第04 讲 抛物线的焦点弦
目 录
思维导图...................................................................................................................................................1
高考分析...................................................................................................................................................2
学习目标...................................................................................................................................................2
知识要点...................................................................................................................................................3
解题策略...................................................................................................................................................7
题型归纳...................................................................................................................................................8
题型01：焦半径的坐标公式.....................................................................................................................8
题型02：焦半径的倾斜式.......................................................................................................................18
题型03：焦点弦的弦长公式................................................................................................................... 20
题型04：焦点弦长的倾斜式................................................................................................................... 32
题型05：抛物线的通径问题................................................................................................................... 33
题型06：AF,BF 数量关系.......................................................................................................................35
题型07：与抛物线焦点弦有关的比例问题..............................................................................................38
题型08：面积........................................................................................................................................ 44
题型09：横纵坐标之积定值................................................................................................................... 47
题型10：焦点弦的几何性质................................................................................................................... 47
题型11：梯形转化................................................................................................................................. 54
题型12：焦点弦的最值问题................................................................................................................... 66
题型13: 解答题.....................................................................................................................................68
1.高考地位
抛物
焦点弦是
曲
最高
、套路最
、性价比极高的考点，新高考、全国卷必考：
线
圆锥
线
频
强
①
、填空
：直接考焦点弦
、角度、定
、最
、二
，
度中等偏易
选择题
题
长
值
值
级结论难
②解答
：常作
第一
或关
中
步
，
合定点、定
、范
、向量、中点弦
合考
题
为
问
键
间
骤结
值
围
综
查
③常和点差法、
达定理、焦半径、定
化捆
出
韦
义转
绑
题
2.命
特点
题
（1）. 核心依托抛物
定
（抛物
上点到焦点距离
线
义
线
=到准
距离），几乎所有焦点弦
都从定
推
。
线
结论
义
导
（2）. 高
考
方向：
频
查
①焦点弦
公式、最短焦点弦（通径）
长
②焦半径公式、
斜角表示弦
倾
长
③焦点弦端点坐
关系、倒数和
定
标
为
值
④定点、垂直、直角、中点、
迹
轨
问题
3.易
点：
错
①忽略直
斜率不存在（垂直
线
x
，通径） 特殊情况
轴
②混淆
斜角与斜率关系
倾
③直接背
不推
，大
被扣分
结论
导
题
4.
度与分
难
值
①
填空：
选择
5 分，秒
，熟
二
可直接秒
杀题
练
级结论
②解答
：
题4–6 分，中档
度，
算量适中，属于必
拿
分板
难
计
须
满
块
一.基
目
（必掌握）
础
标
1. 能熟
运用抛物
定
，把焦半径、焦点弦
化
到准
距离，不用死
硬背。
练
线
义
长转
为
线
记
2. 掌握焦点弦长2 套公式：
3.
住通径：
焦点垂直
称
的弦，是最短焦点弦。
记
过
对
轴
二.
目
（高分必
）
进阶
标
备
1. 熟
推
并能默写焦点弦
典二
（大
可
推
，小
直接用）：
练
导
经
级结论
题
简单
导
题
2. 会
理斜率存在
处
/不存在两
情况，分
不
解。
类
类讨论
丢
3. 能
合
达定理、向量、垂直、定点定
解决
合
。
结
韦
值
综
题
三．能力目标
1. 能区分焦点弦 vs 中点弦的不同解法：
①中点弦 →
先点差法
优
② 焦点弦 →
先定
优
义+
达
韦
+二级结论
2.
范
写大
步
，不直接套用
，会
推
即可得分。
规
书
题
骤
结论
简单
导
知识点一：抛物线焦点弦的常用结论
抛物
方程
设
线
为
，准线
与
相交于点
轴
，
焦点
过
的直线与抛物
相交
线
于
两点，
原点，
为
为
与
称
正向所成的角，
对
轴
的中点为
，又作
，垂足分别为
，则
（1）
．
明：因
焦点坐
证
为
标为
，当AB 不垂直于x
，可
直
轴时
设
线AB 的方程
：
为
，由
得：
，
，
．
当
，直
轴时
线AB 方程为
，则
，
，∴
，同上也有：
．
（2）焦半径
公式：
长
（坐
式）；
标
角式：
夹
（
在
上方，
轴
在
下方）．
轴
明：由抛物
的定
易得
证
线
义
．
又
，同理可证
．
（3）焦点弦
公式：
长
．
明：由（
证
2）可得弦
：
长
（4）通径
公式：
长
（通径最短）．
明：当
证
，直
轴时
线AB 方程为
，则
，
，∴通径
公式：
长
．
（5）AF，BF 的数量关系：
．
明：由
证
，得
，又
，
．
（6）三角形AOB 的面
：
积
．
明：点
证
到直线
的距离
就是的
高，
，
．
（7）中点弦斜率：若
斜率为
，
，则
．
明：
证
，由点差法得
（8）直线
的斜率之和
零
为
，即
．
明：
证
，
，
，
分子
，
直线
的斜率之和
零：
为
，即
．
（9）焦点弦与
有关的
圆
结论
①以
直径的
为
圆
与准
相切；
线
（以抛物
焦点弦
直径的
与准
相切
线
为
圆
线
）
②以
直径的
为
圆
与
相切；
轴
③以
直径的
为
圆
与
相切；
轴
④分
以
别
直径的
之
的关系：
为
圆
间
圆
与圆
外切；圆
与圆
既与
相切，又与
轴
圆
相内
切．
明：
证
过
点作
于
，则
是梯形
的中位
，由抛物
的定
知
线
线
义
，
即以
直径的
为
圆
与准
相切，同理可
②，③．
线
证
④
分
以
别
直径的
有以下关系：
为
圆
圆
与圆
外切；圆
与圆
既与
相
轴
切，又与圆
相内切．
拓展：
抛物
焦点弦的两端点向准
作垂
，以两垂足
直径端点的
与焦点弦相切
过
线
线
线
为
圆
已知AB 是抛物线
的
焦点
过
F 的弦，分
点
别过
A、B 作准
的垂
，垂足
点
线
线
为
M、N，求
：以
证
MN
直径的
与直
为
圆
线AB 相切.
（10）由焦点弦得出有关直
垂直关系的
线
结论
①以
直径的
的
心在准
上的射影
为
圆
圆
线
与
两点的
互相垂直，即
连线
；
②以
直径的
的
心在
为
圆
圆
上的射影
轴
与
两点的
互相垂直，即
连线
；
③以
直径的
的
心在
为
圆
圆
上的射影
轴
与
两点的
互相垂直，即
连线
；
④以
直径的
必
原点，即
为
圆
过
；
⑤
．
明：①
证
准
与
线
圆
相切，
圆
的
心在准
上的射影
圆
线
就是切点，
直径所
的
周角是直角，
对
圆
．同理可
②，③：
证
．
④由抛物
的定
知
线
义
，
//
//
，
，而
，即
．
⑤易知
，又
．
（11）点
三点共
；点
线
三点共
．
线
明：由（
证
1）知
．
点
三点共
．同理可
：点
线
证
三点共
．
线
（12）如
，点
图
A，B 是抛物线
，O
原点，若
为
，
直
则
线AB
定点
过
．
明：
证
．设
，则
，直线
方程为
，
即
，
直线AB
定点
过
．
知识点二：与抛物线焦点弦有关的比例问题
一般地，与抛物
焦半径有关的比例
，可采用构造相似三角形，
找相似比例
行
化
线
问题
寻
进
转
.
已知抛物线E：
的焦点为
，准线为.过点
的的直线m 与E 交于A，B 两点，与y
交于点
轴
C，与交于点D.
点
过
A，B，C，D 分
作两
的垂
，可构成如
的多
相似三角形，
别
轴
线
图
对
如：
~
，因此
有
；如
~
，因此有
等。一
般地，
了利用比例
行
化，需要用两个条件：一是利用抛物
的定
行
化；二是要把比例式
化成含有
为
进
转
线
义进
转
转
（即含p）的比例式.
1：选填常用解题方法
（1）定
法（核心）：利用 “抛物
上点到焦点
义
线
= 到准
距离”，
化
段
度、求最
，
迹，避开复
立，
线
转
线
长
值轨
杂联
小
秒
首
。
题
杀
选
（2）待定系数法：
抛物
准方程（先定开口方向），代入已知点，焦点，准
，求参数
设
线标
线
，快速写方程，基础
必用。
题
（3）
达定理法：直
与抛物
立，
而不求，用
达定理代
韦
线
线联
设
韦
换
，求弦
、中点、面
、定点定
长
积
值，
大
核心解法。
题
（4）性
法：熟
焦半径、焦点弦、通径、焦点弦中点坐
等
，直接套用，大幅提速（如焦点弦
质结论
记
标
结论
长
）。
（5）数形
合法：画
像分析开口、焦点位置、直
与抛物
交点，判断最
范
、位置关系，
避漏解，
解
结
图
线
线
值
围
规
错
。
（6）坐
化法：
抛物
上点坐
（如
标转
设
线
标
设为
），
化向量、距离、斜率
算，减少运算量。
简
计
2：常用解题技巧
焦点
过
的直线
（
斜角
倾
为
）与抛物
交于
线
两点，
，
，
为
中点，过
两点，分
做准
的垂
交垂
于
别
线
线
线
两点，
有以下
：
则
结论
（1）
；
．
（2）焦半径坐
式：
标
.
（3 ）焦半径
斜式：
倾
，且
.
（4）
（5）以弦AB
直径的
与准
相切，以
为
圆
线
AF 或者BF
直径的
与
为
圆
y
相切；
轴
（6）
三点共
，
线
三点共
．
线
（7）
，
.
（8）
.
（9）过
分
做抛物
的切
，切
交点在准
上，交点
别
线
线
线
线
为
，且
与
平行
轴
.
（10）
.
（11）
.
题型01：焦半径的坐标公式
（一）焦半径及焦半径求参数
x
y
O
A
B
E
F
A1
B1
M
N
【典型例题1】已知抛物线
的焦点为F，准线为，点P 为C 上一点，过P 作的垂
，垂足
线
为A，若AF 的
斜角
倾
为
，则
（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】A
【
解】由
意，得
详
题
，准
方程
线
为
，
准
与
设
线
交于点
轴
K，
，则
，如
，
图
因为AF 的
斜角
倾
为150°，所以
，
故
，所以
，
故
，解得
，
所以
.
故
：
选A.
【典型例题2】
抛物
设
线
的焦点为
点A 在C 上，过A 作
的准
的垂
，垂足
线
线
为B．若直线
BF 的方程为
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【
度】
难
0.85
【知
点】根据抛物
方程求焦点或准
、抛物
的焦半径公式
识
线
线
线
【分析】先由直线
求出焦点
和
即抛物线
的方程，
而依次得抛物
的准
方程和点
进
线
线
B，从而可依次求出
和
，再由焦半径公式即可得解.
【
解】
详
对
，令
，则
，
所以
，
即抛物线
，故抛物
的准
方程
线
线
为
，
故
，则
，代入抛物线
得
.
所以
.
故
：
选C
【典型例题3】已知
抛物
为
线
的焦点，点
（异于坐
原点）在
标
上，若点
到
的距离
轴
等于其到
的距离，且
轴
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】根据抛物
的定
算求参即可
线
义计
.
【
解】由
意不妨
详
题
设
，则
，
所以
，
由抛物
的定
可知，
线
义
，解得
，
故
：
选D.
【变式训练1-1-1】已知A，B 是抛物线
（
）上不同两点，点F 是抛物
的焦点，且
线
（O
坐
为
标
原点）的重心恰为F，若
，则
（ ）
A．8
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据重心可得
，
合
称性可得
结
对
，再根据抛物
的定
运算求解得出
线
义
，最后得
出弦
即可
长
.
【
解】
详
设
，因为
的重心恰为F，则
，解得
，
由
可知
关于x
称，即
轴对
，代入
，可得
，又因为
，解得
，所以
，又因为
，所以
，
，设
，
所以
，则
.
故
：
选D.
【变式训练1-1-2】设
是抛物线
的焦点，
，
是
上不同于
的
点的两点，以
顶
和
为
切点的两条切
相交于点
线
，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】利用
数几何意
得切
斜率，
而得两切
方程，
立求出点
导
义
线
进
线
联
，再利用
意和焦半径
题
公式求出
，再代入
求出
即可由焦半径公式求解.
【
解】由
详
题
，抛物线
即
，
所以点A
的切
方程
处
线
为
，同理点B
的切
方程
处
线
为
，
立
联
，即
，
因为
，则
即
，则
，
所以
，所以
，所以
.
故
：
选A
【变式训练1-1-3】已知
坐
原点，
为
标
抛物
为
线
的焦点，点
在
上，且
，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】C
【分析】由抛物
定
及
线
义
得
，
而将点
进
代入抛物
方程即可得
线
.
【
解】由抛物
的定
，知
详
线
义
，又
，
，
所以
，即
，
由点
在
上，得
，
合
结
，解得
.
故
：
选C
【变式训练1-1-4】
抛物
设
线
的焦点为F，过C 上一点A 作其准
的垂
，
垂足
线
线设
为B，若
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】根据抛物
的定
得
线
义
，由余弦定理可得
，则
，在
中，
由勾股定理即可求解.
【
解】由
意可知：抛物
详
题
线
的焦点
，准线为
，且
，
因为
，
所以由余弦定理得
，
即
；
由
，所以
，
；
设
准
与
为
线
的交点，
轴
，
则
，则
.
故
：
选C.
【变式训练1-1-5】如
，
图
是抛物线
上的一点，
是抛物
的焦点，以
线
始
、
为
边
的角
为终边
，则
.
【答案】10
【
解】依
意
详
题
，
过
向
作垂
，
垂足
轴
线记
为
，如下
所示，
图
设
的横坐标为
，
则
，
.
因为
，所以
.
由
，得
，故
.
故答案
：
为
【变式训练1-1-6】
直
设
线
与抛物线C：
相交于点A，B，点F
抛物
为
线C 的焦
点.若
，
点
则
F 的坐标为 .
【答案】
【知
点】抛物
定
的理解、直
与抛物
交点相关
、根据
达定理求参数、根据抛物
方程求焦点或准
识
线
义
线
线
问题
韦
线
线
【分析】先
立直
与抛物
方程，得到关于
联
线
线
的一元二次方程，再利用抛物
的焦半径公式
合已知条件求出
线
结
的
，
而得到焦点
值进
的坐标.
【
解】已知直
方程
详
线
，则
.
将
代入抛物
方程
线
可得：
，展开并化
得：
简
，即
.
设
，
，由
达定理可得
韦
，
.
由抛物
的焦半径公式可知
线
，
.
已知
，则
，即
.
对
行
形可得：
进
变
，即
，即
，则
.
因为
，所以
，解得
. 可得焦点
的坐标为
.
故答案
：
为
.
（二）焦半径坐标式求值，最值和范围
【典型例题1】若A，B，C 均在抛物线
上，直线
与此抛物
交于
线
M，N 两点，弦MN 中点为
的重心，则
（ ）
A．12
B．15
C．18
D．24
【答案】B
【分析】先求
中点横坐
，再利用重心性
求
标
质
A，B，C 横坐
之和，
合抛物
定
即可求解
标
结
线
义
.
【
解】抛物
详
线
，准线
，焦点
.
立
联
，得
，
中点横坐标
.
设
，由重心性
可知：
质
，得
.
所以
.故
：
选B.
【典型例题2】已知直线
与抛物线
相交于A，B 两点，且点
坐标为
，则
的取
范
（
值
围为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【
解】由
可知
详
题
,所以有
，
入
带
得
，
整理得
，判
式
别
恒成立，
设
，则
易知，点
抛物
的焦点，
为
线
所以
当且
当
仅
，等号成立，所以
时
的取
范
值
围为
.
故
：
选B
【典型例题3】已知点F 是抛物线
的焦点，
点
过
的直线l 与曲线E 交于点A，B，若
的最小值为14，则E 的准
方程
（
线
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先判断直线的斜率存在，
直
设
线的方程为
，代入抛物
方程化
，根据根与系数的关系及基本
线
简
不等式即可求得
果
结
.
【
解】当直
详
线斜率存在
，
直
时设
线的方程为
，由
，得
，
，
设
，则
，且
，当直线的斜率不存在
，
直
时则
线为
，
，
所以
，
当且
当
仅
，即
取等号，所以
时
的最小值为
，
所以
，得
，所以抛物线E 的准
方程
线
为
，
故选：D
【变式训练1-2-1】已知抛物线
的焦点为
，其通径长为8，
直
动
线
点
过
且与抛物
交于
线
两点，
的最小
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据通径
求出
长
，可得
，设
，直线的方程为
，与抛物
方程
立，
线
联
得到
，根据抛物
的定
可得
线
义
，利用基本不等式即可求解.
【
解】因
抛物
详
为
线
的通径长为8，所以
，解得
，所以抛物线
，焦点
设
，直线的方程为
,
立方程
联
组
，可得
，
,
则
,
，所以
，当且
当
仅
等号成立
时
,
所以
的最小值为
.故选:D.
【变式训练1-2-2】已知抛物线
的焦点是
，直线
均
焦点
过
且互相垂直，则
的
是
值
（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由于所求
定
，可取特殊位置求解，
出两直
方程，分
代入抛物
方程，根据
达定理和弦
公式
值为
值
设
线
别
线
韦
长
求解
和
即可.
【
解】如
，由于两直
有很好的
称性，故可取特殊位置，
详
图
线
对
抛物
的焦点
该
线
，因
直
为
线AB 和CD 均
焦点且互相垂直，
两直
斜率存在且不等于零，
过
则
线
设AB 的斜率为
，则CD 的斜率为
，线AB 的方程为
，与抛物
立得：
线联
，则
，
同理可得
，因此，
故
：
选D.
【变式训练1-2-3】
点
过
且
斜角
倾
为
的直线交曲线
于
两点（点
在点
的上方），
为
的焦点，则
（ ）
A．4
B．
C．2
D．
【答案】C
【分析】由点斜式得直
方程：
线
，
立直
与抛物
方程得到
联
线
线
，
，再利用焦半径公
式即可求解.
【
解】直
的
斜角
详
线
倾
为
，故斜率为
，由点斜式得直
方程：
线
，
立方程
联
，得到
，解得
，
因
点
为
在点
的上方，所以
，
，抛物线
的焦点为
，
由焦半径公式为
，
则
，
；所以
.故
：
选C.
【变式训练1-2-4】已知抛物线
：
的焦点为
，
点
过
的直线与
交于
，
两点，
下列
法正确的
则
说
是（ ）
A．焦点
到抛物线
的准
的距离
线
为8
B．
C．若
的中点的
坐
纵
标为4，则
D．若
，则
【答案】D
【知
点】抛物
中的三角形或四
形面
、直
与抛物
交点相关
、根据
达定理求参数、根据抛物
识
线
边
积问题
线
线
问题
韦
线
方程求焦点或准线
【分析】由抛物
方程确定焦点坐
，及准
方程可判断
线
标
线
A；通
斜率存在，或不存在两种情况
，
合焦半径公
过
讨论结
式可判断B；
合
结
B，及焦半径公式可判断C；通过
确定直线
的斜率为
，得到直线
的方程
为
，
立抛物
方程求得
联
线
坐
，即可求解
标
.
【
解】抛物
详
线
的焦点为
，准线
，
，
所以焦点
到抛物线
的准
的距离
线
为4，A
；
错误
设
，
当直线
垂直于
，可得
轴
，
所以
，得
；
当直线
不垂直于
，
方程
轴设
为
，由
，得
，
则
，
，
，B
；
错误
于
对
C，
的中点的
坐
纵
标为
，则
，可得：
，
，
又
，
所以
，C
；
错误
于
对
D，
不妨
点
设
在第一象限，分
点
别过
作
垂直于准
，垂足分
线
别为
，
直线
与准
交于点
线
，准
与
线
交于点
轴
，
设
，则
，
因
，则
，得
，
则
，则
，
故直线
的斜率为
，直线
的方程为
，
与
立得
联
，
解得
，
所以
，可得：
，
所以
，D 正确；
故
：
选D
【变式训练1-2-5】已知抛物线
(其中
)的焦点为
，点
在抛物
上，若
线
，且
的最小值为
，
点
则
到抛物线
的准
的距离
线
为
【答案】
【
解】
直
详
设
线
的方程为
，
由
消去
并化
得
简
，
，
则
①，
，
当
等号成立，所以
时
②，
由①②解得
或
，因为
，
所以
，即
到抛物线
的准
的距离
线
为.
故答案
：
为
.
【变式训练1-2-6】已知抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为F.
点
过
2,0 的直线l 与抛物
分
交于
线
别
A B
,
两点，则
4
AF
BF
的最小值为 .
【答案】13
【解析】设
1
1
2
2
,
,
(
)
(
)
A x y
B x
y
，
由抛物
的定
，知
线
义
1
1
AF
x
，
2
1
BF
x
.
当直线l 的斜率不存在
，直
时
线l 的方程为
2
x
，则
4
3
4 3
15
AF
BF
.
当直线l 的斜率存在
，直
时
线l 的方程可设为
2 (
0)
y
k x
k
.
立得方程
联
组
2
2
4
y
x
y
k
x
，整理，得
2
2
2
2
4
4
4
0
k x
k
k
.
由根与系数的关系可得
1
2
4
x x
.
所以
1
2
4
1
4
1
AF
BF
x
x
1
2
4
5
x
x
1
2
2 4
5
13
x x
(当且
当
仅
1
2
4
4
x
x
等号成立
时
).
所以
4
AF
BF
的最小值为13.
【变式训练1-2-7】已知
抛物
为
线
：
的焦点，
，
，
为
上的三点，若
，则
.
【答案】
【
解】由
意知
详
题
，设
，
，
的横坐
分
标
别为
，
，
，
由
，得
，所以
，
由抛物
的定
得
线
义
.
故答案
：
为
题型02：焦半径的倾斜式
【典型例题】已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过C 的焦点F 的直
交
线
C 于A，B 两点，交C 的准
于
线
P，且PB
→
=3
BF
→，|AF|＝3，则C 的方程
（ ）
为
A．y2＝x
B．y2＝2x
C．y2＝4x
D．y2＝6x
【分析】作出
形，
图
过B 作BQ 垂直准
于点
线
Q，
直
设
线AB 的
斜角
倾
为θ，
根据
意易得
则
题
cosθ＝cos∠PBQ
=|BQ|
| PB| = 1
3，再根据抛物
的
斜角的焦半径公式，即可求解．
线
倾
【解答】解：如
，
图过B 作BQ 垂直准
于点
线
Q，
直
设
线AB 的
斜角
倾
为θ，
由
则
PB
→
=3BF
→，|PB|＝3|BF|＝3|BQ|，
∴cosθ＝cos∠PBQ=|BQ|
| PB| = 1
3
，
又|AF|＝p+|AF|cosθ，
∴|AF|=
p
1−cosθ =
p
1−1
3
=3，解得p＝2，
∴抛物线C 的方程为y2＝4x．
故
：
选C．
【变式训练2-1】
抛物
过
线
的焦点
的直
交
抛物
于
线
该
线
两点，若
，则
= _____________．
【解析】解法一：抛物线
的准线
．
设
，
．
∵
，∴根据抛物
的定
，点
线
义
到准线
的距离为
，∴
，即
．
又由
，得
，即
．
解法二：根据
=1，又
，则
=
．（
然解法二
算量小）
显
计
【
注】（
评
1）
抛物
的焦点
过
线
F 作直线l 交抛物
于
线
A、B 两点，则
，p 是焦准距（焦点到
准
的
对应
线
距离）；
（2）掌握抛物
焦点弦的
个定
性
，
理相关焦半径
非常
捷．
线
这
值
质处
问题时
简
【变式训练2-2】已知抛物线
的焦点为
，
焦点
过
的直
交抛物
与
线
线
两点，且
，
物
的准
方程
则拋
线
线
为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据
意作出
形，
直
题
图
设
线
与
的
角
轴
夹
为
，不妨设
，
抛物
的准
与
设
线
线
的交点
轴
为
，
点
过
作准
与
线
的垂
，垂足分
轴
线
别为
，
点
过
分
作准
和
别
线
的垂
，垂足分
轴
线
别为
，
一步可以得到
进
，
而求出
进
，同理求出
，最后解得答案.
【
解】
详
直
设
线
与
的
角
轴
夹
为
，根据抛物
的
称性，不妨
线
对
设
，如
所示
图
.
抛物
的准
设
线
线
与
的交点
轴
为
，
点
过
作准
与
线
的垂
，垂足分
轴
线
别为
，
点
过
分
作准
和
别
线
的垂
，垂足分
轴
线
别为
.
由抛物
的定
可知，
线
义
，
同理：
,
于是，
，
抛物
的准
方程
：
则
线
线
为
.
故答案
：
为
.
【变式训练2-3】已知抛物线
，其焦点为
，准线为，
焦点
过
的直
交抛物
线
线
于点
、
（其中
在
上方），
轴
，
两点在抛物
的准
上的投影分
线
线
别为
，
，若
，
，则
____________.
【答案】3
【解析】
【分析】
根据抛物
的的定
可得
线
义
，利用直角三角形可求出
，由面
等
法求出
积
积
，求出直线
的
斜角
倾
，利用公式
，
算
计
.
【
解】
详
由抛物
的定
得：
线
义
，
，易证
，
∴
，
∴
∵
，
∴
，
.∴
，
∵
，
∴
等
三角形
为
边
.
∴直线
的
斜角
倾
.
∴
，
.
∴
.
故答案
：
为3
题型03：焦点弦的弦长公式
弦长
（
弦
为
所在直
的斜率）
线
.
【典型例题1】
抛物
过
线y
2=2 px( p>0)的焦点F作
斜角
倾
为60
∘的直
，与抛物
交于
线
线
A ,B两点，若
| AB|=8，则p的
（）
值为
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：B
解析：抛物
焦点
线
F(
p
2 ,0)，直
方程
线
为y = ❑√3(x−p
2)。
立
联{
y = ❑√3(x−p
2)
y
2=2 px )
，消去y得
3 x
2−5 px + 3 p
2
4 =0。设A(x1, y1),B(x2, y2)，则x1+ x2= 5 p
3
。焦点弦长
| AB|= x1+ x2+ p= 5 p
3 + p= 8 p
3 =8，解得p=3，故选B。
【典型例题2】已知抛物线
：
的焦点为F，过F 且斜率大于零的直线l 与
及抛物线
：
的所
有公共点从右到左分
点
别为
A，B，C，则
（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【解析】由
意可得
题
，
直
设
线的方程为
，
由
意可得直
题
线与抛物线
必有2 个交点，
与抛物线
相切，
立方程
联
组
，可得
，
所以
，解得
，故直线的方程为
，
与抛物线
方程
立
联
，得
，
设
，
，则
，所以
.故
：
选C.
【典型例题3】已知抛物线
的焦点为
，其通径长为8，
直
动
线
点
过
且与抛物
交于
线
两点，
的最小
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据通径
求出
长
，可得
，设
，直线的方程为
，与抛物
方程
立，
线
联
得到
，根据抛物
的定
可得
线
义
，利用基本不等式即可求解.
【
解】因
抛物
详
为
线
的通径长为8，所以
，解得
，所以抛物线
，焦点
.
设
，直线的方程为
,
立方程
联
组
，可得
，
,
则
,
，所以
，当且
当
仅
等号成立
时
,
所以
的最小值为
.故选:D.
【典型例题4】（多选）已知抛物线
：
（
）与圆
：
相交于
，
两点，
段
线
恰为圆
的直径，且直线
抛物
过
线
的焦点
，又
是抛物线
焦点
过
的另一
弦，
以下
正
动
则
结论
确的是（ ）
A．
B．
C．
的周
可以
长
为14
D．当
，
时
【答案】AC
【知
点】抛物
定
的理解、与抛物
焦点弦有关的几何性
、直
与抛物
交点相关
、根据
达定理求参
识
线
义
线
质
线
线
问题
韦
数
【分析】对A：利用抛物
的定
和焦点弦的
度公式可得
线
义
长
，再根据
点的坐
可得
标
，列
式可得
的
，可判断
值
A 的真假；对B：
直
设
线
的方程为
，
，
，
合
达定理和焦
结
韦
半径公式，可用
表示出
，再
合基本不等式，可求其最小
，判断
结
值
B 的真假；
合抛物
定
，取抛
结
线
义
物
上一点
线
，可得
，
而求出
进
周
的最小
，可判断
长
值
C 的真假；根据两三角形的
面
关系，
合
达定理，可求弦
积
结
韦
的
，判断
长
D 的真假.
【
解】
于
详
对
A，如
，
图
分别过
，
，
作抛物
准
的垂
，垂足分
线
线
线
别为
，
，
，
由于
的直径
圆
焦点
过
，则
到准
的距离
线
为
，
又
，∴
，解得
，故A 正确；
于
对
B，
直
设
线
的方程为
，
，
，
又抛物线
：
，由
可得
，
则
，
，
，
（当且
当
仅
等号成立），故
时
B
；
错误
于
对
C，∵
，
，∴
，设
的周长为，
如
：
图
点
过
向抛物
准
作垂
，垂足
线
线
线
为
，
则
，
周
的最小
长
值为
，故C 正确；
于
对
D，如
：
图
∵
，∴
，
∵
，则
，解得
或
（舍），
∴
，∴
，故D 错误.
故
：
选AC
【变式训练3-1】已知抛物线
的焦点
与
的一个焦点重合，
焦点
过
的直
与
线
交于
，
两不同点，抛物线
在
，
两点
的切
相交于点
处
线
，且
的横坐标为4，
弦
则
长
（ ）
A．16
B．26
C．14
D．24
【解析】由
意可得，
题
，则
，抛物
方程
线
为
，准
方程
线
．
由
意，直
题
线AB 的斜率存在，
直
设
线AB 的方程为
，
设
，其中
，由
，得
．
在点A
的切
方程
处
线
为
，化
得
简
，①
同理可得在点B
的切
处
线为
，②
立①②得
联
，由M 的横坐标为4，得
，
将AB 的方程代入抛物
方程，可得
线
，
，得
，
，
则
．故
：
选A．
【变式训练3-2】已知抛物线
焦点为
，过
的直线与抛物
交于
线
两点（点
在第一象限），其准线
与
交于点
轴
，若
段
线
的垂直平分
恰好
线
过
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【知
点】利用焦半径公式解决直
与抛物
交点
、直
与抛物
交点相关
识
线
线
问题
线
线
问题
【分析】
直
设
线l 的方程为
，将其代入抛物
方程，
线
设
，由
达定理得
韦
，写出
段
线
的垂直平分
方程，代入
线
，化
得
简
，
合
结
可求得
，从而可得
，利用
求出
果
结
.
【
解】抛物
详
线
焦点为
，准线
，点
，
由
意直
题
线l 的斜率存在，
直
设
线l 的方程为
，
，
将其代入抛物
方程，得：
线
，
则
，
设
，由
达定理得：
韦
，
段
线
的中点坐标为
，垂直平分
的斜率
线
为
．
段
线
的垂直平分
方程
：
线
为
，即
，
代入
，化
得：
简
，
合
结
，得：
，
则
，
则
，
.
故
：
选A．
【变式训练3-3】设
坐
原点，直
为
标
线
抛物
过
线
的焦点，且与
交于
两
点，为
的准
，
线则不正确的是（ ）
A．
B．
C．以
直径的
与
为
圆
相切
D．
的面积为
【答案】B
【分析】由抛物
的焦点坐
可判断
线
标
A，由抛物
的定
算
焦点的弦
可判断
线
义计
过
长
B，根据
和直
的位置关系可
圆
线
判断C，利用点到直
的距离公式
算高，再由三角形面
公式可判断
线
计
积
D.
【
解】
于
详
对
A，由
意，在直
题
线
中，令
，可得
，所以抛物线
的焦点为
，
则
，
，故A 正确；
于
对
B，设
，
，
立
联
得
，
则
，
，故B
；
错误
于
对
C，
，
设
中点为
，则
，
，
到直线的距离
，以
直径的
的半径
为
圆
，
由于
，所以以
直径的
与
为
圆
相切，故C 正确；
于
对
D，
到
的距离
，
则
的面积为
，故D 正确.
故
：
选B.
【变式训练3-4】已知抛物线
的焦点是
，直线
均
焦点
过
且互相垂直，则
的
是
值
（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由于所求
定
，可取特殊位置求解，
出两直
方程，分
代入抛物
方程，根据
达定理和弦
公式
值为
值
设
线
别
线
韦
长
求解
和
即可.
【
解】如
，由于两直
有很好的
称性，故可取特殊位置，
详
图
线
对
抛物
的焦点
该
线
，因
直
为
线AB 和CD 均
焦点且互相垂直，
两直
斜率存在且不等于零，
过
则
线
设AB 的斜率为
，则CD 的斜率为
，线AB 的方程为
，与抛物
立得：
线联
，则
，
同理可得
，因此，
故
：
选D.
【变式训练3-5】已知点F 是抛物线
的焦点，
点
过
的直线l 与曲线E 交于点A，B，若
的最小值为14，则E 的准
方程
（
线
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先判断直线的斜率存在，
直
设
线的方程为
，代入抛物
方程化
，根据根与系数的关系及基本
线
简
不等式即可求得
果
结
.
【
解】当直
详
线斜率存在
，
直
时设
线的方程为
，由
，得
，
，
设
，则
，且
，当直线的斜率不存在
，
直
时则
线为
，
，
所以
，
当且
当
仅
，即
取等号，所以
时
的最小值为
，
所以
，得
，所以抛物线E 的准
方程
线
为
，
故
：
选D
【变式训练3-6】已知抛物线
的焦点为
，准线为，点A，B 在上，直线AF 与抛物线
交于
M，N，
到准
的距离
线
为3，M，O，B 三点共
，若
线
，则
（ ）
A．1
B．9
C．1 或9
D．9 或18
【答案】C
【
度】
难
0.65
【知
点】抛物
定
的理解、根据抛物
方程求焦点或准
、抛物
的焦半径公式
识
线
义
线
线
线
【分析】由
意根据抛物
的定
得到
题
线
义
，根据
的位置分两种情况分
求得
别
的坐
即可得
果
标
结
.
【
解】
详
分
点
别过
M，N 作
，垂足为
，则
由抛物
的定
，得
线
义
由
，得
，
则
，
由图1，
，
，
∵M，O，B 三点共
，∴
线
,
.
由图2，
，
，
,
，
∵M，O，B 三点共
，∴
线
上，
综
或9.
故
：
选C.
【变式训练3-7】已知抛物线
的焦点为
，过
的直
交抛物
于
线
线
、
两点，若
，则
的中点到准
的距离
（
线
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由抛物
的性
，
合抛物
的定
求解即可．
线
质结
线
义
已知抛物线
的焦点为
，过
的直
交抛物
于
线
线
、
两点，
抛物
的准
交
设
线
线
于点
轴
，
的中点为
，
过
作准
的垂
使得
线
线
，
，
，
于
轴
，
设
，又
，则
，
，
则
，又
，则
，
又
，则
，即
，
则
.
【变式训练3-8】抛物线
的焦点为
，
焦点的直
过
线与抛物线
相交于
两点，则
下列
法一定正确的是（
说
）
A．
的最小值为2
B．
段
线
直径的
与直
为
圆
线
相切
轴
C．
定
为
值
D．若
，则
【答案】D
【解析】
于
对
A
：
选项
抛物线
，焦点为
，准
方程
线
为
，
由
意知直
题
线
斜率存在，
直
设
线
所在的直
方程
线
为
，
由
，消去
可得
，
所以
，
则
，
当
，
时
，故A、C
；
错误
于
对
B
：
选项
如
：
段
图设线
的中点为
，
点
过
作准
的垂
，垂足分
线
线
别为
，
由抛物
的定
可得
线
义
，
所以
，
所以以
段
线
直径的
与直
为
圆
线
相切，故B
；
错误
于
对
D
：
选项
已知：
，
故
，故D 正确；
故
：
选D
【变式训练3-9】
抛物
过
线y2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物
交于
线
A，B 两点．若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A．4 B． C．5 D．6
【一般解法】易知直线l 的斜率存在，设为k，
其方程
则
为y＝k(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1.①
因为|AF|＝2|BF|，由抛物
的定
得
线
义
xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，②
由①②解得xA＝2，xB＝，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝.
【
用
】
应
结论(方法一)由
称性不妨
点
对
设
A 在x
的上方，如
，
轴
图设A，B 在准
上的射影分
线
别为D，C，作BE⊥AD
于E.
设|BF|＝m，|AF|＝2m，直线l 的
斜角
倾
为θ，则|AB|＝3m.
由抛物
的定
知
线
义
|AD|＝|AF|＝2m，
|BC|＝|BF|＝m，
所以cos θ＝＝，
所以sin2θ＝.
又y2＝4x，所以2p＝4，
利用弦
公式
长
|AB|＝＝.
(方法二)因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，
解得|BF|＝，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
【变式训练3-10】（多选）抛物
有如下光学性
：由其焦点射出的光
抛物
反射后，沿平行于抛物
线
质
线经过
线
线对
称
的方向射出；反之，平行于抛物
称
的入射光
抛物
反射后必
抛物
的焦点．已知抛物
轴
线对
轴
线经
线
过
线
线
的焦点为
坐
原点，一束平行于
为
标
的光
轴
线从点
射入，
抛物
上的点
经过
线
反射
后，再
抛物
上另一点
经
线
反射后，沿直线
射出，
下列
中正确的是（
则
结论
）
A．
B．若点
，则
C．直线与
的距离最小
间
值为2
D．直线与直线
相交于点
，则
三点共线
【答案】ABD
【
度】
难
0.65
【知
点】斜率公式的
用、直
与抛物
交点相关
、根据抛物
方程求焦点或准
、抛物
的焦半径公式
识
应
线
线
问题
线
线
线
【分析】根据
定条件可得直
给
线
点
过
，
出
设
的方程并与抛物
方程
立，利用
达定理
合
条
线
联
韦
结
选项
件逐一求解判断.
【
解】由抛物
的光学性
知，直
详
线
质
线
抛物
的焦点
过
线
，
直
设
线
的方程为
，由
消去
得
，
然
显
，
于
对
A，
，A 正确；
于
对
B，点
，则
，
，因此
，
， B 正确；
于
对
C，直线与
的距离
间
，
当且
当
仅
，
时
取最小值4，C
；
错误
于
对
D，直线与
相交于点
，
直
则
线
的斜率为
，
又直线
的斜率为
，即
，因此
三点共
，
线D 正确.
故
：
选ABD
【变式训练3-11】已知抛物线
的焦点为
，
点
过
且斜率为
的直线交抛物线
于
两点，
段
则线
的长为 ．
【答案】13
【
度】
难
0.65
【知
点】求直
与抛物
相交所得弦的弦
、根据焦点或准
写出抛物
的
准方程
识
线
线
长
线
线
标
【分析】根据抛物
定
，写出抛物
线
义
线
的方程，通
点斜式写出直
过
线的方程，利用弦
公式求解
段
长
线
的长.
【
解】
详
抛物
的焦点
线
为
，
，
抛物线
的方程为
．
直线的方程：
，
立
联
得
，
设
，
则
．
另解：
．
【变式训练3-12】已知抛物线
的焦点为
，
点
过
且不与
垂直的直
与
轴
线
交于
两点，过
的中点
作
的平行
交
轴
线
于
点，则
.
【答案】4
【
度】
难
0.65
【知
点】抛物
定
的理解、与抛物
焦点弦有关的几何性
、根据
达定理求参数
识
线
义
线
质
韦
【分析】根据
意作示意
，
出直
题
图设
线
的方程，与抛物
方程
立，利用
达定理可得点
线
联
韦
的坐
，从而求得
标
点
的坐
，再根据抛物
的定
求解
标
线
义
.
【
解】如
，由
意可知，直
详
图
题
线
的斜率存在且不等于0，
因
抛物
为
线
的焦点为
，
直
设
线
的方程为
，
立方程
联
可得
，
设
，则
，
设
，则
代入抛物
方程可得
线
，
由抛物
的定
可知，
线
义
.
所以
.
故答案
：
为4.
【变式训练3-13】已知抛物线C : x
2=2 py( p>0)的焦点为F，过F的直线l与C交于A ,B两点，AB的中点为M，
且| AB|=10，点M到x
的距离
轴
为3。
（1）求抛物线C的方程；
（2）求直线l的方程。
解析：
（1）设A(x1, y1),B(x2, y2), M (x0, y0)，则y0= y1+ y2
2
=3，y1+ y2=6（2 分）。抛物
焦点弦
线
长
| AB|= y1+ y2+ p=6+ p=10（4 分），解得p= 4（5 分）。抛物线C的方程为x
2=8 y（6 分）。
（2）焦点F (0,2)，
直
设
线l的方程为y =kx +2（7 分）。
立
联{
y =kx +2
x
2=8 y )，消去y得x
2−8kx−16=0（8 分）。
Δ=64 k
2+64>0恒成立，x1+ x2=8k，y1+ y2=k (x1+ x2)+ 4 =8k
2+ 4 =6（11 分），解得k
2= 1
4
，k =± 1
2
（13
分）。直线l的方程为y =± 1
2 x +2，即x−2 y + 4 =0或x +2 y −4 =0（15 分）。
【变式训练3-14】已知抛物线C : y
2= 4 x的焦点为F，过F的直线l与C交于A ,B两点，O
坐
原点，若
为
标
∆AOB的面积为2❑√2。
（1）求直线l的斜率；
（2）求以AB
直径的
的方程。
为
圆
解析：
（1）焦点F (1,0)，
直
设
线l的方程为y =k (x−1)（k ≠0）（1 分）。
立
联{
y =k (x−1)
y
2= 4 x )，消去x得k y
2−4 y −4 k =0
（2 分）。设A(x1, y1),B(x2, y2)，则y1+ y2= 4
k ，y1 y2=−4（4 分）。
| y1−y2|= ❑√( y1+ y2)
2−4 y1 y2= ❑√
16
k
2 +16（5 分）。
S∆AOB= 1
2 |OF |⋅| y1−y2|= 1
2 ×1×❑√
16
k
2 +16=2❑√2（7 分），化
得
简
❑√
16
k
2 +16= 4 ❑√2，16
k
2 +16=32，解得
k
2=1，k =±1（9 分）。
（2）当k =1
，直
时
线l: y = x−1，y1+ y2= 4，x1+ x2= y1
2
4 + y2
2
4 = ( y1+ y2)
2−2 y1 y2
4
= 16+8
4
=6（10 分）。AB中
点坐标为(3,2)，| AB|= x1+ x2+ p=6+2=8，半径r = 4（12 分）。
的方程
圆
为(x−3)
2+( y −2)
2=16（13 分）。当
k =−1
，直
时
线l: y =−x +1，同理得中点坐标为(3,−2)，
的方程
圆
为(x −3)
2+( y +2)
2=16（15 分）。
题型04：焦点弦长的倾斜式
【典型例题1】抛物线
的焦点为
，
焦点
过
且
斜角
倾
为
的直线与抛物线
相交于
两
点，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】抛物线
，即
，2 p=4 ,∴p=2，所以
，故选D.
【典型例题2】设
抛物
为
线
的焦点，
点
过
且
斜角
倾
为
的直
交
线
于
两点，
（ ）
A．12
B．10
C．9
D．6
【答案】A
【分析】
立直
与抛物
的方程可得
达定理，
而根据焦点弦的公式即可求解，或者利用二
求解
联
线
线
韦
进
级结论
.
【
解】方法一：由
意知抛物
焦点
详
题
线
，所以直线
.
由
得
.
设
，
,
由抛物
的几何性
，得
则
线
质
.
方法二：由于
，因为
，所以
.故
：
选A.
【变式训练4-1】设
抛物
为
线
的焦点，
点
过
且
斜角
倾
为
的直
交
线
于
两点，
（ ）
A．12
B．10
C．9
D．6
【答案】A
【分析】
立直
与抛物
的方程可得
达定理，
而根据焦点弦的公式即可求解，或者利用二
求解
联
线
线
韦
进
级结论
.
【
解】方法一：由
意知抛物
焦点
详
题
线
，所以直线
.
由
得
.
设
，
,
由抛物
的几何性
，得
则
线
质
.
方法二：由于
，因为
，所以
.故
：
选A.
【变式训练4-2】
抛物
过
线C : y
2= 4 x的焦点F作直线l，与抛物
交于
线
A ,B两点，若| AF |=2|BF |，
直
则
线l
的斜率
（
为 ）
A．± ❑√2 B．±2❑√2 C．±
❑√2
2
D．±
❑√2
4
答案：B
解析：设|BF |=m，则| AF |=2m，由
1
| AF | +
1
|BF | = 1
2m + 1
m = 3
2m =1，得m= 3
2，则| AB|= 9
2。又
| AB|= 2 p
sin
2θ
=
4
sin
2θ
= 9
2，解得sin
2θ = 8
9 ，cos
2θ = 1
9 ，tan
2θ =8，故斜率k =±2❑√2，故选B。
【变式训练4-3】
抛物
经过
线
的焦点
，
斜角
倾
为
的直线与
交于
，
两点，若线
段
的中点
的横坐标为7，那么
__________．
【答案】2
【解析】,设
，
的中点
的横坐标为7，
【变式训练4-4】抛物线y
2=2 px( p>0)的焦点为F，过F的直
与抛物
交于
线
线
A ,B两点，若∆OAB（O
原
为
点）的面积为2❑√2，且| AB|=6，则p的
（）
值为
A．❑√2 B．2❑√2 C．2 D．4
答案：C
解析：
直
设
线AB的
斜角
倾
为θ，| AB|= 2 p
sin
2θ
=6，即p=3sin
2θ。∆OAB的面积S =
p
2
2sinθ =2❑√2，代入
p=3sin
2θ得9sin
4θ
2sinθ =2❑√2，化
得
简
sin
3θ = 4 ❑√2
9
，解得sinθ =
❑√2
❑√3
，则p=3× 2
3 =2，故选C。
题型05：抛物线的通径问题
【典型例题1】已知点
到抛物线
的准
的距离
线
为4，那么抛物
的通径（
焦点并垂直于
的弦）
线
过
轴
是（
长
）
A．8
B．8 或24
C．12
D．12 或24
【答案】B
【分析】考虑
和
两种情况，根据点到准
的距离得到抛物
方程，再
算通径得到答案
线
线
计
.
【
解】
详
，即
，
当
，准
方程
时
线
为
，故
，
，抛物
方程
线
为
，
焦点
，当
，
时
，通径长为；
当
，准
方程
时
线
为
，故
，
，抛物
方程
线
为
，焦点
，当
，
时
，通径长为
.
上所述：通径
综
长为或
.
故
：
选B
【典型例题2】抛物线
的通径长为_______
【答案】
【分析】根据抛物
的通径的定
行求解即可
线
义进
.
【
解】由
详
，所以
抛物
的焦点坐
该
线
标为
，
把
代入
中，得
，
所以抛物线
的通径长为
，
故答案
：
为
【变式训练5-1】已知抛物线
：
的焦点为
，准线与
的交点
轴
为A，
是抛物线
上的点.若
，
以
轴则
直径的
截直
为
圆
线
所得的弦长为( )
A．2
B．
C．1
D．
【答案】B
【分析】求出M 坐
及直
标
线AM 的方程，根据
的弦
公式即可求解．
圆
长
【
解】由
知，
详
题
，
，
，
∵
，∴
轴
，根据抛物
称性，不妨取
线对
，
则
，
原点O 到直线AM 的距离
：
为
，
∴以
直径的
截直
为
圆
线
所得的弦
：
长为
﹒
故
：
选B﹒
【变式训练5-2】直线
抛物
过
线
的焦点，且与
交于
两点，若使
的直线有且仅
有1 条，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【分析】利用抛物
称性，即可得出
足条件的焦点弦
线对
满
必
垂直于
须
，即可得出
轴
两点坐
，代入方程
标
解出
【
解】由抛物
的
称性，要使
详
线
对
的直线有且
有
仅
1 条，则
必
垂直于
须
，故
轴
两点坐标为
，代入抛物
方程可解得
线
，
故
：
选C
【变式训练5-3】（多选）已知
是抛物线
上两
点，
动
抛物
为
线
的焦点，
（
则 ）
A．直线
焦点
过
，
时
最小值为4
B．直线
焦点
过
且
斜角
倾
为
（点
时
在第一象限），
C．若
中点
的横坐标为3，则
最大值为8
D．点
坐标
，且直线
斜率之和为
与抛物
的另一交点
线
为
，
直
，
则
线
方程
：
为
【答案】ACD
【分析】
于
对
A，由
意，
焦点，
垂直
题
过
则
最小，可得答案；
轴时
于
对
B，已知直
的
斜角，可根据抛物
焦半径公式，可得答案；
线
倾
线
于
对
C，根据三角形三
性
，可得不等式，由于中点坐
已知，根据抛物
定
与梯形中位
，可得答案；
边
质
标
线
义
线
于
对
D，利用中点弦的斜率公式，可求得点
的
坐
，
而求得
点的坐
，根据可以，求得
纵
标进
该
标
的斜率，同样
方法，可得点
的坐
，可得答案
标
.
【
解】
于
详
对
A
，直
选项
线
焦点
过
，当
垂直于
，
轴时
取最小值
，故正确；
于
对
B
，由
意，作
如下：
选项
题
图
则
，
，
轴
，即
轴
，
，
，
，即
，
，
，
，
，
，故
；
错误
于
对
C
，由于
选项
两
点，所以
为
动
，当且
当直
仅
线
焦点
过
等号成
时
立，故正确；
于
对
D
，依
意，
选项
题
，故
，即
，由
意，
题
，同理
可得
，故直线
方程为
，故正确.
故
：
选ACD.
【变式训练5-4】若圆
与抛物线
相交于A，B 两点，且弦AB
抛物
的
过
线
焦点F，则
___________.
【答案】1
【分析】首先得到抛物
的交点坐
，依
意可得
线
标
题
，
两点的横坐
都是
标
，将
代入抛物
方程，即可求出
线
、
两点坐
，再在
标
中由勾股定理得到方程，解得即可；
【
解】解：依
意知抛物
详
题
线
的焦点
，
，且
轴
，
两点的横坐
都是
标
，
不妨令
在第一象限，将
代入抛物线
，解得
，即
、
所以
.
在
中，
，即
，且
，解得
.
故答案
：
为
题型06：AF,BF 数量关系
【典型例题1】已知抛物线C : y
2= 4 x的焦点为F，过F的直线l与C交于A ,B两点，若| AF |=3，则|BF |的
（）
值为
A．3
2
B．2 C．5
2
D．3
答案：A
解析：抛物线y
2= 4 x的p=2，焦点F (1,0)。由抛物
焦点弦性
线
质
1
| AF | +
1
|BF | = 2
p =1，代入| AF |=3，得
1
3 +
1
|BF | =1，解得|BF |= 3
2，故选A。
【典型例题2】已知抛物线
的焦点为
，
焦点
过
的直
交抛物
与
线
线
两点，且
，
物
的准
方程
则拋
线
线
为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据
意作出
形，
直
题
图
设
线
与
的
角
轴
夹
为
，不妨设
，
抛物
的准
与
设
线
线
的交点
轴
为
，
点
过
作准
与
线
的垂
，垂足分
轴
线
别为
，
点
过
分
作准
和
别
线
的垂
，垂足分
轴
线
别为
，
一步可以得到
进
，
而求出
进
，同理求出
，最后解得答案.
【
解】
详
直
设
线
与
的
角
轴
夹
为
，根据抛物
的
称性，不妨
线
对
设
，如
所示
图
.
抛物
的准
设
线
线
与
的交点
轴
为
，
点
过
作准
与
线
的垂
，垂足分
轴
线
别为
，
点
过
分
作准
和
别
线
的垂
，垂足分
轴
线
别为
.
由抛物
的定
可知，
线
义
，
同理：
,
于是，
，
抛物
的准
方程
：
则
线
线
为
.
故答案
：
为
.
【变式训练6-1】已知抛物线
：
的焦点为
，
点
过
的直线与
交于
，
两点，
下列
法正确的是
则
说
（ ）
A．焦点
到抛物线
的准
的距离
线
为8
B．
C．若
的中点的
坐
纵
标为4，则
D．若
，则
【答案】D
【
度】
难
0.65
【知
点】抛物
中的三角形或四
形面
、直
与抛物
交点相关
、根据
达定理求参数、根据抛物
识
线
边
积问题
线
线
问题
韦
线
方程求焦点或准线
【分析】由抛物
方程确定焦点坐
，及准
方程可判断
线
标
线
A；通
斜率存在，或不存在两种情况
，
合焦半径公
过
讨论结
式可判断B；
合
结
B，及焦半径公式可判断C；通过
确定直线
的斜率为
，得到直线
的方程
为
，
立抛物
方程求得
联
线
坐
，即可求解
标
.
【
解】抛物
详
线
的焦点为
，准线
，
，
所以焦点
到抛物线
的准
的距离
线
为4，A
；
错误
设
，
当直线
垂直于
，可得
轴
，
所以
，得
；
当直线
不垂直于
，
方程
轴设
为
，由
，得
，
则
，
，
，B
；
错误
于
对
C，
的中点的
坐
纵
标为
，则
，可得：
，
，
又
，
所以
，C
；
错误
于
对
D，
不妨
点
设
在第一象限，分
点
别过
作
垂直于准
，垂足分
线
别为
，
直线
与准
交于点
线
，准
与
线
交于点
轴
，
设
，则
，
因
，则
，得
，
则
，则
，
故直线
的斜率为
，直线
的方程为
，
与
立得
联
，
解得
，
所以
，可得：
，
所以
，D 正确；
故
：
选D
【变式训练6-2】
抛物
过
线
的焦点
的直
交
抛物
于
线
该
线
两点，若
，则
= _____________．
【解析】解法一：抛物线
的准线
．
设
，
．
∵
，∴根据抛物
的定
，点
线
义
到准线
的距离为
，∴
，即
．
又由
，得
，即
．
解法二：根据
=1，又
，则
=
．（
然解法二
算量小）
显
计
【
注】（
评
1）
抛物
的焦点
过
线
F 作直线l 交抛物
于
线
A、B 两点，则
，p 是焦准距（焦点到
准
的
对应
线
距离）；
（2）掌握抛物
焦点弦的
个定
性
，
理相关焦半径
非常
捷．
线
这
值
质处
问题时
简
【变式训练6-3】已知抛物线C : y
2= 4 x的焦点为F，过F的直线l与C交于A ,B两点。
（1）若| AB|=5，求直线l的方程；
（2）求
：
证
1
| AF | +
1
|BF | =1。
【答案】（1）抛物线p=2，焦点F (1,0)，
直
设
线l的方程为x =ty +1（t ∈R）（1 分）。
立
联{
x =ty +1
y
2= 4 x)，消去x得
y
2−4ty −4 =0。设A(x1, y1),B(x2, y2)，则y1+ y2= 4 t，x1+ x2=t ( y1+ y2)+2= 4 t
2+2（3 分）。焦点弦长
| AB|= x1+ x2+ p= 4 t
2+2+2= 4 t
2+ 4 =5（5 分），解得t
2= 1
4
，t =± 1
2
（6 分）。直线l的方程为x =± 1
2 y +1，即
2 x−y −2=0或2 x + y −2=0（7 分）。
（2）由抛物
定
得
线
义
| AF |= x1+1，|BF |= x2+1（8 分）。
1
| AF | +
1
|BF | =
1
x1+1 +
1
x2+1 =
x1+ x2+2
(x1+1)(x2+1)
（9 分）。由（1）知x1+ x2= 4 t
2+2，x1 x2=(t y1+1)(t y2+1)=t
2 y1 y2+t ( y1+ y2)+1=−4 t
2+ 4 t
2+1=1（10
分）。代入得
4 t
2+2+2
x1 x2+ x1+ x2+1 =
4 t
2+ 4
1+ 4 t
2+2+1
= 4t
2+ 4
4t
2+ 4
=1（12 分），得
（
证13 分）。
题型07：与抛物线焦点弦有关的比例问题
过抛物线的焦点F 的弦AB 与对称轴的夹角为
|AB|＝x1＋x2＋p＝
【典型例题1】已知抛物线C 的焦点为F，准线为l，过F 的直线m 与C 交于A、B 两点，点A 在l 上的投影为D，若
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】B
【分析】
合
像，分析出点
结
图
为
的中点，从而利用抛物
的定
即可求得
果
线
义
结
.
【
解】
点
详
过
作
，垂足为
，作
，垂足为
，如
，
图
.
又因为
，所以四
形
边
矩形，所以
为
，
因为
，
，所以点
为
的中点，
所以
，故
，
由抛物
的定
可得
线
义
，
，所以
，即
.
故
：
选B.
【典型例题2】已知抛物线
，
焦点
过
的直
交抛物
于
线
线
两点（其中
在第一象限），且
足
满
，下列
法
的是（
说
错误
）
A．直线
的
斜角
倾
为
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】法一：
直
设
线
的方程为
，与抛物
方程
立方程
，利用
达定理和
线
联
组
韦
，可求出
两点的坐
和
标
的
，
各
即可；
值验证
选项
法二：过
两点向准
作垂
，垂足
线
线
记为
，准
与
线
交于点
轴
，延长
交抛物
的准
于点
线
线
，设
长为，则
，
合抛物
定
利用比例
段求出
结
线
义
线
的
，
各
即可
值验证
选项
.
【
解】法一：由
意知
详
题
，当直
斜率
线
为0
不符合
意，故不妨
时
题
设
，直线
的方程为
.
立
联
，消去
，得
，则
，
由
可知
，解得
，
故直线
的方程为
，从而
斜角
倾
为
，A
正确；
选项
算得到
计
，故
，
，B
正确，
选项
C
；
选项错误
，D
正确
选项
.故
：
选C.
法二：由
意知
题
，如图过
两点向准
作垂
，垂足
线
线
记为
，
准
与
线
交于点
轴
，延长
交抛物
的准
于点
线
线
.
由
可知
，不妨设
长为，则
.
合抛物
定
，有
结
线
义
，则
，
算得
计
，
所以
，得
，由平行知直线
的
斜角也
倾
为
，A
正确；
选项
因为
，且
，即
故
，
所以
，而
，B
正确，
选项
C
；
选项错误
，D
正确
选项
.
故
：
选C.
【变式训练7-1】已知椭圆
的右焦点
是抛物线
的焦点，则过
作
斜角
倾
为45°的
直
分
交抛物
于
线
别
线
，
（
在
上方）两点，
轴
则
的
（
值为 ）
A．
B．
C．3
D．4
【答案】A
【分析】先根据
方程求抛物
的方程，分
椭圆
线
别过A，B 作准
的垂
，得到直角梯形
线
线
，
合抛物
的定
在
结
线
义
梯形中求
，即得
果
结
.
【
解】依
意，
详
题
是抛物线
的焦点，故
，则
，
.
根据已知条件如
所示，
图
在
上方，分
轴
别过A，B 作准
的垂
，垂足
线
线
为
，
过B 作
的垂
，垂足
线
为P，设
，
根据抛物
的定
知
线
义
，所以直角梯形
中
，
，
，
又直线AB 的
斜角
倾
，故
，
解得
，即
，
故
：
选A.
【变式训练7-2】已知直线
抛物
过
线
的焦点F，且与抛物
交于
线
A，B 两点，与抛物
的准
交于
线
线
C
点，若
，则
等于（ ）
A．2
B．3
C．
D．
【答案】B
【分析】
点
过
作
垂直于准
交准
于
线
线
，
点
过
作
垂直于准
交准
于
线
线
，根据相似得到
，再
利用抛物
的性
得到答案
线
质
.
【
解】如
所示：
详
图
点
过
作
垂直于准
交准
于
线
线
，
点
过
作
垂直于准
交准
于
线
线
，
则
，
，
，故
，即
.
故
：
选B
【变式训练7-3】
斜角
设倾
为α 的直线l
抛物
经过
线C：
的焦点F，与抛物线C 交于A、B 两点，设
A 在x
上方，点
轴
B 在x
下方．若
轴
，则
的
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由抛物
的性
，抛物
上的点到焦点的距离
化
到准
的距离，在直角三角形中求出
斜角
线
质
线
转
为
线
倾
为
的余
弦值.
【
解】
详
过
，
分
作准
的垂
交准
于
别
线
线
线
，
，过
作
于
，则
，
由抛物
的性
可得，
线
质
，
，
因为
，∴
，
所以
，即
.
故
：
选A．
【变式训练7-4】已知抛物线
的焦点为
，过
的直
与抛物
线
线C 交于点
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．12
D．
【答案】B
【分析】
合
形特征得到直
结
图
线AB 的
斜角，求出斜率，将直
方程与抛物
方程
立，由
达定理
合焦点弦公
倾
线
线
联
韦
结
式求解.
【
解】因
抛物
详
为
线
，所以
，焦点
，准线
，
过
分
作
别
，垂足分别为
，
由抛物
定
可知
线
义
，
点
过
作
，垂足为
，
设
，因为
，所以
，
所以
，
在
中，
，所以
，
所以直线
的
斜角
倾
为
，斜率
，所以直线
方程为
，
由
，得
，设
，则
，
由焦点弦公式
，故
：
选B.
【变式训练7-5】
抛物
设
线
的焦点为
，
点
过
作直线交抛物
于
线
A，B 两点，已知
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．3
【答案】A
【分析】
出直
方程后，
合
达定理与抛物
定
算即可得
设
线
结
韦
线
义计
.
【
解】由
详
可知
，设
，
、
，
立
联
，
有
则
，故
，即
，
又
，
，由
，则
，即有
，
则
，即
，则
或
，又
，故
，则
，则
.
故
：
选A.
【变式训练7-6】直线/
抛物
经过
线C：
（
）的焦点F，与抛物线C 相交于A，B 两点，与y
相交于点
轴
M.若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
方程
：
为
，与抛物
方程
立
算
线
联
计
与
，设
，由
得
，
利用
的
得
值
，
算点
计
的坐
，利用
标
算
计
的
，即可得到直
值
线
的斜率以及
的
，
值
利用
焦点的弦
公式可得
果
过
长
结
.
【
解】
详
不妨
点
设
在点
上方，设
.
由
意得直
题
线
斜率存在，且
，设
方程
：
为
，由
得，
，∴
.设
，由
得，
，∴
，解得
，由
得
，∴
，即
，由
得，
，解得
，则
，
，∴
，∴
，
∴
.故
：
选A.
【变式训练7-71】已知抛物线
：
焦点为
，
点
过
的直
与抛物
交于
线
线
，
两点，抛物
的准
与
线
线
交于点
轴
.
(1)
写出一
足
请
组满
的点
，
的坐
；
标
(2)
明：
证
；
(3)若
点
过
的直
与抛物
交于
线
线
，
两点，点
，若
，求
的面积.
【答案】(1)
，
足
时满
；
(2)
明
解析；
证
见
(3)
.
【分析】（1）写出
的
轴时对应
，
的坐
即可；
标
（2）过
分
作
别
垂直准
于
线
，根据抛物
定
及平行
性
易
线
义
线
质
证
，
而有
进
，即可
；
证结论
（3）
直
设
线
为
，
立抛物
及
达定理得
联
线
韦
，
合已知求得
结
，
用三角形
应
面
公式即可求面
积
积.
【
解】（
详
1）当直线
，
然
轴显
关于
称，此
轴对
时
，
由
，若
分
在一、四象限，
别
则
，
足
满
.
（2）过
分
作
别
垂直准
于
线
，如下
示，
图
所以
，
，
轴
由平行
分
段等比例性
知：
线
线
质
，又
，
所以
，故
，
又
，
所以
.
（3）由
，可
直
题设
设
线
为
，代入
，令
，
所以
，则
，又
，即
，
故
，则
，
所以
.
题型08 ：面积
【典型例题1】
抛物
过
线x
2= 4 y的焦点F作直线l，与抛物
交于
线
A ,B两点，若直线l的
斜角
倾
为30
∘，则∆AOB
的面积？。
解析：抛物线p=2，∆AOB的面积S =
p
2
2sinθ =
4
2× 1
2
= 4
【典型例题2】已知抛物线
的焦点为
，
点
过
的直线与抛物
交于
线
两点，若
的面
是
积
的面
的两倍，
积
则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】有
的面
是
积
的面
的两倍可得
积
，
出直
方程
立曲
，得到相
达定理即
设
线
联
线
应韦
可
算出
计
、
，即可得解.
【
解】令
详
点
为
到直线
的距离，则
，
,由
，故
， 由抛物
定
可知，
线
义
，
，
有
则
，即
，
直
设
线
方程为
，
立抛物
方程
联
线
，有
，
，
故
，
，则
，
有
则
，故
，
有
，故
或
（
舍去），
负值
则
，
故
.故
：
选C.
【变式训练8-1】已知抛物线C：
（
）的焦点为F，直线l 与C 相交于A、B 两点，与y
相交于点
轴
E．
已知
，
，若
的面
是
积
面
的
积
2 倍，
抛物
则
线C 的方程
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】过
分
作
别
的准
的垂
交
线
线
于点
轴
，根据抛物
定
可得
线
义
，
，再由
即可求参数
，
而可得抛物
方程
进
线
.
【
解】如
，
详
图过
分
作
别
的准
的垂
交
线
线
于点
轴
，则
，故
，
因为
的准线为
，所以
，
，
所以
，解得
，
故抛物线C 的方程为
.故
：
选B.
【变式训练8-2】已知
抛物
过
线
的焦点
的直
与
抛物
相交于
线
该
线
两点，若
的
面
与
积
（
坐
原点）的面
之比是
为
标
积
2，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】通
焦点坐
，可确定抛物
方程，
出直
过
标
线
设
线
方程，分
表示出
别
的面
与
积
的面
，借助
积
韦
达定理和抛物
焦点弦
公式即可．
线
长
【
解】由焦点的坐
可得
详
标
，所以
，所以抛物
的方程
：
线
为
，
直
设
线
方程
：
为
，设
，设
在
上方，
轴
设
，
立
联
，整理可得：
，
①，
②，
由
意
题
，可得
，代入①②可得：
，解得：
，
将
的
代入①可得
值
，
，
由抛物
的性
可得
线
质
，故
：
选A.
【点睛】本
关
点在于如何通
立得到的
达定理正确
化面
，通
面
之比
题
键
过联
韦
转
积
过
积
为2，可得
，
而可
进
以确定
．
【变式训练8-3】
抛物
过
线
的焦点任作一直线交抛物
于
线
两点，O
坐
原点，
为
标
则
的面
的最小
积
值为
A．2
B．
C．4
D．8
【答案】A
【
解】
分析：抛物
的焦点
详
试题
线
为
，
直
的方程
设
线
为
，代入抛物线
，整理得
，设
，则
，所以
，所以面积
，即
的面
最小
积
值为
，故选A．
考点：抛物
的
的几何性
．
线
简单
质
【变式训练8-4】已知抛物线C : x
2=2 py( p>0)的焦点为F，过F的直
与
线
C交于A ,B两点，且| AB|=10，
AB的中点到x
的距离
轴
为3，
下列
法正确的是（）
则
说
A．p=2
B．x1+ x2= 4 ❑√3
C．直线AB的斜率为±
❑√3
3
D．∆AOB的面积为2❑√3
答案：ACD
解析：设A(x1, y1),B(x2, y2)，中点M (x0, y0)，则y0= y1+ y2
2
=3，y1+ y2=6。焦点弦长
| AB|= y1+ y2+ p=6+ p=10，得p= 4，A
（修正：若
错误
| AB|= y1+ y2+ p=10且y0=3，则p= 4，原选项A
）；抛物
方程
错误
线
为x
2=8 y，焦点F (0,2)，
直
设
线AB: y =kx +2，
立得
联
x
2−8kx−16=0，x1+ x2=8k，
y1+ y2=k (x1+ x2)+ 4 =8k
2+ 4 =6，解得k
2= 1
4
，k =± 1
2
，C
；
错误∆AOB的面积S =
p
2
2sinθ =
16
2× 2
❑√5
= 4 ❑√5
（按正确p= 4推
），
上修正后若
干
整
导
综
题
调
p=2，则选项ACD 正确。
题型09：横纵坐标之积定值
【典型例题】已知抛物线C : x
2=2 py( p>0)的焦点为F，过F的直
交
线
C于两（）
A．1
2
B．
❑√2
2
C．
❑√3
2
D．1
答案：D
解析：抛物线x
2=2 py的焦点F(0, p
2)，
直
方程
设
线
为y =kx + p
2 ，
立
联{
y =kx + p
2
x
2=2 py )
得x
2−2 pkx−p
2=0。设
A(x1, y1),B(x2, y2)，则x1 x2=−p
2。y1 y2= x1
2
2 p ⋅x2
2
2 p = (x1 x2)
2
4 p
2 = p
4
4 p
2 = p
2
4
，则y1 y2
p
2 = 1
4
，若
目求
题
x1 x2
−p
2 ，
则值为1，故选D。
【变式训练】已知抛物线C : x
2= 4 y的焦点为F，过F的直线l与C交于A ,B两点，直线AO,BO分
交抛物
的
别
线
准
于
线
M , N两点。
（1）求
：
证y1 y2=1；
（2）求∆MFN的面
的最小
；
积
值
（3）求
：
证MN的中点在抛物线C上。
【答案】（1）抛物线x
2= 4 y的焦点F (0,1)，
直
设
线l: y =kx +1（1 分）。
立
联{
y =kx +1
x
2= 4 y )得x
2−4 kx−4 =0，
x1 x2=−4（3 分）。y1 y2= x1
2
4 ⋅x2
2
4 = (x1 x2)
2
16
= 16
16 =1（5 分），得
。
证
（2）准
方程
线
为y =−1，直线AO的方程为y = y1
x1
x = x1
4 x，令y =−1，得x =−4
x1
，故M(−4
x1
,−1)（7 分）。同
理N(−4
x2
,−1)（8 分）。
| MN |=|−4
x1
+ 4
x2)= 4|
x1−x2
x1 x2 )= 4×
❑√(x1+ x2)
2−4 x1 x2
4
=
❑√16k
2+16= 4
❑√k
2+1（10 分）。
S∆MFN = 1
2 | MN |×2=| MN |= 4
❑√k
2+1（12 分）。当k =0
，
时S取得最小值4（13 分）。
（3）MN的中点坐标为(−2
x1
−2
x2
,−1)=(−2(x1+ x2)
x1 x2
,−1)（14 分）。由x1+ x2= 4 k，x1 x2=−4，得中点横坐
标为−2×4 k
−4
=2k（15 分）。中点坐标为(2k ,−1)，代入抛物
方程
线
x
2= 4 y，左边=(2k )
2= 4 k
2，右边
= 4×(−1)=−4（17 分）。
题型10：焦点弦的几何性质
【典型例题1】直线
抛物
过
线
的焦点
交抛物
于
线
、
两点.若
，
原点，
为
则
的重
心的横坐
（
标为 ）
A．4.
B．8
C．16
D．24
【答案】B
【分析】
点
设
、
的横坐
分
标
别为
，
，由抛物线
的焦点弦
公式可求出
长
，即可求出
的重心的横坐标.
【
解】
点
详
设
、
的横坐
分
标
别为
，
，由
抛物
过
线
的焦点弦
公式得：
长
，所以
，
所以
的重心的横坐
：
标为
，
故
：
选B.
【典型例题2】已知抛物线
的焦点为
，圆
．如
，
点
图过
的直线与抛物
和
线
的交点依次
圆
为
，则
的最小
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，
，由抛物
焦半径公式可得：
线
，
再由
，
合基本不等式即可求解；
结
【
解】根据
意，
详
题
圆
，可得
，所以
的
心
该圆
圆
为
，所以
，
，所以
，
点
设
，
，易知
斜率不为0，设
方程
：
为
，
立抛物
方程消去
联
线
可得：
，所以
，又
，
两式相乘可得：
，所以
，
因
，当且
当
仅
等号成立．即
时
，
时
取得最小值
.
故
：
选B
【典型例题3】（多选）设
坐
原点，直
为
标
线
抛物
过
线
的焦点，且与
交于
两点（
在第四象限），为
的准
，
（ ）
线则
A．的方程为
B．
C．以
直径的
与
为
圆
相交
D．
角三角形
为钝
【答案】AD
【分析】根据
定条件，求出焦点坐
，
而求得抛物
方程，再与直
方程
立求出点
给
标进
线
线
联
的坐
，
合抛物
标结
线
定
及数量
的坐
表示逐
判断得解
义
积
标
项
.
【
解】由直
详
线
点
过
，得抛物线
的焦点
，方程为
，
于
对
A，抛物线
的准线的方程为
，A 正确；
由
消去
并整理得
，解得
，
于
对
B，点
，
，B
；
错误
于
对
C，
，
段
线
中点
到准线
的距离
，
因此以
直径的
与
为
圆
相切，C
；
错误
于
对
D，
，则
是
角，
钝
D 正确.
故
：
选AD.
【变式训练10-1】已知抛物线
的焦点为
为
上一点，且
在第一象限，直线
与
的准
交
线
于点
，
点
过
且与
平行的直
与
轴
线
交于点
，若
，
段
则线
的
度
（
长
为 ）
A．4
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】根据抛物
的定
和几何关系即可求解
线
义
.
【
解】
详
根据
意作出函数
像，
点
题
图
过
N 作准线l 的垂
，
线
由抛物
的定
知
线
义
，
又
，所以
，所以
，
又
与
平行，所以
轴
由抛物
的定
知
线
义
，所以三角形
等
三角形，
为
边
所以
，
故选: A.
【变式训练10-2】已知
抛物
过
线C：y2＝4x 的焦点F 的直线l 与C 交于M，N 两点，若MF
→
= 4 F N
→，
点
则
M 的横
坐
（ ）
标为
A．2
B．4
C．5
D．6
【解答】解：抛物线C：y2＝4x 的焦点F（1，0），
抛物
过
线C：y2＝4x 的焦点F 的直线l，
直
设
线l：x＝my+1，
立
联{
x =my +1
y
2= 4 x )可得y2﹣4my﹣4＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），
则y1y2＝﹣4，
∵MF
→
= 4 FN
→，即（1﹣x1，﹣y1）＝4（x2﹣1，y2），
∴﹣y1＝4y2，即y2=−1
4 y1，
∴y1 y2=−1
4 y1
2=−4，解得y1
2=16，则x1= 1
4 y1
2= 4．
∴点M 的横坐标为4．
故
：
选B．
【点
】本
考
抛物
的
性
的
用，是中档
．
评
题
查
线
简单
质
应
题
【变式训练10-3】如
，
抛物
图设
线
的焦点为F，不
焦点的直
上有三个不同的点
经过
线
A，B，C，其中点A，
B 在
抛物
上，点
该
线
C 在y
上，若
轴
，
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．4
【答案】A
【分析】根据抛物
方程，求出准
方程，根据抛物
上的点到焦点距离求出点的横坐
，在根据相似三角形求出
线
线
线
标
的比
即可
边长
值
.
【
解】
详
如
所示，
图
设
，由
，
，
由
可知准
方程
线
为
，
根据抛物
定
可得
线
义
，
，故
，
，
过A，B 分
作
别
y
的垂
轴
线
垂足为
，过B 作
的垂
，垂足
线
为E，
明显
，所以
，
故
：
选A．
【变式训练10-4】已知抛物线
的焦点为
，直线与
交于A，B 两点，设
的
中点为
，
下列
法中正确的有（
则
说
）
A．若直线
焦点
过
，则
的最小值为2
B．若
，则
的最大值为5
C．若直线AB 的斜率存在，
其斜率与
则
无关，与
有关
D．若
坐
原点，直
为
标
线的方程为
，则
【
解】列表解析｜直
解疑惑
详
观
选
项
正
误
原因
A
×
由
意可知
题
，准
方程
线
为
，
若直线
焦点
过
，直线的斜率可以不存在，但不能为0，
故
直
设
线
，
立
联
消去
可得
，则
，可得
，
所以
，
当且
当
仅
，等号成立，所以
时
的最小值为4．
B
×
由
，可得
，
当且
当
仅
E，F，A 共
取等号，所以
线时
的最大值为
．
C
√
由
意知
题
因为
在抛物线
上，所以
两
式作差可得
，若直线AB 的斜率存在，则
，所以直线AB 的斜率与
无关，与
有关．
D
√
立
联
消去
可得
，可得
，则
，又
，所以
，则
，所以
．
【变式训练10-5】若直线
抛物
过
线
的焦点
，且与抛物线
交于
、
两点，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．
B．
重心的横坐
的最小
标
值为
C．
D．以
段
线
直径的
被
为
圆
截得的弦
定
轴
长为
值
【答案】BC
【
解】
于
详
对
选项A：易知直线
恒
定点
过
，即
，
所以
，解得
，故A
；
错误
于
对
选项B：由选项A 知抛物线
，设
，
立方程
联
，消去x 可得
，
则
，
则
，
，
所以知
的重心的横坐标为
，
当且
当
仅
，等号成立，故
时
B 正确；
于
对
选项C：因为
，故C 正确；
于
对
选项D：设
的中点为
，
则
，
，
，
即
心
圆
为
，半径
，
可知
心到
圆
y
的距离
轴
，
所以
被
圆
截得的弦
轴
长为
，不
定
，故
为
值
D
；
错误
故
：
选BC
【变式训练10-6】（多选）已知抛物线
，焦点为
，过
的直
交
线
于点
，
，其中
在
第一象限，
在第四象限，
坐
原点，
接
为
标
连
交抛物
的准
于点
线
线
，
下列
法正确的是（ ）
则
说
A．
的最小
是
值
4
B．
C．直线
平行于
轴D．
的面
的最大
积
值为
【答案】AC
【分析】设过
的直线为
，
立直
与抛物
方程，列出
达定理，利用焦点弦公式判断
联
线
线
韦
A，利用焦
半径公式判断B，设
点坐标为
，推
出
导
，即可判断C，由面
公式，再构造函数，利用
数求出面
积
导
最小
，即可判断
积
值
D.
【
解】抛物
详
线
的焦点为
，准
方程
线
为
，
设过
的直线为
，
将其与抛物
立可得
线联
，消去
整理得
，
所以
，
，
于
对
A：
，当且
当
仅
取等号，即
时
的最小
是
值
，故A 正
确；
于
对
B：
，故B
；
错误
于
对
C：设
点坐标为
，则
，
因为
，故
，故直线
平行于
，故
轴
C 正确；
于
对
D：
，
函数
设
，
，
则
，所以当
时
，当
时
，
所以
在
上
增，
单调递
在
上
减，
单调递
故
的最小值为
，即
的面
的最小
积
值为
，故D
，
错误
故
：
选AC．
【变式训练10-7】已知抛物线
的方程为
，
抛物
为
线
的焦点，
斜角
倾
为
的直线
点
过
交抛物
线
于
，
两点，
段
则线
的长为______.
【答案】
【分析】首先求出焦点坐
，即可得到直
标
线的方程，设
，
，
立直
与抛物
方程，消元、列出
联
线
线
达定理，根据焦点弦公式
算可得
韦
计
.
【
解】解：因
抛物
详
为
线
的方程为
，所以焦点为
，
所以直线的方程为
，设
，
，
由
，消去
整理得
，所以
，
所以
.
故答案
：
为
【变式训练10-8】已知抛物线
的焦点为
，过
的直线与抛物线
交于
两点（
在第一象限），
若
，
直
则
线的斜率为_______.
【答案】
【分析】法一：
出直
方程
设
线
，
，
，
立抛物
方程，得到两根之和，两根之
，
合
联
线
积结
，
，求出直
斜率；
线
法二：
直
设
线与
的
角
轴
夹
为
，作出
助
，得到
辅
线
，
，利用
得到方程，
求出直
斜率
线
.
【
解】法一：
直
详
设
线
，
，
，
，
由已知
，
立
联
，故
，
故有
，
合
结
得：
；
法二：角度焦半径公式：
直
设
线与
的
角
轴
夹
为
，
得到抛物
的准
方程
线
线
为
，与y
交于点
轴
T，
点
过
B 作BM⊥准
交
线
x
于点
轴
N，作BE⊥y
于点
轴
E，
则ET=BM，
由抛物
定
可得：
线
义
，
其中
，
故
，解得：
，
同理可得：
，
因为
，
所以
，
直
与
设
线
角的正弦
轴夹
值为
，正切值为
，
由于
在第一象限，
，则
.
故答案
：
为
.
题型11：梯形转化
【典型例题1】
斜角
倾
为
的直
抛物
线过
线
的焦点F，与
抛物
交于点
该
线
，且以
直径
为
的
与直
圆
线
相切，则
（ ）
A．4
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
意确定直
题
线
即
抛物
的准
，确定
为
线
线
,
直
方程
设
线
为
，代入
中可得根
与系数的关系，利用抛物
焦点的弦
公式即可求得答案
线过
长
.
【
解】
抛物
详
设
线
的准线为
，
点
过
分
作
别
l 的垂
，垂足
线
为
,设
的中点为M，作
，垂足为N，
则
,
即以
直径的
与
为
圆
相切，又以
直径的
与直
为
圆
线
相切，
故直线
即
抛物
的准
，∴
为
线
线
,
∴
，
直
方程
设
线
为
，代入
中，
∴
，即
，
设
，∴
，
∴
，
故
：
选B.
【典型例题2】已知抛物线
，
其焦点
过
F 的直
与
抛物
交于
线
该
线
A、B 两点，A 在第一象限，且
，
直
则
线AB 的斜率
（
为 ）
A．1
B．
C．
D．无法确定
【答案】C
【分析】
合
意及抛物
的定
，分析
几何
形，利用
结
题
线
义
该
图
直角三角形，得到
角关系，
而求得斜率
为
边
进
.
【
解】
合
意：可知抛物
详
结
题
线
的准
：
线为
，
如
所示：
图
过
分
作准
的垂
别
线
线
，垂足为
,
点
过
作
的垂
，垂足
点
线
为
,
设
，直线
的
斜角
倾
为
，
因为
,所以
，
由抛物
的定
：
线
义
，
合
形易知：
结
图
,
所以
，
在直角三角形
中，
，
所以直线AB 的斜率
.
故
：
选C.
【典型例题3】（多选）已知抛物线
，准线为，
焦点
过
的直
交抛物
线
线
于
两点，过
分
作
别
的垂
，垂足分
线
别为
，
（ ）
则
A．
B．若
，
直
则
线
的斜率为
C．
三点共
（其中
线
坐
原点）
为
标
D．
【答案】ACD
【分析】由抛物
的定
可得
线
义
，
，再利用角的关系即可得出
；根据定
可得
义
，
即可得出角
，
而得出直
进
线
的斜率为
；设
，则
，
明
证
即可；由
可得
题
，
合焦半径公式即可
明
结
证
.
【
解】
详
接
连
，根据抛物
定
可知
线
义
，所以
，
又由于
，所以
轴
，
所以
，同理可证
，
所以
，
即
，故
正确；
过
作
于
，设
，则
，
，
所以
，
所以
，由
称性可知直
对
线
的斜率为
，故B
；
错误
设
，则
，
由于
，由于
三点共
，
线
则
，
又由于
，则
，由于
，
则
，所以
，
，
所以
，
即
，所以
三点共
，故
线
C 正确；
由于
，则
，即
，所以
，
所以
，故D 正确．
故
：
选ACD．
【典型例题4】（多选）已知抛物线
的焦点为F，其准线l 与x
交于点
轴
A，O
坐
原点，
为
标
过F 的直线
与C 交于B，D 两点，过B，D 作l 的垂
，垂足分
线
别为E，G，
（ ）
则
A．若直线BD 的斜率为1，则
B．以BD
直径的
与
为
圆
y
相切
轴
C．
D．B，O，G 三点共线
【答案】ACD
【分析】
于
对
A，
立直
联
线
方程与抛物
方程，
合焦点弦
公式以及
达定理即可判断；
于
线
结
长
韦
对
B，由
抛物
的性
即可判断；
于
线
质
对
C，
合内
角相等即可得
；
于
结
错
证对
D，
直
设
线OB 与准线l 交于
，只需说
明
重合即可.
【
解】抛物
详
线
的焦点
，准线
，点
，设
，
于
对
A，直线
，由
，
消去y 得
，所以
，所以
，故A 正确：
于
对
B，
，
段
线
BD 中点横坐标
，
弦BD 中点到准
的距离
线
为
，因此以BF
直径的
与准
相切，故
为
圆
线
B
；
错误
于
对
C，由
，得
，同理
，
则
，故C 正确．
于
对
D，
直
设
线
，
立
联
，得
，则
，
直线
，直线OB 与准线l 交于
，
立
联
，解得
，
又
，所以
，即H 与G 重合，所以B，O，G 三点共
．故
线
D 正确．
故
：
选ACD
【变式训练11-1】已知抛物线
的焦点为
，准线为，
点
过
作斜率为
的直
与
线
相交于
两点，
弦
为
的中点，
于点
，
为
与
的交点，则不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，且
，则
的取
范
值
围为
【答案】C
【分析】对A，由抛物
的定
，可得
线
义
，得
；对B，
明
证
，可得
，得解；对C，在
中，可证
合抛物
定
得
结
线
义
，得解；对D，
直
设
线
交准线于点
，直线
的
斜角
倾
为
，由抛物
定
合相似三角形可得
线
义结
，
而求出
进
得范
，得解
围
.
【
解】如
，作
详
图
于点
于点
．
于
对
A，由抛物
的定
得
线
义
，
，所以
，
所以
是以
斜
的直角三角形，即
为
边
，故A 正确；
于
对
B，由
，
，得
，所以
，
因为
，所以
，又
，
所以
，所以
，所以
，故B 正确；
于
对
C，在
中，由
，可知
，所以
，
所以
，所以
，故C
；
错误
于
对
D，
直
设
线
交准线于点
，直线
的
斜角
倾
为
，
，
则
，则
，由
，可得
，
所以
，因为
是关于
的减函数，
又
，所以
，所以
，
又
．所以
的取
范
是
值
围
，故D 正确．
故
：
选C．
【变式训练11-2】
抛物
过
线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于点A，B，若AF
→
=2 FB
→，若直线l
的斜率为k，则k＝
（ ）
A．2❑√2
B．﹣2❑√2
C．2❑√2或−2❑√2
D．❑√2或−❑√2
【解答】解：当A 在x
上方
，
轴
时过A，B 分
作抛物
的准
的垂
，垂足分
别
线
线
线
别为A1，B1，过B 作BD⊥AA1 于D，
设|FB|＝r，则|AB|＝3r，|AD|＝r，
所以|BD|=
❑√A B
2−A D
2=2❑√2r，
所以k = tan ∠BAD =|BD|
AD
= 2❑√2r
r
=2❑√2，
同理可得当A 在x
下方
，
轴
时k 的值为−2❑√2，
故
：
选C．
【点
】本
考
了抛物
的定
和性
的
用，属于中档
．
评
题
查
线
义
质
应
题
【变式训练11-3】已知抛物线
的焦点为
，过
的直
交抛物
于
线
线
，
两点，若
，则
（ ）
A．12
B．10.5
C．9
D．7.5
【答案】C
【分析】根据抛物
的定
，
合
线
义结
，利用梯形中位
建立方程求解
线
.
【
解】抛物
详
线
的焦点为
，准线为
.如
，
图
取
的中点为
，分别过
作准
的垂
，垂足分
线
线
别为
.
由抛物
的定
可知，
线
义
则
.
设
，则
，
，又
，
，
所以
，又
，即
，解得
.
所以
.故
：
选C
【变式训练11-4】已知抛物线
：
的焦点为
，准线为，
、
是
上异于坐
原点的两点，若
标
，过
的中点
作的垂
，垂足
线
为
，则
的最小
（
值为 ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】根据抛物
的定
，
合基本不等式可求
线
义结
的最小值.
【
解】如
：
详
图
分
点
别过
作直线的垂
，垂足分
线
别为
，
接
连
.
设
，
，则
，
.因为
梯形
为
的中位
，所以
线
.
又
，所以
.所以
.又
.所以
，当且
当
仅
取等号
时
.
故
：
选B
【变式训练11-5】如
，
抛物
图过
线
焦点
的直线与抛物
交于
线
两点，且与圆
交于
两点，则
的最小
（
值为 ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，根据抛物
定
合
条件，可得
线
义结
题设
.当直线
，
轴时
，当直线的斜率存在
，
直
方程
时设
线
为
，与抛物
方程
立写出
达定理，借助基
线
联
韦
本不等式即可求出最值.
【
解】由
详
可得焦点
，而圆
的
心即点
圆
，半径为
，则
，
点
设
，则
，于是
，同理
.
当
，
轴时
，则
；
当直线的斜率存在
，
其方程
时设
为
，代入
，整理得
，
然
显
，且
，
，
则
，当且
当
仅
，等号成立
时
.
上可得，
综
的最小值为
.故
：
选C.
【变式训练11-6】
抛物
过
线
的焦点F 且斜率为
的直线l 交抛物
于点
线
A、B.若
，且λ∈(
1
3 , 1
2)，则k 的取
范
值
围为 .
【答案】(❑√3,2❑√2)
【分析】
直
设
线
的
斜角
倾
为
，
合抛物
定
，将其
化
段的比
，由已知条件求出关于
结
线
义
转
为线
值问题
的表达式，
又λ∈( 1
3 , 1
2 )，从而即可
算出斜率的取
范
计
值
围.
【
解】如
，延
详
图
长
交准线于点
，分
点
别过
，作
于
，
于
，
直
设
线
的
斜角
倾
为
，设|⃗FB|=|⃗B B1|=m，|⃗FA|=|⃗A A1|= λm，
则|⃗AC|= λm
cosθ
，|⃗AC|
|⃗BC|
=|⃗A A1|
|⃗B B1|
，可得
λm
cosθ
λm
cosθ + λm+m
= λm
m
，
所以cosθ = 1−λ
1+ λ =
2
1+ λ −1，
因
上式是关于
为
的减函数，又λ∈(
1
3 , 1
2)，
所以cosθ∈(
1
3 , 1
2)，所以k
2= tan
2θ = sin
2θ
cos
2θ
= 1−cos
2θ
cos
2θ
=
1
cos
2θ
−1∈(3,8)，
又
，所以
的取
范
是
值
围
(❑√3,2❑√2)，
故答案
：
为(❑√3,2❑√2).
【变式训练11-7】（多选）已知
，
是抛物线
上的两点，若直线
抛物
过
线
的焦点
且
斜角
倾
为
.
下列命
正确的是（
则
题
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】
于
对
选项A，
直
设
线
的方程为
，代入
，再利用
达定理，即可得到
；
韦
结论
于
对
选项B，利用抛物
的定
和
线
义
选项A 中的
，表示出
结论
即可；
于
对
选项C，由抛物
的定
，在直角三角形
线
义
中，运用余弦函数的定
，即可得到
义
的
，同理可得
长
的
，即可判断；
长
于
对
选项D，选项A 中的
行判断即可
结论进
.
【
解】
于
详
对
选项A，
直
设
线
的方程为
，代入
，
可得
，所以
，
，选项A 正确；
于
对
选项B，因为
是
抛物
过
线
的焦点的弦，
所以由抛物
定
可得
线
义
，
由选项A 知，
，
，
所以
.
即
，解得
，
当
，
时
，所以
，
当
，
时
，所以
，
当
，
时
也适合上式，所以
，选项B 正确；
于
对
选项C，不妨设
，点A 在x
上方，
轴
设
，
是
，
在准
上的射影，
线
，
所以
，同理可得
，
所以
，同理可证
，等式也成立，
时
选项C 正确；
于
对
选项D，由上可知：
，
，
所以
，选项D 不正确，
故
：
选ABC.
【变式训练11-8】（多选）已知抛物线
的焦点为
，准线为，过
的直
与
线
交于
，
两点，分别过
，
作的垂
，垂足
线
为
，
，
，
，
为
中点，
下列
正确的是
则
结论
（ ）
A．直线
的斜率为
B．
等腰直角三角形
为
C．
D．
，
，
三点共线
【答案】CD
【分析】
点
过
向准线作垂
，垂足
线
为
，设
，
，其中
，
，
点
过
作
，交
于
，利用
角三角函数即可判断
锐
A，利用反
法
明
证
证
B，
直
设
线
的方程为
，
立直
与抛
联
线
物
方程，消元、列出
达定理，根据焦半径公式即可得到
线
韦
，再由A 中
及
结论
求出
，即
可判断C，最后求出
、
坐
，从而求出
标
，
，即可判断D.
【
解】解：
点
详
过
向准线作垂
，垂足
线
为
，设
，
，其中
，
，
点
过
作
，交
于
，设
，因为
，则
，所以
，则
，
所以
，
，在
中
，
所以
，所以直线
的斜率为
，故A
；
错误
假设
等腰直角三角形，
为
则
，则
、
、
、
四点共
且
的半径
圆
圆
为
，
又因为
，所以
，
所以
，所以
，
然不成立，故
显
B
；
错误
依
意直
题
线
的斜率存在，
直
设
线
的方程为
，
由
，整理可得
，
则
，
，
所以
，
，
所以
，
即
，
由A 根据
称性不妨取直
对
线
的斜率为
，
又
，所以
，
所以
，故C 正确；
由
，解得
或
，所以
，
，则
，
所以
，
，所以
，
，
三点共
，故
线
D 正确；
其中
的
明
程如下：可知
证
过
，
，
，
所以
，
，
所以
，
，即
.
故
：
选CD
【变式训练11-9】（多选）已知抛物线
的焦点为
，准线为，过
的直
交抛物
于
线
线
两
点，
段
线
的中点为
，
在上的射影分别为
，下列
正确的
（
结论
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据抛物
定
和梯形中位
性
可求得
线
义
线
质
，知A 正确；根据等腰三角形性
和平行直
的
质
线
性
可推
得到
质
导
，
而确定
进
，知B 正确；由角度关系可推
得到
导
，由此可知C 正确；若D 正确，由
的性
知
圆
质
，可知不恒成立，
则D 错误.
【
解】
详
于
对
A，由抛物
定
可知：
线
义
，
，
为
中点，
，
，A 正确；
于
对
B，
，
，
，
，则
，又
，
，
，
，即
，B 正确；
于
对
C，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即
，C 正确；
于
对
D，若
，
由
则
知：
在以
心，
为圆
半径的
上，
为
圆
，又
，
（当且
当
仅
重合
取等号），
时
不恒成立，D 错误.
故
：
选ABC.
【变式训练11-10】（多选）已知
，
是抛物线
上的两点，若直线
抛物
过
的焦点
线
且
斜角
倾
为
.
下列命
正确的是（
则
题
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】
于
对
选项A，
直
设
线
的方程为
，代入
，再利用
达定理，即可得到
；
韦
结论
于
对
选项B，利用抛物
的定
和
线
义
选项A 中的
，表示出
结论
即可；
于
对
选项C，由抛物
的定
，在直角三角形
线
义
中，运用余弦函数的定
，即可得到
义
的
，同理可得
长
的
，即可判断；
长
于
对
选项D，选项A 中的
行判断即可
结论进
.
【
解】
于
详
对
选项A，
直
设
线
的方程为
，代入
，
可得
，所以
，
，选项A 正确；
于
对
选项B，因为
是
抛物
过
线
的焦点的弦，
所以由抛物
定
可得
线
义
，
由选项A 知，
，
，
所以
.
即
，解得
，
当
，
时
，所以
，
当
，
时
，所以
，
当
，
时
也适合上式，所以
，选项B 正确；
于
对
选项C，不妨设
，点A 在x
上方，
轴
设
，
是
，
在准
上的射影，
线
，
所以
，同理可得
，
所以
，同理可证
，等式也成立，
时
选项C 正确；
于
对
选项D，由上可知：
，
，
所以
，选项D 不正确，
故
：
选ABC.
题型12：焦点弦的最值问题
【典型例题】已知抛物线
的焦点为
，直线
与抛物线
交于
两点，则
的最小
是（
值
）
A．40
B．36
C．28
D．24
【答案】B
【分析】利用抛物
定
加
达定理以及基本不等式即可求解
线
义
韦
.
【
解】方法一
详
:
设
,由抛物
的定
，知
线
义
,
立
联
化
得
简
，
由
达定理得
韦
，
，
所以
的最小值为36.
故选:B.
抛物
的焦点
线
在直线
上，
，（
：
结论
抛物
的焦点弦，
为
线
定
为
值
）
故选:B.
【变式训练12-1】已知抛物线
：
的焦点为
，圆
：
，
点
过
的直线与抛物线
交
于
，
两点，与圆
交于
，
两点，且点
，
在同一象限，则
的最小
（
值为 ）
A．8
B．12
C．16
D．20
【答案】B
【分析】确定抛物
焦点坐
和
的
心以及半径，
线
标
圆
圆
设
，
，
立
联
，求得
，利用抛
物
的焦半径公式
合基本不等式即可求得答案
线
结
.
【
解】由已知
详
得
．
然，直
显
线不与
垂直．
轴
圆
：
的
心
圆
为
,半径为3,
直
设
线：
．
立
联
，得
，
．
设
，
，
，则
，得
，
所以
，
当且
当
仅
，
等号成立，故
时
的最小值为12，
故
：
选B
【变式训练12-2】已知
抛物
过
线
的焦点F 的
直
交抛物
动
线
线C 于A，B 两点，Q
段
为线
的
中点，P
抛物
为
线C 上任意一点，若
的最小值为6，则
（ ）
A．2
B．3
C．6
D．
【答案】C
【分析】先利用抛物
定
求得
线
义
的最小值为
，再去求
的最小值为p，
而求得
进
p 的值
【
解】抛物
详
线
的焦点
，准线
，
点
过
Q 作准线
的垂
，垂足
线
为D，交抛物线C 于点P，
接
连
，如
，
图
于是
，在抛物线C 上任取点
，过
作准线
的垂
，垂足
线
为
，
接
连
．
有
则
，
（当且
当点
仅
与点P 重合且为O
取等号，）
时
所以
的最小值为
．
故
：
选C．
【变式训练12-3】
点
过
作抛物线
的两条切
，切点分
线
别为
和
，又直线
物
经过拋
线
的焦点
，那么
的最小值为_________．
【答案】16
【分析】设
，写出以
切点的切
方程，由判
式求出切
斜率，得到以
为
线
别
线
切点的切
方程，同理求
为
线
出以
切点的切
方程，
合
为
线
结
在两条切
上得直
线
线
的方程，
立直
联
线
与抛物
方程，
线
根据根与系数的关系，
合抛物
定
得出
果．
结
线
义
结
【
解】
详
设
，
，以
切点的切
斜率
为
线
为
，
以
则
切点的切
方程
为
线
为
，
与抛物线
立，得
联
，
由
，即
，
则
，即
，解得
，
以
则
切点的切
方程
为
线
为
，即
，
，整理得
；
同理，设
，
，
以
则
切点的切
斜率
为
线
为
，
以
切点的切
方程
为
线
为
，
又因为
在切线
和
，
所以
，
，
所以直线
的方程
，
又因
直
为
线
抛物
经过
线
的焦点
，
所以令
得
，即
，
，
所以抛物
方程
线
为
，直线
的方程
，
立
联
，消去
得
，
∴
，
∴
，
，
∵
，∴
，
所以
，
当
则
，
时
取最小值16．
故答案
：
为16．
题型13: 解答题
【典型例题1】已知抛物线
的焦点为
，斜率为
的直线与
交于
两点，与
交点
轴
为P.
(1)若
，求的方程；
(2)若
，求
.
【解析】（1）由
意，直
题
线的方程设为
，
立直
与抛物
方程
联
线
线
，可得
，
，可得
，
设
,
，
,
，
，
，
因为
，所以
，可得
，可得
，
所以直线的方程
：
为
．即
．
（2）直线的方程设为
，
令
，可得
，所以
，所以
,
，
,
，
因为
，所以：
,
,
，所以，
，
，
，
，
化
可得
简
，
，
，可得
，
，
，
．
【典型例题2】已知直线与抛物线
相交于
、
两点.
(1)若直线
点
过
，且
斜角
倾
为
，求
的
；
值
(2)若直线
点
过
，且弦
恰被
平分，求
所在直
的方程
线
.
【解析】（1）因直线的
斜角
倾
为
，所以直线的斜率
，
又因直线
点
过
，所以直线的方程
：
为
，即
，
立
联
得
，设
，
，所以
，
，
所以
（2）因
、
在抛物线
上，所以
，
，
两式相减得：
，得
，故直线的斜率为4，
所以直线的方程
：
为
，即
【变式训练13-1】已知直线
，垂足
轴
为x
半
上的点
轴负
轴
E，点E 关于原点O 的
称点
对
为F，且
，直
线
，垂足为A，
段
线
AF 的垂直平分
与直
线
线
交于点B，
点
记
B 的
迹
曲
轨
为
线C.
(1)求曲线C 的方程；
(2)已知点
，不
点
过
P 的直线l 与曲线C 交于M，N 两点，以
段
线
MN
直径的
恒
点
为
圆
过
P，点P 关于x
的
轴
称点
对
为Q，若
的面
是
积
，求直线的斜率.
【解析】（1）由
段
线
的垂直平分
与直
线
线
交于点
，可得
，
即点
到点
的距离等于点
到直线
的距离，又因为
，的方程为
，所以
，
所以点
的
迹
轨
是以
焦点，直
为
线
准
的抛物
，
为
线
线
所以点
的
迹
轨
的方程为
.
（2）解：根据
意，直
的斜率不
题
线
为
，
直
设
线
，且
，
立方程
联
组
，可得
，则
，
所以
，
所以
，
又点
，点
到直线的距离为
，
所以
，
又以
段
线
直径的
恒
点
为
圆
过
，所以
，
所以
，
又
，所以
，
所以
，
所以
，所以
，
即
，所以
，
所以
或
，又直线不
点
经过
，所以
，所以
，此
足
时满
，
所以
，
解得
或
，所以直线的斜率为或
.
【变式训练13-2】
抛物
设
线C：
的焦点为F，P 是抛物
外一点，直
线
线PA，PB 与抛物线C 切于A，B 两点，
点
过
P 的直
交抛物
线
线C 于D，E 两点，直线AB 与DE 交于点Q.
(1)若AB
焦点
过
F，且
，求直线AB 的
斜角；
倾
(2)求
的值.
【解析】（1）设
，
，
，
，
因
直
为
线AB 的斜率不为0，所以设AB 直
的方程
线
为
，
立方程
联
，消去y，得
，
所以
，
， 所以
，
，
所以直
的
斜角
线
倾
为
或
.
（2）设过A 点且与抛物线C 相切的直
方程
线
为
，（k 存在，A 不
原点），
为
立方程
联
，消去x 得，
，
，即
，所以
，即
，
所以直线PA 的方程为
，即
，同理可得，直线PB 方程
：
为
，
因
点
为
在直线PA，PB 上，所以
，
，
所以直线AB 的方程
：
为
直
设
线PD 的方程为
，
立方程
联
，消去x，得
，
得
，
，
立方程
联
，消去x，得
，
由于点P 在抛物
的外部，点
线
Q 在抛物
的内部，
线
所以
.
【变式训练13-3】已知
是抛物线
的焦点，
点
过
的直
交抛物
线
线
于
两点，当
平
行于
，
轴时
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)若
坐
原点，
点
为
标
过
作
的垂
交直
轴
线
线
于点
，
点
过
作直线
的垂
与抛物
线
线
的另一交点为
的中点为
，
明：
证
三点共线.
【解析】（1）抛物线
的焦点为
，
当
平行于
，
直
轴时设
线
的方程为
，
点
设
、
，
，解得
，所以，抛物线
的方程为
.
（2）
直
设
线
的方程为
，
点
设
、
，
立
联
可得
，由
达定理可得
韦
，
，
又因
直
为
线
的方程为
，
将
代入直线
的方程可得
，可得
，即点
，
所以，
，因为
，则
，
所以，直线
的方程为
，
立
联
可得
，则
，
故
，则
，
由
的中点为
，可得
，故
、
、
三点共
．
线
【变式训练13-4】已知抛物线
：
上一点
到焦点的距离为2.
(1)求抛物线
的方程；
(2)
点
过
的直
交抛物
线
线
于
，
两点，点
，
接
连
交抛物线
于另一点
，
接
连
交抛物线
于另一点
，且
与
的面
之比
积
为
，求直线
的方程.
【解析】（1）由
可知焦点的坐
题
标为
，所以由抛物
的定
可知
线
义
，
即
，所以抛物线
的方程为
.
（2）易知直线
的斜率存在且不
零，
直
为
设
线
的方程为
，
，
，由
，得
，
则
，即
或
，
.因为
，所以
，
所以直线
的方程为
，由
，得
，
设
，则
，得
，设
，同理可得
，
则
，得
，
，
故直线
的方程为
或
.
