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第2 题 经久不衰的曼哈顿距离问题 （一题多变）
【2025 届河北省沧州市沧衡八县联考高三一模数学试题T11】在平面直角坐标系
中，若
，则称“
”为
两点的“曼哈顿距离”，
若动点E 到两定点
的“曼哈顿距离”之和为定值
，则称
点E 的轨迹为“曼哈顿椭圆”，若点P 为该“曼哈顿椭圆”上一点，则（ ）
A．
的周长为
B．
面积最大值为
C．该“曼哈顿椭圆”的面积为
D．该“曼哈顿椭圆”的周长为
【答案】BCD
【思路分析】设
，先根据“曼哈顿距离”得到
，再根
据其对称性和“曼哈顿椭圆”的定义作出“曼哈顿椭圆”，从而根据“曼哈顿椭圆”的定
义和图形特点依次求出各选项中的周长和面积即可得解．
【详解】设
，则
两点间的“曼哈顿距离”为
，
两点间的“曼哈顿距离”为
，
则
，显然依次将点
代入所得
不变，
所以该“曼哈顿椭圆”关于原点和坐标轴对称，故可以先研究第一象限及x 轴和y 轴非负
半轴上点的轨迹：
此时
，作
的曲线，
根据对称性可作出如图所示的“曼哈顿椭圆”：
则
，
对于AB，当P 与C 重合时，
的周长为
，
此时
面积取得最大值为
，故A 不正确，B 正确；
对于C，法一：梯形
的面积为
，所以该“曼哈顿椭圆”的
面积为
，
法二：该“曼哈顿椭圆”的面积为
，故C 选项正确；
对于D，又
，所以该“曼哈顿椭圆”的周长为
．故D 正确．
故选：BCD
【题后反思】“曼哈顿距离”和“曼哈顿椭圆”是高中数学相对新颖的概念，对于新定
义问题，准确把握新定义的内涵与常规知识的区别是解题的关键，适当使用树形结合法可
使问题更直观和形象，并简化问题的难度，对“曼哈顿距离”和“曼哈顿椭圆”的研究课
拓宽自我思维边界和认识，从常规几何问题过渡到自定义规则下的几何问题，启示我们在
学习中不能局限于故有模式，要敢于突破，培养创新思维和灵活运用知识的能力．
【变化角度】变载体，将“曼哈顿距离”与向量相结合，如下：
例：（24-25 高二下·上海·阶段练习）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生
物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3 种．设
，则欧几里得距离
； 曼哈顿距离
， 余 弦 距 离
其 中
（
为坐标原点）．
（1）若
，
， 求A，
之间的曼哈顿距离
和余弦距离
；
（2）若点
，
， 求
的最大值．
【答案】（1）
，
；（2）
【分析】（1）根据题目中的定义的曼哈顿距离公式和余弦距离公式结合向量模长公式以
及数量积计算公式直接计算即可求解；
（2）首先设
，代入
，求得点
的轨迹，再利用数形结合，结合公式
，结合余弦值，即可求解；
【详解】（1）因为
，
，所以
，
因为
，
，所以
，
，
，
所以
，
；
（2）设
，由题意得：
，即
，
当
时可化为
；当
时可化为
；
当
时可化为
；当
时可化为
；
而
表示的图形是正方形
，
其中
、
、
、
，即点
在正方形
的边上运动，
，
，
可知：当
取到最小值时，
最大，相应的
有最
大值．
因此，点
有如下两种可能：
①点
为点
，则
，可得
；
②点
在线段
上运动时，此时
与
同向，取
，
则
．
因为
，所以
的最大值为
．
【举一反三】
（24-25 高三上·北京·阶段练习）
1．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术，在人脸识别中，
主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.
设
，则曼哈顿距离
，余弦距离
（
为坐标原点）.已知
，则
的最大
近似值为（ ）（参考数据：
）
A．0.052
B．0.104
C．0.896
D．0.948
【答案】B
【分析】根据题意分析可得
在正方形
的边上运动，结合图象分析
的最
大值，即可得结果.
【详解】设
，
由题意可得：
，即
，
可知
表示正方形
，其中
，
即点
在正方形
的边上运动，其中
三点共线，
因为
，由图可知：
当
取到最小值，即
最大，点
有如下两种可能：
①点
为点A，则
，可得
；
②点
在线段
上运动时，此时
与
同向，不妨取
，
则
；
因为
，所以
的最大值为
.
故选：B.
【点睛】方法定睛：在处理代数问题时，常把代数转化为几何图形，数形结合处理问题.
【变化角度】变载体，将“曼哈顿距离”与三角函数相结合，如下：
例：曼哈顿距离是由19 世纪著名的德国数学家赫尔曼-闵可夫斯基所创的词汇，用来标明
两个点在标准坐标系中的绝对轴距总和．例如在平面直角坐标系中，点
的曼
哈顿距离为
．已知动点
在圆
上，点
，则
两点的曼
哈顿距离的最大值为 ．
【答案】
/
【分析】设点
，根据曼哈顿距离定义的公式结合辅助角公式直接计算，
再结合三角函数的性质即可取得最值得出答案．
【详解】解：设点
，则
两点的曼哈顿距离
，
当且仅当
时取等号，
所以
两点的曼哈顿距离的最大值为
．
故答案为：
．
【举一反三】
（24-25 高一下·上海松江·阶段练习）
2．人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活．所谓人脸识别，就是利
用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份．
在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有
曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间有两个点
，则A，B 之间的曼哈顿
距离为：
．A，B 之间的余弦距离为
，其中
为A，B 之间的余弦相似度．
(1)若
，求A，B 之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)已知
，且
．
①求N，P 之间的余弦距离；
②求N，P 之间的曼哈顿距离．
【答案】(1)曼哈顿距离为2，余弦距离为
(2)①
；②
【分析】（1）根据题意代入题目中的公式可得答案；
（2）①根据条件和两角和的余弦公式可求答案；②先求解
，结合和角公式可
得答案.
【详解】（1）由题意
；
因为
，
所以余弦距离为
.
（2）①由题意
，
由
，可得
，故
；
因
，故
，
则
，
又
，
所以N，P 之间的余弦距离为
.
②由①可知
，
，
，
因
，则
，
所以N，P 之间的曼哈顿距离为：
.
【变化角度】变载体，将“曼哈顿距离”与立体几何相结合，如下：
例：（24-25 高三上·贵州贵阳·期末）对于两个空间向量
与
，我
们可以定义它们之间的欧式距离为
，欧式距离可
以简单理解为两点之间的直线距离；根据需要，还可以定义它们之间的曼哈顿距离为
，曼哈顿距离最初指的是区块建设的城市（如曼哈顿）
中，两个路口间的最短行车距离，因此也被称为城市街区距离．如图，在棱长为的正方
体
中，
；若点
在上底面
内（含边界）运动，且
，则
的取值范围是 ．
【答案】
；
【分析】以A 为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立空间直角坐
标系，求出向量
、
的坐标，结合题中定义可求得
的值；分析可知在上
底面
内，点
在以
为圆心，为半径的圆周上，设点
，
，
利用题中定义结合三角函数的基本性质可求得
的取值范围．
【详解】以A 为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立空间直角坐
标系，
则
、
、
、
，则
，
，
所以
．
因为
在上底面
内（含边界）运动，且
，
则
，即在上底面
内，点
在以
为圆心，为半径的圆周上，
可设
，则
，
，
，
所以
，
，
因为
，则
，所以
．
故答案为：
；
．
【举一反三】
（24-25 高二上·广东汕头·期末）
3．“出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由十九世纪赫尔曼-闵可夫斯基
所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标
系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点
，
之间
的曼哈顿距离为
．
(1)在平面直角坐标系中，已知点O 为坐标原点，记
为点M 与直线l 上的所有点的
曼哈顿距离的最小值．
（i）已知点
，求
；
（ii）已知点
，直线l：
，求证：
．
(2)在空间直角坐标系中，已知点O 为坐标原点，动点P 满足
，求动点P 围成的
几何体的体积．
【答案】(1)（i）2；（ii）证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）（i）利用曼哈顿距离的定义计算得解；（ii）在直线上取点，按
与
之一为0 分类，利用曼哈顿距离的定义，借助不等式性质求出最小值即可.
（2）设
，利用用曼哈顿距离的定义列式，考查
时点
所围图形，
再利用对称性即得几何体，进而求出体积.
【详解】（1）（i）
，则
.
（ii）当
时，设直线上任意一点
，
因此
；
当
时，设
，
，
因此
；
当
时，同理
，
所以
.
（2）设
，依题意，
，
当
时，设
，
，
因此
，点
共面，
点
围成的图形是边长为
的正三角形及内部，
由对称性知，动点
围成的几何体是正八面体，每个面都是边长为
的正三角形，
所以动点P 围成的几何体的体积
.
【点睛】关键点点睛：充分理解曼哈顿距离的定义，并转化为与之相关联的数学问题求解
是关键.
【变化角度】变载体，将“曼哈顿距离”与函数相结合，如下：
例：（24-25 高二上·江苏盐城·期中）“曼哈顿距离”是由十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所
创，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即：直角坐标平面中任意两点
，
的曼哈顿距离
．已知点
，点
在直
线
上，则
的最小值是 ．
【答案】3
【分析】首先设
，再代入绝对轴距总和公式，去绝对值后转化为分段函数，即
可求解最值．
【详解】设
，
，
，
当
时，
取等号，当
时，
，当
时，
，
所以
．
故答案为：3
【举一反三】
（24-25 高三上·四川·阶段练习）
4．定义：如果在平面直角坐标系中，
为坐标原点，点
的坐标分别为
，
那么称
为
两点间的曼哈顿距离；
为
两点间的欧几里得距离.
(1)已知
，求
的最小值；
(2)已知
，求
的最大值；
(3)已知
，点
在函数
图像上，点
在函数
图像上，且
，点
有
的最小值为4，求实数a 的取值.
【答案】(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）先设
，然后利用题意得到
，然后数形结合，计算
的最小值即可；
（2）先设
，利用题意得到
，然后三角换元，表示
，然后化简求
最值即可；
（3）函数
过定点
，然后计算得到定点
与
两点间的曼
哈顿距离最小值为4，所以只需要讨论任意
与
的曼哈顿距离即可；
【详解】（1）设
，由
得：
，
点
的轨迹是由直线
围成的边长为
的菱形，且对角线在坐标轴上.
点
到直线
的距离即为
的最小值，
.
（2）设
，由
得：
，
令
，
.
.
（3）
过定点
，当
为
时，
此时
，
即
时满足
.
对于函数
图像上的点
有
的最小值为4，
只需
，求
的值即可.
，
①当
时，
，
此时没有
能使
恒成立.
②当
时，
，当且仅当
时，上式等号成立.
要使
，则
，即
.
构造函数
，要使
，即等价于求
取何值时
恒
成立.
，令
，得
.
时，
在
上单调递减；
时，
在
上单调递增.
，要使
恒成立，即
.
构造函数
，
，令
，得
，
时，
在
上单调递增；
时，
在
上单调递减.
，
因此要使
恒成立，则
.
结合图像可知，当
时，也满足
.
因此，
.
【点睛】关键点点睛：（1）我们需要根据题意将新的概念转化为我们熟悉的，然后数形结
合求解；（2）在解析几何之中我们计算距离是通常都需要利用三角换元来计算；（3）做
有一个参数的函数时，我们通常需要考虑函数过定点，然后利用定点判断特殊情况再计算.
【变化角度】变化情境，融合实际，将“曼哈顿距离”与实际相结合，如下：
例：（24-25 高一上·河北石家庄·期末）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，
所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，
最终判别对象的身份，人脸识别中检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量
距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间有两个点
，则曼哈顿
距离为
，余弦相似度为
，余弦距离为
．
（1）若
，求AB 之间的曼哈顿距离
和余弦距离．
（2）已知
，若
．
①求
；
②若动点
满足
，求
围成封闭图形的面积．
【答案】（1）
，余弦距离为
；（2）①
；②200
【分析】（1）利用曼哈顿距离
和余弦距离的公式求解；
（2）①先利用余弦相似度求得
，
，再利用曼哈顿距离求解；②由
求得动点
围成的封闭图形是正方形求解．
【详解】（1）解：
；
故余弦距离为
．
（2）①因为
；
所以
；
因为
，所以
；
；
因为
，则
，
；
；
，即
；
②
，则
，
所以 动点
围成的封闭图形是正方形，如图所示：
其边长为
，故围成的面积为200．
【举一反三】
（探究设置机器零件检验台的位置）
5．（探究设置机器零件检验台的位置）在实际生活中，还有许多的问题可以归结为基于曼
哈顿距离的数学模型求解，以设置机器零件检验台的位置为例来说明．工作效率相同的
台机器位于一条直线上，每台机器生产的零件均需送到同一个检验台上检验，检验合格后
才能进入下一道工序．已知零件在这条直线上的传达速度均相同，问检验台的位置设在哪
里可以使得零件传送时总的距离最小？
(1)若记
为第个零件的位置，
是待求的检验台位置，
是零件传送的总
距离，你能求出
的表达式吗？
(2)当检验台的位置
为多少时，零件传送总距离
最小？此时最小距离
是多少？
【答案】(1)
(2)
时
取得最小值，且最小值为
【详解】（1）
．
（2）将
个常数
，
，…，
从小到大排列，则有两种情况——一是当
为奇数时，
即
时，则当
时（即在最中间点位置），
取得最小值，且最小
值为
；二是当
为偶数时，即
时，则当
时（即
在最中间的区间内）
取得最小值，且最小值为
．
6．“曼哈顿距离”是由十九世纪的赫尔曼．闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空
间的几何学用语，即对于一个具有正南正北、正东正西方向规则布局的城镇街道，从一点
到达另一点的距离是在南北方向上旅行的距离加上在东西方向上旅行的距离，“欧几里得
距离（简称欧氏距离）”是指平面上两点的直线距离，如图
所表示的就是曼哈顿距离，
所表示的就是欧氏距离，若
、
，则两点的曼哈顿距离
，而两点的欧氏距离为
，设点
，在平面内满足
的点组成的图形面积记为
，
的点组成的
图形面积记为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设点
，分析
，
所表示的图形，求出
、
，即
可得解.
【详解】设点
，则
，可得
，
方程
表示以原点为圆心，半径为的圆，则
，
，对于方程
，
当
、
时，则有
；
当
、
时，则有
，即
；
当
、
时，则有
，即
；
当
、
时，则有
.
作出方程
表示的图形如下图所示：
所以，方程
表示的图形是边长为
的正方形，则
，
故
.
故选：B.
（24-25 高一上·上海·期中）
7．设在二维平面上有两个点
，
，它们之间的距离有一个新的定义为
，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离.
(1)已知
，
两个点的坐标为
，
，如果
，那么
的取值范围是
多少？
(2)已知
，
两个点的坐标为
，
，如果
，那么
的取值
范围是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到
，求出解集；
（2）根据题意得到
，写出分段函数形式，从而得到答案；
【详解】（1）因为
，
两个点的坐标为
，
，
所以，由曼哈顿距离的定义得：
，即
，
所以，
，解得
，
所以，
的取值范围是
；
（2）因为
，
两个点的坐标为
，
，
所以，由曼哈顿距离定义得：
，
因为
，显然
或
满足要求，
又令
，解得
，
令
，解得
，
综上，x 的取值范围是
；
（2025·江西南昌·模拟预测）
8．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分
析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别
中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和
余弦距离.若二维空间有两个点
，
，则曼哈顿距离为：
，余弦相似度为：
，余弦距离为
(1)若
，
，求A，B 之间的曼哈顿距离
和余弦距离；
(2)已知
，
、
，
，若
，
，求M、P 之间的曼哈
顿距离.
【答案】(1)
，余弦距离为
；
(2)
.
【分析】（1）根据题设中距离的定义求A，B 之间的曼哈顿距离
和余弦距离即可；
（2）根据已知可得
、
，再结合
及正余弦和差公式、平
方关系求得
、
，进而求出M、P 的坐标，再由曼哈顿距离的定义求结果.
【详解】（1）由题设定义知：
，
，则余弦距离为
；
（2）
，又
，则
，
，则
，
所以
，结合
，
，
所以
，可得
或
，
由
，即
，故
，则
，
，
，
所以
，
，则
.
9．“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19 世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如
图是抽象的城市路网，其中线段
是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，
我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离
用
表示，又称“曼哈顿距离”，即
，因此“曼哈顿两点间距离
公式”：若
，
，则
(1)①点
，
，求
的值．
②求圆心在原点，半径为1 的“曼哈顿单位圆”方程．
(2)已知点
，直线
，求B 点到直线的“曼哈顿距离”最小值；
(3)设三维空间4 个点为
，
，且
，
，
．设其中所有两点
“曼哈顿距离”的平均值即
，求
最大值，并列举最值成立时的一组坐标．
【答案】(1)
7
①；
②
；
(2)2；
(3)2，
，
，
，
.
【分析】（1）①②根据“曼哈顿距离”的定义求解即可；
（2）设直线
上任意一点坐标为
，然后表示
，分类讨论求
的最小值；
（3）将
的所有情况看做正方体的八个顶点，列举出不同情况的
，即可得到
的最小
值.
【详解】（1）①
；
②设“曼哈顿单位圆”上点的坐标为
，则
，即
.
（2）设直线
上任意一点坐标为
，则
，
当
时，
，此时
；
当
时，
，此时
；
当
时，
，此时
，
综上所述，
的最小值为2.
（3）
如图，
为正方体，边长为1，则
对应正方体的八个顶点，
当四个点在同一个面上时，
（i）例如：
，此时
；
（ii）例如：
，此时
；
当四个点不在同一个平面时，
（iii）例如：
，此时
；
（iiii）例如：
，此时
；
（iiiii）例如：
，此时
；
（iiiiii）例如：
，此时
；
（iiiiiii）例如：
，此时
；
综上所述，
的最大值为2，例如：
，
，
，
.
（2025 届山东省部分学校高三第六次学业水平联合检测数学试卷）
10．“曼哈顿距离”是一种在几何空间中用于衡量两点之间距离的方式，如在
维空间中，
设点
，
，则“曼哈顿距离”表示为
．若椭圆
的左焦点为
，上顶点为
，直线
交
于另一点
，则
，
两点的“曼
哈顿距离”
；若将
在
轴上方的部分沿
轴翻折得到一个直二面角，则
在空间直角坐标系中，
．
【答案】
##
##
【分析】写出点B 和点F 的坐标，得到直线
方程，再与椭圆方程联立即可得到A 点坐
标，再根据“曼哈顿距离”即可求得结果；
第二空只需找出A 点，B 点坐标即可求得结果.
【详解】根据题干
，上顶点
，根据直线的截距式方程可得直线
的方程为
，联立直线
与椭圆方程
，消去y 整理得：
，
解得
或
，当
时，
（对应点B），当
时，
，
所以
，根据“曼哈顿距离”
，
即可求出
，
将
在
轴上方的部分沿
轴翻折得到一个直二面角，则在空间直角坐标系中，得到
，
,故
，
故答案为：
；
