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2026 年高考数学一轮复习
专题7：函数的方程与零点
知识点一 函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0 的实数x 叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
2、函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0 有实数根
函数
⇔
y＝f(x)的图象与x 轴有交点
函数
⇔
y＝f(x)有零点．
【注意】函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x 轴的交点，而是交点的横坐标，
也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数．
知识点二 函数零点存在定理
1、函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，
那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，
这个c 也就是方程f(x)＝0 的根．
2、两个重要推论
（1）推论1：函数
在区间
上的图象是一条连续不断的曲线，
，且
具有
单调性，则函数
在区间
内只有一个零点.
（2）推论2：函数
在区间
上的图象是一条连续不断的曲线，函数
在区间
内有零
点，且函数
具有单调性，则
知识点三 二分法的定义
1、二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间
一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2、给定精确度
，用二分法求函数
零点
的近似值的步骤
（1）确定零点
的初始区间
，验证
；
（2）求区间
的中点
；
（3）计算
，进一步确定零点所在的区间：
①若
（此时
），则
就是函数的零点；
②若
（此时
），则令
；
③若
（此时
），则令
.
（4）判断是否达到精确度
：若
，则得到零点近似值
（或
）；否则重复（2）~（4）
【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点；
一、判断函数零点所在区间的步骤
第一步：将区间端点代入函数求函数的值；
第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断；
第三步：若符号为正且在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点；
若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。
二、零点个数的判断方法
1、直接法：直接求零点，令
，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间
上是连续不断的曲线，且
，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
3、图象法：
（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数
的图象，函数
的图象与
轴交点的个
数就是函数
的零点个数；
（2）两个函数图象：将函数
拆成两个函数
和
的差，根据
，
则函数
的零点个数就是函数
和
的图象的交点个数
4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；
若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
三、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法
1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个
熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
考点一 函数零点所在区间问题
【例1】在下列区间中，函数
的零点所在区间为（ ）
A．（0,1） B．（1,2） C．（2,3） D．（3,4）
【变式1】已知函数f(x)＝lnx－
的零点为x0，则x0所在的区间是( )
A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (3，4)
考点二 求函数的零点
【例2】函数
的零点为（ ）
A．2，3 B．2 C．
D．
【变式2-1】函数
的零点为 ．
【变式2-2】已知函数
，则函数
的零点为 .
考点三 函数零点个数的判断
【例3】函数
的零点个数是（ ）
A． B． C．
D．
【变式3-1】已知函数
的周期为2，当
时，
．如果
，那么
的零点个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式3-2】已知
，方程
的实根个数为 ．
考点四 已知零点个数求参数
【例4】（多选题）已知函数
若方程
有三个实数根
，且
，
则下列结论正确的为（ ）
A．
B．
的取值范围为
C．
的取值范围为
D．不等式
的解集为
【变式4-1】已知函数
若函数
有四个不同的零点，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】已知函数
是定义在R 上的偶函数，且满足
，若函数
有6 个零点，则实数m 的取值范围是 ．
考点五 复合函数的零点问题
【例5】设函数
若函数
有三个零点，则实数a 的范围为 ．
【变式5】已知函数
，则函数
的零点个数为 .
1.已知函数
，在下列区间中，包含
零点的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3.已知函数f（x）
，g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2 个零点，则a 的取值范围是（
）
A．[
1
﹣，0）
B．[0，+∞）
C．[
1
﹣，+∞）
D．[1，+∞）
4.已知函数
，若方程
有三个不等的实数根
，则
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5.函数
的零点个数为___________.
6.若函数y＝x＋log2(a－2x)＋2 在R 上有零点，则实数a 的最小值为________.
7.已知定义在R 上的奇函数
满足
，且在区间
上是增函数,若方程
在
区间
上有四个不同的根，则
8.设函数
若函数
有三个零点，则实数a 的范围为 ．
