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专题5 立体几何证明平行问题
1．在三棱柱
中，E，F 分别是
的中点，如图，求证：
平面
．
2．如图所示，四棱锥
中，四边形
是矩形，平面
平面
，
，点
是线段
的中点，点
在线段
上，且
，求证：
平面
.
3．如图所示，在三棱柱
中，若
、D 分别为
、BC 的中点，求证：平面
平面
．
4．如图，多面体
中，四边形
与四边形
均为梯形.已知点
四
点共面，且
.证明：平面
平面
.
5．如图，已知四棱锥
中，底面ABCD 为平行四边形，点M、N、Q 分别是PA、
BD、PD 的中点.求证：
(1)
平面PCD；
(2)平面
平面PBC．
6．如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，且
，点
为棱
上一点（不与
重合），平面
交棱
于点
．
求证：
.
7．空间四边形
中，点
为边
上的点，且
，
求证：
.
8．如图，四边形ABCD 为长方形，
，
，点E、F 分别为AD、PC 的中
点．设平面
平面
．
(1)证明：
平面PBE；
(2)证明：
．
9．如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，点
在棱
上（不与端点重合），
，
分别是
，
的中点.证明：
平面
.
10．如图，点E 不在平面ABCD 上，ABCD 是正方形，F 为BE 的中点．求证：DE∥平面
ACF．
11．如图所示，在三棱柱
中，E，F，G，H 分别是AB，AC，
，
的中
点．求证：平面
平面BCHG．
12．如图，已知长方体
中，
，
.
为
的中点，平
面
交棱
于点
.求证：
；
13．如图，在四棱锥
中，
平面PAD，
，点N 是AD 的中点．求
证：
(1)
；
(2)
平面PAB．
14．如图，在三棱锥P－ABC 中，D，E，F 分别是PA，PB，PC 的中点．M 是AB 上一点，
连接MC，N 是PM 与DE 的交点，连接FN，求证：FN CM
∥
．
15．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为2，点F 为棱CC1的中点，过直线AF 作一平面，
与棱BB1，DD1分别交于E，G 两点．求证：四边形AEFG 为平行四边形；
16．如图，在四棱柱
中，底面
为梯形，
，平面
与
交于点
．求证：
．
《专题5 立体几何证明平行问题》参考答案
1．证明见解析
【分析】由已知可得
，进而由线面平行的判定定理可证
平面
．
【详解】因为E，F 分别是AC，
的中点，所以
．
又
平面
，
平面
，所以
平面
．
2．证明见解析
【分析】连接
交
于
，先根据中位线性质证明线线平行，得出
，再根据
线面平行的判定定理证明
平面
.
【详解】连接
交
于
，连接
，
四边形
是矩形,
是
的中点，
是线段
的中点，
是
的中位线，
，
又
平面
，
平面
，
平面
.
3．证明见解析.
【分析】利用面面平行的判定定理证明即可.
【详解】证明：如图所示，连接
交
于点M，
∵四边形
是平行四边形，∴M 是
的中点．连接MD．
∵D 为BC 的中点，∴
．
∵
平面
，
平面
，∴
平面
．
又由三棱柱的性质知，
，∴四边形
为平行四边形，∴
．
又
平面
，
平面
，∴
平面
．
又∵
，
平面
，
平面
，
∴平面
平面
．
4．证明见解析
【分析】先根据线面平行的判定定理证明
平面
，
平面
，再根据面面平
行的判定定理即可得证。
【详解】证明：四边形
与四边形
均为直角梯形，
且有
，
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
同理可得
平面
，
因为
平面
，且
，
所以平面
平面
，得证.
5．(1)证明见解析；
(2)证明见解析﹒
【分析】(1)利用三角形中位线证明MN∥PC 即可；
(2)利用中位线证明NQ∥PB，结合(1)中结论即可证明．
【详解】（1）由题意，四棱锥
的底面ABCD 为平行四边形，点M、N、Q 分别
是PA、BD、PD 的中点，∴N 是AC 的中点，∴
，
∵
平面PCD，
平面PCD，
∴
平面PCD；
（2）由(1)知
，
平面PBC，
平面PBC，
∴MN∥平面PBC，
∵ABCD 为平行四边形，∴N 是BD 中点，又∵Q 是PD 中点，
∴在△PBD 中，NQ∥PB，
∵PB
平面PBC，NQ
平面PBC，∴NQ∥平面PBC，
∵MN∩NQ=N，MN、NQ
平面MNQ，
∴平面
平面PBC．
6．证明见解析
【分析】
根据线面平行判定定理证明
平面
，然后再由线面平行的性质定理可证.
【详解】证明：∵
平面
平面
，
∴
平面
，
又
平面
，平面
平面
，
∴
.
7．证明见解析
【分析】利用线线平行证线面平行，再由线面平行的性质判定证明线与线平行，得到结论.
【详解】∵点
为空间四边形边
上的点，
∴直线
平面
，直线
平面
,
又
，
∴直线
平面
,
又∵
平面
且平面
平面
，
∴
.
8．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理、平行四边形的性质、
线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）根据面面平行的性质进行证明即可.
【详解】（1）取PB 中点
，连接FG，EG，
因为点E、F 分别为AD、PC 的中点，
所以
，
，
因为四边形ABCD 为长方形，所以
，且
，
所以
，
，所以四边形DEGF 为平行四边形，
所以
因为
平面PBE，
平面PBE，
平面PBE；
（2）由（1）知
平面PBE，又
平面PDC，平面
平面
，
所以
.
9．证明见解析
【分析】连接
，利用中位线的性质可得
，结合线面平行的判定即可证明.
【详解】连接
，
因为底面
是正方形，所以
是
的中点，
又因为
是
的中点，所以
是
的中位线，
所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
10．证明见解析
【分析】根据线面平行的判定定理，只需在平面
找到一条直线与
平行即可.
【详解】连接BD 交AC 于G，连接FG．
∵F、G 分别为BE、BD 的中点，
∴
，
平面ACF，DE
面
，
∴
平面ACF
11．证明见解析
【分析】证明
，进而证明出
平面BCHG，再证明
，得到
平
面BCHG，从而证明面面平行.
【详解】证明：∵E，F 分别是AB，AC 的中点，
∴
．
∵
平面BCHG，
平面BCHG，
∴
平面BCHG．
∵
，且
∴四边形
是平行四边形，
∴
．
∵
平面BCHG，
平面BCHG，
∴
平面BCHG．
∵
，
∴平面
平面BCHG．
12．证明见解析
【分析】由面面平行的性质可得
平面
，再由线面平行的性质即可证结论.
【详解】由长方体的性质知：平面
平面
，又
面
，
面
，又平面
平面
，且
面
，
.
13．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用线面平行的性质可证线线平行；
（2）先证明四边形ABCN 是平行四边形得到
，利用线面平行的判定定理可证结论.
【详解】（1）∵
平面PAD，
平面ABCD，平面
平面
，
∴
．
（2）由（1）知，
，
又N 是AD 的中点，
，∴
，
∴四边形ABCN 是平行四边形，∴
，
又
平面PAB，
平面PAB，∴
平面PAB．
14．见解析．
【分析】先通过中位线，通过线线平行，证得平面
平面
，在根据面面平行的
性质定理证得
.
【详解】因为D，E 分别是PA，PB 的中点，所以DE AB
∥
．
又DE
平面ABC，AB
平面ABC，所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，
所以平面DEF∥平面ABC．
又平面PCM∩平面DEF＝FN，
平面PCM∩平面ABC＝CM，
所以FN CM
∥
．
【点睛】本小题主要考查线线平行的证明、线面平行的证明和面面平行的证明，其中涉及
到了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，还有面面平行的性质定理.在平行转化的
过程中，已知和求之间，用判定定理还是性质定理，要看清楚题目所给的条件来判断.
15．证明见解析
【分析】根据已知条件及平面与平面平行的性质定理得出
，
，
再结合平行四边形的判断即可证明；
【详解】证明：∵平面
平面
，平面
平面
且平面
平面
由面面平行的性质定理可知：
，同理可证：
，
故四边形AEFG 为平行四边形.
16．证明见解析
【分析】根据四棱柱性质可证明平面
平面
，再利用面面平行的性质定理即可证
明
.
【详解】由四棱柱
可知，
，
平面
，
平面
，
所以
平面
；
又
，
平面
，
平面
，
所以
平面
；
又
，
平面
，
平面
；
所以平面
平面
，
又平面
平面
，平面
平面
，
所以
.
