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2025 届高考数学一轮复习讲义平面向量、复数之复数
一、知识点讲解及规律方法结论总结
1.复数的有关概念
名称
含义
复数的定
义
形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中实部为①
a
，虚部
为②
b
，i 为虚数单位且i2＝③ －
1
.
复数分类
a＋bi 为实数⇔b＝0；a＋bi 为虚数⇔b≠0；a＋bi 为纯虚数⇔④
a
＝
0 且
b ≠0
（a，b∈R）.
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且b＝d（a，b，c，d∈R）.
注意 实数能比较大小，虚数不能比较大小.
共轭复数
a＋bi 与c＋di 互为共轭复数⇔⑤
a ＝
c 且
b ＝－
d
（a，b，c，
d∈R）.
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做⑥
实轴 ，y 轴叫做⑦ 虚轴 .
说明 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯
虚数，各象限内的点都表示虚数.
复数的模
设⃗OZ对应的复数为z＝a＋bi，则向量⃗OZ的模叫做复数z＝a＋bi 的
模或绝对值，记作｜z｜或｜a＋bi｜，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝⑧
❑√a
2＋b
2 .
2.复数的几何意义
思维拓展
（1）r1≤｜z｜≤r2表示以原点O 为圆心，以r1和r2为半径的两圆所夹的圆环；
（2）｜z－（a＋bi）｜＝r（r＞0）表示以（a，b）为圆心，r 为半径的圆.
3.复数的四则运算
（1）复数的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）.
运算法
则
运算形式
加法
z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝⑨ （
a ＋
c ）＋（
b ＋
d ）
i
.
减法
z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝⑩ （
a －
c ）＋（
b －
d ）
i
.
乘法
z1·z2＝（a＋bi）·（c＋di）＝⑪ （
ac
－
bd
）＋（
ad
＋
bc
）
i
.
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除法
z1
z2
＝a＋bi
c＋d i＝（a＋bi)(c－d i）
（c＋d i)(c－d i）＝ac＋bd
c
2＋d
2 ＋bc－ad
c
2＋d
2 i（c＋
di≠0）.
（2）复数的运算律
对任意的z1，z2，z3∈C：
加法运算律
交换律：z1＋z2＝⑫
z 2＋
z 1 .结合律：（z1＋z2）＋z3＝⑬
z1＋（
z 2＋
z 3） .
乘法运算律
交换律：z1z2＝z2z1.结合律：（z1z2）z3＝z1（z2z3）.分配律：
z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3.
（3）复数加、减运算的几何意义：复数的加、减法可以按照向量的加、减法来
进行
若复数z1，z2对应的向量⃗OZ1，⃗OZ2不共线，则复数z1＋z2是以⃗OZ1，⃗OZ2为两邻
边的平行四边形的对角线⃗OZ所对应的复数；复数z1－z2是⃗OZ1－⃗OZ2＝⃗Z2Z1所
对应的复数.
二、基础题练习
1.下列说法正确的是（ D ）
A.复数z＝a－bi（a，b∈R）中，虚部为b
B.复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小
C.已知z＝a＋bi（a，b∈R），当a＝0 时，复数z 为纯虚数
D.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应
的向量的模
2.[2023 南京市六校联考]复数z＝1+i
1+2i（i 为虚数单位），则｜z｜＝（
D ）
A.
❑√2
5
B.
❑√2
3
C.
❑√10
3
D.
❑√10
5
解析 解法一 z＝1+i
1+2i＝（1+i)(1－2i）
（1+2i)(1－2i）＝3－i
5
＝3
5－1
5i，所以｜z｜＝
❑√（3
5 ）
2＋（－1
5 ）
2＝
❑√10
5 ，故选D.
解法二 ｜z｜＝｜1+i
1+2i｜＝｜1+i｜
｜1+2i｜＝
❑√1
2＋1
2
❑√1
2＋2
2＝
❑√2
❑√5＝
❑√10
5 ，故选D.
3.[2021 新高考卷Ⅰ]已知z＝2－i，则z（z＋i）＝（ C ）
A.6－2i
B.4－2i
C.6＋2i
D.4＋2i
解析 因为z＝2－i，所以z（z＋i）＝（2－i）（2＋2i）＝6＋2i，故选C.
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4.[2023 合肥市二检]设i 是虚数单位，复数z＝2i
1－i，则在复平面内z 所对应
的点位于（ B ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 因为z＝2i
1－i＝
2i（1+i）
（1－i)(1+i）＝－1＋i ，所以在复平面内z 所对应的
点为（－1，1），位于第二象限.故选B.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
命题点1 复数的概念
例1 （1）[全国卷Ⅲ]复数
1
1－3i的虚部是（ D ）
A.－3
10
B.－1
10
C. 1
10
D. 3
10
解析
1
1－3i＝
1+3i
（1+3i)(1－3i）＝1+3i
10 ＝1
10＋3
10i，所以复数的虚部为3
10.
故选D.
（2）[2023 全国卷甲]设a∈R，（a＋i）（1－ai）＝2，则a＝（ C ）
A.－2
B.－1
C.1
D.2
解析 ∵（a＋i）（1－ai）＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋（1－a2）i＝2，∴2a＝2
且1－a2＝0，解得a＝1，故选C.
（3）[2022 全国卷甲]若z＝1＋i，则｜iz＋3z｜＝（ D ）
A.4
❑√5
B.4
❑√2
C.2
❑√5
D.2
❑√2
解析 因为z＝1＋i，所以iz＋3z＝i（1＋i）＋3（1－i）＝－1＋i＋3－3i＝
2－2i，所以｜iz＋3z｜＝｜2－2i｜＝
❑√2
2＋（－2）
2＝2
❑√2.故选D.
方法技巧
1.求解与复数有关概念问题的技巧：将复数化为z＝a＋bi（a，b∈R）的形式，
然后根据复数的有关概念求解即可.
2.若两个复数相等，则它们的实部与实部相等，虚部与虚部相等.
3.复数的概念中的常用性质
（1）z1± z2＝z1±z2；z1· z2＝z1·z2；（z1
z2
）＝
z1
z2（z2≠0）.
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（2）｜z｜＝｜z｜，｜z2｜＝｜z｜2＝z·z，｜z1·z2｜＝｜z1｜·｜z2｜，｜
z1
z2
｜＝
｜z1｜
｜z2｜.
训练1 （1）[2023 全国卷乙]设z＝
2+i
1+i
2＋i
5，则z＝（ B ）
A.1－2i
B.1＋2i
C.2－i
D.2＋i
解析 z＝
2+i
1+i
2＋i
5＝
2+i
1－1+i＝－i（2+i）
－i
2
＝1－2i，所以z＝1＋2i，故选B.
（2）[2022 全国卷乙]已知z＝1－2i， 且z＋az＋b＝0， 其中a，b 为实数，
则（ A ）
A.a＝1， b＝－2
B.a＝－1， b＝2
C.a＝1， b＝2
D.a＝－1， b＝－2
解析 由题意知z
－＝1＋2i，所以z＋az
－＋b＝1－2i＋a（1＋2i）＋b＝a＋b＋1
＋（2a－2）i＝0，所以{
a＋b+1=0，
2a－2=0，解得{
a=1，
b＝－2，故选A.
（3）[2023 武汉市5 月模拟]设复数z 满足z－1
z +1 为纯虚数，则｜z｜＝（
A ）
A.1
B.
❑√2
C.
❑√3
D.2
解析 因为z－1
z +1 为纯虚数，所以可设z－1
z +1 ＝bi（b≠0），则z＝1+bi
1－bi.
解法一 因为z＝（1+bi）
2
（1－bi)(1+bi）＝1－b
2
1+b
2 ＋2b
1+b
2i，所以｜z｜＝
❑√
（1－b
2）
2
（1+b
2）
2
＋（2b）
2
（1+b
2）
2 ＝❑√
1+2b
2＋b
4
（1+b
2）
2 ＝1，故选A.
解法二 ｜z｜＝｜1+bi
1－bi｜＝｜1+bi｜
｜1－bi｜＝
❑√1+b
2
❑√1+(－b）
2＝1，故选A.
命题点2 复数的运算
例2 （1）[2023 新高考卷Ⅰ]已知z＝1－i
2+2i，则z－z＝（ A ）
A.－i
B.i
C.0
D.1
解析 因为z＝1－i
2+2i＝（1－i）
2
2（1+i)(1－i）＝－1
2i，
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所以z＝1
2i，所以z－z＝－1
2i－1
2i＝－i.
故选A.
（2）[2022 全国卷甲]若z＝－1＋
❑√3i，则
z
z z－1＝（ C ）
A.－1＋
❑√3i
B.－1－
❑√3i
C.－1
3＋
❑√3
3 i
D.－1
3－
❑√3
3 i
解析
z
z z－1＝
－1+ ❑√3i
（－1+ ❑√3i)(－1－❑√3i）－1＝－1+ ❑√3i
3
＝－1
3＋
❑√3
3 i.故选
C.
方法技巧
1.复数运算的解题策略
（1）复数的加法、减法、乘法运算类比多项式的运算.
（2）复数的除法运算是分子、分母同乘分母的共轭复数，即分母实数化.
2.复数运算中的常用结论
（1）（1±i）2＝±2i，1+i
1－i＝i，1－i
1+i ＝－i.
（2）a＋bi
i
＝b－ai.
（3）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0
（n∈N）.
训练2 （1）[2022 新高考卷Ⅰ]若i（1－z）＝1，则z＋z＝（ D ）
A.－2
B.－1
C.1
D.2
解析 因为i（1－z）＝1，所以z＝1－1
i ＝1＋i，所以z＝1－i，所以z＋z＝
（1＋i）＋（1－i）＝2.故选D.
（2）[2023 重庆二调]已知复数z 满足z＋3＝4z＋5i，i 是虚数单位，则z2＝（
B ）
A.－2i
B.2i
C.1＋i
D.1－i
解析 令z＝a＋bi（a，b∈R），则a＋bi＋3＝4a－4bi＋5i，即3a－3＋（5－
5b）i＝0，
∴3a－3＝0，5－5b＝0，解得a＝1，b＝1，
∴z＝1＋i，∴z2＝2i.故选B.
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命题点3 复数的几何意义
例3 （1）[2023 新高考卷Ⅱ]在复平面内，（1＋3i）·（3－i）对应的点位于
（ A ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 因为（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面
内对应的点为（6，8），位于第一象限，故选A.
（2）[全国卷Ⅱ]设复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝
❑√3＋i，则｜z1
－z2｜＝
2
❑√3 .
解析 如图所示，设复平面内复数z1，z2所对应的点分别为Z1，Z2，O 为原点，
则⃗OP＝⃗O Z1＋⃗O Z2.
由题知｜⃗OP｜＝
❑√3+1＝2＝｜OZ1｜＝｜OZ2｜，所以平行四边形OZ1PZ2为菱形，
且△OPZ1，△OPZ2都是正三角形，所以∠OZ2Z1＝30°，｜Z1Z2｜＝2｜OZ2｜·cos
30°＝2
❑√3，所以｜z1－z2｜＝｜Z1Z2｜＝2
❑√3.
方法技巧
1.根据复数、点、向量之间的一一对应关系，把复数、向量与解析几何联系在
一起，解题时运用数形结合的方法，可以更加直观地解决问题.
2.思维拓展
｜z－z0｜表示在复平面内复数z 对应的点与复数z0对应的点之间的距离；｜z
－z0｜＝r（r＞0）表示在复平面内复数z 对应的点在以复数z0对应的点为圆心、
r 为半径的圆上；｜z－z1｜＝｜z－z2｜表示在复平面内复数z 对应的点在复数
z1，z2对应点所连线段的垂直平分线上.
训练3 （1）[2023 湖北十一校联考]复数z 满足｜z－5｜＝｜z－1｜＝｜z＋i
｜，则｜z｜＝（ C ）
A.
❑√10
B.
❑√13
C.3
❑√2
D.5
解析 解法一 由｜z－5｜＝｜z－1｜，得复数z 对应的点到点（5，0）和到
点（1，0）的距离相等，所以复数z 对应的点在直线x＝3 上；由｜z－1｜＝｜
z＋i｜，得复数z 对应的点到点（1，0）和到点（0，－1）的距离相等，所以
复数z 对应的点在直线y＝－x 上.因为直线x＝3 和直线y＝－x 的交点为（3，
－3），所以z＝3－3i，所以｜z｜＝
❑√3
2＋（－3）
2＝3
❑√2，故选C.
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解法二 设z＝a＋bi（a，b∈R），由｜z－5｜＝｜z－1｜＝｜z＋i｜，得｜a
－5＋bi｜＝｜a－1＋bi｜＝｜a＋（b＋1）i｜，得
{
（a－5）
2＋b
2＝（a－1）
2＋b
2，
（a－1）
2＋b
2＝a
2＋（b+1）
2，解得{
a=3，
b＝－3，则｜z｜＝❑√a
2＋b
2＝3❑√2
.
（2）[多选/2023 石家庄市三检]已知复数z1＝1＋2i，复数z 满足｜z－z1｜＝
2，则下列说法正确的有（ AD ）
A.z1·z1＝5
B.
❑√5－2＜｜z｜＜
❑√5＋2
C.复数 z1在复平面内所对应的点为（－1，2）
D.若复数z 在复平面内所对应的点为Z（x，y），则（x－1）2＋（y－2）2＝4
解析 因为复数z1＝1＋2i，所以z1＝1－2i，其在复平面内所对应的点为（1，
－2），所以选项C 错误；z1·z1＝（1＋2i）（1－2i）＝5，所以选项A 正确；
若复数z 在复平面内所对应的点为Z（x，y），则可设复数z＝x＋yi，由｜z－
z1｜＝2 得，｜（x－1）＋（y－2）i｜＝2，即（x－1）2＋（y－2）2＝4，所以
选项D 正确；由D 选项的分析知，若设复数z 在复平面内对应的点为Z（x，
y），则｜z｜＝
❑√x
2＋y
2，其几何意义为圆（x－1）2＋（y－2）2＝4 上任意一
点到原点的距离，圆心（1，2）到原点的距离为
❑√5，半径为2，所以
❑√5－2≤
｜z｜≤
❑√5＋2，所以选项B 错误.综上，选AD.
四、命题点习题讲解
1.[命题点1/浙江高考]已知a∈R，若a－1＋（a－2）i（i 为虚数单位）是实
数，则a＝（ C ）
A.1
B.－1
C.2
D.－2
解析 因为a－1＋（a－2）i 是实数，所以a－2＝0，所以a＝2.故选C.
2.[命题点1/2021 全国卷乙]设2（z＋z）＋3（z－z）＝4＋6i，则z＝（
C ）
A.1－2i
B.1＋2i
C.1＋I
D.1－i
解析 设z＝a＋bi（a，b∈R），则z＝a－bi，代入2（z＋z）＋3（z－z）＝4
＋6i，可得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.故选C.
3.[命题点2]在复数范围内，设方程x2－2x＋k＝0 的根分别为α，β，且｜α
－β｜＝2
❑√2，则实数k 的值为
3 或－
1
.
解析 当方程x2－2x＋k＝0 的根为虚数时，设α＝a＋bi，β＝a－bi，a，
b∈R，则α＋β＝2a＝2，∴a＝1，αβ＝a2＋b2＝k，∴k＝1＋b2，∵｜α－β
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｜＝｜2bi｜＝2
❑√2，∴b2＝2，∴k＝3；当x2－2x＋k＝0 的根为实数时，α＋
β＝2，αβ＝k，则｜α－β｜＝
❑√（α ＋β ）
2－4 αβ＝
❑√4－4 k＝2
❑√2，∴4
－4k＝8，∴k＝－1.故k 的值为3 或－1.
4.[命题点3]设复数z 在复平面内对应的点为Z，原点为O，i 为虚数单位，则
下列说法正确的是（ C ）
A.若｜z｜＝1，则z＝±1 或z＝±i
B.若｜z＋1｜＝1，则点Z 的集合为以（1，0）为圆心，1 为半径的圆
C.若1≤｜z｜≤
❑√2，则点Z 的集合所构成的图形的面积为π
D.若｜z－1｜＝｜z＋i｜，则点Z 的集合中有且只有两个元素
解析 若｜z｜＝1，则点Z 的集合为以原点为圆心，1 为半径的圆，有无数个点
与复数z 对应，故A 错误；
若｜z＋1｜＝1，则点Z 的集合为以（－1，0）为圆心，1 为半径的圆，故B 错
误；
若1≤｜z｜≤
❑√2，则点Z 的集合为以原点为圆心，分别以1 和
❑√2为半径的两圆
所夹的圆环，所以点Z 的集合所构成的图形的面积为π×（
❑√2）2－π×12＝
π，故C 正确；
若｜z－1｜＝｜z＋i｜，则点Z 的集合是以点（1，0），（0，－1）为端点的
线段的垂直平分线，集合中有无数个元素，故D 错误.
5.[命题点1，2，3/2023 沈阳市三检]在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是
（2，－1），（1，－3），则
z2
z1的虚部是（ D ）
A.i
B.－i
C.1
D.－1
解析 因为复数z1，z2在复平面内对应的点分别是（2，－1），（1，－3），
所以z1＝2－i，z2＝1－3i，所以
z2
z1＝1－3i
2－i ＝（1－3i)(2+i）
（2－i)(2+i）
＝5－5i
5
＝1－
i，所以
z2
z1的虚部为－1，故选D.
五、习题实战演练
1.[2024 河南信阳开学考试]i＋i2＋i3＋…＋i2 025＝（ C ）
A.2 025
B.1－i
C.i
D.－i
解析 因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，i5＝i，i6＝－1，…，i－1－i＋1＝0，
所以i＋i2＋i3＋…＋i2 025＝i，故选C.
2.[2024 贵阳模拟]复数z 满足（1＋2i）z＝3－i，则｜z｜＝（ A ）
A.
❑√2
B.
❑√3
C.2
D.
❑√5
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解析 解法一 因为（1＋2i）z＝3－i，所以z＝3－i
1+2i＝（3－i)(1－2i）
（1+2i)(1－2i）＝
1
5－7
5i，所以｜z｜＝❑√（1
5 ）
2＋（－7
5 ）
2＝
❑√2，故选A.
解法二 因为（1＋2i）z＝3－i，所以z＝3－i
1+2i，所以｜z｜＝｜3－i
1+2i｜＝
｜3－i｜
｜1+2i｜＝
❑√10
❑√5 ＝
❑√2，故选A.
3.[2023 高三名校联考]已知a+2i
i
＝b＋i（a，b∈R），其中i 是虚数单位，则
a＋b＝（ B ）
A.3
B.1
C.－1
D.－3
解析 解法一 因为a+2i
i
＝b＋i，所以（a+2i）i
i
2
＝2－ai＝b＋i，所以
{
－a=1，
b=2，即{
a＝－1，
b=2，
所以a＋b＝1，故选B.
解法二 因为a+2i
i
＝b＋i，所以a＋2i＝（b＋i）i，即a＋2i＝bi－1，所以
{
a＝－1，
b=2，
所以a＋b＝1，故选B.
4.[2024 安徽六校联考]复数z 在复平面内对应的点为（
❑√3，－1），则
1－i
｜z｜＋i ＝（ A ）
A.1
5－3
5i
B.3
5－3
5i
C.1
5－1
5i
D.－1
5－1
5i
解析 由复数的几何意义可知，z＝
❑√3－i，所以｜z｜＝2，所以
1－i
｜z｜＋i ＝
1－i
2+i ＝（1－i)(2－i）
（2+i)(2－i）＝1
5－3
5i.故选A.
5.[2024 江西四校联考]设a，b∈R 且b≠0，若复数（a＋bi）3是实数，则（
A ）
A.b2＝3a2
B.a2＝3b2
C.b2＝9a2
D.a2＝9b2
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解析 因为（a＋bi）3＝a3＋3a2bi－3ab2－b3i＝（a3－3ab2）＋（3a2b－b3）i
为实数，（提示：完全立方和公式为（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3）所以3a2b
－b3＝0.又因为b≠0，所以3a2＝b2，故选A.
6.[角度创新]设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，z1＝1＋2i，i
为虚数单位，则z1z2＝（ B ）
A.1－2i
B.－5
C.5
D.5i
解析 因为z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，z1＝1＋2i，所以z2＝－
1＋2i，所以z1z2＝（1＋2i）（－1＋2i）＝－5，故选B.
7.[2023 长沙重点中学模拟]设复数z 满足z－z
－＝2i，｜z｜＝2，复数z 所对应
的点位于第一象限，则1
z ＝（ B ）
A.1+ ❑√3i
2
B.
❑√3－i
4
C.－1+ ❑√3i
2
D.
❑√3＋i
4
解析 设z＝a＋bi（a∈R，b∈R），则z
－＝a－bi，所以z－z
－＝2bi＝2i，则b
＝1，所以
｜z｜＝
❑√a
2＋b
2＝
❑√a
2+1＝2，解得a＝±
❑√3.又因为复数z 所对应的点位于第
一象限，所以a＝
❑√3，所以z＝
❑√3＋i，所以1
z ＝
1
❑√3＋i＝
❑√3－i
（❑√3＋i)(❑√3－i）
＝
❑√3－i
4
，故选B.
8.[角度创新]若3+ 4i
z
是纯虚数，则复数z 可以是（ D ）
A.－3＋4i
B.3－4i
C.4＋3i
D.4－3i
解析 解法一 因为复数3+ 4i
z
是纯虚数，所以设3+ 4i
z
＝mi（m∈R 且m≠0），
则z＝3+ 4i
mi ＝（3+4i)(－i）
mi（－i）＝4－3i
m
，显然当m＝1 时，z＝4－3i，故选D.
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解法二 设z＝a＋bi（a，b∈R），则3+ 4i
z
＝（3+4i)(a－bi）
（a＋bi)(a－bi）＝
（3a+ 4 b）＋（4 a－3b）i
a
2＋b
2
，因为3+ 4i
z
是纯虚数，所以{
3a+ 4 b=0，
4 a－3b≠0，所以a
b
＝－4
3 ，结合选项知，选D.
9.[开放题]已知复数z＝4 +ai
1+i ，且z 在复平面内对应的点在第四象限，则a 的
一个整数值可以为
0 （答案不唯一）
.
解析 z＝4+ai
1+i ＝（4+ai)(1－i）
（1+i)(1－i）＝（4+ai)(1－i）
2
＝a+ 4
2 ＋（a－4）i
2
，
因为z 在复平面内对应的点在第四象限，所以{
a+ 4
2
>0，
a－4
2
<0，
解得－4＜a＜4，又
a∈Z，所以a 可取－3，－2，－1，0，1，2，3.
10.[2023 广西联考]设复数z＝x＋yi，其中x，y 是实数，i 是虚数单位，若
y
1－i＝x＋i，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ D ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 因为
y
1－i＝x＋i，所以y＝（x＋i）（1－i）＝x－xi＋i＋1，所以
{
y ＝x +1，
1－x =0，解得{
y =2，
x =1，所以z＝1＋2i，所以z＝1－2i，所以z在复平面内对应
的点为（1，－2），位于第四象限，故选D.
11.[2023 广东六校联考]设复数z＝1
2＋
❑√3
2 i，其中i 是虚数单位，z是z 的共轭
复数，下列判断中错误的是（ B ）
A.zz＝1
B.z2＝z
C.z 是方程x2－x＋1＝0 的一个根
D.满足zn∈R 的最小正整数n 为3
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解析 对于A，z·z＝（1
2＋
❑√3
2 i）（1
2－
❑√3
2 i）＝1，故A 正确；对于B，z2＝
（1
2＋
❑√3
2 i）2＝－1
2＋
❑√3
2 i，z＝1
2－
❑√3
2 i，∴z2＝－z，故B 错误；对于C，（1
2
＋
❑√3
2 i）2－（1
2＋
❑√3
2 i）＋1＝－1
2＋
❑√3
2 i－1
2－
❑√3
2 i＋1＝0，则z 是方程x2－x
＋1＝0 的一个根，故C 正确；对于D，z＝1
2＋
❑√3
2 i，z2＝－1
2＋
❑√3
2 i，z3＝z2·z
＝－（1
2－
❑√3
2 i）（1
2＋
❑√3
2 i）＝－1，故D 正确，故选B.
12.[多选]18 世纪末，韦塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及
其运算具有了几何意义.例如，｜z｜＝｜OZ｜，即复数z 的模的几何意义为z
在复平面内对应的点Z 到原点O 的距离.下列说法正确的是（ BCD ）
A.若｜z｜＝1，则z＝±1 或z＝±i
B.若在复平面内，复数6＋5i，－3＋4i 分别对应向量⃗OA与⃗OB（O 为坐标原
点），则向量⃗BA对应的复数为9＋i
C.在复平面内，复数z 对应的点为Z（－1，1），则z对应的点位于第三象限
D.若复数z 满足1≤｜z｜≤
❑√2，则复数z 在复平面内对应的点所构成的图形的
面积为π
解析 对于A，令z＝1
2＋
❑√3
2 i，满足｜z｜＝1，故A 错误；对于B，由题知⃗BA
＝⃗OA－⃗OB，即在复平面内，⃗BA对应的复数为6＋5i－（－3＋4i）＝9＋i，故
B 正确；对于C，∵点
Z（－1，1），∴z在复平面内对应点（－1，－1），位于第三象限，故C 正确；
对于D，设z＝a＋bi，a，b∈R，∵复数z 满足1≤｜z｜≤
❑√2，∴1≤a2＋
b2≤2，∴复数z 在复平面内对应的点所构成的图形面积为π×（
❑√2）2－
π×12＝π，故D 正确.故选BCD.
13.[2024 四川成都二中开学考试]已知复数z 满足｜z－1｜＝｜z＋i｜（i 为虚
数单位），在复平面内，记z0＝2＋i 对应的点为点Z0，z 对应的点为点Z，则点
Z0与点Z 之间距离的最小值为 3 ❑√2
2 .
解析 解法一 设z＝x＋yi（x，y∈R），由｜z－1｜＝｜z＋i｜，得（x－
1）2＋y2＝x2＋（y＋1）2，即y＝－x，所以点Z0（2，1）与点Z（x，y）之间的
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距离d＝
❑√（x－2）
2＋（y －1）
2＝
❑√2 x
2－2 x +5＝❑√2（x－1
2 ）
2＋9
2≥3 ❑√2
2
，当且仅当x＝1
2时取等号.
解法二 由｜z－1｜＝｜z＋i｜及复数的几何意义知，点Z 在点（1，0）与点
（0，－1）连线的垂直平分线上，即点Z 的轨迹方程为y＝－x.点Z0与点Z 之间
距离的最小值即点Z0（2，1）到直线y＝－x 的距离，即2+1
❑√2 ＝3 ❑√2
2 .
14.1748 年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写
出以下公式eix＝cos x＋isin x，该公式被称为欧拉公式，它在复变函数论中
占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.设复数z＝e
π
4 i，根据欧拉公式
可知，
z
1－i表示的复数的虚部为（ C ）
A.－
❑√2
2
B.－
❑√2
2 i
C.
❑√2
2
D.
❑√2
2 i
解析 解法一 由题意知z＝e
π
4 i＝cosπ
4 ＋isinπ
4 ＝
❑√2
2 ＋
❑√2
2 i，根据复数的运
算法则知
z
1－i＝
❑√2
2 ＋
❑√2
2 i
1－i
＝
❑√2
2 i，所以
z
1－i的虚部为
❑√2
2 ，故选C.
解法二 根据公式eix＝cos x＋isin x 知，1－i＝
❑√2[cos（－π
4 ）＋isin（－
π
4 ）]＝❑√2e
－π
4 i，因为z＝e
π
4 i，所以
z
1－i＝
e
π
4 i
❑√2e
－π
4 i＝
❑√2
2 e
π
2 i
＝
❑√2
2 （cosπ
2 ＋
isinπ
2 ）＝
❑√2
2 i，所以
z
1－i的虚部为
❑√2
2 ，故选C.
15.[与数列综合]已知复数数列{an}满足a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，n∈N*，i 为
虚数单位，则a10＝ －
1 ＋
i
.
解析 解法一 因为a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，n∈N*，所以a2＝2i·i＋i＋1
＝－1＋i，a3＝（－1＋i）i＋i＋1＝0，a4＝0·i＋i＋1＝1＋i，a5＝（1＋i）
i＋i＋1＝2i，…，可知数列{an}是以4 为周期的周期数列，所以a10＝a4×2＋2＝
a2＝－1＋i.
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解法二 由an＋1＝ian＋i＋1，可得an＋1－i＝i（an－i），又a1－i＝i≠0，所
以数列{an－i}是以i 为首项，i 为公比的等比数列，所以an－i＝in，则an＝i
＋in，所以a10＝i＋i10＝i＋i2＝－1＋i.
