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第3 题 导数&零点：高考数学命门 （一题多变）
【2025 届山东省潍坊高三上学期质量监测数学试题】已知函数
和
，若
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路分析】本题主要考察零点相关问题，解题的关键在于建立变量之间的关系，把多变
量问题转化为单变量问题，并结合函数单调性、零点存在定理、函数对称性、基本不等式
以及利用导数研究函数性质等知识，如在分析
关系时，利用变量之间的关系构建函
数
，再借助函数单调性求解，也可利用函数对称性求解，从数与形两个角度
综合考虑，考验对函数本质的理解；确定
更精确范围以及比较
和
大小，运用函
数值计算与基本不等式，思维灵活转换，对于
与
的大小判断，根据其共同结构
特征采用构造函数并利用导数研究其单调的方法求解即可.
【详解】对于A 选项：
方法一：由题意
，得
，
，
令
在
单调递增，所以
，
代入
得
，所以
．
方法二：由
可得
，
代入
得
，所以
．
方法三：由题意
，得
，
由
与
关于
对称，
关于
对称，
则
的交点
与
的交点与的交点
关于
的交点
对称，
则
，故A 对；
对于B 选项：
在
上递增，且
，
，
的零点
的范围为
，故B 对；
对于C 选项：方法一：因为
，故
，C 错；
方法二：由题意易知
，
，
，
，
，故C 错；
方法三：
，
，令
，
，
在
单调递增，
，故C 错．
对于D 选项：解法一：
，
令
，
，在
上单调递增，
，
，故只需
，故D 对．
解法二：令
，
，
，
，
，
，
，故
故D 对.
故选：ABD．
【题后反思】本题
是
，
的零点，四个选项都是关于两零点的相等和不等关
系，关键在
建立
之间的关系，用零点存在性定理卡住
的范围，
把双变量转化为单变量进行求解，因为本题的结构特征，可考虑进行指对同构进行解决，
找到变量之间的关系.
【变化角度】改变角度：方程问题转化函数零点问题，本题与原题题干题意都一样，
只是描述的角度不同，运用载体不同，由原来的方程问题转化函数零点问题，对选项做了
一些变化，本题是利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题、利用导数研究函数的
零点.
例：（多选题）已知函数
的零点为
，函数
的零点为
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】注意到
，又可得
在
单调递增，则有
，后由零点存在性定理可得
范围.，之后判断各选项正误
即可得答案.
【详解】
，
又函数
的零点为
，则
，其中
.
，得
在
上单调递增，又其有零点
，则
为其唯一零点.
又
，得
.
注意到
，
，
则
，且
.
对于A，因
，
，
则
，故A 正确.
对于B，因
，则
.
令
.
在
上单调递减，
则
，得
在
上单调递增.
则
，即
，故B 错误.
对于C 选项，因
，
，则
，故
.
则由基本不等式结合
有：
，故C 正确.
对于D 选项，因
，则
，由C 选项分析可知
.
则令
，
.
得
在
上单调递增，故
，即
.故D 正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题涉及函数零点，构造函数证明不等式，需注意以下两点:
（1）若题目中同时出现
与
，常通过
使出现相同结构.
（2）对于双变量问题，常利用消元思想转化为关于一个未知数的问题.
【举一反三】
1．已知函数
为
的反函数，若
的图象与直线
交点的
横坐标分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若函数
，
，满足对
均有
，则
的取值不可能为（ ）
A．
B．
C．
D．9
【变换角度】改变角度：引入参数建立等价关系，都是导数研究双变量问题，原题
是直接由方程相等且为零点明
的关系；本题
是用将两者联系，根据条件的函数
关系确定参数的等量关系，结合目标式化简并构造函数，应用导数研究函数的单调性，如
下：
例：（多选）已知函数
，
，若
，
，
则
的取值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】由已知条件可推得
，即有
，结合目标式化简
可得
，令
，利用导函数研究其单调性并确定区间最小值，
即为
的最小值，根据最小值进行选择即可.
【详解】由题意，
，得
，
∴
，即
，
又
，得
∵
在
上单调递增，
∴综上知：
，
∴
，
令
，
，则
∴
，得
；
，得
；
故
在
上单调递减，在
上单调递增.
∴
，
A：因为
，所以本选项不符合题意；
B：因为
，所以本选项符合题意；
C：显然符合题意；
D：因为
，所以本选项不符合题意，
故选：BC
【点睛】关键点睛：根据条件的函数关系确定参数的等量关系，结合目标式化简并构造函
数，应用导数研究函数的单调性，进而确定区间最小值.
【举一反三】
3．已知函数
与
有两个不同的交点，交点坐标分别为
，
，下列说法正确的有（ ）
A．
在
上单调递减，在
上单调递增
B．
的取值范围为
C．
D．
4．函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，x､y 均为正数，则
D．若
有两个不相等的实根
，
则
【变换角度】改变角度：化双函数为单个函数的零点问题，都是导数研究双变量
问题，原题是直接由方程相等且为零点明确
的关系；本题
是用将两者联系，根
据条件的函数关系确定参数的等量关系，结合目标式化简并构造函数，应用导数研究函数
的单调性，如下：
例：(多选)已知函数
有两个零点
，则（ ）
A．
的取值范围为
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】利用导数判断函数的单调性，根据零点的个数求出
的取值范围，进而确定
的取值范围，再利用不等式的性质、构造函数利用导数逐一判断即可.
【详解】
，
因为
，所以当
时，
单调递增，函数至多有一个零点；
当
时，当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
所以当
时，函数有最大值，最大值为：
，
当
时，
，所以函数至多有一个零点；
当
时，
，而
，当
时，
，
当
时，
，所以函数在
内各有一个零点，所以
，
因此选项A 不正确；
选项B：因为
，
所以
，因此本选项正确；
选项C：因为
，当
时，
，所以
，因此
，
构造新函数
，
，因为
，所以
单调递减，
因此当
时，
，又因为
，
所以
，而
，
因此
，所以本选项正确；
选项D：
，令
，
显然有
，令
，显然
，因此有：
，设
，
所以有
，当
时，
单调递减，当
时，
单
调递增，因为
，所以
，
令
，
即
，
因为
，所以
单调递增，
因为
，所以
，
而
，所以
，因为
，所以
，
当
时，
单调递减，因此有
，即
，所以本选项说法
正确，
故选：BCD
【点睛】关键点睛：本题的关键在于构造函数
、
、
，利用导数研究单调性，根据单
调性进行求解.
【举一反三】
5．已知函数
有两个零点
，且
，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
有极小值点
6．若对任意的
，
，且
，都有
，则m 的值可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．1
7．已知函数
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
在
上是增函数
B．
，不等式
恒成立，则正实数
的最小值为
C．若
有两个零点
，则
D．若
，且
，则
的最大值为
8．函数
的零点为
，函数
的零点为
，则下列结论正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知直线
分别与函数
和
的图象交于点
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数
有四个零点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
11．设函数
，则（ ）
A．
B．函数
有最大值
C．若
，则
D．若
，且
，则
12．已知直线
与曲线
相交于不同两点
，曲线
在点
处的切线与在点
处的切线相交于点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
