
T10 平面向量基本定理
已知，平面中,,两两不平行，若，，则.
❝答案:.
解析
取为平面的一个基，，故由题意，存在实数，使得：
即有在基上的两种分解：
由平面向量在基上的分解唯一：
T11 三角函数
三角函数因其独特特性，工业上常用于描述机床的运动速度.已知
并使用函数控制机床，其中表示（单位：秒）时刻机床的运动速度，且在机床的运动速度为初始速度和设定速度时，其速度的导数均为，若机床的初始速度为，设定速度为，初始时刻满足，经过秒后，机床首次达到设定速度，则
❝答案:.
解析
三角函数驻点在最值处取，故分别是最小值、最大值.
即有振幅，中轴线.
初始速度为，则：
三角函数从最小值达到最大值经过个最小正周期，故：
综上，
T12 计数原理
已知、、是某个椭圆四个顶点和两个焦点中的其中三个点, 且满足, 则该椭圆的离心率为 .
❝答案:
解析
，且不是等腰三角形.
Case.I有个点是焦点
则该三角形必然为等腰三角形，矛盾.
Case.II有个点是焦点
则该三角形必然为等腰三角形，矛盾.
Case.III有个点是焦点
则有如下两种情况：
情况一：
由于只有可能边对应的角为钝角，故三边分别为
对应：此时.
情况二：
三边分别为
对应：由后三个方程解得：.
代入验证，不符合第一个方程，故不成立.
综上，.
T13 幂指对运算
已知实数，则( ).
A.
B.
C.
D.
❝答案:B.
.
T14 集合运算
已知事件和事件相互独立，事件为“事件和事件至少有一者发生”，则( ).
A.
B.
C.
D.
❝答案:C.
解析
.
T15 复数
对于复数和，若或，则称与伴随.若与伴随，则“与伴随”的充要条件是( ).
A.
B.
C.
D.
❝答案:C.
解析
设，.
已知与伴随，故：
即或.
，即.
图中横轴表示，纵轴表示，黑色图线即为命题，红色图线为命题.在的前提下，等价于黑红相交的部分.
T16 空间建系
如图，在空间直角坐标系中, 正方体的顶点位于坐标原点，顶点,,分别位于,,轴正半轴上. 现将该正方体绕体对角线旋转一周，则旋转过程中，点将经过( )个卦限.（坐标平面不在任何卦限内）
A.
B.
C.
D.
❝答案:A.
一种是基于纲内知识的截面解法，另一种是比较实战的空间建系解法，后者比较稳妥、实战.
解析
考场解法：空间建系
设棱长为，，.
在旋转过程中，始终垂直于，且始终为，即有如下方程：
令，则有：
消去，即有关于的方程有根：
故，即有.
故，即有 .
同理，故仅经过第一卦限.
纲内解法：不太实战
如图作平面在第一卦限内的截面：
设第一卦限并上边缘为区域，及其内部为区域.
旋转过程中，的轨迹即为的内切圆.
T17 线性回归
某工厂为进行环境保护与改善，对九年间空气中某颗粒物密度与二氧化硫密度进行监测与记录，数据如下：
（1）为进一步研究，从这年间随机抽取一年的数据，该年份数据中颗粒物密度大于二氧化硫密度的概率是多少？
（2）为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中哪一种进行分析，并请你判断相关系数在哪个区间内（直接写出答案，无需证明）；
（3）该工厂选取了年的某颗粒物密度与年份进行分析，已知年份的平均数是，该工厂有两个备选的回归方程，分别是或.若年实际颗粒物浓度为，请计算两种方法预测的颗粒物浓度（精确到0.01），并计算说明哪个回归方程的预测值更接近实际值.
❝答案:(1) (2) 散点图，（3），，第一个回归方程预测值更接近实际值.
解析
（1）在这年中，有年符合要求，故
（2）散点图，.
（3）代入第一个备选方案预测值：
由题意，年份均值，某颗粒物浓度均值为：
由回归方程性质，得：
故.
代入第二个备选方案预测值：
实际值为，前者、后者与实际值之差的绝对值分别约为、，故第一个回归方程的预测值更接近实际值.
T18 立体几何
已知四棱锥中，底面为矩形，为边上一点，底面，，，.
（1）证明：
（2）若四棱锥体积，求二面角的大小.
❝答案:(1) 见解析（2）
解析
（1）在长方形中
又，故，即有
面，面，故
又面，故.
（2）由题意：
可得 .
过 作 于 ，联结 .
由(1)可得 为 在面 上的投影，故由三垂线定理可知：
故 即为所求.
由 面 ， 面 ，得
由 面 ， 面 ，得
在 中：
在 中：
二面角大小为 .
T19 同解变形; 参变量问题
已知 ，
(1) 已知 , 求 的解集；(2) ,是函数的图像在点处的切线,是过点且垂直于的直线,的图像与、在第一象限内均无公共点, 求的取值范围.
❝答案:(1) . (2) .
解析
(1) . 故：
解集为 .
(2) ,在处的切线为. 因为,且过, 所以. 参量满足:
令 , 参量 满足:
构造 ，则：
的值域为.
故参量 满足:
即有的取值范围为 .
T20 解析几何
定义 , 为 的左右焦点.
(1) 求点 到 渐近线的距离;
(2) 为 上一点, , 求 的面积;
(3) 设 为双曲线满足或的部分; 直线、均过右焦点,交于两点 (分别位于一、四象限),交于两点 (分别位于三、四象限). 是否存在正数, 使得对于任意的, 都存在唯一的, 使成立? 若存在, 求出所有的; 若不存在, 请说明理由.
❝答案:(1) . (2) . (3) .
解析
(1) 渐近线为 . 到渐近线的距离为
(2) 设 . .
因此 满足:
不妨设 ，故：
(3)
这两个变量的讨论域图像上显然，严格来说可以用后面联立方程的韦达定理论述，但我们讨论下来这个地方不设置论述的得分点.
曾经在2020年秋考T20也有类似的情况，最后严格的代数说极其繁杂，不可能设置得分点.
设
参量 满足:
联立与双曲线：
故 .
同理，.
令，构造：
等价于:因为 在 上严格减, 所以若存在 使得 , 则 唯一.
当 取遍 时, 取遍 ， 故等价于：
又因为 在 上严格减, 所以 (*) 等价于:
综上, 的取值范围为 .
T21 函数分析
对于区间，函数、、的定义域为.是、、的一个排列. 若对任意, 都有
则称 是关于、、的一个-排列. 关于、、的-排列个数记为.
(1) 已知 ,, 判断是否为关于、、的一个-排列;
(2) 已知，，
若 ，求 的取值范围.
(3) 已知函数 的定义域为 ，且对任意 , 都有 . 实数 , ,
证明: 若 是严格减函数, 则存在 , 使得 ; 若 是严格增函数, 则存在 , 使得 .
❝答案:(1) 是关于 、 、 的一个 -排列. (2) . (3) 见解析.
解析
(1) 是关于 、 、 的一个 -排列. 理由如下:
对任意 ：
即：
得证.
(2) 条件等价于：
即：
故：
的取值范围为 .
(3) 易知: 是关于、、的一个排列;是上的严格增函数,取遍时,取遍.
(3.1)
且
且
在足够大时，和可同时满足，从而有符合要求.
由题可知 .
由 的值域，可得:
下证: 对于 ，、、都是关于、、的-排列, 从而.
对于 ，要证明对任意 , 都有 ，即证明:
事实上, 对任意 , 由 严格减、 严格增可得:
从而 ， 得证.
对于 : 要证明对任意 ，都有 ，即证明:
事实上, 对任意 , 由 严格减、 严格增可得: .
对于 , 要证明对任意 , 都有 ，即证明:
上述结论已经在 和 的情形中得到了证明.
综上, 存在 , 使得 , 命题得证.
(3.2)
且
且
在凹凸性上对函数有要求，得是下凸的，但这个在图像上是显然做不到的，故先论述和不行.
Step I.、不可能为 -排列
下证明：对于任意 ，存在 ，使得 .从而对任意 , 、 都不是 -排列.
用反证法，假设存在 ，对于任意 ，都有：
即对任意 ，有：
由 严格增，可得 .
故对任意 , 都有:
由数学归纳法可知，对任意 ， 都有：
因为 ，所以存在 使得：
与 “对任意 ” 矛盾.
且
我们想办法找一个，来否定，，即可满足.
先去观察一些特殊位置处的函数值：处和处，我们就能找到直觉.
Step II.找的否定
根据 的值域, 存在 ，使得：
由 严格增可知:
从而对于 ，和都不是-排列. 最后证明不是-排列，即证明：存在, 使得.
取 ，由 严格增可知：
因此
结论得证.
综上，存在 ，使得 ，命题得证.
关于我本人
上中大师班、复旦数院是我的名片，
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多说无益，行胜于言。
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本卷全卷精析由我和同事褚老师完成：
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