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试卷第1页，共3页
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（决胜高考）平面向量过关检测卷-2025 届高三数学一轮复习
一、单选题
1．已知
，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在
中，
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在如图所示的正六边形ABCDEF 中，若
，则
（ ）
A．2
B．5
C．3
D．4
4．已知向量
.若
，则
（ ）
A．-1
B．1
C．2
D．0
5．已知
为坐标原点，
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
6．
所在平面内一点
满足：
，且
，则
的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
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7．在△ABC 中，点D 为线段BC 的中点，点E 满足
，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽
八种自然现象.八卦模型如图1 所示，其平面图形为正八边形，如图2 所示，点O 为该正八
边形的中心，设
，点P 是正八边形
边上任一点，下列结论中正确的个
数是（ ）
①
与
的夹角为
；
②
；
③
在
上的投影向量为
（其中为与
同向的单位向量）；
A．1
B．3
C．2
D．0
二、多选题
9．设
，
为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
10．下列命题中正确的是（ ）
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A．若向量
，
，则
的充要条件是
B．已知
，
是两个相互垂直的单位向量，
，
，且
，则
实数
C．已知正方形
的边长为1，则
D．若O 为四边形
所在平面内一点，且
，则四边形
为
平行四边形
11．如图，设Ox，Oy 是平面内相交成
角的两条数轴，，
分别是与
轴，
轴正方
向同向的单位向量，若向量
，则把有序数对
叫做向量
在坐标系Oxy 中
的坐标，即
．在坐标系Oxy 中，设
，
，则下列说法正确的
是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
三、填空题
12．已知
是实数，向量
，
不共线，若
，则
；
．
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13．设
，
是两个不共线向量，
，
，
．若A，C，D 三
点共线，则实数
．
14．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，若动点P 在以AB 为直径的半圆E（正方形
ABCD 内部，含边界），则
的取值范围为 .
四、解答题
15．如图，在平行四边形
中，
与
相交于点
．
是线段
的中点，
的
延长线与
交于点
．
(1)用
，
方表示
；
(2)若
，求
的值．
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16．设
，
是两个不共线的向量，
，
，
．
(1)求证：
三点共线；
(2)试确定
的值，使
与
共线．
17．在
中，角
的对边分别为
，且
(1)求角A 的大小；
(2)若
是线段
的靠近点
三等分点，且
，求
的面积.
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18．如图，边长为6 的正
中，点D 在边
上，且
，点M 在线段
上．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求x 及
的值．
19．如图，设
，
是平面内相交成
角的两条数轴，
，
分别是与
轴、
轴正方
向同向的单位向量．若向量
，则把有序实数对
叫做向量
在坐标系
中的坐标，记作
．在此坐标系
中，若
，
，
，
是
的中点，
与
交于
两点．
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(1)求
；
(2)求
的坐标；
(3)若过点
的直线分别与
轴、
轴正方向交于
、
两点，求
的最小值．
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参考答案：
1．C
【分析】先根据数量积的运算律求出
，再根据投影向量的定义即可得解.
【详解】由
，得
，
所以
，
所以
在
上的投影向量为
.
故选：C.
2．A
【分析】根据向量加法运算，即可求解.
【详解】由题意，
.
故选：A.
3．D
【分析】建立直角坐标系坐标表示向量，由向量相等关系建立方程组求解系数即可.
【详解】以
为坐标原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴建立如图所示的平面
直角坐标系，
设正六边形ABCDEF 边长为，
则
，
，
由
，
则
，
所以有
，解得
，
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则
.
故选：D.
4．A
【分析】由向量的数量积的运算性质结合向量的数量积的坐标运算公式可得答案.
【详解】由
，则
，
因为
，所以
，即
，解得
.
故选：A
5．B
【分析】设
，得出点
的轨迹方程为
0.集合
，点
的轨迹方程为：
为圆上一点到直线上一点的
距离，计算得出结果.
【详解】设
，
点
的轨迹方程为
0.
又由
，点
的轨迹方程为：
为圆上一点到直线上一点的距离，
.
故选：B.
6．B
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【分析】根据平面向量线性运算得到
，再由平面向量基本定理求出
、
，最后由二倍角公式计算可得.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
又
，且
、
不共线，
所以
，所以
.
故选：B
7．D
【分析】利用平面向量基本定理根据题意将
用
表示出来，从而可求出
，进而
可求得结果.
【详解】因为点D 为线段BC 的中点，点E 满足
，
所以
，所以
，
消去
，得
，
所以
，
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所以
，
，所以
．
故选：D．
8．C
【分析】根据平面向量夹角的定义即可判断①；根据正八面体的结构特征结合向量减法法
则即可判断②；根据投影向量的定义即可判断③；以点
为坐标原点建立平面直角坐标系，
由正八面体的对称性，不妨设点
在边
上，再根据坐标公式计算即可判断④.
【详解】对于①，由题意
，
则
与
的夹角为
，故①错误；
对于②，由正八面体的结构特征得
，
则
，故②正确；
对于③，
，即
与
的夹角为
，
所以向量
在向量
上的投影向量为
，故③正确；
故选：C.
【点睛】方法点睛：求向量的模的两种基本策略：
（1）字母表示下的运算：利用
，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问
题；
（2）坐标表示下的运算：若
，则
，于是有
.
9．AD
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【分析】由数量积的定义和运算律可判断ACD；
不一定等于
可判断
B.
【详解】对于A，
，故A 正确；
对于B，
，由于
与
的夹角不确定，
故
不一定等于
，故B 错误；
对于C，
与
不一定相等，故C 错误；
对于D，
，故D 正确.
故选：AD．
10．BD
【分析】对于A，由向量共线定理待定参数验算即可；对于B，由向量数量积的运算律列
方程即可验算；对于C，由向量数量积的运算律即可验算；对于D，可以证明
的中
点重合，由此即可判断.
【详解】对于A，若
，则设
，即当且仅当
，即当且仅当
，故A
错误；
对于B，由题意
，解得
，故B 正确；
对于C，
，故C 错误；
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对于D，记
的中点分别为
，所以
，即
，
又
共起点，所以
重合，这表明
的中点重合，即
的互相平分，所
以四边形
为平行四边形，故D 正确.
故选：BD.
11．AD
【分析】运用向量的加法运算，数量积运算法则，垂直和平行的结论，模长公式逐个求解
即可.
【详解】由于Ox，Oy 是平面内相交成
角的两条数轴，，
分别是与
轴，
轴正方
向同向的单位向量，则
.
，A 对；
，B 错；
，则
，
则
，
即
，C 错；
，则
，则
，
消去
化简得到
.D 对.
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故选：AD.
12．
【分析】根据向量的线性运算，以及零向量的定义，即可求解.
【详解】因为
不共线，由
，
得
，解得
.
故答案为：；.
13．-7
【分析】求出
，设
，得到方程组，得到
.
【详解】
，
A，C，D 三点共线，设
，则
，
故
，解得
.
故答案为：-7
14．
【分析】先求得
的取值范围，再利用向量数量积的运算法则将所求转化为
，从
而得解.
【详解】因为正方形
的边长为2，取
的中点
，连接
，
当
在
点或
点时，
，
当
在弧
中点时，
，
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所以
的取值范围为
，
因为
，
，
所以
，
因为
，所以
，故
，
所以
，即
的取值范围为
.
故答案为：
.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量的线性运算即可得解；
（2）由三角形相似得
，再根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可得
解.
【详解】（1）由题意得，
，
所以
；
（2）如图，因为
，
所以
，
所以
与
相似，
所以
,
所以
，
所以
，
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因为
，
所以
，
所以
.
16．(1)证明见解析.
(2)
.
【分析】（1）证明
和
共线即可证三点共线；
（2）由向量共线定理求解即可．
【详解】（1）由题意
，
且
，
所以
,
所以
和
共线，故
三点共线.
（2）因为
与
共线，
所以存在实数
，使得
，
又因为
不共线，
所以
，解得
或
.
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所以
.
17．(1)
(2)6
【分析】（1）通过正弦定理将边化为角，再求解角即可；
（2）根据向量可得
，结合模长以及数量积求出
，再算面积即可.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理可得
，
整理
，则
，
且
，则
，可得
，
且
，所以
.
（2）
是线段
的靠近点
三等分点，即
，
则
，整理可得
，
则
，
即
，
整理可得
，解得
或
（舍去），
所以
的面积
.
18．(1)
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(2)
，
【分析】（1）直接分解向量即可求解；
（2）由
三点共线求得参数
的值，然后求得
各自的模、数量积，结合向
量夹角公式即可求解.
【详解】（1）∵
，而
，
∴
，则
即为所求．
（2）∵
，得
，∴
，
又∵
，∴
，
∵M、B、D 三点共线，∴
，则
即为所求x 的值．
则
，∴
，
∴
，
∴
，
同理可求：
，
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∴
，
∴
即为所求．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）依题意可得
，再根据数量积的运算律计算可得；
（2）依题意可得
，即可得到
是平行四边形，从而得到
，
即可得到
，再根据
计算可得；
（3）设
，
，又
三点共线，设
，根据平面向量线性运算及基本定理得到
，从而得到
，再由面积公式及基本不等式计算可得.
【详解】（1）依题意可得
，
，
-
；
（2）
，
，
，
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，
，
，
，
所以四边形
是平行四边形，即
，
，
是
的中点，
，
，
又
，
，
；
（3）设
，
，
则
，
，
因为
三点共线，则设
，
，
，
，
，
，
，当且仅当
时取等号，
答案第14页，共2页
所以
的最小值为
．
或者：由
，得
，
所以
，所以
，当且仅当
时取等号，
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值为
．
【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给定义，第三问关键是以平面向量基本定理得到
，从而得到
，再由基本不等式求出面积最小值.
