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第 3 题 导数&零点：高考数学命门 （一题多变）
【2025届山东省潍坊高三上学期质量监测数学试题】已知函数 和
，若 则（ ）
A． B． C． D．
【思路分析】本题主要考察零点相关问题，解题的关键在于建立变量之间的关系，把多变
量问题转化为单变量问题，并结合函数单调性、零点存在定理、函数对称性、基本不等式
以及利用导数研究函数性质等知识，如在分析 关系时，利用变量之间的关系构建函
数 ，再借助函数单调性求解，也可利用函数对称性求解，从数与形两个角度
综合考虑，考验对函数本质的理解；确定 更精确范围以及比较 和 大小，运用函
数值计算与基本不等式，思维灵活转换，对于 与 的大小判断，根据其共同结构
特征采用构造函数并利用导数研究其单调的方法求解即可.
【详解】对于A选项：
方法一：由题意 ，得 ，
，
令 在 单调递增，所以 ，
代入 得 ，所以 ．
方法二：由 可得 ，代入 得 ，所以 ．
方法三：由题意 ，得 ，
由 与 关于 对称， 关于 对称，
则 的交点 与 的交点与的交点 关于 的交点
对称，
则 ，故A对；
对于B选项： 在 上递增，且 ，
，
的零点 的范围为 ，故B对；
对于C选项：方法一：因为 ，故 ，C错；
方法二：由题意易知 ， ，
， ， ，故C错；方法三： ， ，令 ，
， 在 单调递增， ，故C错．
对于D选项：解法一： ，
令 ， ，在 上单调递增， ， ，故只需
，故D对．
解法二：令 ， ， ，
， ， ，
，故 故D对.
故选：ABD．
【题后反思】本题 是 ， 的零点，四个选项都是关于两零点的相等和不等关
系，关键在 建立 之间的关系，用零点存在性定理卡住 的范围，
把双变量转化为单变量进行求解，因为本题的结构特征，可考虑进行指对同构进行解决，
找到变量之间的关系.【变化角度】改变角度：方程问题转化函数零点问题，本题与原题题干题意都一样，
只是描述的角度不同，运用载体不同，由原来的方程问题转化函数零点问题，对选项做了
一些变化，本题是利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题、利用导数研究函数的
零点.
例：（多选题）已知函数 的零点为 ，函数 的零点为 ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】注意到 ，又可得 在
单调递增，则有 ，后由零点存在性定理可得 范围.，之后判断各选项正误
即可得答案.
【详解】 ，
又函数 的零点为 ，则 ，其中 .
，得 在 上单调递增，又其有零点 ，则 为其唯一零点.
又 ，得 .
注意到 ， ，则 ，且 .
对于A，因 ， ，
则 ，故A正确.
对于B，因 ，则 .
令 . 在 上单调递减，
则 ，得 在 上单调递增.
则 ，即 ，故B错误.
对于C选项，因 ， ，则 ，故 .
则由基本不等式结合 有： ，故C正确.
对于D选项，因 ，则 ，由C选项分析可知 .
则令 ， .
得 在 上单调递增，故 ，即 .故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题涉及函数零点，构造函数证明不等式，需注意以下两点:
（1）若题目中同时出现 与 ，常通过 使出现相同结构.
（2）对于双变量问题，常利用消元思想转化为关于一个未知数的问题.
【举一反三】1．已知函数 为 的反函数，若 的图象与直线 交点的
横坐标分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由对数函数的运算和复合函数的单调性可得A错误；由A中 可得B正确；
再结合零点存在定理可得C正确；构造函数 求导分析单调性后
可得D正确.
【详解】A：由题意得 ，
可变形为 ，
又 0，
令 ，则 ，
又 在 上单调递增，
故 ，所以 ，所以 错误；
B：由选项A可得 ，由 ，可得 ，所以B正确；
C：由于 ，
结合 在 上单调递增，由零点存在性定理得 ，故C正确；D： ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 在 时单调递减，
所以 ，所以 ，即 ，所以D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题选项A关键是把 可变形为 ，再结合复
合函数的单调性求解.
2．若函数 ， ，满足对 均有 ，则
的取值不可能为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】AB
【分析】将问题转化为两个函数的零点重合，得出 转化单变量的函数最值问题，
求导计算即可.
【详解】条件对 均有 恒成立，等价于 ，
易知 ， 与 均在定义域内单调递增，
且由 ，故 时 ，
若要满足题意，只需两函数的零点相同即可，则
令 ，即 ，
则 ，令 ，则 ， ，即 在 上单调递减， 上单调递增，
，显然A、B不可能，C、D可能
故选：AB
【变换角度】改变角度：引入参数建立等价关系，都是导数研究双变量问题，原题
是直接由方程相等且为零点明 的关系；本题 是用 将两者联系，根据条件的函数
关系确定参数的等量关系，结合目标式化简并构造函数，应用导数研究函数的单调性，如
下：
例：（多选）已知函数 ， ，若 ， ，
则 的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】由已知条件可推得 ，即有 ，结合目标式化简
可得 ，令 ，利用导函数研究其单调性并确定区间最小值，
即为 的最小值，根据最小值进行选择即可.
【详解】由题意， ，得 ，
∴ ，即 ，
又 ，得
∵ 在 上单调递增，∴综上知： ，
∴ ，
令 ， ，则
∴ ，得 ； ，得 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增.
∴ ，
A：因为 ，所以本选项不符合题意；
B：因为 ，所以本选项符合题意；
C：显然符合题意；
D：因为 ，所以本选项不符合题意，
故选：BC
【点睛】关键点睛：根据条件的函数关系确定参数的等量关系，结合目标式化简并构造函
数，应用导数研究函数的单调性，进而确定区间最小值.
【举一反三】
3．已知函数 与 有两个不同的交点，交点坐标分别为 ，
，下列说法正确的有（ ）
A． 在 上单调递减，在 上单调递增
B． 的取值范围为
C．
D．【答案】ACD
【分析】根据题意求出函数 的单调区间最值从而可对A、B判断；然后利用零点附近
的割线、切线，构造函数然后利用导数从而可对C、D判断求解.
【详解】由题意可知 定义域为 ， ，
对A：当 时， ， 在区间 单调递减，
当 时， ， 在区间 单调递增，故A正确；
对B：由A知当 时， 取到极小值也是最小值 ，由题值 与 有
两个不同的交点，
令 ，得 或 ，所以当 ， ，当 时， 单调递增
所以 ，所以 的取值范围为 ，故B错误.
对C：由 的最小值点 ，所以过点 ， 的直线为 ，
令 ， ，
当 ， ，当 ， ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
， ，所以 在 恒成立，
所以直线 与 的交点为 ；
设过点 ， 的直线为 ，
令 ， ，
则 ，当 ， ，
所以 在 单调递减，又因为 ，所以 在 恒成立，所以直线 与 的交点 ，
所以 ，故C正确.
对D：因为 ， ， ， 在 处的切线为 ，
设 ，令 ， ，
当 ， ，当 ， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，所以 ，即 ，
因为 ，直线 和 相交于点 ，
所以 ，可得 ，
下证： ，
由于 ，所以要证 ，即证 ，
令 ， ，
当 ， ，当 ， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以 ，所以 成立，当且仅当 ， 时取等号，
由于等号不能同时满足，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：C、D中利用零点附近的割线、切线，构造函数然后利用导数进行
求解.
4．函数 ，则下列说法正确的是（ ）A． B．
C．若 ，x､y均为正数，则 D．若 有两个不相等的实根 ，
则
【答案】ABD
【分析】由导数得出单调性，进而判断AB；由对数运算结合不等式的性质判断C；由分析
法结合 得出 ，再构造函数 ，
由其单调性判断D.
【详解】由 得：
令 得，
当x变化时， ， 变化如下表：
x
0
单调递增 极大值 单调递减
故， 在 上递增，在 上递减， 是极大值也是最大值，
时， 时， ，且 时 ， 时， ， .
对于A，因为 在 上递减，所以 ，故A对；
对于B，因为 ，且 在 单调递增，所以 ，即
，所以 ，即 ，故B正确；对于C，设 ，且x，y均为正数，则
，
，故C错误.
对于D，因为 有两个不相等的零点
不妨设 要证： ，即要证： 在 单调
递增，∴只需证： 即：
只需证：
令 ，则
当 时， 在 单调递增
.即： ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：在判断函数值的大小时，关键在于借助函数 的单调性，比
较其大小，对于双变量问题，关键在于将双变量变为单变量，再构造函数证明不等式.
【变换角度】改变角度：化双函数为单个函数的零点问题，都是导数研究双变量
问题，原题是直接由方程相等且为零点明确 的关系；本题 是用 将两者联系，根
据条件的函数关系确定参数的等量关系，结合目标式化简并构造函数，应用导数研究函数的单调性，如下：
例：(多选)已知函数 有两个零点 ，则（ ）
A． 的取值范围为 B． C． D．
【答案】BCD
【分析】利用导数判断函数的单调性，根据零点的个数求出 的取值范围，进而确定
的取值范围，再利用不等式的性质、构造函数利用导数逐一判断即可.
【详解】 ，
因为 ，所以当 时， 单调递增，函数至多有一个零点；
当 时，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
所以当 时，函数有最大值，最大值为： ，
当 时， ，所以函数至多有一个零点；
当 时， ，而 ，当 时， ，
当 时， ，所以函数在 内各有一个零点，所以 ，
因此选项A不正确；
选项B：因为 ，
所以 ，因此本选项正确；
选项C：因为 ，当 时， ，所以 ，因此 ，
构造新函数 ，
，因为 ，所以 单调递减，因此当 时， ，又因为 ，
所以 ，而 ，
因此 ，所以本选项正确；
选项D： ，令 ，
显然有 ，令 ，显然 ，因此有：
，设 ，
所以有 ，当 时， 单调递减，当 时， 单
调递增，因为 ，所以 ，
令 ，
即 ，
因为 ，所以 单调递增，
因为 ，所以 ，
而 ，所以 ，因为 ，所以 ，
当 时， 单调递减，因此有 ，即 ，所以本选项说法
正确，
故选：BCD
【点睛】关键点睛：本题的关键在于构造函数 、
、 ，利用导数研究单调性，根据单
调性进行求解.
【举一反三】5．已知函数 有两个零点 ，且 ，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D． 有极小值点
【答案】C
【分析】求得函数的导数，得到函数的单调区间，确定函数的极小值，根据极小值小于
0，判断A；根据方程，指对互化，判断B；根据极值点的位置，结合 ，即可判断
C；根据A的判断，即可判断D.
【详解】由题意，函数 ，则 ，
当 时， 在 上恒成立，所以函数 单调递增，不符合题意；
当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为函数 有两个零点 且 ，
对A，则 ，且 ，
所以 ，解得 ，所以A正确；
对B， ，且 ， ，故 ， ，
所以 ，所以B正确；
对C，由 ，且由A可知， ， ，则 ，但 不能确
定，
所以C不正确；
对D，由函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以函数的极小值点为 ，所以D正确；
故选：C.
6．若对任意的 ， ，且 ，都有 ，则m的值可能是
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】BCD
【分析】将 转化为 ，构造函数 ，利用
导数求其单调递减区间即可.
【详解】 ，且 ，
则 ，整理得
设 ，则只需要 在 上单调递减即可，
，
令 ，解得 ，
则 ，
所以BCD符合，
故选：BCD.
7．已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上是增函数B． ，不等式 恒成立，则正实数 的最小值为
C．若 有两个零点 ，则
D．若 ，且 ，则 的最大值为
【答案】ABD
【分析】A选项中，令 ，利用导数可求得 单调性，根据复合函数单调性的基
本原则可知A正确；B选项中，利用导数可求得 在 上单调递增，由此可将恒
成立的不等式化为 ，令 ，利用导数可求得 ，由
可知B正确；C选项中，利用导数可求得 的单调性，由此确定 ，
若 ，可等价转化为 ，令 ，利用导数可
求得 单调性，从而得到 ，知 ，可得C错误；D选项中，采用
同构法将已知等式化为 ，从而可确定 ，结合 单调
性得到 ，由此化简得到 ，令 ，利用导数可求得
最大值，知D正确.
【详解】对于A，当 时， ，令 ，则 ， ，
， 当 时， 恒成立， 在 上单调递增；
在 上单调递增，根据复合函数单调性可知： 在 上为增函数，A正确；
对于B，当 时， ，又 为正实数， ，
， 当 时， 恒成立， 在 上单调递增，
则由 得： ，即 ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
，则正实数 的最小值为 ，B正确；
对于C， ， 当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增； ，则 ；
不妨设 ，则必有 ，
若 ，则 ，等价于 ，
又 ，则等价于 ；
令 ，则 ，
， ， ， ，即 ，
在 上单调递增， ，即 ，
，可知 不成立，C错误；
对于D，由 ， 得： ，即 ，
由C知： 在 上单调递减，在 上单调递增；
， ，则 ， ，
，即 ， ；
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
即 的最大值为 ，D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：本题C选项考查了导数中的极值点偏移问题；处理极值点偏移中的类
似于 （ ）的问题的基本步骤如下：
①求导确定 的单调性，得到 的范围；
②构造函数 ，求导后可得 恒正或恒负；
③得到 与 的大小关系后，将 置换为 ；
④根据 与 所处的范围，结合 的单调性，可得到 与 的大小关系，由此证
得结论.
8．函数 的零点为 ，函数 的零点为 ，则下列结论正确
的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】先通过条件，以及 与 的图象关于 对称， 的图象关于
对称得到 ，然后利用等量代换以及基本不等式可分别判断各个选项.
【详解】由已知 ，即 ，
，即 ，
令 ，则 ，
又因为 与 的图象关于 对称， 的图象关于 对称，
所以 与 分别与 的交点关于 对称，
所以 ，即 ，
又因为 ， ，
由零点存在性定理可知 ，
又 ，即 ，所以 ，
对于A： ，A错误；
对于B： ，B错误；
对于C：因为 ，所以 ，，
当且仅当 ，即 时等号成立，又 ，
，C正确；
对于D： ，
当且仅当 ，即 时等号成立，不可能，
所以 ，D错误.
故选：C.
9．已知直线 分别与函数 和 的图象交于点 ， ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】A选项，看出 与 互为反函数，确定 也关于 对称，
求出 ， 两点关于 对称， ， ， ，A选项，
利用基本不等式进行证明；B选项，得到 ， ， ，构造 ， ，求导得到其单调性，从而求出 ；C选项，由基本不等
式得到 ，构造 ，求导得到其单调性，得到 ，
得到 ；D选项，先根据 得到 ，再用作差法比较
大小.
【详解】 与 互为反函数，即两函数关于 对称，
而 与 垂直，故 也关于 对称，
联立 ，解得： ，
故 ， 两点关于 对称，
即 ， 且 ，
不妨设 ， ，
画出图象如下：
A选项， ，当且仅当 ，即 时等号成立，
又 ，故等号取不到，A正确；因为 ，所以 ，所以 ，
因此 ，故 ，
又 为 与 的交点，故 ，
所以 ，令 ， ，
其中 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
所以 ，B正确；
因为 ， ，
所以 ，因此有 ，
设 ， ，
因为 ，所以 ，因此 在 上单调递增，
当 时，有 ，即 ，
因此 ，C错误；
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，D正确.
故选：ABD
【点睛】互为反函数的两个函数的性质：①反函数的定义域和值域分别为原函数的值域与
定义域；
②严格单调的函数存在反函数，但有反函数的函数不一定是单调的（比如反比例函数）；
③互为反函数的两个函数关于 对称，
④奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也时奇函数；
⑤如果一个函数图象关于 对称，那么这个函数一定存在反函数，并且其反函数就是它
本身.
10．已知函数 有四个零点 ，则（ ）
A． B．
C． D．若 ，则
【答案】BCD
【分析】根据函数零点转化为方程的根，令 ，即方程 有两根，根据
一元二次方程根与系数的关系，结合函数图象、指数函数与对数函数的性质逐项分析即可
得答案.
【详解】由题意知 有四个不同的根，显然 ，即 ，
令 ，即 ，即 ．
另外 ， ，
令 得 ，故 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
当 时， ，如图所示：根据题意知 存在两根 ， ，不妨设 ，
则满足 ， ．
即有 ， ，
则由图象可知 ，所以 ，故A不正确；
由于方程 的两根 ， 满足 ，所以 ，
解得 ，故B正确；
由 ， ，得 ，
两边取自然对数得 ，故C正确；
由 ，两边取自然底数得
若 ，则 ，所以
，
令 ，所以 恒成立，所以 在 上单调递减，又 ，且 ，所以 ，故D正确.
故选：BCD．
11．设函数 ，则（ ）
A．
B．函数 有最大值
C．若 ，则
D．若 ，且 ，则
【答案】ACD
【分析】根据 的解析式直接求解 可对A判断；利用导数求最值方法可对B判
断；结合给出的已知条件并利用A、B中的结论可对C、D判断求解.
【详解】对A，由题意知 ，所以
，故A正确；
对B，由题意知 的定义域为 ，
，
当 ， ，当 ， ，所以 在 上单调递减，在
上单调递增，
所以当 时， 取到极小值也是最小值 ，故B错误；对C，当 时，可得 ，由A知 ，
所以 ，
由B知 恒成立，所以 ，故C正确；
对D，当 时，得 ，又因为 ，所以 ，
由B知 在 上单调递增，所以 ，又由A知 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：灵活运用已知条件 ， ，并结合 的对称性和单
调性进行求解.
12．已知直线 与曲线 相交于不同两点 ，曲线 在点
处的切线与在点 处的切线相交于点 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A，构造函数 ，计算即可判断；对于B，写出 、 点处的切线
程联立并化简得 ，而 ，计算即可判断；对于C，根据斜率
相等可得 ， 为两切线的交点代入化简得 ，再计算可得 ；对于D，根据 ，计算即可判断.
【详解】对A，令 ，则 ，
故 时 ， 单调递增； 时 ， 单调递减，
所以 的极大值 ，且 ， ，
因为直线 与曲线 相交于 ､ 两点，
所以 与 图象有 个交点，所以 ，故A正确；
对B，设 ，且 ，可得 ，
在 点处的切线程为
，得 ，
即 ，
因为 ，所以 ，即 ，故B错误；
对C，因为 ，所以 ，
因为 为两切线的交点，
所以
，
即 ，所以 ，所以
，故C正确；
对D，因为 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
同理得 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，故D正确.
其中不等式 ①的证明如下：
不等式① （其中 ），
构造函数 ，则 ．
因为 ，所以 ，所以函数 在 上单调递减，故 ，从
而不等式①成立.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零
点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
