文档文本内容
【第一讲：集合】
【知识点清单】
1．描述法表示集合
【知识点的认识】
一般地，设A 是一个集合，我们把集合A 中所有具有共同特征P（x）的元素x 所组成的集合表示为{x|P
（x）}，这种表示集合的方法称为描述法．
【解题方法点拨】
明确描述对象：要清楚集合中包含的元素以及不包含的元素．理解描述条件：描述条件要准确、简洁，通
常用文字或符号来表示集合中的元素特征．统一标准：确保描述的方法能够唯一确定一个集合，避免模糊
或歧义的描述．
2．元素与集合关系的判断
【知识点的认识】
1、元素与集合的关系：
一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，
b，c 表示，集合一般用大写字母 A，B，C 表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：
a∈A 或a∉A．
题型梳理
总览
2、集合中元素的特征：
（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属
于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的
总体是否能构成集合．
（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个
特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．
（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．
3．判断元素与集合的属于关系
【知识点的认识】
元素与集合的关系：
一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，
b，c 表示，集合一般用大写字母 A，B，C 表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：
a∈A 或a∉A．
【解题方法点拨】
明确集合定义：了解集合的定义及其包含的元素范围．验证条件：检查元素是否满足集合的定义条件．符
号表示：用∈表示元素属于某集合，用∉表示元素不属于某集合．
4．判断两个集合的包含关系
【知识点的认识】
如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集；A⊆B；如果集合A 是集
合B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A，那么集合A 叫做集合B 的真子集，即A⊂B；
【解题方法点拨】
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．
5．集合的包含关系的应用
【知识点的认识】
如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集；A⊆B，读作“A 包含于
B”（或“B 包含于A”）．
【解题方法点拨】
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．
6．求集合的交集
【知识点的认识】
由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫做A 与B 的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B 实际理解为：x 是A 且是B 中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算性质：
①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混
用求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
7．集合的交并补混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
【题型1：元素与集合之间的关系】
【例题1】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合
，且
，则
等于（ ）
A．－3 或－1
B．-3
C．1
D．3
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系列式求解，再代入检验即可.
【详解】因为集合
，且
，
则
或
，所以
或
；
当
时，
不合题意舍；
当
时，
符合题意；
故选：B.
知识讲解与常考题型
题型分类
例题精选
【例题2】（2025·河南·一模）已知集合
，若
且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果.
【详解】由题可知
且
解得
.
故选：C.
【例题3】（2024·广东河源·模拟预测）已知集合
，
，若
且
，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由元素与集合的关系列出不等式组，解之即得.
【详解】因为
且
，所以
，解得
.
故选：A．
【相似题1】（2024·辽宁·模拟预测）已知集合
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
相似练习
【答案】B
【分析】根据描述法表示的集合元素特征，对选项逐一判断即可得出结论.
【详解】因为
，所以
，因为
，所以
所以
，故A 错误，B 正确；
所以
，故C 错误；
所以
，故D 错误；
故选：B．
【相似题2】（2024·山东济南·二模）已知集合
的元素之和为1，则实数a 所有取值
的集合为（ ）
A．{0}
B．{1}
C．{－1，1}
D．{0,-1，1}
【答案】D
【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出
的取值集合.
【详解】因为集合
的元素之和为1，
所以一元二次方程
有等根时，可得
，即
，
当方程有两不相等实根时，
，即
，
综上，实数a 所有取值的集合为
.
故选：D
【相似题3】（23-24 高三上·广东惠州·阶段练习）集合
，若
且
，则
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据元素与集合的从属关系列出限制条件可得答案.
【详解】因为
且
，所以
且
，解得
.
故选：B.
【题型2：集合间的基本关系】
【例题1】（2025·浙江杭州·模拟预测）设全集
，集合
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】化简集合B，再利用集合之间的包含关系即可得到结果.
【详解】因为集合
，
，故
，
故选：B
【例题2】（2025·江西景德镇·模拟预测）满足
的集合
的个数为（ ）
A．3
B．4
C．7
D．8
【答案】A
【分析】用列举法写出满足条件的集合
，即可得答案.
【详解】解：由题意可得
，共3 个.
故选：A
【例题3】已知集合
，
，
，则
、
、
的关系满足（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将集合中的元素进行通分，即可根据分子的形式进行比较，集合子集定义即可求解.
例题精选
【详解】
,故
,
由于
，故
，
由于
为任意整数，故
，因此
,
,故
，
故
，
所以
，
故选：B．
【相似题1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知集合
，若
，则a
的值可以是（ ）
A．
B．
C．1
D．4
【答案】D
【分析】先求出集合
，再利用
求得
的范围，判断即得.
【详解】由
可得
，由
可得
，
依题意，
，故得
.
故选：D.
【相似题2】（2024·山西·三模）设集合
是4 与6 的公倍数，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可知：
，则
是的真子集，对比选项分析即可.
相似练习
【详解】由题意可知：
，
显然24 的倍数均为12 的倍数，但12 的倍数不一定是24 的倍数，例如12，
所以
是的真子集，对比选项可知B 正确，ACD 错误.
故选：B.
【相似题3】多选题（2024·湖北·模拟预测）已知集合
，
，集合
满足
，
则（ ）
A．
，
B．集合
可以为
C．集合
的个数为7
D．集合
的个数为8
【答案】AC
【分析】根据题意可确定C 的元素情况，由此一一判断各选项，即可得答案.
【详解】由题意得
，
，又
.
所以
，
，故A 正确；
当
时，不满足
，B 错误，
集合
的个数等价于集合
的非空子集的个数，
所以集合
的个数为
，故C 正确，D 错误，
故选：AC.
【题型3：集合的运算】
【例题1】（2025·四川广安·模拟预测）已知集合
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】交集的概念及运算
【分析】先求出集合
，再根据交集的定义求解.
【详解】解方程
得
或
，
所以集合
，集合
，
例题精选
因此
.
故选：C.
【例题2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】并集的概念及运算
【分析】根据并集的含义进行运算即可得答案.
【详解】∵
，
由并集的含义得
.
故选：B.
【例题3】（2025 高三·全国·专题练习）已知全集
，集合
，
，
则
（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】A
【知识点】交并补混合运算
【分析】先求出集合
的补集，再利用并集运算求解即可.
【详解】由题可得
或
，则
或
．
故选：A.
【相似题1】（2025·天津和平·三模）设全集
，集合
，
，
（ ）
相似练习
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】交并补混合运算
【分析】根据集合并集的定义以及补集的定义即可求解.
【详解】由
，
可得，
，故
，
故选：B
【相似题2】（2025·重庆·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】交集的概念及运算
【分析】集合A，B 可化为分母相同的元素，其中分子分别为除3 余2 整数，除2 余1 整数，据此可得出交
集.
【详解】集合
，
,
所以
，
故选：C
【相似题3】多选题（2025·河南·三模）已知全集
，集合
，
，
，若
，则（ ）
A．
的取值有个
B．
C．
D．
所有子集的个数为
【答案】BCD
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、判断两个集合的包含关系、交并补混合运算
【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出
的值，可判断A 选项；利用交集的定义可判
断B 选项；利用并集的定义可判断C 选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，因为
，
，且
，
则
或
，且
，
，解得
，故
的取值只有个，故A 错误；
对于B 选项，
，
，所以
，故B 正确；
对于C 选项，
，
，故C 正确；
对于D 选项，
，
所以
，
，则
，
其
的子集的个数为
，故D 正确．
故选：BCD.
【题型4：集合中的参数问题】
【例题1】（2025 高三·全国·专题练习）已知
，
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据集合的基本关系分类讨论计算求参即可.
【详解】因为
，所以当
，即
时，
，满足
，即
；
当
，即
时，
，满足
，即
；
当
，即
时，由
，得
，
，即
；
综上，
．
故选：C．
例题精选
【例题2】（2024·全国·二模）已知集合
，集合
，则满足
的实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据交集的结果，代入不等式，即可求解.
【详解】由条件可知
，解得：
.
故选：C
【例题3】（2024·河南·二模）已知集合
，若集合
有15 个真子集，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据真子集的定义，推断出集合
含有4 个元素，即不等式
的解集中有且仅有4 个整
数解，由此进行分类讨论，列式算出实数
的取值范围．
【详解】若集合
有15 个真子集，则
中含有4 个元素，
结合
，可知
，即
，且区间
,
中含有4 个整数，
①当
时，
,
的区间长度
，此时
,
中不可能含有4 个整数；
②当
时，
,
,
，其中含有4、5、6、7 共4 个整数，符合题意；
③当
时，
,
的区间长度大于3，
若
,
的区间长度
，即
．
若
是整数，则区间
,
中含有4 个整数，根据
，可知
，
，
此时
,
,
，其中含有5、6、7、8 共4 个整数，符合题意．
若
不是整数，则区间
,
中含有5、6、7、8 这4 个整数，则必须
且
，解得
；
若
时，
,
,
，其中含有5、6、7、8、9 共5 个整数，不符合题意；
当
时，
,
的区间长度
，此时
,
中只能含有6、7、8、9 这4 个整数，
故
，即
，结合
可得
．
综上所述，
或
或
，即实数
的取值范围是
,
,
．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得
，且区间
,
中含有4 个整数，结合区间长度
，
即可对
讨论求解.
【相似题1】（20-21 高一上·浙江嘉兴·阶段练习）若集合
，
，则
能使
成立的所有a 组成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】考虑
和
两种情况，得到
，解得答案.
【详解】当
时，即
，
时成立；
当
时，满足
，解得
；
综上所述：
.
故选：C.
【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，忽略空集的情况
是容易发生的错误.
【相似题2】（2024·江苏常州·三模）集合
，
，若
相似练习
，则实数m 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】结合B 是否为空集进行分类讨论可求
的范围．
【详解】由
，且
，
当
时，
，则
，即
，
当
时，若
，则
，解得
，
综上，实数
的取值范围为
．
故答案为：
．
【相似题3】（2024·全国·模拟预测）设集合
.若
且
，
则
.
【答案】6
【分析】根据集合间的关系可知
，可得
，再由
求得
，即可得解.
【详解】因为集合
，
若
，则
且
，可得
，解得
，
即有
，又
，所以
，所以
.
故答案为：6
【题型5：韦恩图的应用】
【例题1】（2025·山东枣庄·二模）已知全集为
，集合
是
的两个子集，若
，则下列运算
结果为
的子集的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
例题精选
【分析】根据Venn 图，集合间的关系及集合的运算逐项判断即可.
【详解】作出Venn 图，如图，
对于A，
，故A 错误；
对于B，
与集合
交集是空集，
若
，则
不是
的子集，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
与集合
交集是空集，
若
，则
不是
的子集，故D 错误；
故选：C.
【例题2】（24-25 高三下·湖南长沙·阶段练习）若集合
、
、
满足：
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】作出韦恩图，结合韦恩图与集合运算逐项判断即可.
【详解】如下图所示：
由韦恩图可知，
，
，
，
，
故选：C.
【例题3】（2025·广东佛山·模拟预测）已知全集
，集合
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用韦恩图法即可判断.
【详解】如图，对于A：
，所以A 错误；
对于B：
，所以B 错误；
对于D：
，所以D 错误，
对于C：由图观察显然
，故C 正确．
故选：C
【相似题1】（24-25 高三上·云南昆明·阶段练习）如图所示，集合
是全集
的三个真子集，则图中
阴影部分表示的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由韦恩图写出阴影部分的对应集合即可.
【详解】由韦恩图知：阴影部分表示对应元素不属于集合
，但属于集合
，所以阴影部分所表示的
集合是
.
故选：C.
【相似题2】（23-24 高一上·湖南长沙·期末）已知全集为U，集合M，N 满足
，则下列运算结
果为U 的是（ ）．
相似练习
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
，结合交并补的运算即可判断选项
【详解】如图，
因为
，所以
，故A 错误；
因为
，故B 错误；
因为
，所以
，故C 错误；
因为
，所以
，故D 正确.
故选：D
【相似题3】多选题（2022·福建泉州·模拟预测）已知集合
均为
的子集，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据题意，画出韦恩图，结合韦恩图和选项，逐一判断，即可得到答案.
【详解】因为集合
均为
的子集，且
，
画出韦恩图，如图所示：
结合图像：由
，所以A 正确；由
，所以B 错误；
由
，所以C 错误；由
，所以D 正确.
故选：AD.
【题型6：集合中的新定义问题】
【例题1】（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn 图中，A，B 是非空集合，定义集合
为阴影
部分表示的集合.若集合
，集合
，则集合
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】D
【分析】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解.
【详解】集合
，集合
，则
，
由韦恩图得
或
.
故选：D
【例题2】（2025·北京·模拟预测）集合
的所有三个元素的子集记为
记
为集合
中的最大元素，则
（ ）
A．10
B．40
C．45
D．50
【答案】C
【分析】由题列举出所有的集合A 的三元素子集，求出最大值，求和即可.
【详解】由题知：
，
，
，
，
，
，
，
则
例题精选
故选：C
【例题3】多选题（2025·湖北黄冈·模拟预测）对于集合
、
，定义运算：
且
，
.若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据题中定义以及集合运算逐项判断即可.
【详解】对于A 选项，根据题中信息可得
，A 对；
对于B 选项，根据题意可得
，故
，B 对；
对于C 选项，
，C 错；
对于D 选项，
，D 对.
故选：ABD.
【相似题1】（2024·广东广州·模拟预测）已知集合
，若集合
，且M
中的所有元素之和为奇数，称M 为A 的奇子集，则A 的所有“奇子集元素之和”的总和为 .
【答案】
【分析】设为
的奇子集，
中的所有元素之和为偶数，可称为偶子集，分析得
的奇子集与偶子集个
数相等；计算奇子集元素之和时，含元素的和是
，即可求得奇子集的元素之和.
【详解】设为
的奇子集，则若
，令
，
若
，令
为把中的去掉后剩下的元素形成的集合，
则
中的所有元素之和为偶数，可称为偶子集，
显然每个奇子集，均恰有一个偶子集
与之对应，
每个偶子集
，均恰有一个奇子集与之对应，
故
的奇子集与偶子集个数相等；
对任一
，含的子集共有
个，用上面的对应方法可知，
在
时，这
个子集中有一半为奇子集，
在
时，由于
，将上边的3 换成5，同样可得其中有一半为奇子集，
相似练习
于是在计算奇子集元素之和时，含元素的和是
，
奇子集容量之和是
.
故答案为：
.
【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：
（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.
归纳“举例”提供的分类情况.
（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
【相似题2】（2025·湖北·模拟预测）已知集合
，
，
、
是
的非空子集.记集合
除以
的余数
.若正整数
满足：存在非空集合
、
，使得
两两的交集
为空集，且
，则称
为“好的”.
(1)设
，
，当
时，求
，并直接判断
是否为“好的”；
(2)证明：
是“好的”，
是“好的”；
(3)求所有“好的”正整数.
【答案】(1)
，
是“好的”
(2)证明见解析
(3)除、
、
外的正整数
【分析】（1）根据题中定义可求出集合
，并由此作出判断；
（2）当
时，取集合
，
；当
时，取集合
，
，结合
题中定义验证可得出结论；
（3）先证明出：若正整数
是“好的”，则
也是“好的”，再证：
为奇数是“好的”，
不是
“好的”，同理易知
，
不是“好的”，由此可得出结论.
【详解】（1）当
时，由题中定义可得
，且
，故
是“好
的”.
（2）
时，取
，
，则
的值为
、
、、，除以8 的余数为4，7，5，0.
所以
，此时
，合乎题意；
时，取
，
，
的值分别为4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16 的余数为4，7，12，15，5，
8，13，0.
所以
，则
，满足条件.
故
是“好的”，
是“好的”.
（3）①首先证明：若正整数
是“好的”，则
也是“好的”.（*）
事实上，若正整数
是“好的”，
设
，
，
，此时集合
、
满足
时条件.
时，考虑
，
，
则
也满足条件，（*）得证.
②再证：
为奇数是“好的”.（**）
事实上，取
，
，则
满足条件，（**）得证.
由（*）（**）及（2）知除1，2，4 外的正整数均为“好的”.
③再证：
不是“好的”.
对集合
，记
为
中元素个数，由条件，
.
若
，则
，矛盾.
若
或
，则
，则
，矛盾.
于是
不是“好的”.
同理易知
，2 不是“好的”.
所以，所求为除1，2，4 外的正整数.
【相似题3】（2024·全国·模拟预测）已知集合
，若对任意的，
，有
或
，则称集合
为完美集合．
(1)分别判断集合
与
是否为完美集合；
(2)当
时，若
，求完美集合
；
(3)若集合
为完美集合，记
，求证：
．
【答案】(1)集合
为完美集合，
不是完美集合；
(2)
；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据完美集的定义直接判断即可；
（2）根据完美集的定义及
依次确定
，即可得答案；
（3）根据完美集定义先确定
，结合
得到
，又
，把各项累加即可证结
论.
【详解】（1）集合
，当
时，
，
又
，
，
所以集合
为完美集合．
集合
，因为
，
所以
不是完美集合．
（2）因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
，故
，即
，
所以
．
（3）因为
，故
，
所以
，则
．
因为
，
所以
，
所以
，
所以
．
因为
，
所以
，
又因为
，
全部相加得
，即
，
所以
，又
，所以
．
【点睛】关键点点睛：第三问，根据完美集定义确定
，并得到
，
为关键.
一、单选题
1．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集
,集合
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高二下·浙江温州·期中）设集合
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·福建泉州·模拟预测）若全集
是实数集
，集合
，
，
则如图阴影部分表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·福建福州·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合
，则
（ ）
课后针对训练
A．
B．
C．
D．
8．（2023·山东青岛·三模）已知全集
，集合A，B 满足
，则下列关系一定正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2023·福建漳州·模拟预测）已知
是全集，集合
，
满足
，则下列结论一定成立的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023·福建龙岩·二模）若全集
，集合
，则图中阴影
部分表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2023·福建·模拟预测）已知集合
，
，全集
，则以下集合
（ ）是空集
A．
B．
C．
D．
12．（2024·全国·模拟预测）已知集合
，
，若
中有2 个元素，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2024·福建泉州·模拟预测）已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．-3
B．-1
C．1
D．3
14．（2025·福建泉州·一模）
（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2021·湖北武汉·模拟预测）已知
为全集
的两个不相等的非空子集，若
，则下
列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
16．（24-25 高一上·贵州黔西·阶段练习）下列四个命题：其中正确的命题为（ ）
A．已知集合
，集合
，则
B．集合
中有两个元素
C．已知集合
，且
，则
的取值构成的集合为
D．记
，
，则
17．（2025·江西·模拟预测）已知集合
，
，下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
可以取3
三、填空题
18．（2024·河南·模拟预测）已知集合
，若
，则
的最小值为
．
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
A
D
C
D
D
C
C
D
题号
11
12
13
14
15
16
17
答案
D
A
C
A
D
BD
AC
1．A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集
，
，所以，
．
故选：A．
2．A
【分析】由
可得方程
有一个根是1，且2 一定不是它的根，从而代入
，解得
，再解得
，满足
，从而可计算出结果.
【详解】因为
，
，
所以方程
有一个根是1，且2 一定不是它的根，
则
，解得
，
当
时，方程
的根是1 和
，
所以
，满足
，
即
.
故选：A.
3．A
【分析】根据韦恩图，先求
，再由集合
去掉
中的元素即可.
【详解】∵全集
是实数集
，集合
，
∴
，
∴故图中阴影部分所表示的集合为集合
去掉
中的元素,即
.
故选：A.
4．D
【分析】先计算出集合
，逐一验证即可.
【详解】由
，
所以
，故A 错误，
，故B 错误；
，故C 错误，D 正确.
故选：D.
5．C
【分析】由交集运算即可求解.
【详解】
因为集合
，
则
．
故选：C．
6．D
【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案.
【详解】对于A，集合
存在一个元素为
，故A 不符合题意；
对于B，集合
存在一个元素为
，故B 不符合题意；
对于C，由
，则
，即该方程存在两个不相等的实数根，
所以集合
存在两个元素，故C 不符合题意；
对于D，由
，则
，即该方程不存在实数根，
所以集合
无元素，故D 符合题意.
故选：D.
7．D
【分析】求出集合
后可求
.
【详解】
，故
，
故选：D
8．C
【分析】根据已知条件，求得
，再进行选择即可.
【详解】因为集合A，B 满足
，故可得
，
对A：当
为
的真子集时，不成立；
对B：当
为
的真子集时，也不成立；
对C：
，恒成立；
对D：当
为
的真子集时，不成立；
故选：C.
9．C
【分析】根据集合包含的关系，结合子集的定义即可求解.
【详解】由
可得
,进而
，故C 正确，ABD 错误，
故选：C
10．D
【分析】利用集合的描述法计算两个集合A、B，根据韦恩图计算即可.
【详解】由题意可知
，即
，
又
，故阴影部分为
.
故选：D
11．D
【分析】求出A 和B，再根据集合的交并补计算即可判断.
【详解】由
得
，由
得
，
故
，
，
，
，
仅D 选项符合题意．
故选：D
12．A
【分析】根据两集合的元素特征和
中只有2 个元素的要求，可得到关于
的不等式组，解之即得.
【详解】因为
，
，
又
，
中有2 个元素，
所以
中的2 个元素只能是
，则
，解得
.
故选：A.
13．C
【分析】化简可得，
，
，由
求出
，
，即可求
．
【详解】
，
，
若
，
则
，
，
故
．
故选：C.
14．A
【分析】根据交集的定义，即可求解.
【详解】满足
的正整数只有
，所以
.
故选：A
15．D
【分析】根据
，
为
的两个不相等的非空子集，且
，知
，再判断选项中的命题是
否正确．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
故选：
．
16．BD
【分析】A 选项，分别求出两个集合的范围即可判断；B 选项，该集合中
是5 的正因数，求出集合即
可判断；C 选项，由集合与元素的关系解出参数值，注意互异性；D 选项，弄清集合内元素的特征即可做
出判断.
【详解】对于A，
，
，则
，所以A 选项错误；
对于B，因为集合
，所以它的元素有两个，所以B 选项正确；
对于C，因为集合
，且
，所以
或
．
当
时，解得：
或
．而
，不符合元素的互异性，
故
或
，所以C 选项错误．
对于D，集合
是由奇数组成的集合，集合
是由被4 除余1 的整数组成的集合，则
，故D 选项正
确．
故选：BD.
17．AC
【分析】把
代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD.
【详解】对于AB，若
，则任意实数
均满足
，因此
，A 正确，B 错误；
对于CD，由
，得
，解得
，C 正确，D 错误.
故选：AC.
18．
【分析】由
可得
，解出集合
后结合集合的关系计算即可得.
【详解】由
，故
，
由
，得
，
故有
，即
，即
，
即
的最小值为.
故答案为：.
