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第1 题 两曲线的公切线问题（一题多变）
【湖北省高中名校联盟2025 届高三第一次联合测评】已知函数
，
，其中
，当两函数图像对应曲线存在两条公切线时，则
的取值
范围是______．
【思路分析】
根据反函数的性质，先求解
两曲线相切时的临界情况时
的值，利用相切和导数可得
，构造函数
，即可根据
函数单调性求解.
令
则
，令
，则
，
由于函数
互为反函数，故图象关于
对称，
因此只需要考虑
两曲线相切时的临界情况，设切点横坐标
为
，
由
故
，即
，
所以
，
设
，则
，
，故有
，两边取对并移项
，
记函数
，易知
在
上单调递增，
因为
，所以
，此时
，
所以
的取值范围是
.
【题后反思】根据两函数在相切的的临界情况，设出切点横坐标为
，由切点在曲线上及
切线的斜率建立方程组得
，求解
.
对于此类问题关键是要根据题意利用切点既在曲线上也在切线上，以及两曲线的公切线斜
率相等利用导数的几何意义建立方程组求解.
变化函数，仍求参数范围
【变化角度】改变原题中的两函数，仍由存在两条公切线求参数取值范围，如下：
例：已知曲线
：
，
：
，若恰好存在两条直线直线、
与
、
都相切，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路分析】
设直线
，
，设与
、
的切点坐标分别为
、
，
根据题目条件列出方程组
，解得
，同理可得
，然后将问题转化为
有两解. 然后构造函数
，利用导数讨论
的单调性及最值，得出
的范围.
设直线
，
，设与
、
的切点坐标分别为
、
，
则有
，可得
，
故
，整理得：
，
同理可得，当直线
与
、
都相切时有：
，
综上所述，只需
有两解，
令
，则
，
故当
时，
，
当
时，
，
所以
在
上递增，在
递减，
故
，
所以只需满足
即可.
故选：C.
【举一反三】
1．若曲线
与
恰有两条公切线，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
，
，若总存在两条不同的直线与曲线
，
均相切，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
切线条数变未知，求参数范围
【变换角度】将“已知公切线条数”问题变为“存在公切线”不知道公切线条数问题，仍
求参数范围，如下：
例：已知函数
，
，若曲线
，
存在公切线，则
实数
的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【思路分析】
首先可判断
不为
，设出公切线与函数
的切点，根据导数的几何意义可得切
线方程，再与曲线
联立，利用判别式为
，可得
与
的关系，结合导数工具
可得解.
当
时，
，
，不符合题意；
设
的图像与公切线的切点为
，
，
由
，则切线斜率
，
切线方程为
，即
，
又切线
与
，
联立
，
可得
，
即
，
可得
，
设
，
，
，
，
又函数
在
上单调递减，且
，
即有当
时，
，即
，
单调递增；
当
时，
，即
，
单调递减；
所以
，
即
，
的最大值为，
故选：A.
【举一反三】
3．若曲线
与曲线
有公切线，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若曲线
与曲线
存在公切线，则a 的取值范围为 ．
变求参数为求公切线方程
【变换角度】由已知两曲线的方程，求它们的公切线方程，如下：
例：直线
与曲线
相切也与曲线
相切，则称直线
为曲线
和曲线
的公切线，已知
，
，直线是
与
的公切线，则直线的方程为（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【思路分析】
首先设出切点坐标，根据导数的几何意义列出等量关系，解出切点坐标，从而得到切点方
程.
设
，
的切点分别为
，
，
，
.
所以
，即
.
又因为
，
所以
.
整理得
，解得：
或
.
所以
的切点为
或
，
或.
切线为
或
，
即：
或
.
故选：C
【举一反三】
5．已知函数
，若直线是曲线
与曲线
的公切线，
则的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．曲线
与曲线
的公切线方程为 ．
7．若直线是曲线
与
的公切线，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若函数
与
存在两条公切线，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若曲线
与曲线：
有公切线，则实数
的最大值为（ ）
A．
+
B．
-
C．
+
D．
10．若函数
与函数
的图象有两条公切线，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数
.若曲线
与曲线
有公切线，则实
数m 的取值范围为 .
12．已知函数
，若存在两条不同的直线与曲线
和
均相切，则实数
的取值范围为 .
