文档文本内容
第10 题 立体几何中的动点问题（一题多解）
【2024 年湖南省长沙部分学校联考高三10 月月考】（多选题）如图，正方体
中，
为棱
的中点，
为平面
上的动点，设直线
与底面
所成的角为
，直线
与底面
所成的角为
，平面
与底面
的夹
角为
，平面
与底面
的夹角为
，则（ ）
A．若
，则点
在圆上 B．若
，
则点
在双曲线上
C．若
，则点
在抛物线上 D．若
，则点
在直线上
首先根据题意分别作出角
、
、
、，然后由题意逐项分析求解
即可；几何法对空间想象力要求较高，但直观性强，合理利用几何法能提高解
决几何问题的效率.
根据题意，分别作出角
、
、
、
，如图，
对于A，
，则
，可得
，则点
在阿
氏圆上，A 正确；
对于B，
，则
，可得
，即
到直线
的距离与
到直线
的
距离相等，也即
到直线
和到直线
的距离相等，则点
在
或其补角角平分
线所在的直线上，B 错误；
对于C，
，则
，可得
，即
到点
的距离和到直线
的距离相
等，则点
在抛物线上，C 正确；
对应D，
，则
，可得
，即
到点
的距离与到直线
的距离
之比为
，则点
在椭圆上，D 错误．
故选AC．
1．如图，已知正方体
的棱长为2，点
为棱AB 的中点，点
在
平面
内及其边界上运动，则下列选项中正确的是（ ）
A．若点
是
的中点，则
B．满足
的点
的轨迹长度为
C．若动点
满足
，则PM 的最小值为
D．若点
到点
的距离等于点
到直线
的距离，且
，则
【答案】ACD
【分析】在
中，由余弦定理求出
可判断A；利用
得点
的轨迹
是以AB 为直径的半圆，求出轨迹长度可判断B；点
的轨迹是以
，
分别为
左、右焦点，求出
可判断C；过点
作
于点
，过点
作
于点
，利用
求出
可判断D.
【详解】对于A，由题意得，
，
，四边形
是矩形，
则
，在
中，
，
若点
是
的中点，则
，
在
中，
，
，
由余弦定理可得
，故A 正确；
对于B，因为
，所以点
的轨迹是以AB 为直径的半圆，
半径长为1，则轨迹长度为，故B 错误；
对于C，若点
满足
，则点
的轨迹是以
，
分别为左、右焦点，
长轴长为
，焦距为
的椭圆，
是椭圆的中心，
则椭圆上的点到椭圆中心的距离的最小值为短半轴长，
由
，
，得短半轴长为
，
则PM 的最小值为
，故C 正确；
对于D，因为点
到点
的距离等于点
到直线
的距离，
过点
作
于点
，过点
作
于点
，则
，
又
，则
，则
，
所以
，解得
，故D 正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：利用圆、椭圆的定义求轨迹是解题的关键点.
2．如图，P 是棱长为2 的正方体
的表面上一个动点，则下列说
法正确的有（ ）
A．当P 在平面
内运动时，四棱锥
的体积不变
B．当P 在线段AC 上运动时，
与
所成角的取值范围是
C．使得直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°的点P 的轨迹长度为π＋4
D．若F 是棱
的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足PF∥平面
时，
PF 的最小值是
【答案】AC
【分析】A 选项，考虑底面积和高均未变，所以体积不变；B 选项，找到异面
直线所成角即可判断；C 选项，找到P 的轨迹，计算即可；D 选项，找到P 的
轨迹，计算即可.
【详解】底面正方形
的面积不变，P 到平面
的距离为正方体棱长，
故四棱锥
的体积不变，故A 正确；
与
所成的角即为
与AC 所成的角，
当P 在端点A，C 时，所成的角最小，为
，
当P 在AC 的中点时，所成的角最大，为
，故B 错误；
由于P 在正方体表面上，P 的轨迹为对角线
，
以及在平面
内以
为圆心、2 为半径的
圆弧，
（由于
，所以在
中，
，
即直线AP 与平面
所成的角为45°，
又由于平面
平面
，所以直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°）
如图①，故P 的轨迹长度为
，故C 正确；
分别取
的中点
，
由正方体的性质可知
六点共面，且为正六边形
，
由中位线定理，
，
平面
，所以
平面
，
同理
平面
，且
，
平面
，
所以平面
平面
，
所以FP 所在的平面为如图②所示的正六边形，
当P 为BC 的中点时，FP 的长最小，为
，故D 错误．
故选：AC.
首先以
为坐标原点，
所在的直线为
轴建立空间直
角坐标系，设
，然后根据题意求出有关直线的方向向量和平面的法向
量，由线面角和二面角的向量公式分别求解判断即可.
以
为坐标原点，
所在的直线为
轴建系，设正方体棱长
为，
，则
，
，面
的法向量
，面
的法向量
，面
的法向量
，
对于A，
，则
，则
，
化简得
满足圆方程，A 正确；
对于B，
，则
，则
，
化简得
，即
两条直线方程，B 错误；
对于C，
，由
，得
，
化简得
满足抛物线方程，C 正确；
对于D，
，得
，
化简得
，即
，
满足椭圆方程，D 错误，
故选AC．
3．如图，在长方体
中，
，
，
是
与
的交点，
、
分别为下底面
、上底面
上的点，且
.现给
出下列结论中正确为（ ）
A．直线
与底面
所成的角为
；
B．异面直线
与
所成角的最
大值为
；
C．异面直线
与
所成角的最小值为
；
D．三棱锥
的外接球的
体积为
.
【答案】ACD
【分析】求得三棱锥
的外接球半径，由此判断D 选项的正确性.建立空
间直角坐标系，借助向量法以及三角换元判断ABC 选项的正确性.
【详解】连接
交
于点
，依题意
，所
以三棱锥
的外接球的球心为
，半径为，外接球的体积为
，
D 选项正确.
建立如图所示空间直角坐标系，则
，
，
，.
设
，
，
则
，
①.
对于A 选项，底面
的法向量为
，设直线
与底面
所成的
角为
，则
，由于
，所以
，A 正确.
对于BC 选项，
，
，设异面直线
与
所成角为
，则
②，
不妨设
点与
点重合，则
，代入①②并化简得
，
由
，得
，
设
，则
，
则
，所以B 选项错
误.
当
时，
，此时
最小，而
，所以
的最小值为
，
所以C 选项正确.
故选：ACD
4．如图，若正方体
的棱长为1，点
是正方体的侧面
上的
一个动点（含边界），
是棱
上靠近
点的三等分点，则下列结论正确的有
（ ）
A．沿正方体的表面从点
到点
的最短路程为
B．若
，点
的运动轨迹是线段
C．若
，则点
在侧面
内运动路径长度为
D．当点
与点
重合时，三棱锥
的体积最大
【答案】ABD
【分析】展开平面分析可判断A，利用空间直角坐标系得到轨迹方程可判断
B，利用向量坐标表示表示模长，得轨迹为圆即可判断C，利用点到直线的距离
公式可判断D.
【详解】对于A，将正方体的下面和右面展开可得如下图形，连接
，
则
，因此A 到点P 的最短路程为
，对；
对于B，建系如图，设
，
所以
，
，即
，
又
是侧面
上的一个动点（含边界），所以M 的运动轨迹是线段，
为
靠近
点的三等分点和
靠近
点三等分点的连线段，对；
对于C，由B 选项过程可得
，整理得
，
所以M 在侧面
内运动路径是以
为圆心，
为半径的圆，
而点
到
的距离等于
，
所以要保持
，则点M 在侧面
外，
所以点M 在侧面
内运动路径长度为0，错；
对于D，设平面
的法向量为
，则
，
所以
，令
，则
，
所以点
到平面
的距离等于
，
因为点
在平面
内，所以
，
当
，即M 与D 点重合时，三棱锥
的高最大，
又
的面积为定值，所以M 与D 重合时，三棱锥的体积最大，对.
故选：ABD
5．如图，在棱长为2 的正方体
中，E、F 分别是棱
，
的中
点，M 为底面
上的动点，若直线
平面
，则线段
的长度的最
小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】找出点
在平面
内的轨迹，再根据过直线外一点垂线段最短，
求出线段
的长度的最小值即可.
【详解】设点
分别为棱
，
的中点，连接
，可证明点
，
事实上，在底面正方形
中，可知
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
；
在底面正方形
中，可知
且
，
又因为
且
，所以
且
，
则四边形
为平行四边形，所以
，
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
；
又因为
平面
，所以平面
平面
，
因为
平面
且
平面
，所以
平面
，
因为平面
平面
且点
平面
、
平面
，
所以
，即M 点的轨迹为线段
；
由于正方体棱长为2，故三角形
为等腰直角三角形，且
为斜边，
，
所以当点
为
的中点时，即
时，线段
的长度最小且最小值为
.
故选：A
6．如图，在正方体
中，
是
的中点，
为底面
内一动
点，设
与底面
所成的角分别为
均不为
.若
，则动点
的轨迹为
A．直线的一部分
B．圆的一部分
C．椭圆的一部分
D．抛物线的一部分
【答案】B
【详解】
由线面角的定义及题意可得
，即
，以线段
为轴，其中垂线为
轴，如图，建立平面直角坐标系
，设
，则
，所以
，即
，则动点
的轨迹是
圆，故应选答案B．
点睛：解答本题时，先将立体几何问题转化平面上动点的轨迹问题，再运用平
面解析几何的有关知识分析探求，最后使得问题获解，体现了降维思想与转化
化归思想的巧妙运用．
7．已知正方体
中，
为正方形
的中心．
为平面
上
的一个动点，则下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
的轨迹是圆
B．若
，则
的轨迹是椭圆
C．若
到直线
，
距离相等，则
的轨迹是抛物线
D．若
到直线
，
距离相等，则
的轨迹是双曲线
【答案】BCD
【分析】根据题意，分别表示四个选项，利用定义和数形结合进行判断.
【详解】
建立如图空间直角坐标系，设正方体
棱长为，
对于A，
，
，
，
，则
，即
即
，所以
的轨迹是点，故A 错误；
对于B，
，所以
可以看成为以
为高线圆锥的母线，
当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线；
当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线；
当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆；
当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果
为圆；
当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果为一点；
当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线；
如图所示，
根据题意，平面
不过圆锥的顶点
,且与圆锥面的一侧相交，所以
所形
成的轨迹为椭圆,
故B 正确；
对于C，若
到直线
，
距离相等，
面
，
面
，
所以
，所以
到直线
的距离为
到点
的距离，
则
到直线
，点
距离相等，由抛物线定义可得，
的轨迹是抛物线，故C
正确；
对于D，过
向
作垂线，垂足为
，过
向
作垂线，垂足为
，
过
向
作垂线，垂足为
，此时
，
若
到直线
，
距离相等，即
，则
，
即
，则
的轨迹是双曲线，故D 正确，
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题重点考查立体几何中的轨迹问题，关键在于对于对圆
锥曲线定义的理解.
8．如图，在正四棱柱
中，底面边长
，侧棱长
，
为底面
内的动点，且
与
所成角为
，则下列命题正确的是
（ ）
A．动点
的轨迹长度为
B．当
//平面
时，
与平面
的距离为
C．直线
与底面
所成角的最大值为
D．二面角
的范围是
【答案】AC
【分析】选项A 根据
与
所成角为
求出
，从而确定动点
的轨迹
并求出长度；选项B 利用等体积法即可求得；选项C 根据直线与平面所成角的
定义找到直线
与底面
所成角，再计算最大值即可；选项D 通过点
在
特殊位置时求出二面角
的平面角超出选项范围进行排除.
【详解】正四棱柱
中，底面是正方形，侧棱垂直于底面.
对于A 选项，因为
且
与
所成角为
，所以
与
所成角也为
.又
，
.
又
在底面
内，
的轨迹为以A 为圆心，1 为半径的圆周的四分之一，
长度为
.故选项A 正确；
对于B 选项，当
//平面
时，
到平面
的距离即为
与平面
的距离.
.
，
在
中，
，
边上的高为2，
设
到平面
的距离为，则
，
解得
.故选项B 错误；
对于C 选项，连接
，则线段
为线段
在底面
的投影，故直线
与底面
所成角为
，且
,
由选项A 可知，当
为正方形
中心时，
最短为1，此时
最大
为
,即
.故选项C 正确；
对于D 选项，当
在线段
上时，
，
，
因为
是等腰三角形，所以取
中点
，连接
，则
.
过
作
交
于点
，分别连接
，则
，故四边形
是等腰梯形，取
中点
，则
，所以
是二面角
的平面角.
在四边形
中，
，
，故
.又
，故
.
由选项B 知，
.
在
中，由余弦定理得
，
所以
，故选项D 错误.
故选：AC.
9．如图，已知棱长为2 的正方体
，动点
是
内部一点
（含边界），则下列选项正确的是（ ）
A．动点
在运动的过程中，三棱锥
的体积是定值
B．对于任意
，
平面
C．动点
到直线
的距离最小值为
D．满足
的
的轨迹长度为
【答案】ACD
【分析】由正方体中平面
平面
可得
到平面
的距离为定值即
可判断A；由点
运动到
点时
不垂直于
可判断B；建系，设动点
到
直线
的距离为
，求出
关于
的表达式，可得
的最小值即可判断C；
利用
到平面
的距离确定平面
内的位置，可得点
的轨迹圆弧的半
径可判断D．
【详解】对于选项A，易知在正方体中，平面
平面
，故动点
在运
动的过程中，
到平面
的距离为定值，所以三棱锥
的体积是定值，
故A 正确；
对于选项B，当
运动到
点时，易知
不垂直于
，所以
不垂直于平
面
，故B 错误；
对于选项C，以点
为坐标原点建立如图1 所示的空间直角坐标系，设
，设
（题眼），
，
，
，
，
，则
，
故
，设动点
到直线
的距离为
，过
作
平面
，过
作
于，连接
，则
，则
（关键：主元法求最值），当
，
时，
取最小值，且最小值为2，则动点
到直线
的距离最小
值为
，故C 正确；
对于选项D，设
到平面
的距离为，由等体积法得
，则
，解得
．如图2，取
的中点
，连接
，作
平面
，垂足为，易知点在
的延长线上．由选项C，可
设平面内点
，
，又
，
，则
解得
所以
，取
的中点
，连
接
，
，延长
，
，
交于点
，作
于点
，作
交
于点
，如图2，则
，即
，则
，又
，即
，则
，则
，即
，则
，所以
（提示：
利用等比例确定平面内的位置）．由已知，点
的轨迹为以为圆心的圆弧，
不妨设该圆弧的半径为，则
，则
，则
以为圆心的圆弧所对圆心角
，故轨迹长为
，故D 正确．
故选：ACD．
10．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，
，P 是该正四棱
柱表面或内部一点，直线PB，PC 与底面ABCD 所成的角分别记为α，β，且
sinβ＝2sinα，记动点P 的轨迹与棱BC 的交点为Q，则下列说法正确的是（ ）
A．Q 为BC 中点
B．线段PA1长度的最小值为5
C．存在一点P，使得PQ∥平面AB1D1
D．若P 在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1表面，则点P 的轨迹长度为
【答案】BD
【分析】A 选项：建立空间直角坐标系
，设
，求出点
的轨迹是
以
为球心，以2 为半径的球再正四棱柱内部（含表面）的部分，进而可
判断A 选项；
B 选项：设球心
，则
，所以线段
长度的最小值为
，从而可判断B 正确；
C 选项：证得球与矩形
的交线为弧
，球与矩形
的交线为弧
，
所以
与球没有交点，进而可判断C 选项；
D 选项：证得球与矩形
的交线为弧
，球与矩形
的交线为弧
，
球与正方形
的交线为弧
，进而求出弧长，即可判断D 选项.
【详解】A 选项：如图所示，建立空间直角坐标系
，设
，过点
作
平面
，垂足为
，连接
，则
，由题意可
知
，所以
，因为
，所以
，即
，所以点
的轨
迹是以
为球心，以2 为半径的球再正四棱柱内部（含表面）的部分，由
题意得当
为
中点时不满足题意，故A 错误；
B 选项：设球心
，则
，所以线段
长度的最小值为
，故B 正确；
C 选项：由题知
，过点
作
交
于点
，过点
作
交
于点
，所以
,
平面
,
平面
，所以
平面
，同理
平面
，又
，
平面
，
所以平面
平面
，所以
，设球与棱
的交点为
，
与
的交点为
，
,
，所以球与
矩形
的交线为弧
，球与矩形
的交线为弧
，所以
与球没
有交点，所以不存在点
，使得
面
，故C 错误；
D 选项：因为球与矩形
的交线为弧
，球与矩形
的交线为弧
，
球与正方形
的交线为弧
，由于
，所以
，所以弧
=弧
=
，弧
=
，所
以点
在正四棱柱
表面，则点
的轨迹的长度为
，故D 正确.
故选：BD.
【点睛】空间几何体的线面位置关系判定与证明：
（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条
直线称为异面直线；
（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定
理是关键.
11．如图，在棱长为的正方体
中，
、
、
分别是棱
、
、
的中点，
是底面
内一动点，若直线
与平面
不存在公共
点，设直线
与直线
所成角为，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】本题首先可以补全截面
为截面
，然后根据题意以及正方
体性质得出平面
平面
以及
，再然后找出
即为直线
与直线
所成角并求出
的取值范围，最后根据
即可得出结果.
【详解】如图，补全截面
为截面
，
因为直线
与平面
不存在公共点，
所以
平面
，
结合正方体性质易知平面
平面
，故
，
因为在正方体
中，
，
所以
即为直线
与直线
所成角，
连接
，则
，
因为在
中，
，
所以
，
，
故答案为：
.
【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法，考查线面平行以及面面平行的
应用，能否准确的找出点
的运动轨迹是解决本题的关键，考查数形结合思想，
考查推理能力与计算能力，是中档题.
12．在正方体
中，M 为棱
的中点，且
，点P 为底面
所在平面上一点，若直线PM，PC 与底面
所成的角相等，则动
点P 的轨迹所围成的几何图形的面积为 .
【答案】
【分析】由题意结合线面角的概念可得
，进而可得
，
建立平面直角坐标系，设
，由两点之间距离公式可得
，化简即可得解.
【详解】设正方体
的棱长为，
连接
，则
，解得
，
连接
、
，如图，
易得
、
即为直线PM，PC 与底面
所成的角，
由
可得
，所以
，
如图建立平面直角坐标系，则
，
，设
，
则
，化简得
，
故点P 的轨迹为圆，且半径满足
，
故所求面积为
.
故答案为：
.
【点睛】本题考查了正方体的几何特征的应用及线面角的求解，考查了两点之
间距离公式及圆的方程的应用，属于中档题.
