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第1 题 探析向量运算的基底法（解透一题）
【2025 年6 月镇江市高一期末考试T14】
在平行四边形
中，
，
，
，
分别为边
，
上的动点.
若
，
，则
______；若
，
，则
的
取值范围是______.
试题聚焦平面向量线性运算与数量积核心知识，强化基底法工具性；设计定点、动点梯度
问题，体现从静态到动态、特殊到一般的思维进阶；以平行四边形为载体，渗透“数形结
合”核心素养，考查几何与代数转化能力.
试题亮点：平行四边形经典背景，定点、动点分层设置，兼顾基础与能力；全程贯穿“基
底法”，强化向量问题通性通法；融合数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养，考查
知识综合运用能力.
试题直接关联教材中“向量线性运算（平行四边形法则）、数量积定义与运算律”，如向
量分解、分配律运用；第二空融合“二次函数单调性与闭区间最值”，体现向量与函数跨
模块知识衔接.
基底向量法的基础源自平面向量基本定理，在解决向量相关问题时，先选择一组基底，将
问题中涉及的向量都用这组基底表示出来，再通过向量的运算来解决问题.根据题目所给的
条件选择合适的基底，然后将已知向量和未知向量都用基底表示，最后通过向量的运算建
立方程或等式，从而求解问题.例如人教A 必修二教材P26
例1 如图，
，
不共线，且
，用
，
表示
.
解：因
，
所以
对数量积计算可以选择的极化恒等式，源自人教A 必修二教材习题的理解
教材P22 练习3.
1．求证：
．
对教材习题深挖，则可总结出极化恒等式几何意义：平行四边形模型：向量数量积等于以
向量为邻边的平行四边形“和对角线”与“差对角线”平方差的
.
三角形模型：若 M 是△ABC 中边 BC 的中点，则：
应用用于解决向量数量积的定值、最值、范围等问题
寻源高考 类似考法在高考试题多次出现，例如2023·天津·高考真题
在
中，
，
，记
，用
表示
______；若
，则
的最大值为______．
解析：空1：因为
为
的中点，则
，可得
，
两式相加，可得到
，
即
，则
；
空2：因为
，则
，可得
，
得到
，
即
，即
.
于是
.
记
，
则
，
在
中，根据余弦定理：
，
于是
，
由
和基本不等式，
，
故
，当且仅当
取得等号，
则
时，
有最大值
.
故答案为：
；
.
向量具有数与形的双重身份，是联系代数与几何的桥梁，尤其是数量积问题的求解更是体
现大小与方向的两大要素.在平面几何图形给定后，求解相关的数量积问题，我们可以有一
下几种处理问题的策略:向量的三种表示对应三种运算，图形表示即构造几何图形直线与圆、
解三角形等;字母表示即基底法;坐标表示即建立平面直角坐标系解析法.、
解题思路分析：
的模长和数量积已知，可以选作作基底.用基底表示
，
，利
用数量积的运算律计算即可完成第一空，；第二空，用
作基底表示
，
，结
合数量积的运算律，用参数k 表示
的取值，再结合函数求范围.
方法1 基底向量法
解析：因为
，所以
，
又
，所以
，
所以
；
因为
，所以
，
所以
，
，
所以
，
又因为
，所以
..
故答案为：3;[1，3]
【方法点评】
通过基底的已知模长、夹角或几何关系，利用向量运算律（如数量积、加减法）解决问题，
是解决问题的通用方法.
方法2 坐标向量法(代数法)
由已知
，
．
如图所示，以
为原点建立平面直角坐标系
，
则
①当
，
时，
．
②由已知，
，
．
．
即
的取值范围为
．
【方法点评】
坐标向量法的关键是建立适当坐标系，如果先分析图象特征，比如
又
又
易知
作
如图
又
，以
为坐标原点建立直角坐标系如图．
运算会有移动程度的优化.
向量试题，解题方向一般有二，一是基底向量法（几何法）：选取平面内任意一组不共线
的非零向量（称为“基底”，如
），将平面内任一向量
表示为基底的线性组合：
为唯一实数）.通过基底的已知模长、夹角或几何关系，利用向量运算律
（如数量积、加减法）解决问题.二是坐标向量法（代数法）：建立平面直角坐标系，以坐
标轴上的单位正交基底)i=(1，0)，)j=(0，1)）为固定基底，将向量表示为坐标形式.通过坐
标代数运算（如向量加减、数量积的坐标公式）解决问题
坐标向量法的核心是建立坐标系，用坐标表示点和向量，再通过向量坐标运算求解
坐标法的本质是固定基底的基底法.基底法中的基底可以是任意不共线向量，而坐标法强制
选择单位正交基底（i，j），因此坐标法是基底法的一种标准化、代数化特例.
坐标向量法与基底向量法同根同源（均基于平面向量基本定理），但分工不同：基底法是
“几何灵活版”，坐标法是“代数标准版”.坐标法通过固定基底（单位正交基底）将向量
问题转化为代数问题，是基底法的特例；而基底法通过灵活选择基底保留向量的几何意义，
是坐标法的推广.两者结合使用，可高效解决平面几何中的向量问题
选择建议：优先坐标法：若问题可建立直角坐标系且涉及大量计算（如面积、夹角）.选用
基底法：若几何结构复杂但存在已知基底.若图形对称性强，尝试几何法
【基底法+函数思想类练】
（2018 天津高考改编）
2．如图，在平面四边形ABCD 中，
，
．若点
为边CD 上的动点，则
的最小值为 ．
【基础训练 平面向量基本定理应用训练】
3．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD
交于点F，若
，
，则
A．
B．
C．
D．
【拓展训练 深化平面向量基本定理进行解题】
4．如图，在四边形ABCD 中，
为BC 边上一点，且
为AE 的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【基础训练 坐标向量法练习应用训练】
5．在平行四边形
中，
，
，
，点
，
分别在边
，
上（不与端点重合），且
，则
的取值范围为 ．
【拓展训练 高考真题类练】（2023·天津·高考真题）
6．在
中，
，
，记
，用
表
示
；若
，则
的最大值为 ．
