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专题7 立体几何空间角的向量求法
1．如图，在正方体
中，点
分别是
的一个四等分点，且
，求
与
夹角的余弦值．
2．如图，在三棱锥
中，
、
、
两两垂直，且
，
为
的中点.
(1)证明：
；（用向量方法证明）
(2)求直线
与
所成角的余弦值.
3．如图，在三棱锥
中，
，
，
，点E 为
的
中点.
(1)求证：
；
(2)若平面
平面
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
4．如图，在直三棱柱
中，
，
，点E，F 分别为棱
，
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与直线
的夹角的余弦值．
5．如图，矩形
中，
，
，E 为BC 的中点，将
沿
翻折至
，
平面
平面
．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
6．如图，在四棱锥
中，
，
，
，
平面
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)若E 是
的中点，求平面
与平面
夹角的余弦值.
7．如图，在四棱柱
中， 侧面
和底面
均为菱形， 且
为
的中点，
与平面
交于点
，
(1) 求证:
为
的中点；
(2) 若平面
平面
，求二面角
的余弦值.
8．在平面四边形
中,
，
，
，
，
将
沿AC 翻折至
，且满足
.
(1)求证：
平面
；
(2)求二面角
的正弦值.
9．如图，正四棱锥
，
，
，
为侧棱
上的点，且
．
(1)求证：
；
(2)求异面直线
与
所成角的余弦值．
10．如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
分别为
，
的中点．
(1)求证：
；
(2)求直线
与平面
所成角的余弦值．
11．如图，在长方体
中，
，
，
为棱
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
12．如图，在四棱锥
中，底面ABCD 是边长为1 的正方形，
，
，
，E 为线段PD 的中点.
(1)证明：直线
平面ACE；
(2)求直线PC 与平面ACE 所成角的余弦值.
13．如图1，在矩形
中，
，
，点E，F 分别在边AD，BC 上，且
.将四边形
沿
翻折至四边形
，使得
，如图2 所示.
图1 图2
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
14．如图，在三棱锥
中，
，
，点
在
上，且
，
.
(1)若
为线段
的中点，求证：直线
平面
；
(2)若
平面
，求平面
与平面
夹角的余弦值.
15．如图，在直角梯形
中，
，
，
，
，
于
，沿
将
折起，使得点
到点
的位置，使
，
，
分
别是棱
，
的中点.
(1)证明：
；
(2)求平面
和平面
的夹角的余弦值.
16．在如图所示的几何体中，
平面
是
的中点，
．
(1)求证:
平面
；
(2)求二面角
的正弦值．
《专题7 立体几何空间角的向量求法》参考答案
1．
【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用空间角的向量求法，即可求解.
【详解】设正方体的棱长为1，分别以
为单位正交基底建立空间直角坐标系
，
则
，
所以
．
，
，
．
所以
．
因此
与
夹角的余弦值是
．
2．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立空间
直角坐标系，计算出
，即可证得结论成立；
（2）利用空间向量法可求得直线
与
所成角的余弦值.
【详解】（1）在三棱锥
中，
、
、
两两垂直，且
，
为
的中点.
以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立如下图所示的空间
直角坐标系，
则
、
、
、
、
，
所以，
，
，则
，故
.
（2）
，
，
所以，直线
与
所成角的余弦值为
.
3．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）取
中点
，由题意可证
，
，进而可证
平面
，再由线面垂直的性质定理可证
；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出直线AC 的方向向量与平面BCE 的法向量，利用空间
向量求线面角即可.
【详解】（1）取
中点
，连接
，则
，
因为
，所以
，
因为
为
中点，所以
，
因为
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
．
（2）因为平面
平面
，平面
平面
，且
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以
，
由（1）知
，所以
两两垂直．
以点
为坐标原点，直线
分别为
轴，
轴，
轴，建立如图所示的空间直角
坐标系，
则
，
所以
．
设平面
的一个法向量
，则有
，即
，
令
，则
，
，所以
．
设直线
与平面
所成的角为
，
则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
．
4．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证
为平行四边形，再由线线平行证明线面平行即可；
（2）由题意建立空间直角坐标系，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计
算即得．
【详解】（1）∵
是直三棱柱，∴
，
又点E，F 分别为棱
的中点，∴
，
∴四边形
是平行四边形，所以
，
又
平面
，
平面
，
故
平面
．
（2）如图，直三棱柱
中
，
以
为原点，以
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
不妨设
，则
，
于是
，
设直线
与直线
的夹角为
，
则
，
则直线
与直线
的夹角的余弦值为
．
5．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接
，即可证明
，再由面面垂直的性质得到
平面
，从
而得到
，结合
，即可得证；
（2）以
为原点，建立空间直角坐标系，求出平面
的法向量，利用空间向量法计算
可得.
【详解】（1）连接
，由
，
，得
，
由
，
，得
，
所以
，
所以
，即
，
由平面
平面
，
平面
，平面
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以
，
又
平面
，
所以
平面
.
（2）如图以
为原点，建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，取
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
直线
与平面
所成角的正弦值为
．
6．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过计算由勾股定理可证得
，利用条件证明
平面
，
再由线面垂直可证面面垂直；
（2）如图，建系，写出相关点的坐标，求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计
算即得.
【详解】（1）因为
平面
，
平面
，所以
因为
，
，
，
所以
，
，
，
所以
，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
因为
平面
，所以平面
平面
.
（2）因为
平面
，
，
所以以
为原点，以
，
，
分别为x，y，z 轴正方向建立如图空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
则
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
取
，得平面
的一个法向量
，
易知平面
的一个法向量为
，
设平面
与平面
的夹角为
，
则
，
平面
与平面
夹角的余弦值为
.
7．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面平行可得
，根据中位线的性质可得；
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量法求解二面角的余弦值.
【详解】（1）在四棱柱
中，
平面
平面
，
又因为平面CDE
平面ABCD=CD，
所以
，
又因为
，所以
，
又因为E 为
的中点，所以F 为
的中点
（2）取AD 的中点O，连接
，
在四棱柱
中，
四边形
，四边形
均为菱形，
又
所以
均为等边三角形，
所以
，
又因为平面
平面ABCD，平面
平面ABCD=AD，
平面
，所以
平面ABCD，
平面ABCD，所以
，
如图建立空间直角坐标系
，
所以
，
所以
即为平面
的一个法向量，
，
设平面
的一个法向量为
，
所以
，令
得
，
所以
，
所以
，
因为二面角
为锐角，
所以二面角
的余弦值为
，
8．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法求解即可.
【详解】（1）
，
.
又
平面
，
平面
，
平面
.
（2）以点A 为坐标原点，垂直于AB 的直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z
轴建立空间直角坐标系，
由
，
，
.
，则
，
故
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
.
设平面
的一个法向量为
，
则
，故可取
，
设二面角
的平面角为
，
则
，故
，
所以二面角
的正弦值为
.
9．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连结
交
于点
，连结
，证明四边形
是正方形，证明
平面
，证明；
（2）以
为原点建立空间直角坐标系
，利用空间向量即可求解.
【详解】（1）连结
交
于点
，连结
，
因为正四棱锥
，所以
平面
，
又
平面
，
所以
，因为正四棱锥
，
所以四边形
是正方形，
所以
，因为
，
，
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以
；
（2）
因为
，
，
，
所以以
为原点建立空间直角坐标系
，
，
，
，
，
所以
，
，
所以
，
因此异面直线
与
所成角的余弦值为
.
10．(1)证明见解析
(2)
．
【分析】（1）由直棱柱的性质可得
平面
，则
，而
则由线面
垂直的判定可得
平面
，则
，而
，则
平面
，再由
线面垂直的性质可得结论；
（2）以
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解.
【详解】（1）证明：连接
，
因为三棱柱
为直三棱柱，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
又
，
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，则
，
因为在直三棱柱
中，
，所以四边形
为正方形，
所以
，
因为
，
、
平面
，所以
平面
，
又
平面
，则
．
（2）因为直三棱柱
中，
，
所以
，
，
两两垂直，
所以以
为原点，分别以
，
，
所在的直线为
，
，
轴建立如图所示的空间
直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
所以
，
，
．
设平面
的一个法向量为
，则
，
令
可得
．
设
与平面
所成角为
，
所以
，
即
与平面
成角的正弦值为
，
所以
与平面
成角的余弦值为
．
11．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以点
为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明
，
，再根据线面垂直的判定即可证明；
（2）由（1）得
是平面
的一个法向量，设直线
与平面
所成的角为
，
则
，代入计算即可.
【详解】（1）如图，以点
为坐标原点，以
，
，
所在直线分别为
轴、
轴、
轴，建立空间直角坐标系.
则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
因为
，
，
所以
，
.
因为
，
平面
，
，
所以
平面
.
（2）由（1）得
是平面
的一个法向量，
.
设直线
与平面
所成的角为
，
则
，
故
，
则直线
与平面
所成角的正弦值为
.
12．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接BD 交AC 于点H，证明
，由线线平行即可证明线面平行；
（2）先证明
平面
，建系后，求出相关点和向量的坐标，利用线面角的向量求法
计算即得.
【详解】（1）
如图，连接BD 交AC 于点H，连接HE，
因四边形ABCD 是正方形，则H 是BD 的中点，
又因E 为线段PD 的中点，可得
，
由于
平面ACE，
平面ACE，
所以直线
平面ACE；
（2）
因为底面ABCD 是边长为1 的正方形，所以
，
又因为
，
，且AD、
平面
，
所以
平面
，
因为
，故可分别以AD，AP，AB 为
轴的正方向建立空间直角坐标系
；
又底面ABCD 为边长为1 的正方形，
，
则
，
，
，
，
，
则
，
，
，
设平面ACE 的一个法向量为
，
则
， 令
，则
，
设直线PC 与平面ACE 所成角为
，
则
，因
，
所以
，
即直线PC 与平面ACE 所成角的余弦值为
.
13．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明结论.
（2）连结
，利用勾股定理得
，过点
作
，则
.
以
为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得线面所成角的正弦值.
【详解】（1）
，
，
，
，
.
，
，
，
.又
，
平面
，
，
平面
.
（2）连结
.
，
，
，
.
过点
作
，则
.
又
平面
，则
，
，
，
以
为原点，
，EF，
所在直线分别为
轴、
轴、
轴，
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
.
设平面
的法向量为
，
则
即
取
，可得
.
设直线
与平面
所成的角为
，
则
.
故直线
与平面
所成角的正弦值为
.
14．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取
中点
，在平面
中，过点
作
，连接
，先证
明四边形
是平行四边形，再根据线面平行判定定理证明；
（2）过点
作
交
于点
，根据条件证明
两两互相垂直.以
为坐
标原点，建立空间直角坐标系
，利用空间向量法计算平面
与平面
的夹角.
【详解】（1）取
中点
，在平面
中，过点
作
，连接
，
因为
为线段
的中点，所以
，
又因为
，
，
，所以
，
由上可得
，所以四边形
是平行四边形，
所以
，又
，所以直线
平面
（2）过点
作
交
于点
，
因为
平面
，所以
平面
因为
，所以
因为
，所以
两两互相垂直.
如图，以
为坐标原点，所在直线
分别为
轴，建立空间直角坐标系
，
根据题意
，
.
所以
设平面
的一个法向量为
，
所以
即
可取
．
平面
的一个法向量为
设平面
的一个法向量为
，
所以
即
可取
．
可得平面
的一个法向量为
．
设平面
与平面
的夹角为
，则
所以平面
与平面
的夹角为
.
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先由线线垂直证明
平面
，再由线面垂直得
，证明
，即得
；
（2）由题意建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量坐标，利用向量夹角的坐标公
式计算即得.
【详解】（1）根据题意，沿
将
折起后，
，
平面
，则
平面
，
因
平面
，则
，由左图易得矩形
，故
，故
，得
证.
（2）由（1）
平面
，
平面
，则
，
故可分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系
(如图).
则
，
因
，
分别是棱
，
的中点，则
，
则
，
设平面
的法向量为
，
则
，故可取
；
因
，
设平面
的法向量为
，
则
，故可取
.
设平面
和平面
的夹角为
，
则
.
即平面
和平面
的夹角的余弦值为
.
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取
的中点G，连接
，得出
，由线面垂直的性质及判定得
出
平面
，即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式即可求解．
【详解】（1）证明：取
的中点G，连接
，
因为F 是
的中点，所以
，
因为
，所以
．
又因为
，所以四边形
是平行四边形，所以
，
在
中，
，
，有
，
因为
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
因为
，
平面
，所以
平面
，
又因为
，所以
平面
．
（2）由题可知直线
两两垂直，则以C 为原点，直线
分别为x，y，z
轴建立空间直角坐标系，不妨设
，
则
，
所以
，设
是平面
的一个法向量，
则
，
令
，得
，
，
所以
是平面
的一个法向量，，
平面
的一个法向量为
，设二面角
的大小为
，
则
，
所以
，
所以二面角
的正弦值为
．
