🌈
⾼三冲刺笔记-平⾯向量（四）
考点归纳：平⾯向量基本定理及坐标表示
平⾯向量基本定理
:
1 定义: 如果
e ,e = 是同⼀平⾯内的两个不共线向量, 那么对于这⼀平⾯内的任向量a
,
存在唯⼀
- 对实数λ
.
λ 2
使a =λ i
*+λ zez→
设:
7 A
0
> B
ca
→
基底
□
M
ω
7 √
→
0
0
e
,
:
A
>
c
证
:
∵
O←= OA + OB
Λ
Λ µ
=
λ iO* +λ zoN
0
7
⾄
B
= λ
,ei +λ ze,
理解: 平⾯上任⼀向量可以⽤其它两个不共线向量表示
”
⼆
.
平⾯向量的坐标表示
;
1
. 表示
: a
= xi + yj
记作= (
x ,
y )
⼀
⼈
单位向量
加
7
j
Λ
, ,
;
理解
: 有且只有⼀对实数
x
, y 使a
= xityj
—
”
i
2
, 坐标运算
:
⼩加减
: 差=
(
x , φ. )
b
= (
λ
2 , Y 2
) , @ ±
5
= (
x , ±
加,
φ ,
t
≈⽅向向量
: 为A
( x , Y
. )
B
( x 加
, Y 2 ]
, AB
=
( Da
- )
,
Yz
- Y
,
)
3 数乘
: 差a
=
( x , y .
)
>λ
a
= ( λx
* , λy )
⼭平⾏
: 差δ= ( x , Y
, )
b
= ( 加
, Y 2 ) 则
@ 11 b
>
⼒
, Y 2
- 加乐
,
= O
⑤
3 垂直
: 若a
=
( x , φ
. )
B
=
( λ
加, Y 2 ) 则@ I
为,
⼒, 加+ 时
, Yz
= 0
⼼
、数量积( 点
): 乘差
a
= ( x , Y )
5 =
( m ,
% )
, 5 = x
, 加ty
步
n )
模
: 差δ= ( x , Y ]
, |
1
:
xi
+
y
,
2
a
”
. b
⼒
, 加+ YYz
"
夹⻆差π=
(
x , Y )
b = ( 加⽣
) 由osotali 51 f
Y
,
" + y .
:
. x + y:
6
🌶
🌶
🌶
🌶
📍
题型训练：平⾯向量基本定理与共线问题
🌶
D
、
“
上
,
⼀
e
,
→
B
c
c
c
L
↳AB : DBD
解
:
BD
7
= CD
' -CB = ei
' - 4es
: 2 e '
+kes
: λ
e
,
? - 4
λ e
'
. : λ= 2
.
K =
- 8
解:
m>=λ n
)
,
☆+ kb
'
=
x ( 2 a
. 5 )
= 2xa
- xb
∴{
1
= ax
k
=
- ⽂
k =
- X
,
🌶
🌶
🌶
6
> M 为重⼼
解
:
OM
'
= DOA + YOB
'
+ 2
O δ
, 若
A
.
B
.
C
,
M
共⾯
,
xty + 2 =
1
.
且
OA
- OM
+
OB
-
OM
+
OC
-
OM
→
→
→
→→
7
ONMP
=B O 7
+5OB +
BOx
A
解
:
OP
:
XOA '
+ YOB + z0
) ( x
+ Y +
2
=
1 )
则P
在DABC
内
→
A
' AP '
=OP
-OA ' =20
OB
-
O 8
>
OP
=
30A
'
-
013
'
- OD
( 3
-
1
-
1
=
1 )
B :
PB
:
0
B-
OP: OA+
O
+Ox
,PP =
-
OA'
-
OD
x
C
:
OP
-
OC
→
→
=
2 OA
+
30 B- HOx>
OP=
2 OA+
301B
- 30x
= 2
x
D
:
OR
- OT
=
2 AP tOx
= 2 CO -
O
☆)tx →OP: D (OT +OA - ]
X
BC
= -zx
⼈
,
充不必
,
×
D
:
若
θ+ K' + a
- KB
>
(π+
K5 )
.
LE
- KD )
= 0
.
,
k=± 4
BD
→若共线→
2λ= D ( λ
-
1 ) →
λ= 0 或λ=3
.
x
- b
+ 2 G
= 2 a
- b
→
-
1
=
2 λ
λ=D
V
I ( λ
. iJD + 2λ5]
. [
- cb
- aa )
→→}
=
- 2 #。
,
√
🌶
🌶
🌶
什
解:
M
+ (
.
2 )
+
(
-
1 ) =
1
:
m = 对
解c .
) ,∵| a- 2 ☆|=
2 .
∴
2 - 4ab→+ 452
= 4
: θ
, 5 夹⻆州60
'
,
| a (
: 2
,
.
:
H
- 4 X 2 x
(51
λ
cos 60
'
+ +|52
: 4
.
→
| D 1 =
1 或
|5 |= 3 (舍)
( 2 )
AB
: DBD
: BD
= CD
- CB
→→
=
( 3
-
k ) .
e
-( 2 k
+ 1 )e
i
-3 e + ae
= D ( 3
- k ) -
- λ ( 2 k +
1) ,e
{
λ (
3
- k )
= 3
9
K=
- 4
-λ
〈2k + 1 )
=α
解
:
(以
BD
= BC + CD
→
=
2
e ☆-8
e
* =4 AB':
A
.
B
,
1
D 三点共线
( 2 )
2De" te2
= K
L *
+ De ) :ke '
+ K λ
"
2双筋
→{ 微或
{品
{
解以
AE :
G
+ 5
D = 2a
- 5
( 2 )
:
DT
= 3 DI ,:
D = sl 2
a -
b
→
]
在ODFC 中
.
CF
= CD
+ BF
= -π+ 3 ( 2a
- 5
)
=
- 5 (a + 5
)
=
- 5Ac
即F ε= A→
.
∴
AF .
C
.三点共线
📍
题型训练：平⾯向量基本定理与线性表示
🌶
🌶
🌶
🌶
c
x
解
:
⼈
θ
0 A
'
:
-
Oδ
设
AD : DAB
A
⽅
B
" OD
: OA'
+ AD'
: OA'
+
λ AB '=
OA'
+ λ ( AI
+ OB)
:
X =
1
- λ
,
φ=
- λ
.
> x
- y
=
1
= (
1 - λ ) OA ' + λ OB
D
⼼空间共⾯
解
:
由题
λ+ y
-
1
=
1
,
x=
2 -
y ,
)
x
=+ y2
=
(
2 -
Y ) 2
+
y ' :
2 y
2
- *Y
+ * = 2
( Y
-
1 )
P
+2 ≥2
,
B
解
:
AP- AP
=
AB
' - A
δ
> BP
'
= C
A
解
:
λ+ 2 y
- |=
1
)
x :
2
-
2 y
. ;
x = ty
÷ (
2 - 2 φ
}
2 +y ÷5 y ≥- 8yt 4 = 5
( φ -
5^+≥5
河
解
:
A
当
M 与
0 重合
λ+ 2 µ 最⼩
①
。
0
此时
AM
: RAB +WAt 3 .IZ (ABtAC
→
→]
] =5A + 5 Ax
√
0MV
)
.
: λ=ω= 3
.
即λ+
2 l
=
1
.
B
c
2
当
M 与
C重合⼑+
2 以最⼤
,
此时
AM
=
Ax
λ= 0 ,
w
= 1 .
: )+
2 ω= 2
.
🌶
🌶
🌶
A
解:
D
0
c
DE
: TAB
- YAD
D = 4
,
ω=
-☆
A
0EJ
B
∴
2
-
U 2
= - D
D
.
解
A
π
BI
7
=
DBA
'
+
4 Y
BDP
@ E
,
: *) (
x + 44 )
B
吕
x
X+ 4φ= 1
.
=*
Y
+
Yx
+ 9
≥2
8
+ q = 4It 9
A
解: AE =ABTBE
=ABt IBE
=ABtZA
AT : AD + DF
= AD + 3 Dx = AP + 3 AB
∵G为E下中点
: AE →=☆(AIT+ AT ) =⑤AB +A
λ= 为
.
µ :
,
D
A =
5 AB + 5 AD
∴
X = 5
φ=⑤
, : 2 x +
φ : ⑤+= 2
📍
题型训练：平⾯向量坐标运算
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
A
A
解
:
θ :x ☆{
8=
⼊
A
A
解: 设P
( a
. b )
>
( a
- 2
,
b
- 3 )
=
- 2
(
1
- a
,
4
- b )
>
Q: 0
,
b : 5
A
B
解
2 a
-b
→
:
( 0
.
3 )
,
4a
- 25
=
( 0
.
6
)
1
a
- 25
= (
- 3
,
0)
2
1
-
2
3 = (
3 .
6
) ,
a
= (
1
,
2 )
同理5
= ( 2 )
⼜
∵λ a
'
+ ub
'
=
( i ) + 2 U
,
2 λ+ h )
=
( 1
,
" )
.
:
λ+ 2 U =
-
1
{
2λ+ u
:
1
, { 裂
A
解
:
τ=
( λ
,
2 λ ) +
( 2 U
, 3 U )
=
( λ+ 2 U
,
2λ+ 3 U )
= (3
. 4 )
.
: λ+ 2 Ul
= 3
,
2 D + 3 U :
4
.
:
λ=
- 1
,
U= 2
.
C
解
:
@ + 5 =
( 3
- k
,
6 )
.
K)= ( 3 k
, 4 k )
.
:
3 k ( 3 - k
)
= 6×4
k ∴k
=- 或k
= 0
( 舍)
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
D
解
:
θ
- ab
'
:
( V3
.
3
)
:
3 k: JxVs
:
k= 1
A
解
:
mat 5
'
=
( 2 m
.
n
,
3 m +
In )
,
- 25= (
4 ,
-
1
)
,
:
(
2 m-
n
) .
C -
1
)
-
4 (
3 m + 2 n)
=
0 ,
:
-
14 m : τ
n.
…
: 号
=
- 2
A
.
解
:
7 × cosa
=
- 2
.x sin a
.
:
tana =
-2
B
解:
: 1 /" :
D
( λ+ 1 )
=
2. :λ= 1 或λ= -
2
1
当λ=
1
.
m =☆
( 舍了
,
A
解
: 设θ=
( x
. Y
)
.
∵
|a|= 2
.
b =
(
-
1
.
1 )
. 且Q
, 5 共线
:
X
2
+ y== 2
{
Xty
=
0
, 州或{ 符即@
=
(
1
.
- 1 )
或( -
1 . 舍
A
解: : θ+ 25 |= fa
- 251
; ( A +25
}
2
: (
G -25
)
2
,
即Qb
→:
0 ,
: δ= ( 2
.
- 3 )
,
5
=
( m
. 1 )
: .
5
= 2
m
- 3 = 0 i
m=
c
解:
ab - - ②I
1
( G
-②BR
:
2
+
2
D'
-
2Iab
=
5
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
D
解
:
θ
. b :
2x
+ 2
- 4
=
0
: x =
1
.
5
=
( 2
.
4 )
,
2 +5 : (
6 .
2)
2a+51 = 2 后
D
解
|µ
- a5
|
:
(
- 3 ) =+ (
-4)
2
= 5
c
解
:
2@ +5 :
(
1
,
2 t )
.
:
1 + ( 2 t )
=
= 3
.
it = ±√a
A
解
:
| 0 |= a
.
151
:
2
.
a
. 5 :
0
la + 351
:
G
'
+ q5
'
+ 6a
'5
=
2 p
解
: - 25
=
(
- 3
.
- 2 )
a
- 25 |=
B
解: Ka.
5 =
(
k -
2,
" )
☆+ 3 D
=
( 2
.
3 )
,
:
- τ=
3 ( k
- 2 )
: k
=
- 3
: x =
6 或
X
=-
(舍)
.
解
:
+ 2 ☆"
=
(
3 + 2 x,
0 )
2.
5 =
(
6
-
x ,
5 ) :
( 3 + 2 x ) ( 6
- x)
+
0
× 5 = 0
. IA+ 5
1
= 的
( 2 )
B + s
=
( x
-
8
,
- 2 )
,
☆1/ (D +εδ
)
;
3
×
( .
2
)
-
2
( x - 83
=
0
. λ= 5
.
b
'
: ( 5
.
-
1 ?
, :cosa
= 3 ×
5
+ 2
× c )
32+ 22
52
+ ( · )
<
= I
d = 升
