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【第14 讲：导数研究函数的单调性，极值与最值】
一．利用导数求解函数的单调性和单调区间（共8 小题）
二．由函数的单调性求解函数或参数（导数法）（共7 小题）
三．函数在某点取得极值的条件（共5 小题）
四．利用导数求解函数的极值（共7 小题）
五．由函数的极值求解函数或参数（共4 小题）
六．利用导数求解函数的最值（共9 小题）
七．由函数的最值求解函数或参数（导数法）（共5 小题）
【知识点清单】
1．利用导数求解函数的单调性和单调区间
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0 的解集与定义
域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0 的解集与定义
域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0 的根；
（4）用f′（x）＝0 的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，
进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′
（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的
情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0 是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
2．由函数的单调性求解函数或参数（导数法）
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0 的解集与定义
域的交集的对应区间为增区间；
题型梳理
总览
（2）若f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0 的解集与定义
域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0 的根；
（4）用f′（x）＝0 的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，
进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′
（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的
情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0 是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
3．函数在某点取得极值的条件
【知识点的认识】
极值的判断首先要求：1、该处函数值有意义，2、该处函数连续．求极值的时候F'（X）＝0 是首先考虑的，
但是对于F'（X）无意义的点也要讨论，只要该点有函数值且函数连续、两边导函数值异号，就可以确定
该点是极值点．具备了这些条件，我们进一步判定极大值和极小值：当这个点左边的导函数大于0 时，即
左边单调递增，右边的导函数小于0 时，即右边单调递减，此时这个点就是极大值，你可以把他理解成波
峰的那个点；那么波谷的那个点就是极小值，情况相反．
【解题方法点拨】
这也是导数里面很重要的一个点，可以单独出题，也可以作为大题的一个小问，还可以隐含在条件中作为
隐含信息，大家务必理解，并灵活运用．
4．利用导数求解函数的极值
【知识点的认识】
1、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且
如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在
x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
2、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0 的根；
（3）用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方
程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在
这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
﹣求导：计算函数的导数f'（x）．
﹣零点分析：求解f'（x）＝0 以找到可能的极值点．
﹣极值判断：通过二阶导数或导数符号变化判断极值类型．
5．由函数的极值求解函数或参数
【知识点的认识】
1、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最
小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值
的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
2、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且
如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在
x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
【解题方法点拨】
﹣极值分析：利用极值点和极值性质求解函数参数．
﹣参数求解：结合极值点的坐标，利用极值条件求解函数的参数．
﹣应用：将极值与实际问题结合，解决涉及函数参数的复杂问题．
6．利用导数求解函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大
值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）= 1
x 在
（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必
要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一
个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可
以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
﹣求导：计算函数的导数f'（x）．
﹣极值点：求解f'（x）＝0 以找到极值点．
﹣边界条件：结合函数的定义域边界点计算函数值，比较得到最值．
一．利用导数求解函数的单调性和单调区间（共8 小题）
1．如图是函数f（x）＝ex（ax﹣1）的大致图象，则不等式f（x）f′（x）＜0 的解集为（ ）
A．(−∞，1
2 )
B．(−1
2 ，2
3 )
C．(−1
2 ，1)
D．(−1
2 ，1
2 )
2．若a=e，b= 2
ln2 ，c = 5
ln5，则以下不等式正确的是（ ）
A．c＞b＞a
B．a＞b＞c
C．b＞a＞c
D．b＞c＞a
3．已知函数f（x）＝lnx+（x﹣b）2（b∈R）在[1，2]上存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是
（ ）
A．[ 3
2 ，+∞)
B．[ 9
4 ，+∞)
C．( 3
2 ，+∞)
D．( 9
4 ，+∞)
4 ．已知函数f （x ）＝ax2﹣（a+2 ）x+lnx+1 （a∈R ），若∀x1 ，x2∈（0 ，+∞），当x1≠x2 时，
f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
＞−2恒成立，则a 的取值范围是（ ）
知识讲解与常考题型
题型分类
A．（﹣∞，﹣1）
B．（﹣∞，﹣1]
C．（0，8]
D．[0，8]
5．若函数f ( x)= 1
2 x
2−2 x−3lnx，则函数f（x）的单调递减区间为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
B．（﹣1，3）
C．（0，3）
D．（3，+∞）
6．已知函数f ( x)=alnx + 1
2 x
2−6 x + 4在定义域内单调递增，则a 的取值范围是（ ）
A．（0，+∞）
B．[0，+∞）
C．（9，+∞）
D．[9，+∞）
7．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则f（x）的图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数f（x）＝ex−lnx
a ，（a＞0）在区间（1，2）单调递增，则a 的最小值为（ ）
A．e﹣1
B．e
C．e2
D．e﹣2
二．由函数的单调性求解函数或参数（导数法）（共7 小题）
9．若函数f（x）＝aex﹣x3在区间（1，3）上单调递增，则实数a 的最小值为（ ）
A．3
e
B．12
e
3
C．12
e
2
D．27
e
3
10．已知函数f ( x)= ln
x
2−x +ax是增函数，则实数a 的最小值为（ ）
A．﹣4
B．﹣2
C．0
D．2
11．若函数f（x）＝x−1
3sin2x+asinx 在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ）
A．[−1
3 ，1
3 ]
B．[−1，1
3 ]
C．[﹣1，1]
D．[−1，−1
3 ]
12．已知函数f（x）＝lnx﹣ax 在区间[1，3]上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）
A．a≥1
B．a＞1
C．a≥1
3
D．a＞1
3
13．已知函数f ( x)=alnx + 1
2 x
2，在其图象上任取两个不同的点P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x1＞x2），总
能使得
f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
＞4，则实数a 的取值范围为（ ）
A．[4，+∞）
B．[1，+∞）
C．（4，+∞）
D．（1，+∞）
14．已知a，b∈R，函数f（x）＝xex+a﹣b（x+1）2在R 上单调递增，则（ ）
A．a≥2b
B．a≤2b
C．2a≥b
D．2a≤b
15．若函数ℎ( x)=lnx −1
2 a x
2−2 x在[1，4]上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围为（ ）
A．[﹣1，+∞）
B．（﹣1，+∞）
C．(−∞，−7
16 ]
D．(−∞，−7
16 )
三．函数在某点取得极值的条件（共5 小题）
16．导函数y＝f′（x）的图象如图所示，在标记的点中，函数y＝f（x）的极大值点为（ ）
A．x1
B．x2
C．x3
D．x4
17．如图是y＝f（x）的导函数f′（x）的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）
A．当x＝3 时，f（x）取得极小值
B．f（x）在[﹣2，1]上是增函数
C．当x＝1 时，f（x）取得极大值
D．f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数
18．已知f（x）＝x3﹣ax2+4x 有两个极值点x1、x2，且f（x）在区间（0，1）上有极大值，无极小值，则实
数a 的取值范围是（ ）
A．a＞7
2
B．a≥7
2
C．a＜7
2
D．a≤7
2
19．若函数y＝f（x）是定义在R 上的可导函数，则f′（x0）＝0 是x0 为函数y＝f（x）的极值点的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
20．设函数f（x）＝（x+a）（x﹣2）2，则“a＝﹣2”是“f（x）没有极值点”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
四．利用导数求解函数的极值（共7 小题）
21．在等比数列{an}中，a1，a5是函数f（x）＝（x2﹣7x+11）ex的极值点，则a3＝（ ）
A．2
B．﹣2
C．±2
D．1
22．关于x 的函数f（x）＝x2+ax+blnx 有两个极值点x1，x2，且f（x1）＝0．则x1的取值范围是（ ）
A．（e，+∞）
B．（e2，+∞）
C．(e，e
3
2 )∪(e
3
2 ，+∞)
D．(e，e
3
2 )∪(e
2，+∞)
23．若函数f（x）＝xlnx﹣（m﹣1）ln（2x）存在唯一极值点，则实数m 的取值范围是（ ）
A．（1，+∞）
B．[1，+∞）
C．{1−1
e
2 }∪[1，+ ∞)
D．[1−1
e
2 ，+∞)
24．已知f ( x)=ae
x−1
2 x
2在区间( 1
2 ，2)内存在2 个极值点，则实数a 的取值范围为（ ）
A．( 2
e
2 ，1
e )
B．(
1
2❑√e ，1
e )
C．( 2
e
2 ，
1
2❑√e )
D．( 1
e ，2
e )
25．若函数y＝x3﹣2ax 在(0，❑√3)内无极值，则实数a 的取值范围是（ ）
A．(0，9
2 )
B．（﹣∞，0]
C．(−∞，0]∪[ 9
2 ，+∞)
D．(−∞，0]∪( 9
2 ，+∞)
26．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，若f（x）在x＝﹣1 处取得极大值7，在x＝3 处取得极小值，则a+b+c
的值为（ ）
A．﹣10
B．﹣14
C．﹣18
D．﹣20
27．已知函数f ( x)= x
2+ x−1
e
x
，则下列结论错误的是（ ）
A．函数f（x）存在两个不同的零点
B．函数f（x）既有极大值又有极小值
C．当﹣e＜k＜0 时，方程f（x）＝k 有且只有两个实根
D．若x∈[t，+∞）时，f ( x)max = 5
e
2，则t 的最小值为2
五．由函数的极值求解函数或参数（共4 小题）
28．函数f（x）＝4x3﹣ax2﹣2bx+2 在x＝1 处有极值﹣3，则a﹣b 的值等于（ ）
A．0
B．6
C．3
D．2
29．已知f（x）＝（ax﹣a﹣1）ex+x，若0 是f（x）的极小值点，则a 的取值范围为（ ）
A．[0，+∞）
B．（1，+∞）
C．（﹣∞，1）
D．（﹣∞，0）
30．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx 在x＝1 处有极值2，则f（x）的极小值点为（ ）
A．（1，0）
B．5
3
C．﹣2
D．( 5
3 ，0)
31．若m∈R，函数f ( x)= 1
2 x
2−x +mlnx有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则m( x1 x2+ x2
2)的最大值为（
）
A．2
27
B．4
27
C．6
27
D．8
27
六．利用导数求解函数的最值（共9 小题）
32．已知函数f ( x)={
e
x−ax−1，x ≥0
sinx−x，x＜0 )的值域为[﹣1，+∞），则a 的值为（ ）
A．e
B．0
C．1
D．﹣1
33．已知实数x，y 满足ln（2x+3y﹣6）+5﹣e（x﹣y﹣2）﹣x﹣4y≥0，则x﹣2y 的值为（ ）
A．7
5
B．8
5
C．21
6
D．3
34．若ex﹣ax≥﹣x+lnax（a＞0，x＞0），则实数a 的取值范围为（ ）
A．(0，1
e )
B．（0，e]
C．( 1
e ，+∞)
D．（e，+∞）
35．若正实数x，y 满足yln（3xy）＝e3x，则y 的最小值为（ ）
A．1
B．❑√e
C．e
D．2
36．若函数f（x）＝x（ex﹣1）的图象恒在g（x）＝lnx+a 图象的上方，则a 的最大整数值为（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
37．已知实数x，y 满足ln（4x+y﹣4）+4﹣e2x﹣3y﹣2﹣2x﹣4y≥0，则2x+3y 的值为（ ）
A．20
7
B．25
7
C．13
5
D．14
5
38．若函数f（x）＝ex﹣x 图象在点（x0，f（x0））处的切线方程为y＝kx+b，则k﹣b 的最小值为（ ）
A．1+ 1
e
B．−1−1
e
C．1−1
e
D．−1+ 1
e
39．已知函数f ( x)= 1
2 a x
2−lnx −b(a＞0)，若∀x＞0，f（x）≥0，则b
a的最大值是（ ）
A．1
2
B．1
e
C．2
e
D．1
40．已知alna＝beb，b＞0，则b
2
a 的最大值为（ ）
A．e2
B．1
2e
C．4
e
2
D．−1
e
2
七．由函数的最值求解函数或参数（导数法）（共5 小题）
41．若函数f ( x)= 1
3 x
3−x
2在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ）
A．（﹣3，2）
B．[﹣3，2）
C．[﹣1，2）
D．（﹣1，2）
42．已知函数f ( x)= x + 4
x +3lnx在（a，2﹣3a）内有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）
A．0＜a＜1
3
B．0≤a＜1
3
C．1
3 ＜a＜1
D．0≤a＜1
2
43．已知定义在R 上的函数f ( x)= x e
−x
2+ax（a∈R），设f（x）的最大值和最小值分别为m，n，则mn 的
取值范围是（ ）
A．(−∞，−1
2e ]
B．[−1
2e ，0)
C．(−∞，−e
2 ]
D．[−e
2 ，0)
44．已知函数f（x）＝|x|﹣aln（x+1）的最小值为0，则实数a 的取值范围为 ．
45．已知函数f（x）＝（2﹣a）xlnx﹣2ax2﹣（a2﹣4a）x，若存在x∈（0，+∞），使得f（x）≥1，则实数
a 的取值范围是 ．
一、单选题
1．如图所示是
的导数的图象，下列结论中不正确的是（ ）
A．
在区间
上是增函数
B．
在区间
上是减函数，在区间
上是增函数
C．
是
的极大值点
D．
是
的极小值点
2．若函数
有且仅有两个零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设函数
，若
恒成立，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．1
D．
4．当
时，
取得最大值
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
在
处取得极小值，
是
的导函数，则（ ）
课后针对训练
A．
B．
C．
D．
6．若函数
存在单调递增区间，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
的定义域为
，
，若对任意
，都有
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
8．若函数
在
处取得极值4，则
．
9．函数
的最小值为 ．
10．已知函数
，其中
，若函数
在区间
内恰有一个极大值和一个极小值，
则实数
的取值范围是 ．
11．函数
的极小值为 ．
12．若函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是 ．
13．若函数
在
单调递减，则a 的取值范围是 ．
14．已知
和
分别是函数
的极大值点和极小值点，且
，则a 的取值范围
是 ．
三、解答题
15．已知函数
的最小值和
的最大值相同，求a．
16．已知函数
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若
是
的极小值点，求实数m 的取值范围．
17．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求
的取值范围．
18．已知函数
在
处的切线方程为
，讨论
的单调性．
19．已知函数
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)讨论
的单调性．
20．求函数
在区间
的最大值.
