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专项 05 21 题压轴题 3 大考向
（函数与导数、数列、新定义问题）
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【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
年份 核心考点 命题结构 命题特点/创新点 对应思想方
法
2021年 主考点：函数新定义 （1）定义验证+简单单调 新定义贴近函数 数形结合、
（“关联函数”）、导数 性判断； 性质，设问常 分类讨论、
单调性；辅助考点：函 规，难度梯度清 转化与化归
数奇偶性、不等式恒成 （2）参数范围求解； 晰，无复杂构造
立
（3）存在性证明
2022年 主考点：极值、函数零 （1）新定义翻译+简单最 引入“下界”概念 分类讨论、
点；辅助考点：新定义 值计算； （大学确界思想 零点存在定
（“下界函数”）、不等 下放），侧重零 理、数形结
式放缩 （2）零点个数判断； 点分析，计算量 合
适中
（3）最值范围与证明
2023年 主考点：导数切线、同 （1）切线方程求解+定义 首次强化同构法 同构构造、
构构造；辅助考点：新 验证； 应用，多变量问 主元法、转
定义（“奇异点”）、多 题出现，对构造 化与化归、
变量消元 （2）同构构造求参数； 能力要求提升 数形结合
（3）多变量最值证明
2024年 主考点：隐零点、不等 （1）定义翻译+距离表达 隐零点“设而不 隐零点法、
式证明；辅助考点：新 式化简； 求”成为核心，引 反证法、数
定义（“最近点”）、导 入距离类新定 形结合、分
数符号判断 （2）隐零点应用求参 义，几何直观要 类讨论数； 求高
（3）唯一性证明
2025年 主考点：导数单调性、 （1）定义验证+单调区间 多参数问题难度 分类讨论、
多参数范围；辅助考 求解； 提升，放缩技巧 主元法、切
点：新定义（“性质 要求高，强调逻 线放缩、先
P”）、切线放缩 （2）多参数消元求范 辑严谨性 猜后证
围；
（3）复杂不等式放缩证
明
2026年 主考点：函数导数+新 （1）基础定义翻译+简单 延续新定义+导 同构构造、
（预 定义（大概率为距离/有 计算； 数主线，强化构 隐零点法、
测） 界性类）；辅助考点： 造性证明和逻辑 反证法、主
隐零点、同构构造、反 （2）参数范围/存在性问 闭环，可能融入 元法、数形
证法；潜在交汇：导数 题； 强基风格（如数 结合、先猜
+三角/数列 列递推） 后证
（3）多变量唯一性/最值
证明（难度提升）
题型01 函数与导数综合题（高频主流题型）
析典例 · 建模型
1．（2026·上海崇明·二模）函数 ， 是减函数，即对于任意的 ， ，当 时，均
有 ．
(1)若 ，求实数a的取值范围；
(2)是否存在函数 是偶函数，且满足 对所有 成立？若存在，请举出一个满足条件
的函数，若不存在，请说明理由；(3)设 ，已知函数 是周期函数，求证： 为常值函数．
2．（2026·上海静安·二模）已知函数 （ 且 ）．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若直线 是曲线 的一条切线，求 的值和切点的坐标；
(3)若函数 的图像与 的图像相交于相异两点 和 ，求 的取值范围．
3．（2025·上海·三模）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，求 的值；
(3)当 时，证明： 有2个零点．
4．（2025·上海松江·二模）已知 .
(1)若 是函数 的一个极值点，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)已知实数 ，若点 是曲线 上两点，直线AB的斜率为 ，求证：.
研考点 · 通技法
步骤1：定义域优先，规范求导
先确定函数定义域（含对数、分式、根式时必写），避免定义域遗漏失分。
求导后因式分解：f′ (x)=g(x)⋅h(x)，拆分简单因式与复杂因式，优先分析定号因式。
易错点：复合函数求导、积商求导法则混淆，求导后务必验算。
步骤2：单调性与极值分析（通法）
无参数：令f′ (x)=0求零点，划分区间，列表判断f′ (x)正负，确定单调性与极值。
含参数：按参数对导数符号的影响分类（参数=0、>0、<0；零点大小关系；零点是否在定义域内）。
1
隐零点技巧：导数零点无法精确求解时，设x 为隐零点（h(x )=0），得ex 0= 、lnx =−x 等关系，设
0 0 x 0 0
0
而不求，代入原函数化简判断最值。
步骤3：零点问题（第2问核心）
方法：单调性+端点值+零点存在定理。
步骤：①分析f(x)单调性；②求极值/最值；③判断极值与区间端点值的正负；④结合图像确定零点个
数。
技巧：多零点问题分离参数a=g(x)，转化为y=a与y=g(x)图像交点个数，数形结合快速判断。
步骤4：不等式证明（第3问难点）
直接构造法：移项得F(x)=f(x)−g(x)，求F(x) ≥0。
min
放缩法：常用ex≥x+1、lnx≤x−1、sinx≤x（x≥0），先放缩再证明。
同构法：将不等式变形为f(a)>f(b)结构，构造单调函数f(x)，利用单调性转化。
最值转化：恒成立f(x)≥a→f(x) ≥a；存在性f(x)≥a→f(x) ≥a。
min max
步骤5：切线与垂直问题
切线斜率k=f′ (x )，切线方程y−f(x )=f′ (x )(x−x )。
0 0 0 0
垂直关系：k ⋅k =−1，结合导数斜率列方程求解。
1 2破类题 · 提能力
1．（2025·上海静安·一模）已知函数 （ ）的图象关于点 成中心对称的充要条件是
（ ）是奇函数；如果一个函数 的图象关于点 成中心对称，则称这
个函数是点 奇函数，其中点 为对称中心；设函数 ， .
(1)若函数 是点 奇函数，求实数 的值；
(2)证明：对于任意给定的实数 ，函数 存在两个极值点；若 是 的极小值点，求出
的所有极值点；
(3)若 是 的极大值点，函数 是否是点 奇函数？若是，求出对称中心 ；若
不是，请说明理由.
2．（2025·上海杨浦·三模）已知函数 .（其中 为常数）
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求函数 的最小值；
(3)当 时，试讨论函数 的零点个数，并说明理由.
3．（2025·上海·三模）设定义域为 的函数 在 上可导，导函数为 ．若区间 及实数满足： 对任意 成立，则称函数 为 上的“ 函数”．
(1)判断 是否为 上的 函数，说明理由；
(2)若实数 满足： 为 上的 函数，求t的取值范围；
(3)已知函数 存在最大值．求证：对任意正整数 都是 上 的函数的充要条件是对任
意 与 恒成立
4．（2025·上海青浦·三模）已知函数 ．
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）函数 在区间 上有零点，求 的值；
（3）记函数 ，设 是函数 的两个极值点，若 ，且
恒成立，求实数 的最大值．
5．（2025·上海崇明·三模）已知定义域为 的函数 ，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为
的导函数 .
(1)求函数 在点 的切线方程；(2)已知 ，当 与 满足什么条件时，存在非零实数 ，对任意的实数 使得
恒成立？
(3)若函数 是奇函数，且满足 .试判断 对任意的实数 是否恒
成立，请说明理由.
题型02 数列综合题（次高频题型）
析典例 · 建模型
1．（2025·上海宝山·三模）把一列函数 按一定次序排列称为函数列，记为
（ 是正整数）， 为 的导函数.记 ，
.
(1)若 ，求证： 是等比数列；
(2)若 ，是否存在正数 ，使得 ；
(3)已知 在 上有最小值，求证“ 是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数 ，均有
”.2．（2025·上海浦东新·三模）已知实数 ，且a、b、c依次构成等差数列，对于曲线 ，
，若满足 、 、 依次构成等差数列，则曲线 ， 为 曲线.
(1)若 ， ，是 曲线，求实数 的值；
(2)已知曲线 ， 都是 曲线，证明： 是 曲线；
(3)若 ， 为 曲线，求 的取值范围.
研考点 · 通技法
步骤1：通项求解（第1问）
等差/等比：知三求二，方程思想求解首项、公差/公比。等差数列通项a =a +(n−1)d，前n项和
n 1
na (q=1)
n(a +a ) n(n−1) 1
S = 1 n =na + d；等比数列通项a =a qn−1 ，前n项和S ={a (1−qn ) 。
n 2 1 2 n 1 n 1 (q≠1)
1−q
递推数列：
q
a =pa +q→构造等比数列{a + }（p≠1）；
n+1 n n p−1
n−1
a =a +f(n)→累加法，即a =a +∑❑f(k)；
n+1 n n 1
k=1n−1
a =f(n)⋅a →累乘法，即a =a ⋅∏❑f(k)；
n+1 n n 1
k=1
含S ：利用a =S −S （n≥2），a =S 转化。
n n n n−1 1 1
步骤2：数列性质证明（第2问）
a
单调性：作差a −a 判断正负，或作商 n+1 （a >0）判断与1的大小。
n+1 n a n
n
有界性：放缩法证明m<a <M（m、M为常数），或结合函数单调性求值域。
n
等差/等比：验证2a =a +a （等差）或a2 =a ⋅a （等比）恒成立。
n+1 n n+2 n+1 n n+2
步骤3：数列不等式（第3问）
放缩法：
1 1 1 1
裂项放缩： = − 、 >2(❑√n+1−❑√n)；
n(n+1) n n+1 ❑√n
1 1 1 1 1
等比放缩： 放缩为等比数列求和，如 + +⋯+ =1− <1。
2n 2 22 2n 2n
数学归纳法：适用于自然数n的命题，步骤：①奠基（n=1时成立）；②假设（n=k时成立）；③递推
（由n=k推导n=k+1成立）；④结论。
函数法：将a 视为f(n)，转化为函数单调性/最值分析。
n
步骤4：数列与导数结合
以数列项为自变量构造函数，用导数研究函数单调性，反推数列性质。
1
例：a =lna −1，构造f(x)=lnx−1−x，求导f′ (x)= −1，分析f(x)符号，判断a 与a 大小。
n+1 n x n+1 n
破类题 · 提能力
1．（2025·上海徐汇·三模）已知 ，函数 .
(1)当 时，求 的值域；
(2)若函数 在区间 上是严格增函数，求a的最大值；
(3)设 .方程 的所有正实数解按从小到大的顺序排列后，是否能构成等差数列？若能，求
所有满足条件的u的值；若不能，说明理由.2．（2025·上海浦东新·二模）定义域为 的可导函数 满足，在曲线 上存在三个不同的点
，使得直线 与曲线 在点 处的切线平行（或重合）．
若 成等差数列，则称 为“等差函数”；若 成等差数列且 均为整数，则称
为“整数等差函数”．
(1)设 ， ，分别判断 和 是否为“整数等差函数”，直接写出结论；
(2)若 为“整数等差函数”，求实数 的最小值；
(3)已知 的导函数 在 上为增函数，且存在一个正常数 ， 使得对任意 ，
成立，证明： 为“等差函数”的充要条件是 为常值函数．
题型03 新定义问题（创新题型，近年高频）
析典例 · 建模型
1．（2026·上海徐汇·二模）已知函数 与函数 的定义域均为 ，且在 上的导函数分别为
和 .若存在常数 ，使得对任意实数 恒成立，则称 是 的“调整函数”，并称 为调整系数.
(1)设 .求证： 是 的“2-调整函数”；
(2)设 .若存在实数 ，使得 是 的“ 调整函数”，求调
整系数 的取值范围；
(3)已知 是 的“1-调整函数”，函数 的值域是一个闭区间，记作集合 ，函数
的值域记作集合 .若 ，判断 是否一定是常值函数，并说明理由.
2．（2025·上海金山·一模）现给出“ 函数”的定义与性质．
定义：若函数 在区间 上连续，且对于区间 内任意两数 ，如果都有
成立，则称函数 为区间 上的“ 函数”；性质：若函数 为区间 上的“ 函数”，则对于任意 和满足
的正数 ，有 成立．
(1)判断下列两个函数是否为其定义域上的“ 函数”（不需要说明理由）
① ；
② ．
(2)若函数 为区间 上的“ 函数”，求实数 的取值范围；
(3)若 ，记 为函数 的图像与 轴所围成的图
形面积，当 且 时，求 的最小值．
3．（2025·上海普陀·一模）设函数 的定义域为 ，导函数为 ，对于实数 ，若存在
，使得 成立，则称函数 具有性质 ．
(1)若函数 ，请判断该函数是否具有性质 ，并说明理由；
(2)设 ，若函数 具有性质 ，且 的值恰有三个，求 的取值范围；
(3)若函数 ，求证：该函数具有性质 的充要条件是4．（2025·上海杨浦·一模）已知区间 ，函数 的定义域为 ，若函数 满足：对任意
，均有 ，则称函数 为压缩函数.
(1)判断函数 ， ，是否为压缩函数?并说明理由；
(2)若函数 ， 为压缩函数，求实数 的取值范围；
(3)已知函数 ， 为压缩函数，求证： ， 为单调函数的充要条件是：对任意
，均有 .
研考点 · 通技法
步骤1：拆解定义，转化语言
逐句翻译定义：圈关键词（“不是单调”“存在常数”“对任意”），转化为数学符号/等式/不等式。
例：“函数f(x)具有性质P：非单调，且∀x∈D，f(x)≥k”→①f(x)不单调（f′ (x)有正有负）；②
f(x) ≥k。
min
步骤2：特殊值试探（第1问）
代入特殊值（x=0,1,−1,e、端点）验证是否满足定义，快速判断。
反例法：不满足定义时，举1个反例即可（如判断是否为“类函数”，举1个不满足条件的函数）。
步骤3：分类讨论+等价转化（第2、3问）按定义约束条件分类：如“非单调”→导数存在变号零点→f′ (x)=0有两个不同解。
转化为常规题型：将新定义问题转化为函数单调性、零点、不等式、值域问题。
步骤4：逻辑严谨，验证完备
证明“充要条件”时，需证充分性（条件→结论）+必要性（结论→条件）；
求范围时，验证端点是否满足定义，避免遗漏/多解。
破类题 · 提能力
1．（2026·上海嘉定·二模）已知在神经网络中， 常作为神经元激活函数．
(1)证明：对任意实数x，有 ，并由此写出 图像的对称中心；
(2)设交叉熵损失函数 ，用于衡量预测值 与真实标签t之间的差异，其中
．试确定t的值，使得 在 上是减函数；
(3)在深度神经网络中，信号经过多层传播可抽象为一个迭代过程．设数列 满足 ，其中n为
正整数．证明：存在唯一实数 ，使得 ，且对任意实数 和任意正整数n，都有
．
2．（2025·上海徐汇·一模）已知函数 的定义域为 ，若其导函数 在 上是严格减函数，
则称 是一个“ 函数”．(1)设 ， ，分别判断 、 是否为“ 函数”，并说明理由；
(2)已知数列 是公差为 的等差数列，且 的各项都为正数，若定义在 上的函数
是“ 函数”，求证： ．
(3)已知“ 函数” 的定义域为 ，不等式 的解集为 ．证明：函数 在 上
是严格减函数．
3．（2025·上海杨浦·二模）已知函数 的导函数为 ，若函数 的定义域为 ，且不
等式 对任意 成立，则称函数 是“超导函数”.
(1)判断 是否为“超导函数”，并说明理由；
(2)若函数 与 都是“超导函数”，且对任意 ，都有 ， ，记
，求证：函数 是“超导函数”；
(3)已知函数 是“超导函数”且 ，若有且仅有一个实数 满足 ，求 的
取值范围.
4．（2025·上海闵行·二模）已知函数 在定义域 上存在导函数 ．对于给定的一个有序实数对 ，若存在 ，使得 ，则称 为 在定义域
上的一个“分割数对”．
(1)已知 ，判断数对 是否为 在 上的“分割数对”，并说明理由；
(2)已知 ，若 为 在区间 上的“分割数对”，求实数 的取值范围；
(3)已知 ，若有且仅有一个实数 满足对任意 ， 都不
是 在 上的“分割数对”，求实数 的值．
5．（2026·上海·一模）定义：若函数 满足在 上的值域为 （ ），则称
为“根 域同函数”．
(1)试判断 是否为“根 域同函数”并说明理由；
(2)若“根 域同函数” 为偶函数，求： 的值域；
(3)已知奇函数 对任意 均满足 为“根 域同函数”，幂函数 是“根 域同函
数”的充要条件为点 在 上，求证：当 时， 的图象在 下方．
6．（2026·上海·二模）若对于定义在R上的函数 ，设 是R的一个子集， 和 是 上任意给定
的两个实数，当 时，恒有 ，则称函数 在 上具有“性质 ”
(1)分别判断函数 和 是否在R上具有“性质 ”；（无需说明理由）(2)设 ，记 ，若函数 在 上具有“性质 ”，求实数 的取
值范围；
(3)若函数 在R上具有“性质 ”，其图像是连续曲线，且 ，求证：集合
是无限集或单元素集．
7．（2025·上海闵行·一模）若定义域为 的函数 满足：对任意的 和 ，都有
，且 ，就称这个函数是“优美函数”.
(1)判断并证明优美函数 的奇偶性；
(2)若优美函数 的值域为 ，且当 时， ，判断并证明优美函数 的单调性；
(3)若题（2）中优美函数 还满足 ，且不等式 对任意的 恒成立，
试求实数 的取值范围.
8．（2025·上海奉贤·一模）记 ， 分别为函数 和 的导数，存在 ，
满足 且 ，则称 为 和 的一个“ 点”．
(1)若函数 与 存在“ 点”，求实数 的值；
(2)证明函数 与 不存在“ 点”；
(3)已知函数 ， ，对任意的 ，判断是否存在 ，使得函数 和在区间 内存在“ 点”，请说明理由．
（建议用时：45分钟）
刷模拟
1．（2026·上海黄浦·二模）对于公共定义域为D的函数 与 ，定义集合
．
(1)若 ， ，求 ；
(2)若 ， ，且 ，求 的最小值；
(3)已知 是定义在 上的增函数，其图像是连续曲线，且存在正数 ，使得 ．若
， ，且 ，求证： ．
2．（2026·上海普陀·二模）已知p、q为实数，设函数 的最小值为 ，函数 的最小值
为 ，若 且 ，则称函数 和函数 是T函数.
(1)设函数 的表达式为 ，函数 的表达式为 ，请判断函数 和
函数 是否为T函数，并说明理由；
(2)设a、b为正实数，函数 的表达式为 ，函数 的表达式为 ( )，若函数 和函数 不是T函数，求 的最小值；
(3)设k、t、a为实数，函数 的表达式为 ( )，函数 的表达式为
，若存在 ，对任意的 ，皆有 成立，且函数
和函数 是T函数，求k的取值范围.
3．（2025·上海崇明·一模）已知函数 ，其导函数是 ．对于任意 ，记曲线
在点 处的切线方程为 ．定义集合 ．
(1)若 ，求集合 ；
(2)若定义域 且函数 是偶函数，证明：若 则 ；
(3)设 ，若集合 ，求实数 的取值范围．
4．（2025·上海·二模）已知 ，函数 ．
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)是否存在实数a，使得 与 有相同的最大值？若存在，求出a的值；若不存在，请
说明理由；
(3)已知 ，直线 与两条曲线 和 共有四个不同的交点，其横坐标分别为
，证明： ．5．（2025·上海长宁·二模）已知函数 的定义域 ，对任意实数a，定义集合
．
(1)已知 ，求 ．
(2)已知 ，若集合 只有一个元素，求a的值；
(3)已知 ，其中 且 ，求证：集合 是一个区间．
6．（2025·上海普陀·二模）已知 ，对于函数 ， ，设集合 ，
，记 .
(1)若函数 ，请判断 中元素的个数，并说明理由；
(2)设 ，函数 ，若 ，求 的值以及曲线 在点 处的切
线方程；
(3)设 ，函数 ，若对于任意的 ，皆有 成立，求 的取值范围.
7．（2025·上海·三模）若曲线 的切线 与曲线 共有 个公共点（其中 ），则称 为曲线 的
“ 切线”．(1)若曲线 在点 处的切线为 切线，另一个公共点的坐标为 ，求 的值；
(2)求曲线 所有 切线的方程；
(3)设 ，是否存在 ，使得曲线 在点 处的切线为 切线？若存在，
探究满足条件的 的个数，若不存在，说明理由．
8．（2025·上海黄浦·三模）已知函数 是定义在D上的连续函数，其导函数为 ，函数
的导函数为 ，定义函数运算： ．
(1)若 ，求出函数 的极值点 ，并判断 的符号；
(2)若 ， ，讨论方程 解的个数；
(3)若 ，当 ， ，记 与 中较大者为 ．证明： ．
9．（2025·上海·三模）设函数 的定义域为 ，给定闭区间 ，若存在 ，使得对于任意
，①均有 ，则记 ；②均有 ，则记 ．
(1)设 ，求 ；
(2)设 ．若对于任意 ，均有 ，求
的取值范围；
(3)已知对于任意 与 均存在，证明：＂ 为 上的严格增函数或严格减函数＂的充要条件为＂对于任意两个不同的 与 中至少一个成立＂．
10．（2025·上海·三模）已知函数 .
(1)求函数 的极值；
(2)当 时，证明： 恒成立.
(3)函数 图像上存在多少组关于点 对称的点对？说明你的结论和理由.
11．（2026·上海长宁·二模）设函数 定义域为 ，区间 ，记函数 在区间 上的最大
值为 ，最小值为 .
(1)设 ， ，若 ，求实数 的值；
(2)设 ， ，若 ，且 ，求 的值；
(3)已知 ， ，且对任意闭区间 ， 与 均存在.
求证：“ 在区间 上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间 、 ，当
，且 时，均有 .”
12．（2026·上海杨浦·二模）设函数 的定义域为D，值域 .若 且满足
，则称 与 构成“函数 的线性对”.(1)若 ，判断 与π是否构成函数 的线性对，并说明理由；
(2)若 ， .若对于任意 （常数 ），都存在 ，使得 与 构成
函数 的线性对，求 的取值范围；
(3)函数 是定义在 上的奇函数，且满足：若 与 构成函数 的线性对，则 与 也构
成函数 的线性对.求证：对任意 ， .
13．（2026·上海闵行·二模）对于定义在 上的函数 ，若存在实数对 ，对于任意的实数 ，
都有 成立，则称函数 为“ 型函数”，点 称为 的“ ”点.
(1)判断函数 与 是否为“ 型函数”（无须说明理由）；
(2)是否存在“ 型函数” ，其图象上的所有点都是 的“ 点”，如果存在，求出所有
满足题意的 ，如果不存在，说明理由；
(3)设 ，函数 是“ 型函数”，且 的图象是一条连续曲线. 已知 ，点
， 都是 的“ 点”. 证明：“对任意 ，当 时，均有
”是“函数 在 上为严格减函数”的充要条件.14．（2025·上海黄浦·一模）已知函数 的定义域为D，对于给定实数t，定义集合
．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求证：“ 为周期函数”的充要条件是“存在非零常数t，使得 ”．
(3)若 ， ，且对于任意的 ，都有 ，求实数a
的取值范围．
15．（2025·上海徐汇·二模）对于函数 ，记
.如果 是满足 的最小正整数，则称 是函数 的“最小导周期”.
(1)已知函数 ，其中 ，求证：对任意实数 ，都有 ；
(2)设 ， ，若函数 的最小导周期为 ，记
，当实数 变化时，求 的最小值；
(3)设 ， ，若函数 满足 对 恒成立，且存在 使得，试用 表示 ，并证明 .
16．（2025·上海宝山·二模）定义在 上的可导函数 ，集合
为正整数 ，其中 称为 的自和函数， 称为 的固着点. 已知
.
(1)若 ， ，求 的值及 的固着点；
(2)若 ， 是 的自和函数，且 在 上是严格增函数，求 的最大
值；
(3)若 ， ，且 是 的固着点，求 的取值范围，并证明： .
17．（2025·上海崇明·二模）已知函数 ，P为坐标平面上一点．若函数 的图像上存在与P
不同的一点Q，使得直线PQ是函数 在点Q处的切线，则称点P具有性质 ．
(1)若 ，判断点 是否具有性质 ，并说明理由；
(2)若 ，证明：线段 上的所有点均具有性质 ；(3)若 ，证明：“点 具有性质 ”的充要条件是“ ”．
18．（2025·上海浦东新·三模）已知 是定义在 上的函数，集合 对任意 ，都有
．当 时，若函数 存在最小值 ，则称 为直线 的“
距离”．
(1)若 ，直接写出相应的集合 ；
(2)设 ，且存在实数 ，使得直线 的 一距离不小于 ，求 的取值范围；
(3)设 的导函数 在 上严格增．若对任意 ，都有 且直线 与
的 距离相等．证明： 是偶函数．
19．（2025·上海松江·三模）设 ，函数 的定义域为 ．若对满足 的任意 ，均
有 ，则称函数 具有“ 性质”．
(1)在下述条件下，分别判断函数 是否具有 性质，并说明理由；
① ； ② ；
(2)已知 ，且函数 具有 性质，求实数 的取值范围；
(3)证明：“函数 为增函数”是“对任意 ，函数 均具有 性质”的充要条件．
20．（2025·上海·三模）已知定义在 上的函数 的图像上存在 ， 两点，记直线 的方程为，若直线 恰为曲线 的一条切线（ ， 为切点），且对 上的任意的 ，均有
，则称函数 为“切线支撑”函数.
(1)试判断函数 是否为“切线支撑”函数.若是，写出一组点 ， ；否则，请说明
理由；
(2)证明：函数 为“切线支撑”函数；
(3)已知 为“切线支撑”函数，求实数 的取值范围
21．（2025·上海·三模）定义：如果函数 在定义域内给定区间 上存在实数 ，满
足 ，那么称函数 是区间 上的“平均值函数”， 是它的一个均值点.例
如 是区间 上的“平均值函数”，0是它的均值点.
(1)已知函数 、 ，判断 、 是否为区间 上的“平均值函
数”，并说明理由；
(2)设 是区间 上的“平均值函数”，1是函数 的一个均值点，求所有满足条
件的整数数对 ；
(3)若 是区间 上的“平均值函数”， 是它的一个均值点，求证： .
22．（2026·上海金山·二模）若函数 ，其值域为 ．若 ，则称函数 在区间
上为封闭函数．(1)已知 ，判断函数 是否在区间 上为封闭函数，并说明理由；
(2)已知 ，若函数 在区间 上不为单调函数，但在区间 上为封闭函数，求
的最大值；
(3)已知函数 在区间 上连续且为封闭函数，且对于任意的 、 ，都有
成立．若数列 满足 ， 且 ，证明：存在唯一常数 ，使
得 ，且对于任意的 ，都有 ．
23．（2025·上海嘉定·二模）已知函数 ，其中 ，定义集合
．对于点 ，定义集合 ．若对任
意 ，均有 ，则称点P为平衡点．
(1)当 时，判断点 是否为平衡点；
(2)当 时，求实数b的取值范围，使得点 是平衡点；
(3)求所有实数a和b，使得点 是平衡点．
24．（2025·上海虹口·一模）已知函数 的定义域为 （ ），记 ，其
中 ，且 ．
(1)当 ， ， ，求函数 的零点；
(2)当 ， ，若恒有 ，求实数 的取值范围；
(3)当 ，求证：“对于任意的正有理数 ，函数 在 上均是严格增函数”的充要条件是“任取 中两个不相同的元素 和 ，均有 ”．
25．（2026·上海奉贤·二模）设定义域为 的函数 的表达式为 ，我们可
以证明函数 存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点 作函数 的切线 与
轴的交点为 ，设横坐标为 ，若 ，则过点 作函数 的切线 与x轴的交点
为 ，设横坐标为 ；若 ，则停止作切线．…依次类推，得到数列 ，记 ，
．
(1)若 ， ，求 ；
(2)求证：数列 是严格递减数列；
(3)若 ，比较 与 的大小，并说明理由．
刷真题
1．（2024·上海·高考真题）对于一个函数 和一个点 ，令 ，若
是 取到最小值的点，则称 是 在 的“最近点”．(1)对于 ，求证：对于点 ，存在点 ，使得点 是 在 的“最近点”；
(2)对于 ，请判断是否存在一个点 ，它是 在 的“最近点”，且直线 与
在点 处的切线垂直；
(3)已知 在定义域R上存在导函数 ，且函数 在定义域R上恒正，设点
， ．若对任意的 ，存在点 同时是 在 的“最近
点”，试判断 的单调性．
2．（2023·上海·高考真题）令 ，取点 过其曲线 作切线交y轴于 ，取点
过其作切线交y轴于 ，若 则停止，以此类推，得到数列 ．
(1)若正整数 ，证明 ；
(2)若正整数 ，试比较 与 大小；
(3)若正整数 ，是否存在k使得 依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试
说明理由．
3．（2023·上海·高考真题）设函数 ，其中 ，若任意
均有 ，则称函数 是函数 的控制函数”，且对于所有满足条件的函数
在 处取得的最小值记为 ．
(1)若 ，试问 是否为 的控制函数”；(2)若 ，使得直线 是曲线 在 处的切线，证明：函数 为函数 的控
制函数，并求“ ”的值；
(3)若曲线 在 处的切线过点 ，且 ，证明：当且仅当 或 时，
．
4．（2026·上海·高考真题）设 是定义在 上的函数.定义性质 ：若对任意 ，当 时，
，则称函数 具有“性质 ”.
(1)判断函数 是否具有“性质 ”；
(2)若分段函数 具有“性质 ”，求所有满足条件的实数 和 的解；
(3)已知 的值域为 ，且在 上是严格增函数，证明： 是偶函数的充要条件是： 具
有“性质 ”.
5．（2025·上海·高考真题）已知函数 的定义域为 ．对于正实数a，定义集合
．
(1)若 ，判断 是否是 中的元素，请说明理由；
(2)若 ，求a的取值范围；(3)若 是偶函数，当 时， ，且对任意 ，均有 ．写出 ，
解析式，并证明：对任意实数c，函数 在 上至多有9个零点．
6．（2025·上海·高考真题）已知函数 的定义域是 ．对于 ，定义集合 ．
(1) ，求 ；
(2)对于集合 ，若对任意 都有 ，则称 是对称集．若 是对称集，证明：“函数 是偶
函数”的充要条件是“对任意 ， 是对称集”；
(3)若 ， ．求 的取值范围，使得对于任意 ，都有 ．
7．（2024·上海·高考真题）记
(1)若 ，求 和 ;
(2)若 ，求证:对于任意 ，都有 ，且存在 ，使得 .
(3)已知定义在 上 有最小值，求证" 是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数 ，均有
”.8．（2022·上海·高考真题）数列 对任意 ，且 ，均存在正整数 ，满足
.
(1)求 可能值；
(2)命题p：若 成等差数列，则 ，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是
假，说明理由：
(3)若 成立，求数列 的通项公式.
9．（2021·上海·高考真题）已知数列 满足 ，对任意 ， 和 中存在一项使其为另一项与
的等差中项
（1）已知 ， ， ，求 的所有可能取值；
（2）已知 ， 、 、 为正数，求证： 、 、 成等比数列，并求出公比 ；
（3）已知数列中恰有3项为0，即 ， ，且 ， ，求 的最大
值.
10．（2022·上海·高考真题）已知函数 ，甲变化： ；乙变化： ， .
(1)若 ， ， 经甲变化得到 ，求方程 的解；
(2)若 ， 经乙变化得到 ，求不等式 的解集；(3)若 在 上单调递增，将 先进行甲变化得到 ，再将 进行乙变化得到 ；将
先进行乙变化得到 ，再将 进行甲变化得到 ，若对任意 ，总存在 成立，
求证： 在R上单调递增.
