ARTICLE · 1349999
高中数学每日一题11月13日:2023新高考Ⅰ卷第11题(多选题)
高中数学每日一题11月13日:2023新高考Ⅰ卷第11题(多选题)每日一题·2023新高考Ⅰ卷第11题 抽象函数方程 · 多选 | 小贺老师精讲 👋同学们看过来！这道题是 2023 年新高考Ⅰ卷的第 11 题（多选题）。题目只给一个函数方程，不给解析式，要你判断函数值、奇偶性和极值点。对付这种抽象函数，核心就一招——赋值法：往方程里代0、1、−1这些特殊值，把结论一个个推出来。 📝 题目 2023 新高考Ⅰ卷·第 11 题（5 分·多选） 已知函数f(x)的定义域为ℝ，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，则（ ） A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函数D.x=0为f(x)的极小值点 评分：全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分。 📚 知识点：抽象函数方程的赋值法 函数方程多选题，按这几个值去代必背 x=y=0目的：求f(0) f(0)=0，判断 A x=y=1目的：求f(1) f(1)=0，判断 B x=y=−1目的：求f(−1) f(−1)=0，为证奇偶性铺垫 令y=−1目的：建立f(−x)与f(x)的关系 f(−x)=f(x)，判断 C 判断奇偶性的标准写法 要证偶函数，就从方程里凑出f(−x)，看它是否等于f(x)；要证奇函数，看是否等于−f(x)。 💡 本题先由x=y=−1求出f(−1)=0，再令y=−1，由f(−1)=0，x2f(−1)这一项化为0，奇偶关系就露出来了。 易错点：别对"极值点"想当然 方程只给出函数满足的运算关系，没有给单调性、连续性，也没有确定解析式。 ⚠️ 不能因为f(0)=0就说x=0是极小值点；必须看0附近函数值的符号，必要时构造反例排除。 🔑 做法关键词 看到这几个信号，马上怎么下手？ f(xy)，右边是y2f(x)+x2f(y) ↓ 自变量相乘型函数方程；优先代0,1,−1求函数值 判断f(0)、f(1) ↓ 直接令两个自变量都取该值，解方程 判断奇偶性 ↓ 令y=−1，凑f(−x)与f(x) 判断极值点 ↓ 构造一个满足方程的具体函数；只要它在x=0处不满足“极小”的要求，一个反例即可排除 ✍️ 逐项详解 1判断 A：求f(0)。 令x=y=0，代入方程： f(0·0)=02f(0)+02f(0) 右边两项都含因子0，故f(0)=0+0=0。 ✅ A 正确：f(0)=0。 2判断 B：求f(1)。 令x=y=1，代入方程： f(1)=12f(1)+12f(1)=2f(1) f(1)=2f(1)⇒f(1)=0 ✅ B 正确：f(1)=0。 3判断 C：证偶函数。 先令x=y=−1： f(1)=(−1)2f(−1)+(−1)2f(−1)=2f(−1) 由f(1)=0，得f(−1)=0。 定义域ℝ关于原点对称；再令y=−1，对任意x∈ℝ： f(−x)=(−1)2f(x)+x2f(−1)=f(x)+x2·0=f(x) ✅ C 正确：f(−x)=f(x)，f(x)是偶函数。 4判断 D：x=0是不是极小值点？ 构造一个满足方程的具体函数：取 f(x)=x2ln|x|(x≠0),f(0)=0 由于limx→0x2ln|x|=0，补充定义f(0)=0后，该函数在x=0处连续。 验证它满足原方程。当x=0（y任意）时，左边f(0)=0，右边y2f(0)+02f(y)=0；当y=0（x任意）时，左边f(0)=0，右边02f(x)+x2f(0)=0——两种情形两边都相等。当x,y≠0时， f(xy)=(xy)2ln|xy|=x2y2(ln|x|+ln|y|) y2f(x)+x2f(y)=x2y2ln|x|+x2y2ln|y|=x2y2(ln|x|+ln|y|) 两边相等，该函数满足题设。当0<|x|<1时，ln|x|<0，于是 f(x)=x2ln|x|<0=f(0) 即在x=0的去心邻域（0<|x|<1）内有f(x)<f(0)，x=0是局部极大值点，不是极小值点。 ❌ D 错误：方程不能保证x=0为极小值点。 
反例图象：f(x)=x2ln|x|（x≠0）并补定义f(0)=0。x=0处形如“帽顶”，两侧先下陷再回升，所以x=0是极大值点。 补充：零函数f(x)≡0同样满足原方程。按教材的严格极值定义（去心邻域内须有f(x)>f(0)），它在x=0处不是极小值点，也能排除 D；但若改用f(x)≥f(0)的非严格口径，零函数在每一点都成了极小值点，这时只有上面的主反例仍然有效。正文选x2ln|x|，正是因为它两种口径下都站得住。 ✨ 答案 ✨ ABC 🔀 两种层次：严格证明与结构预判 解法一：赋值法（通法，严格证明） 往方程里代0,1,−1等特殊值：先求f(0),f(1),f(−1)，再令y=−1凑出f(−x)判断奇偶性；最后用反例否定 D。 特点：规范、严谨，是多选题书写和证明的首选；正文逐项详解用的就是此法。 解法二：换元模型法（识别结构，快速预判） 当x,y≠0时，令g(x)=f(x)x2，把方程标准化为g(xy)=g(x)+g(y)；其连续解模型为f(x)=kx2ln|x|（含k=0的零函数）。由k的正负直接看出0附近函数值符号不定，从而快速否定 D。 选择题可以先用最简单的零函数f(x)≡0过一遍选项：按严格极值定义，它在x=0处不是极小值点，D 可先排掉；但零函数在非严格口径下本身就是极值点，正式作答仍应换成x2ln|x|这类反例。换元推导见下方“方法提炼”。 ⚠️ 模型法的使用边界 构造具体模型只能用来排除错误选项、预判方向；像 A、B、C 这种"对所有满足方程的函数都成立"的结论，不能因为某个模型满足就断定它普遍成立，仍须用赋值法严格证明。 ⚡ 方法提炼 📚 这类自变量相乘型函数方程怎么拆？ 当x,y≠0时，令g(x)=f(x)x2，原方程两边除以x2y2： g(xy)=g(x)+g(y) 这是乘变加型柯西方程（对数柯西方程）：把“自变量相乘”转化为“函数值相加”。先处理正负号：令x=y=1得g(1)=2g(1)，即g(1)=0；令x=y=−1得g(1)=2g(−1)，故g(−1)=0；再令y=−1得g(−x)=g(−1)+g(x)=g(x)，说明g是偶函数，只需讨论x>0一侧。 在x>0时令x=eu、y=ev，设h(u)=g(eu)，则h(u+v)=h(u)+h(v)；在连续解范围内h(u)=ku，即g(x)=kln|x|，f(x)=kx2ln|x|（x≠0），f(0)=0。注意题目并未给出函数连续，这一步只用于预判，不能当作证明。 极值类型随参数k改变（均按严格极值口径）： ·k>0时，0附近f(x)<0=f(0)，x=0为局部极大； ·k<0时，0附近f(x)>0=f(0)，x=0为局部极小； ·k=0时，f(x)≡0，无极值。 连续解中k可取任意实数，符号并不固定，因此不能保证x=0一定是极小值点——这正是 D 不能选的根本原因。 多选题答题顺序 🔑记流程 1. 代0,1,−1求出f(0),f(1),f(−1)； 2. 令y=−1凑出f(−x)，判断奇偶性； 3. 涉及"极值点、单调性"等定性结论时，先看方程是否给出足够条件；条件不足就构造反例排除； 4. 多选题各选项独立判断，一个选项被排除不影响其余选项。 ⚠️ 易错点提醒 这些坑别踩！ 坑 1：求f(1)时两边直接除以f(1) 由f(1)=2f(1)只能移项合并得f(1)=0；f(1)到底是不是0正是本题要求的，所以不能两边同除以f(1)。 坑 2：证奇偶性漏掉f(−1)=0这一步 直接令y=−1时，x2f(−1)这一项要先知道f(−1)=0才能消掉；顺序不能反。 坑 3：把f(0)=0当成极小值点 极小值要求存在x=0的去心邻域，使其中每一点都满足f(x)>f(0)；本题反例中0<|x|<1时f(x)<0=f(0)，故x=0不是极小值点，D 不成立。 💡最后一句话：抽象函数多选题，赋值法是主线——0,1,−1轮流代，函数值和奇偶性自然出来；遇到"极值、单调"这类结论，条件不够就举反例，别凭感觉选。 小贺老师 · 初高中数理提分每日一题 · 每天进步一点点
