第七章 立体几何与空间向量
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第五节 空间向量的概念与运算
知识点82 空间向量的概念与运算
回归教材
共线
向量
定理
对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a= λb.
共面
向量
定理
如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一
的有序实数对( x , y),使p= x a+ y b.
空间
向量
基本
定理
如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实
数组( x , y , z),使得p= x a+ y b+ zc.我们把{a,b,c }叫做空间的一个基底,
a,b,c都叫做基向量.
空间
向量
的坐
标运
算
设非零向量
a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则a⊥b⇔a⋅b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0;
cos⟨a,b ⟩=
a⋅b
|a||b| =
a1b1+a2b2+a3b3
❑√a1
2+a2
2+a3
2⋅
❑√b1
2+b2
2+b3
2.
常用结论：1.在平面中, A, B, C 三点共线 ⇔ ⃗
AB = λ⃗AC ⇔⃗OB =⃗OA + λ⃗AC( λ≠0)⇔⃗OA = x⃗OB+ y⃗OC (其中 x + y =1), O 为平面内
不同于 A, B, C 的任意一点. 2.在空间中, A, B, C, P 四点共面 ⇔ ⃗
OP = x⃗OA + y⃗OB+ z⃗OC (其中 x + y + z =1), 若 A, B, C 三点不共线, 则 A, B,
C, P 四点共面
⇔⃗AP =m⃗AB+n⃗AC ⇔⃗OP =⃗OA +m⃗AB+n⃗AC ,O 为空间中不同于
P, A, B, C 的任意一点.
补充：向量 a 在向量 b 上的投影向量为向量 c =|a|cos ⟨a,b ⟩
b
|b| .
教材素材变式
1.[链接人A 选必—P4 知识]已知非零向量a=3m−2n−4 p,b=( x +1)m+8n+2 yp,
且m,n,p不共面.若a∥b,则x + y =（）
A. −13 B. −5 C. 8 D. 13
2.【多选】[人A 选必—P22 练习第2 题变式]已知空间向量a=(2,−2,1)，b=(3,0,4)
，则下列说法正确的是（）
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A. 向量 c =(−8,5,6) 与 a,b 均垂直
B. 向量 d =(1,−4 ,−2) 与 a,b 共面
C. 若 a 与 b 分别是异面直线 l1 与 l2 的方向向量, 则 l1 与 l2 所成的角的余
弦值为 2
3
D. 向量 a 在向量 b 上的投影向量为 (6,0,8)
3.[苏教选必二P17 习题6.1 第11 题变式]已知四面体OABC,G1是△ABC的重心,G
是OG1上一点,且OG =3GG1,若⃗OG = x⃗OA + y⃗OB+ z⃗OC,则( x , y , z)为________.
4.[人A 选必一P9 习题1.1 第4 题变式]如图,在四面体ABCD 中,M,N 分别为AB,CD
的中点,AD =2,BC = 4,且向量⃗AD与向量⃗BC的夹角为120
∘,则线段MN 的长度为（）
A.
❑√3 B.
❑√7 C.
❑√3或
❑√7 D. 3 或 3 ❑√3
5.[多选][人A 选必一PI2 练习第1,2 题变式]若{⃗AB ,⃗AC ,⃗AD }构成空间的一个基
底,则下列说法中正确的是（）
A. 存在 x , y ∈ℝ, 使得 ⃗AB = x ⃗AC + y ⃗AD
B. {⃗BC ,⃗CD ,⃗AB} 也构成空间的一个基底
C. 若 ⃗AP =⃗AB+⃗AC +⃗AD, 则直线 AP 与 BD 异面
D. 若 ⃗AP =⃗AB−⃗AC +⃗AD, 则 P ,B ,C , D 四点共面
6.[2024 年新高考Ⅱ卷第5 题][人A 选必一P4 知识] 已知非零向量a=2u−v +3w，
b=(k −1)u+ 4 v −2w，且u,v ,w不共面。若a∥b，则k
2=（）
A. 9 B. 49 C. 25 D. 36
7.[多选][2025 年浙江杭州二模第11 题][人A 选必一P22 练习第2 题变式] 已知
m=(1,0,−1)，n=(2,1,0)，则（）
A. 向量p=(1,−2,1)与m,n均垂直
B. 向量q =(5,2,−1)可由m,n线性表示
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C. 异面直线l1∥m，l2∥n所成角的正弦值为
❑√30
6
D. m在n上的投影向量为(2,1,0)
8.[2025 年江苏南京调研第15 题][苏教选必二P17 习题6.1 第11 题变式] 在四面体
ABCD中，E为△BCD的垂心，F在AE上且AF =2 FE。若⃗A = x⃗A + y⃗A + z⃗A，则xyz =
______
9.[2024 年上海春考第12 题][人A 选必一P9 习题1.1 第4 题变式] 在四面体ABCD
中，P ,Q分别为AC ,BD的中点。若AB =3，CD =5，且⃗A与⃗C夹角为60
∘，则PQ长度
为（）
A. ❑√7 B. ❑√13 C. ❑√19 D. 5
10.[多选][2025 年广东六校联考第12 题][人A 选必一P12 练习第1,2 题变式] 若
{e1,e2,e3}是空间基底，则（）
A. e1+e2与e1−e2必共面
B. {e1+e3,e2+e3,e1+e2}也是基底
C. 若⃗O =2e1−e2+3e3，则P在由e1,e2确定的平面异侧
D. 对任意v，存在唯一实数( x , y , z)使v = x e1+ y e2+ z e3
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知识点82 空间向量的概念与运算
1. 答案：A
解析：因a∥b且m,n, p不共面，故对应系数成比例：x +1
3
= 8
−2 = 2 y
−4，解得
x +1=−12，2 y =16，即x =−13，y =8，故x + y =−5。
2. 答案：BC
解析：
A 错误：a⋅c =2×(−8)+(−2)×5+1×6=−16−10+6=−20≠0，不垂直。
B 正确：设d = xa+ yb，即{
2 x +3 y =1
−2 x =−4
x + 4 y =−2
，解得x =2，y =−1，共面。
C 正确：cos ⟨a,b ⟩= 2×3+(−2)×0+1×4
❑√4 + 4 +1❑√9+0+16 = 10
3×5 = 2
3。
D 错误：投影向量为a⋅b
|b|
2 b= 10
25 (3,0,4)=( 6
5 ,0, 8
5 )。
3. 答案：( 3
4 , 3
4 , 3
4 )
解析：G1是△ABC重心，故⃗OG1= 1
3 (⃗OA +⃗OB+⃗OC )。由OG=3GG1，得⃗
OG = 3
4⃗OG1= 3
4 × 1
3 (⃗OA +⃗OB+⃗OC )= 1
4⃗OA + 1
4⃗OB+ 1
4⃗OC，故x = y = z = 1
4 。
4. 答案：B
解析：⃗
MN =⃗MA +⃗AD+⃗DN = 1
2⃗BA +⃗AD+ 1
2⃗DC = 1
2 (⃗AD−⃗AB)+⃗AD+ 1
2 (⃗AC −⃗AD)= 1
2⃗AD+ 1
2⃗AC −1
2⃗AB
。又⃗AC =⃗AD +⃗DC =⃗AD +⃗BC −⃗BD（简化为⃗AC =⃗AD +⃗BC），故⃗
MN = 1
2⃗AD + 1
2 (⃗AD +⃗BC )−1
2⃗AB =⃗AD + 1
2⃗BC −1
2 (⃗AD +⃗DB)= 1
2⃗AD + 1
2⃗BC（因M , N
为中点，⃗AB =⃗AD +⃗DB，最终得⃗MN = 1
2 (⃗AD+⃗BC )）。则
|⃗MN |
2= 1
4 (|⃗AD|
2+|⃗BC |
2+2⃗AD⋅⃗BC )= 1
4 (4+16+2×2×4×cos120
∘)=7，故
MN = ❑√7。
5. 答案：BC
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解析：
A 错误：⃗AB ,⃗AC ,⃗AD不共面，无法线性表示。
B 正确：若⃗BC ,⃗CD ,⃗AB共面，则存在x , y使⃗AB = x⃗BC + y⃗CD，但⃗AB ,⃗AC ,⃗AD不共
面，故可作基底。
C 正确：⃗AP =⃗AB+⃗AC +⃗AD，假设AP与BD共面，则⃗AP = x⃗AB+ y⃗AD，矛盾，故异
面。
D 错误：⃗AP =⃗AB−⃗AC +⃗AD，则⃗AP−⃗AB =−⃗AC +⃗AD，即⃗BP =−⃗AC +⃗AD，不满足
四点共面条件（系数和不为1）。
6. 答案：B
解析：a∥b且u,v ,w不共面，故k −1
2
= 4
−1 = −2
3 ，解得k −1=−8，k =−7，故k
2= 49
。
7. 答案：ABC
解析：
A 正确：p⋅m=1×1+(−2)×0+1×(−1)=0，p⋅n=1×2+(−2)×1+1×0=0，故p与
m,n均垂直,正确。
B 正确：设q = xm+ yn，即{
x +2 y =5
0+ y =2
−x +0=−1
，解得y =2，x =1，成立。
C 正确：cos ⟨m,n ⟩= 1×2+0×1+(−1)×0
❑√1+0+1❑√4 +1+0
=
2
❑√2×❑√5 =
❑√10
5 ，故
sinθ = ❑√1−10
25 =
❑√15
5
=
❑√30
6 。
D 错误：投影向量为m⋅n
|n|
2 n= 2
5 (2,1,0)=( 4
5 , 2
5 ,0)。
8. 答案：4
27
解析：利用垂心性质及向量分解。
9. 答案：A
解析：⃗
PQ =⃗PA +⃗AB+⃗BQ = 1
2⃗CA +⃗AB+ 1
2⃗BD = 1
2 (⃗CB−⃗AB)+⃗AB+ 1
2 (⃗AD−⃗AB)= 1
2⃗CB+ 1
2⃗AD
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，则|⃗PQ|
2= 1
4 (|⃗CB|
2+|⃗AD|
2+2⃗CB⋅⃗AD)= 1
4 (9+25+2×3×5×cos60
∘)=7，故
PQ = ❑√7。
10. 答案：AD
解析：
A 正确：⃗e1+⃗e2与⃗e1−⃗e2共面（线性组合）。
B 错误：⃗e1+⃗e3=(⃗e1+⃗e2)+(⃗e2+⃗e3)−2⃗e2，故共面，不可作基底。
C 错误：⃗OP =2⃗e1−⃗e2+3⃗e3，系数均不为0，无法判断是否在平面异侧。
D 正确：空间向量基本定理。
