文档文本内容
函数的零点与方程的解
2.9
1.理解函数的零点与方程的解的联系.
2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解．
2.9 函数的零点与方程的解........................................................1
一、主干知识................................................................2
考点1：函数的零点与方程的解.............................................2
考点2：二分法...........................................................2
二、分类题型................................................................3
题型一 函数零点所在区间的判定............................................3
题型二 函数零点个数的判定................................................4
题型三 函数零点的应用....................................................5
命题点1 根据函数零点个数求参数......................................5
命题点2 根据函数零点范围求参数......................................5
三、分层训练：课堂知识巩固..................................................7一、主干知识
考点1：函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间
(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
考点2：二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为
二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．二、分类题型
题型一 函数零点所在区间的判定
【例题精析1】 （2023·全国·高三专题练习）函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【例题精析2】 （2023秋·天津北辰·高三校考期末）函数 的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有
f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
【对点精练1】 （2023·全国·高三专题练习）函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【对点精练2】 （2023·全国·高三专题练习）函数 ，则 的零点所在区间为
（ ）
A． B． C． D．【对点精练3】 （多选）已知函数 的零点为 ， 的零点为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
题型二 函数零点个数的判定
【例题精析3】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则函数 的零
点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例题精析4】 已知函数 ，则方程 的实根个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；
(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点
个数．
【对点精练4】 若函数 ，则方程 的实根个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6【对点精练5】 （2023·四川校联考三模）函数 的零点个数为__________.
【对点精练6】 （2023·全国·模拟预测）已知 则函数 的零
点个数是______．
题型三 函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
【例题精析5】 若函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例题精析6】 已知 ，则函数 存在两个零点的概率为（ ）
A． B． C． D．
命题点2 根据函数零点范围求参数
【例题精析7】 函数 在区间 存在零点．则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例题精析8】 若函数 在区间 上存在零点，则常数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．
(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结
合求解．
【对点精练7】 （2023·天津河西·统考一模）已知 ，且函数 恰有 个不同
的零点，则实数 的取值范围是______．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
【对点精练8】 （2023·北京通州·统考模拟预测）设函数 ，若函数 有且只有一个
零点，则实数a的一个取值为__________；若函数 存在三个零点，则实数a的取值范围是__________．
【对点精练9】 已知函数 ，则 的最小值是__________，若关于x的方程
有且仅有四个不同的实数解，则整数a的取值范围是__________．
【对点精练10】 函数 的一个零点在区间 内，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【对点精练11】 已知函数 在区间 上有且仅有一个零点，则实数 的取值范围为
_____.
【对点精练12】 已知函数 ，若存在实数 .满足 ，且
，则 ___________， 的取值范围是___________.
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2020•天津）已知函数 若函数 恰有4个零点，则 的取
值范围是
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【解答】解：若函数 恰有4个零点，
则 有四个根，
即 与 有四个交点，当 时， 与 图象如下：
两图象只有两个交点，不符合题意，
当 时， 与 轴交于两点 ，
图象如图所示，
当 时，函数 的函数值为 ，
当 时，函数 的函数值为 ，
所以两图象有4个交点，符合题意，
当 时，
与 轴交于两点 ，
在 ， 内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需 与 在 ， 还有两个交点，即可，
即 在 ， 还有两个根，
即 在 ， 还有两个根，
函数 ，（当且仅当 ，即 时，取等号），
所以 ，且 ，
所以 ，
综上所述， 的取值范围为 ， ， ．
故选： ．
2．（2019•新课标Ⅱ）设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 ， 时，
．若对任意 ， ，都有 ，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【 解 答 】 解 ： 因 为 ， ，， 时， ， ，
， 时， ， ， ， ；
， 时， ， ， ， ，
当 ， 时，由 解得 或 ，
若对任意 ， ，都有 ，则 ．
故选： ．
3．（2019•新课标Ⅲ）函数 在 ， 的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：函数 在 ， 的零点个数，
即方程 在区间 ， 的根个数，
即 在区间 ， 的根个数，
即 或 在区间 ， 的根个数，
解得 或 或 ．所以函数 在 ， 的零点个数为3个．
故选： ．
4．（2019•浙江）设 ， ，函数 若函数 恰有3个零
点，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：当 时， ，得 ； 最多
一个零点；
当 时， ，
，
当 ，即 时， ， 在 ， 上递增， 最多一个零点．不
合题意；
当 ，即 时，令 得 ，函数递增，令 得 ， ，函数递减；函
数最多有2个零点；
根据题意函数 恰有3个零点 函数 在 上有一个零点，在 ，
上有2个零点，
如右图：
且 ，
解得 ， ， ．
，
故选： ．5．（2018•新课标Ⅰ）已知函数 ， ．若 存在2个零点，则 的取值
范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：由 得 ，
作出函数 和 的图象如图：
当直线 的截距 ，即 时，两个函数的图象都有2个交点，
即函数 存在2个零点，
故实数 的取值范围是 ， ，
故选： ．6．（2023•榆林二模）已知函数 ，若函数 恰有5个零点
则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：函数 恰有5个零点等价于关于 的方程 有5个不同的实根，
由 ，得 或 ，
因为 ，所以 ，
由 ，得 或 ，由 ，得 ，
则 在 和 上单调递增，在 上单调递减．
因为 ， （1） ，当 时， ，当 时， ，
所以可画出 的大致图象：由图可知 有2个不同的实根，则 有3个不同的实根，故 ，故 ， ， 错误．
故选： ．
7．（2023•大通县一模）函数 的零点为
A．4 B．4或5 C．5 D． 或5
【解答】解：由题意可得 ，解得 ，故 的定义域为 ，
令 ，得 ，则 ，解得 或 ，
又 ，
．
故选： ．
8 ． （ 2023• 忻 州 一 模 ） 定 义 函 数 ， ， ，，若 至少有3个不同的解，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：令 ， ，
由题意可得 有解，
所以△ ，
解得 或 ，
当 时，必有 ，解得 ；
当 时，必有 ，无解，
综上所述， ，
所以 的取值范围为 ， ．
故选： ．
9．（2023•周至县一模）对于函数 ，若对任意的 ， ， ， ， ， 为某一三角
形的三边长，则称 为“可构成三角形的函数”，已知 是可构成三角形的函数，则实数
的取值范围是
A． ， B． C． ， D．
【解答】解：由 ，
①当 时， ，显然符合题意；
由 为偶函数，只需考虑 在 ， 上的范围，②当 时， 在 ， 单调递减， ， ，
因为要满足：对 ， ， ， 恒成立，
故 ，得 ，得 ；
③当 ， 在 ， 上单调递增， ， ，
所以 ，即 ，得 ，
综上： ．
故选： ．
10．（2023•抚松县校级一模）下列命题正确的个数是
①命题“ ， ”的否定形式是“ ， ”；
②函数 的单调递增区间是 ；
③函数 是 上的增函数，则实数 的取值范围为 ；
④函数 的零点所在的区间 ，且函数 只有一个零点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：对于①：命题“ ， ”的否定形式是“ ， ”，故①正确；
对于②：利用复合函数的单调性“同增异减”原则，可得 ，
解得 ，故②错误；
对于③：因为函数 在 上的增函数，所以 ，解得 ，故③错误；
对于④：函数 在 上单调递减，
（2） ，
（3） ，
所以 （2） （3） ，
所以 的零点在区间 内，且只有一个零点，故④正确，
故选： ．
11．（2023•西固区校级二模）已知函数 恒有零点，则实数 的取值范围是
A． ， B． C． D．
【 解 答 】 解 ： 函 数 的 定 义 域 为 ， 求 导 得 ：
，
令 ， ，则 ，即 在 上单调递增， ，
因此，当 时， ，当 时， ，则函数 在 上单调递增，在 上单调
递减，
于是得当 时， ，函数 的值域是 ，
而函数 恒有零点，当且仅当 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故选： ．
12．（2018•新课标Ⅲ）函数 在 ， 的零点个数为 3 ．【解答】解： ，
， ，
， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
， ，
，或 ，或 ，
故零点的个数为3，
故答案为：3
13．（2018•新课标Ⅰ）已知函数 ，若 （3） ，则 ．
【解答】解：函数 ，若 （3） ，
可得： ，可得 ．
故答案为： ．
14．（2018•上海）设 ，函数 ， ，若函数 与 的图象
有且仅有两个不同的公共点，则 的取值范围是
【解答】解：函数 与 的图象有且仅有两个不同的公共点，
即方程 有两不同根，也就是 有两不同根，
， 在 上有两不同根．
， 或 ， ．
又 ，且 ，
，仅有两解时，应有 ，
则 ．
的取值范围是 ．
故答案为： ．
15．（2018•浙江）已知 ，函数 ，当 时，不等式 的解集是
．若函数 恰有2个零点，则 的取值范围是 ．
【解答】解：当 时函数 ，显然 时，不等式 的解集： ；
时，不等式 化为： ，解得 ，综上，不等式的解集为： ．
函数 恰有2个零点，
函数 的草图如图：
函数 恰有2个零点，则 或 ．
故答案为： ； ， ．1．（2023•周至县一模）对于函数 ，若对任意的 ， ， ， ， ， 为某一三角
形的三边长，则称 为“可构成三角形的函数”，已知 是可构成三角形的函数，则实数
的取值范围是
A． ， B． C． ， D．
【解答】解：由 ，
①当 时， ，显然符合题意；
由 为偶函数，只需考虑 在 ， 上的范围，
②当 时， 在 ， 单调递减， ， ，
因为要满足：对 ， ， ， 恒成立，
故 ，得 ，得 ；
③当 ， 在 ， 上单调递增， ， ，所以 ，即 ，得 ，
综上： ．
故选： ．
2 ． （ 2023• 桃 城 区 校 级 模 拟 ） 已 知 是 函 数 的 零 点 ， 是 函 数
的零点，且满足 ，则实数 的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， 取得最小值 ，
只有唯一一个零点 ，即 ，
， ，
在 ， 上有零点，
（1）若△ ，即 ，
此时 的零点为 ，
显然当 时符合题意；
（2）若△ ，即 或 ，
①若 在 ， 上只有一个零点，则 ，
解得 ；
②若 在 ， 上有两个零点，则 ，
解得 ；
综上， 的最小值为 ．
故选： ．
3．（2023•天津模拟）已知函数 ，若存在 ， ，使得关于 的函数
（a）有三个不同的零点，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意， ，
时， ，对称轴为 ，
在 ， 为增函数，此时 的值域为 （a）， ， ，
时， ，对称轴为 ，
在 ， 为增函数，此时 的值域为 ， ，
在 ， 为减函数，此时 的值域为 ， ；
由存在 ， ， （a）有三个不相等的零点，
则 ， ，
即存在 ， ，使得 ， 即可，
令 （a） ，只要使 （a） 即可，而 （a）在 ， 上是增函数，
（a） （3） ，
故实数 的取值范围为 ．
故选： ．
4．（2022•昆明一模）函数 的零点个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
【解答】解：由已知得 ，
令 ，由 得 ，易知函数 在 上单调递增，
故原函数零点的个数即为函数 ， 的零点个数，
，由 得 ，且 时， ， 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 （2） ，而 ， （4） ，
所以 在 和 上各有一个零点，故 有两个零点，即原函数有两个零点．
故选： ．
5．（2023•鼓楼区校级模拟）已知函数 则函数 的零点个数
为 5 ．
【解答】解：令 ，则函数 可化为
，作出函数 （图中曲线对应的图象部分）与 的图象，
可见 与 图象有两个交点，它们的横坐标分别在区间 和 上，不妨设 ，，
再令 ，易知 ，与 的图象与 的图象分别有2个和3个交点，
所以原函数共有5个零点．
故答案为：5．
6．（2023•大荔县一模）已知函数 ，其中 ， 表示 ， 中较
小的数．若 有且只有一个实根，则实数 的取值范围是 ．
【解答】解：作出 的图象如图：
据图得：要使 有且只有一个实根，只需 ，
故 的取值范围是 ．
故答案为： ．7．（2022•徐汇区校级模拟）若函数 在区间 ， 上恰有14个零点，则符合条件
的所有 的取值范围是 ， ．
【解答】解：作函数 的图象如下，
每一个周期内有2个零点，
， 上共有12个零点，
， 也是函数的零点，
故 的最小值为 ，
小于 的最近零点是 ，大于 的最近零点是 ，
故 ，
故符合条件的所有 的取值范围是 ， ；
故答案为： ， ．
8．（2022•贵州一模）已知函数 ．若 ，则 ；若的定义域为 ，则 零点的个数为 ．
【解答】解：因为函数 ，
若 ，则 ；
令 ，得 ，整理得 ，
设 ，若 ，则 ， ， ，
设 ， ， ， ，
则 ，
当 ， ， 时， ， 在区间 上单调递增，
且 ， ， （1） ，
所以 在区间 上存在唯一零点，
又因为 在区间 上单调递增，
所以函数 在区间 ， ， 上零点的个数为1．
故答案为： ；1．
1．（2019•河南模拟）已知定义在 上的函数 满足当 时， ，且 的图象关于
直线 对称．若不等式 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是
A． B． C． ， ， D． ， ，【解答】解：由 ，可得 ，
故 在 ， 上单调递增，
再由 的图象关于 对称可以知道， 在 上单调递减，
由 对于任意的 恒成立，此时 ，
或 ，即 或 ，
， ，
或 ．
故选： ．
2．（2019•天津模拟）已知 ，且函数 恰有3个不同的零点，则实数
的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D．
【解答】解：因为当 的时候， ，
当 ， 时， ， ，此时
当 ， 时， ， ，此时
依此类推， 在 时为二次函数 ，
在 上为周期为2的函数，重复部分为 在区间 ， 上的部分．
二次函数 顶点为 ，
恰有3个不同的零点，即 与 恰有3个不同的交点，
需满足 与 在 时有1个交点且 或 与 在 时有两个交点且或 ，
综上可得
故选： ．
另解：方程 ，
所以函数 恰有三个不同的零点等价于函数 与 的图象恰有三个不同的交
点．
记 ，画出函数简图如下，
画出函数 如图中过原点的虚线 ，平移 要保证图象有三个交点，向上最多平移到 位置，向下平移
一直会有三个交点，所以 ，即 ．
故选： ．
3．（2021•南京二模）已知函数 ， ，若函数 有3个不同的零点
， ， ，则 的取值范围是 ， ， ．
【解答】解：函数 ， ，若函数 有 3 个不同的零点 ， ，
，
令 ，则由 ，化简 ，解得 ，即 ， ，
下面判断 的单调性， ，当 ， ， 单调递增，
当 ， ， 单调递减，
的最大值是 （e） ，图象如下： ， 有3个不同的零点
① 有一个， 有2个，则 或者 ， ，解得 ，
此时，由 ， ， ， ；② 有二个， 有1个，则 ， （不成立）或者 ，解得 ，
由 ， ， ， ， ；
综上， 的取值范围是 ， ， ．
故答案为： ， ， ．
