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第10 题 立体几何中的动点问题（一题多解）
【2024 年湖南省长沙部分学校联考高三10 月月考】（多选题）如图，正方体
中，
为棱
的中点，
为平面
上的动点，设直线
与底面
所成的角为
，直线
与底面
所成的角为
，平面
与底面
的夹
角为
，平面
与底面
的夹角为
，则（ ）
A．若
，则点
在圆上 B．若
，
则点
在双曲线上
C．若
，则点
在抛物线上 D．若
，则点
在直线上
首先根据题意分别作出角
、
、
、，然后由题意逐项分析求解
即可；几何法对空间想象力要求较高，但直观性强，合理利用几何法能提高解
决几何问题的效率.
根据题意，分别作出角
、
、
、
，如图，
对于A，
，则
，可得
，则点
在阿
氏圆上，A 正确；
对于B，
，则
，可得
，即
到直线
的距离与
到直线
的
距离相等，也即
到直线
和到直线
的距离相等，则点
在
或其补角角平分
线所在的直线上，B 错误；
对于C，
，则
，可得
，即
到点
的距离和到直线
的距离相
等，则点
在抛物线上，C 正确；
对应D，
，则
，可得
，即
到点
的距离与到直线
的距离
之比为
，则点
在椭圆上，D 错误．
故选AC．
1．如图，已知正方体
的棱长为2，点
为棱AB 的中点，点
在
平面
内及其边界上运动，则下列选项中正确的是（ ）
A．若点
是
的中点，则
B．满足
的点
的轨迹长度为
C．若动点
满足
，则PM 的最小值为
D．若点
到点
的距离等于点
到直线
的距离，且
，则
2．如图，P 是棱长为2 的正方体
的表面上一个动点，则下列说
法正确的有（ ）
A．当P 在平面
内运动时，四棱锥
的体积不变
B．当P 在线段AC 上运动时，
与
所成角的取值范围是
C．使得直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°的点P 的轨迹长度为π＋4
D．若F 是棱
的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足PF∥平面
时，
PF 的最小值是
首先以
为坐标原点，
所在的直线为
轴建立空间直
角坐标系，设
，然后根据题意求出有关直线的方向向量和平面的法向
量，由线面角和二面角的向量公式分别求解判断即可.
以
为坐标原点，
所在的直线为
轴建系，设正方体棱长
为，
，则
，
，面
的法向量
，面
的法向量
，面
的法向量
，
对于A，
，则
，则
，
化简得
满足圆方程，A 正确；
对于B，
，则
，则
，
化简得
，即
两条直线方程，B 错误；
对于C，
，由
，得
，
化简得
满足抛物线方程，C 正确；
对于D，
，得
，
化简得
，即
，
满足椭圆方程，D 错误，
故选AC．
3．如图，在长方体
中，
，
，
是
与
的交点，
、
分别为下底面
、上底面
上的点，且
.现给
出下列结论中正确为（ ）
A．直线
与底面
所成的角为
；
B．异面直线
与
所成角的最
大值为
；
C．异面直线
与
所成角的最小值为
；
D．三棱锥
的外接球的
体积为
.
4．如图，若正方体
的棱长为1，点
是正方体的侧面
上的
一个动点（含边界），
是棱
上靠近
点的三等分点，则下列结论正确的有
（ ）
A．沿正方体的表面从点
到点
的最短路程为
B．若
，点
的运动轨迹是线段
C．若
，则点
在侧面
内运动路径长度为
D．当点
与点
重合时，三棱锥
的体积最大
5．如图，在棱长为2 的正方体
中，E、F 分别是棱
，
的中
点，M 为底面
上的动点，若直线
平面
，则线段
的长度的最
小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
6．如图，在正方体
中，
是
的中点，
为底面
内一动
点，设
与底面
所成的角分别为
均不为
.若
，则动点
的轨迹为
A．直线的一部分
B．圆的一部分
C．椭圆的一部分
D．抛物线的一部分
7．已知正方体
中，
为正方形
的中心．
为平面
上
的一个动点，则下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
的轨迹是圆
B．若
，则
的轨迹是椭圆
C．若
到直线
，
距离相等，则
的轨迹是抛物线
D．若
到直线
，
距离相等，则
的轨迹是双曲线
8．如图，在正四棱柱
中，底面边长
，侧棱长
，
为底面
内的动点，且
与
所成角为
，则下列命题正确的是
（ ）
A．动点
的轨迹长度为
B．当
//平面
时，
与平面
的距离为
C．直线
与底面
所成角的最大值为
D．二面角
的范围是
9．如图，已知棱长为2 的正方体
，动点
是
内部一点
（含边界），则下列选项正确的是（ ）
A．动点
在运动的过程中，三棱锥
的体积是定值
B．对于任意
，
平面
C．动点
到直线
的距离最小值为
D．满足
的
的轨迹长度为
10．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，
，P 是该正四棱
柱表面或内部一点，直线PB，PC 与底面ABCD 所成的角分别记为α，β，且
sinβ＝2sinα，记动点P 的轨迹与棱BC 的交点为Q，则下列说法正确的是（ ）
A．Q 为BC 中点
B．线段PA1长度的最小值为5
C．存在一点P，使得PQ∥平面AB1D1
D．若P 在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1表面，则点P 的轨迹长度为
11．如图，在棱长为的正方体
中，
、
、
分别是棱
、
、
的中点，
是底面
内一动点，若直线
与平面
不存在公共
点，设直线
与直线
所成角为，则
的取值范围是 .
12．在正方体
中，M 为棱
的中点，且
，点P 为底面
所在平面上一点，若直线PM，PC 与底面
所成的角相等，则动
点P 的轨迹所围成的几何图形的面积为 .
