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专题3.2 导数与函数的单调性
一、核心知识：
1. 利用导数研究函数的单调性
（1）导数与函数的单调性的关系
在某个区间
内，如果
，那么函数
在这个区间内单调递增；如果
，
那么函数
在这个区间内单调递减．
在某区间内
（
）是函数
在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；
可导函数
在
上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有
（
）且
在
上的任何子区间内都不恒为零．
2.含参函数单调性讨论依据
（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；
（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；
（3）导函数多个零点时大小的讨论。
3.已知函数的单调性求参数
（1）函数
f x 在区间D 上单调增（单减）
）
（
0
0
)
(
x
f
在区间D 上恒成立；
（2）函数
f x 在区间D 上存在单调增（单减）区间
）
（
0
0
)
(
x
f
在区间D 上能成立；
（3）已知函数
f x 在区间D 内单调
)
(x
f
不存在变号零点
（4）已知函数
f x 在区间D 内不单调
)
(x
f
存在变号零点
4.构造函数法解决函数问题中的常见类型
关系式为“加”型构造：
（1）
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
构造
)
(
)
(
)
(
)
(
])
(
)
(
[
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
（2）
'( )
( )
0
xf
x
f x
构造
'
'
[
( )]
( )
( )
xf x
xf
x
f x
（3）
'( )
( )
0
f
x
f x
构造
'
'
[
( )]
[
( )
( )]
x
x
e f x
e
f
x
f x
（4）
'( )
( )
0
xf
x
nf x
构造
'
'
1
1
'
[
( )]
( )
( )
[
( )
( )]
n
n
n
n
x f x
x f
x
nx
f x
x
xf
x
nf x
（注意x 的符号）
（5）
)
(
)
(
x
f
x
f
构造
)]
(
)
(
[
)
(
)
(
]
)
(
[
x
f
x
f
e
e
x
f
e
x
f
e
x
f
x
x
x
x
关系式为“减”型构造：
（6）
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
构造
2
)]
(
[
)
(
)
(
)
(
)
(
])
(
)
(
[
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
（7）
'( )
( )
0
xf
x
f x
构造
'
'
2
( )
( )
( )
[
]
f x
xf
x
f x
x
x
（8）
'( )
( )
0
f
x
f x
构造
'
'
'
2
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
(
)
x
x
x
x
x
f x
f
x e
f x e
f
x
f x
e
e
e
（9）
'( )
( )
0
xf
x
nf x
构造
'
1
'
'
2
1
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
(
)
n
n
n
n
n
f x
x f
x
nx
f x
xf
x
nf x
x
x
x
（注意x 的符号）
（10）
)
(
)
(
x
f
x
f
构造
x
x
x
x
x
e
x
f
x
f
e
e
x
f
e
x
f
e
x
f
)
(
)
(
]
[
)
(
)
(
])
(
[
2
二、考点聚焦：
考点一：单调区间的判断与求解
经典例题：
1．（2024·北京大兴·三模）下列函数中，是偶函数，且在
上是减函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数
，则
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设函数
在定义域内可导，
的图象如图所示，则其导函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在
上可导的函数
的图象如图
所示，则关于
的不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·四川内江·三模）函数
的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·陕西咸阳·三模）已知函数
的部分图象如图
所示，则它的解析式可能
是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式训练：
1．（2023·吉林长春·模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·北京海淀·三模）下列函数中，在
上时单调递增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·北京丰台·二模）下列函数中，是偶函数且在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三上·北京昌平·期末）下列函数中，在区间
上为减函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．函数
的单调增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．函数
的单调递减区间是 ．
7．（2025·贵州铜仁·三模）已知函数
的一个零点为3，则
的单调减区间是 ．
8．函数
的图象如图所示，则
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·湖南长沙·模拟预测）函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·天津和平·一模）函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二：构造函数比较大小
经典例题：
1．（2020·全国·三模）已知函数
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·山东潍坊·模拟预测）函数
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·广西·一模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·广西·一模）已知
、
、
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·广西梧州·一模）已知
，
，
，其中
，则
，
，的
大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2022·广西·模拟预测）已知
是定义在
上的函数，对任意两个不相等的正数
，都有
.记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数
，且
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式训练：
1．（2021·广西玉林·模拟预测）
，则a，b，c 的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2022 年新高考全国I 卷）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·四川成都·二模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·陕西·模拟预测）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·全国·模拟预测）已知
，
，
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2022·全国·模拟预测）已知
，
，
，则a，b，c（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2022·陕西西安·一模）已知
，设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·山东济南·二模）已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2023·四川·模拟预测）已知函数
为
上的奇函数，且在
上单调递减，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2022·江苏南通·模拟预测）已知
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点三：利用函数单调性解不等式
经典例题：
1．（24-25 高三上·湖北武汉·期中）设函数
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·辽宁大连·期中）已知函数
，则
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022·四川绵阳·二模）已知定义在
上的可导函数
的导函数为
，满足
，且
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·辽宁·模拟预测）已知
是定义在
上的奇函数，
也是定义在
上的奇
函数，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式训练：
1．定义在(－1,1)上的函数f(x)＝-3x＋sinx，如果f(1－a)＋f(1－a2)>0，则实数
的取值范围为 ．
2．（2022·吉林·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为
.
3．（21-22 高三上·山东济宁·期末）已知定义域为R 的函数
，满足
，
则实数a 的取值范围是 ．
4．（24-25 高三下·云南·期中）设函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，其中e 是自然对数的底数．若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·福建福州·期中）已知定义在
上的函数
，若
，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高三上·山东临沂·期中）已知函数
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·山西吕梁·一模）设函数
，则满足
的
取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（25-26 高三上·湖北武汉·开学考试）已知函数
，则满足不等式
的实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（24-25 高三上·福建南平·期中）定义在
上的函数
满足
，且
，则不等式
解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数
，对任意的
，都有
，当
时，
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点四：由函数的单调性求参数范围
经典例题：
1．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
，
，对
，且
，恒有
，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022·四川内江·模拟预测）若对任意的
、
，且
，
，则
的最
小值是 ．
5．（24-25 高三上·江西抚州·阶段）函数
在R 上单调，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若函数
在区间
内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式训练：
1．已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·云南大理·模拟预测）若函数
在
为增函数，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022·山东济宁·一模）已知函数
，则使得
成立的x 的取值范围是
.
4．（2024·江西上饶·一模）若函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围为 ．
5．已知函数
在区间
上是严格减函数，则
的取值范围是 ．
6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）设函数
，若
在
上是减函数，则a 的取值
范围为 ．
7．（2021·江西·模拟预测）已知函数
，且当
时，
，则实数
的取值
范围为 .
8．（2023·陕西榆林·模拟预测）若函数
在其定义域内单调递增，则实数a 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2024·湖北·一模）已知函数
是减函数，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·全国·模拟预测）若函数
在
上单调递增，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、达标检测：
《导数与函数的单调性》小题检测
（限时30 分钟，满分73 分）
一、单选题（每小题5 分，共40 分）
1．（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图是函数
的导函数
的图象，给出下列命题：①-2 是函数
的极值点；②1 是
函数
的极值点；③
的图象在
处切线的斜率小于零；④函数
在区间
上
单调递增.则正确命题的序号是( )
A．①③
B．②④
C．②③
D．①④
3．（2017·江西南昌·三模）函数
的图象的大致形状是
A．
B．
C．
D．
4．（2021·全国·模拟预测）若函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·四川凉山·二模）已知
，则a，b，c 大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·广东深圳·期末）已知函数
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023·广西·一模）已知
、
、
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023·全国·模拟预测）已知定义在
上的偶函数
，对
，都有
，则
，
，
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（每小题6 分，共18 分）
9．函数
的定义域为R，它的导函数
的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A．在
上函数
为增函数
B．在
上函数
为增函数
C．在
上函数
有极大值
D．
是函数
在区间
上的极小值点
10．（2023·安徽阜阳·三模）已知函数
，
为
的导函数，则（ ）
A．
的最小值为2
B．
在
单调递增
C．直线
与曲线
相切D．直线
与曲线
相切
11．已知函数
，以下四个命题中真命题是（ ）
A．
，有
B．
，
且
，有
C．
，
，有
D．
，
三、填空题（每小题5 分，共15 分）
12．（2025·贵州铜仁·三模）已知函数
的一个零点为3，则
的单调减区间是 ．
13．（2023·辽宁鞍山·二模）若函数
在
上单调递减，则实数a 的取值范围是 ．
14．（20-21 高三上·河南·期末）已知函数
的定义域为R，导函数为
，若
，
且
，则满足
的x 的取值范围为 .
答题卡
班级：
姓名：
总分：
题号:
1
2
3
4
5
6
7
8
答案:
题号:
9
10
11
题号:
12
13
14
答案:
答案:
