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专题3.1 导数的概念及其几何意义
一、核心知识：
1.导数的概念：
函数
在
处瞬时变化率是
，我们称它为函数
在
处的
导数，记作
或
．
2.导数的几何意义：
函数
在
处的导数
的几何意义即为函数
在点
处的切线的斜率．
3.导数的物理意义：
函数
在点
处的导数
是物体在
时刻的瞬时速度，即
；
在点
的导数
是物体在
时刻的瞬时加速度，即
．
4.导数的运算
（1）求导的基本公式：
基本初等函数
导函数
（为常数）
（2）导数的四则运算法则：
函数和差求导法则：
；
函数积的求导法则：
；
函数商的求导法则：
，则
．
（3）复合函数求导数：复合函数
的导数和函数
，
的导数间关系为
.
5.在点的切线方程：
切线方程
的计算：函数
在点
处的切线方程为
，抓住关键
．
6.过点的切线方程：
设切点为
，则斜率
，过切点的切线方程为
，
又因为切线方程过点
，所以
然后解出
的值．（
有几个值，就有几条切
线）.注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
7.高考常考的切线方程：
（1）
是
的切线，同时
是
的切线，也是
和
的切线.
（2）
是
的切线，
是y=tan x 的切线.
（3）
是
的切线，
是
的切线.
二、考点聚焦：
考点一：函数求导运算与求值
经典例题：
1.已知下列四个命题，其中正确的个数有
①
，②
，③
（
，且
），④
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
2．（2022·全国·模拟预测）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2025·江苏盐城·三模）若
，则
（ ）
A．0
B．2
C．－2
D．－4
4.（23-24 高三上·贵州·开学考试）已知函数
，则
（ ）
A．e
B．
C．
D．
5.（2023·全国·模拟预测）对于三次函数
给出定义：设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐
点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就
是对称中心，若
，请你根据这一发现计算：
（ ）
A．2021
B．2022
C．2023
D．2024
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数
是定义在
上的奇函数，
为
的导函数，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
7．（2023·全国·模拟预测）已知函数
是定义在
上的奇函数，则
．
8．（2023·全国·模拟预测）已知函数
，且满足
，
，
，则
（ ）
A．28
B．
C．
D．
9.（2021·全国·模拟预测）已知二项展开式
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．5
10．（多选）（2021·全国·模拟预测）若
，
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式训练：
1．下列求导运算正确的是
A．
B．
C．
=
D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数
，则
（ ）
A．12
B．10
C．8
D．6
3．（2021·全国·模拟预测）已知函数
的导函数为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022·全国·模拟预测）记函数
的导函数为
.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
，且
，则实数a 的值为( )
A．
B．
C．
D．
6．（2014·全国·一模）已知函数
，若
，则
.
7.（2024·全国·模拟预测）已知函数
为奇函数，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
8.（22-23 高三上·江苏·期末）若函数
满足
对一切实数
恒成立，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2023·全国·模拟预测）记函数
在
处的导数为
，则
．
10．已知
，设
，则
．
11．（多选）（2025·江西上饶·二模）若
，
则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二：导数与抽象函数综合
经典例题：
1．（2021 年全国新高考II 卷）写出一个同时具有下列性质①②③的函数
．
①
；②当
时，
；③
是奇函数．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数
及其导数
的定义域为
，记
，且
都为奇函数．若
，则
（ ）
A．0
B．
C．2
D．
3．（22-23 高三上·全国·阶段）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，若
为奇函数，
为偶函数，则
（ ）
A．2021
B．2022
C．2023
D．2024
4.（2024·全国·模拟预测）已知函数
的定义域为
，若
，
都是奇函数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5.（多选）（2022 年新高考全国I 卷）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，
若
，
均为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6.（2023·广西南宁·一模）已知
，
分别为定义在R 上的
，
的导函数，且
，
，若
是偶函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A．函数
的图象关于点
对称 B．函数
的图象关于直线
对称
C．3 是
的一个周期 D．
变式训练：
1．（2024·山东·二模）已知
为定义在
上的奇函数，设
为
的导函数，若
，
则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．2023
2．（2023·广西南宁·二模）已知函数
，
的定义域均为
，
为
的导函数，且
，
，若
为偶函数，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
3．（2024·福建漳州·一模）已知可导函数
的定义域为
为奇函数，设
是
的导函
数，若
为奇函数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三上·四川·阶段）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
为奇函数，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·河北·二模）已知定义在
上的函数
的导函数为
，
为偶函数，且
，则
．
6．（多选）已知函数
及其导函数
的定义域均为R，记
.若
，
均为
奇函数，且
，则（ ）
A．
关于直线
对称 B．
关于点
对称 C．
的周期为4 D．
7．（多选）（2024·全国·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
是奇函数，
，
，
分别是函数
，
的导函数，
在
上单调递减，则（ ）
A．
B．
C．
的图像关于直线
对称
D．
8．（多选）（2023·浙江金华·模拟预测）已知函数
和其导函数
的定义域都是
，若
与
均为偶函数，则（ ）
A．
B．
关于点
对称
C．
D．
9．（多选）（2024·广东韶关·二模）已知定义在R 上的函数
的导函数分别为
，且
，
，则（ ）
A．
关于直线
对称 B．
C．
的周期为4
D．
考点三：求切线方程
经典例题：
1．（2025·甘肃金昌·模拟预测）函数
在
处的切线斜率为（ ）
A．0
B．1
C．e
D．
2．（2022·广西·模拟预测）设函数
在
上存在导函数
，
的图象在点
处的切线方
程为
，那么
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3.（2025·福建福州·模拟预测）曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（20-21 高三下·全国·阶段）已知函数
的导函数为偶函数，则
的图象在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022·广西·模拟预测）曲线
在
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6.（2022 年新高考全国II 卷数学真题）曲线
过坐标原点的两条切线的方程为 ．
7.（2025·江西·二模）已知函数
，则
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
8.（2025·内蒙古·模拟）过点
且与抛物线
有且仅有1 个公共点的直线的条数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
9．（2021·陕西西安·一模）已知直线l 是曲线
在点
处的切线，点
是直线l 上
位于第一象限的一点，则
的最小值为（ ）
A．4
B．9
C．25
D．16
变式训练：
1．（2021·广西·模拟预测）函数
的图象在点
处的切线斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2022·广东广州·一模）曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·青海海东·三模）曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022·广西·模拟预测）设函数
在
上存在导函数
，
的图象在点
处的切线
方程为
，那么
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
5．（2024·全国·模拟预测）曲线
在
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·广西·模拟预测）已知函数
，则曲线
在点
处的切线方程为（
）
A．
；
B．
；
C．
；
D．
7．（2020·陕西西安·模拟预测）若
是函数
的极值点，则曲线
在（1，
）处的切线方程是（ ）.
A．
B．
C．
D．
8．（2021·广西钦州·二模）函数
的图象在点
处的切线为l，则l 在y 轴上的截
距为（ ）
A．
B．1
C．2
D．
9．（2025·广西南宁·三模）过点
的直线l 与曲线
相切于点B，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
考点四：切线方程求参
经典例题：
1．（2023·河北邯郸·二模）已知直线
是曲线
的切线，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
2.（2025·陕西安康·模拟预测）已知曲线
与倾斜角为
且横截距为a 的直线l 相
切，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3.（2024 年新课标全国Ⅰ卷）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
.
4．（20-21 高三下·全国·阶段）设曲线
与
有一条斜率为1 的公切线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2021·四川雅安·三模）直线
与曲线
相切于点
，则
的值等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
6.（2021 年全国新高考I 卷）若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7.（2024·广西来宾·模拟预测）曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线
，其在点
处的曲率
，其中
是
的导函数，
是
的导函数．则抛物线
上的各点处的曲率最大值为（ ）
A．
B．p
C．
D．
8.（2021 年全国新高考II 卷）已知函数
，函数
的图象在点
和点
的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M，N 两点，则
取值范围是 ．
变式训练：
1．（22-23 高三上·江苏南京·阶段）若直线
与曲线
相切，则实数
的值为（ ）
A．0
B．
C．
D．
2．（2022·广西贵港·三模）已知曲线
在点
处的切线方程为
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
3．（2021·广西·模拟预测）若曲线
与
有一条斜率为2 的公切线，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2021·广西·二模）函数
在
处的切线与直线
平行，则实数
（ ）
A．
B．1
C．
D．
5．（2023·全国·二模）若曲线
有三条过点
的切线，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2022·广西柳州·三模）若曲线
在点
处的切线方程为
，则
的最大
值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
7．（2024·广西·二模）记函数
的导函数为
，
的导函数为
，则曲线
的曲率
．若函数为
，则其曲率的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2021·陕西宝鸡·三模）若函数
在
处的切线方程为
，则满足
的
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·辽宁辽阳·二模）若对函数
的图象上任意一点处的切线，函数
的图象上总存在一点处的切线
，使得
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·河北邢台·一模）如果方程
能确定y 是x 的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函
数．隐函数的求导方法如下：在方程
中，把y 看成x 的函数
，则方程可看成关于x 的恒
等式
，在等式两边同时对x 求导，然后解出
即可．例如，求由方程
所确定的
隐函数的导数
，将方程
的两边同时对x 求导，则
（
是中间变量，需要用
复合函数的求导法则），得
．那么曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
三、达标检测：
《导数的概念及其几何意义》小题检测
（限时30 分钟，满分73 分）
一、单选题（每小题5 分，共40 分）
1．（24-25 高二下·江苏苏州·阶段练习）已知
，
的值为（ ）
A．4
B．2
C．8
D．16
2．（2022·广西·模拟预测）设函数
在
上存在导函数
，
的图象在点
处的切线
方程为
，那么
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
3．（2022·湖南长沙·模拟预测）函数
的图象在
处的切线对应的倾斜角为
，则
sin2
=（ ）
A．
B．±
C．
D．±
4．（2020·安徽芜湖·模拟预测）若曲线
在
处的切线也是曲线
的切线，则实数
（ ）
A．
B．1
C．2
D．
5．（2021·福建福州·模拟预测）过
引抛物线
的切线，切点分别为A，
.若
的
斜率等于2，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
6．设函数
．若
为奇函数，则曲线
在点
处的切线方程为( )
A．
B．
C．
D．
7．（2021·陕西宝鸡·三模）若函数
在
处的切线方程为
，则满足
的
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2022·全国·模拟预测）已知函数
，则过点
可作曲线
的切线的条数为
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
二、多选题（每小题6 分，共18 分）
9．（2022·福建漳州·二模）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线
的切线斜率可以是1
B．曲线
的切线斜率可以是
C．过点
且与曲线
相切的直线有且只有1 条
D．过点
且与曲线
相切的直线有且只有2 条
10．（2022·全国·模拟预测）已知反双曲正切函数
，则（ ）
A．
是奇函数 B．
的定义域是
C．曲线
在点
处的切线方程为
D．函数
有且仅有3 个零点
11．（2024·河南新乡·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且其图象是一条连续不断的曲线，
，记
为
的导函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
为奇函数
C．若
，则
D．若
在
上单调递减，则
恰有三个零点
三、填空题（每小题5 分，共15 分）
12．曲线
在点
处的切线方程为 .
13．（22-23 高三上·河北石家庄·期末）若直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则
.
14．（20-21 高三下·河南新乡·阶段）已知曲线
和直线
，点
在曲线
上，点
在
直线上，则
的最小值是 ．
答题卡
班级：
姓名：
总分：
题号:
1
2
3
4
5
6
7
8
答案:
题号:
9
10
11
题号:
12
13
14
答案:
答案:
