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2026 年高考数学一轮复习
专题4：函数的基本性质
知识点一 函数的单调性
1、函数的单调性
2、单调性与单调区间
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f ( x)的定义域为I，区间D
I,如果∀x1，x2∈D，当
时，都有
＜
＞
函数f ( x)在区间D 上是增函数
函数f ( x)在区间D 上是减函数
图像
特征
函数f ( x)在区间D 的图像从左到右是上升的
函数f ( x)在区间D 的图像从左到右是下降的
图像
如果函数y＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调
性，区间D 叫做y＝f(x)的单调区间
【注意】
（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，
故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
（2）单调区间D⊆定义域I.
（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；
（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；
3、函数单调性的性质
若函数f ( x)与g( x)在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质：
（1）f ( x)与f ( x)+C （C 为常数）具有相同的单调性.
（2）f ( x)与−f ( x)的单调性相反.
（3）当a>0 时，af (x)与f ( x)单调性相同；当a<0 时，af (x)与f ( x)单调性相反.
（4）若f ( x)≥0，则f ( x)与√f ( x)具有相同的单调性.
（5）若f ( x)恒为正值或恒为负值，则当a>0 时，f ( x)与
a
f ( x) 具有相反的单调性；
当a<0 时，f ( x)与
a
f ( x) 具有相同的单调性.
（6）f ( x)与g( x)的和与差的单调性（相同区间上）:
简记为：↗+ ↗=↗;（2）↘+ ↘=↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
（7）复合函数的单调性：同增异减
对于复合函数y＝f[g(x)]，
若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数
若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数
若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．
知识点二 函数的奇偶性
1、函数的奇偶性（定义域关于原点对称！！）
偶函数
奇函数
定
条件
对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝-f(x)
义
结论
函数f(x)叫做偶函数
函数f(x)叫做奇函数
图象特征
图象关于y 轴对称
图象关于原点对称
2、函数奇偶性的几个重要结论
（1）
为奇函数⇔
的图象关于原点对称；
为偶函数⇔
的图象关于y 轴对称．
（2）如果函数
是偶函数，那么
．
（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即
，x∈D，其中定义域D 是关于原点对称的
非空数集．
（4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
（5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关
于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
知识点三 函数的周期性
1、周期函数的定义
对于函数
，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何值时，都有
，
那么就称函数
为周期函数，称T 为这个函数的周期．
2、最小正周期：如果在周期函数
的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
的最小正周期．
知识点四 函数的对称性
1、关于线对称
若函数
满足
，则函数
关于直线
对称，特别地，当a＝b＝
0 时，函数
关于y 轴对称，此时函数
是偶函数．
若函数
为偶函数，则函数
关于
对称．
2、关于点对称
若函数
满足
2
2
f
a
x
b
f x ，则函数
关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0
时，
，则函数
关于原点对称，此时函数
是奇函数．
若函数
为奇函数，则函数
关于点
对称．
知识点五 周期性与对称性的重要结论
1、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数
有两条对称轴
，
，则函数
是周期函数，且
；
（2）若函数
的图象有两个对称中心
，则函数
是周期函数，且
；
（3）若函数
有一条对称轴
和一个对称中心
，则函数
是周期函数，且
.
2、周期性技巧
一、单调性定义的等价形式:
1、函数
x
f
在区间
b
a,
上是增函数:
任取
b
a
x
x
,
,
2
1
，且
2
1
x
x
，都有
0
2
1
x
f
x
f
；
任取
b
a
x
x
,
,
2
1
，且
2
1
x
x
，
0
2
1
2
1
x
x
x
f
x
f
；
任取
b
a
x
x
,
,
2
1
，且
2
1
x
x
，
0
2
1
2
1
x
f
x
f
x
x
；
任取
b
a
x
x
,
,
2
1
，且
2
1
x
x
，
0
2
1
2
1
x
f
x
f
x
x
.
2、函数
x
f
在区间
b
a,
上是减函数:
任取
b
a
x
x
,
,
2
1
，且
2
1
x
x
，都有
0
2
1
x
f
x
f
；
任取
b
a
x
x
,
,
2
1
，且
2
1
x
x
，
0
2
1
2
1
x
x
x
f
x
f
；
任取
b
a
x
x
,
,
2
1
，且
2
1
x
x
，
0
2
1
2
1
x
f
x
f
x
x
；
任取
b
a
x
x
,
,
2
1
，且
2
1
x
x
，
0
2
1
2
1
x
f
x
f
x
x
.
二、定义法证明函数单调性的步骤
①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2
②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符
号的方向变形
③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论
④判断：根据定义做出结论。
三、判断函数单调性的方法
1、定义法：定义法的一般步骤为取值→作差变形→定号→得出单调性；
2、导数法：对函数求导→确定导数的符号→得出结论（导数大于零，函数为增；导数小于零，函数为
减）；
3、图像法：根据函数图象的升降趋势判断函数的单调性（一般用于客观题）；
4、特殊指法：若已知函数在某区间上单调，可以通过带入一些特殊值的方法来判断函数的单调性（一般
用于客观题）；
5、性质法：根据基本初等函数的单调性推出由这些基本初等函数经过运算（加、减、乘、除、复合等）
得来的函数单调性（一般用于客观题）。
四、判断函数奇偶性的常用方法
1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函
数的定义域是关于原点对称的，再判断
(
)
f
x
与
( )
f x
之一是否相等.
2、验证法：在判断
(
)
f
x
与
( )
f x 的关系时，只需验证
(
)
f
x
( )
f x
=0 及
(
)
1
( )
f
x
f x
是否成立.
3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.
4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个
偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
5、分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断
方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断
(
)
f
x
与
( )
f x 的关系.首先要特别注意x 与
x
的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，
( )
f x 与
(
)
f
x
对应不同的表达式，而它们的结果按
奇偶函数的定义进行比较.
五、常见奇、偶函数的类型
1、
（
）为偶函数； 2、
（
）为奇函数；
3、
（
）为奇函数；
4、
（
）为奇函数；
5、
（
）为奇函数；
6、
为偶函数； 7、
为奇函数；
考点一 函数的单调性
【例1-1】下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-2】已知函数
的定义域为
，
的图象关于点
对称，
，且对任意的
，
，满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-3】已知函数
，满足对任意的实数
，
且
，都有
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-4】已知函数
.
（1）求
的解析式;
（2）判断并证明函数
在
上的单调性.
【变式1-1】已知
是定义在
上的奇函数，
，若
，
且
满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】已知函数
是定义在区间
上的函数，且在该区间上单调递增，则满足
的x 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】已知函数
(
且
)是R 上的单调函数，则a 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
考点二 函数的奇偶性
【例2-1】下列函数中，是奇函数且在
上单调递减的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-2】若函数
为奇函数，则实数
的值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【变式2-1】函数
的奇偶性为（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
【变式2-2】“
”是“函数
是奇函数”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-3】若函数
是偶函数，则
（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．
【变式2-4】
分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且
，则下列
说法错误的是（ ）
A．
B．
在
上单调递减
C．
关于直线
对称
D．
的最小值为1
【变式2-5】已知定义在
上的奇函数
满足
，且当
时，
.
(1)求
和
的值；
(2)求
在
上的解析式.
考点三 函数的对称性与周期性
【例3】定义在R 上的函数
满足
，且当
，则
＝ ．
【变式3-1】已知定义在R 上的函数
满足
，且
是奇函数，则
（ ）
A．
是偶函数
B．
的图象关于直线
对称
C．
是奇函数
D．
的图象关于点
对称
【变式3-2】已知函数
的定义域为R，且
对任意
恒成立，又函数
的图象关于点
对称，且
，则
（ ）
A．2021
B．
C．2022
D．
【变式3-3】已知函数
是
上的奇函数，且
，且当
时，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
1.已知函数
，不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.若函数
是
上的单调函数，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
3.已知函数
在区间
的最大值是M，最小值是m，则
的值等
于( )
A．0
B．10
C．
D．
4.已知函数
满足
对任意
恒成立，又函数
的图象关于点
对
称，且
则
（ ）
A．2025
B．-2025
C．2026
D．-2026
5.（多选题）下面关于函数
的性质，说法正确的是（ ）
A．
的定义域为
B．
的值域为
C．
在定义域上单调递减
D．点
是
图象的对称中心
6.（多选题）已知定义在R 上的偶函数
的图像是连续的，
，
在区间
上是增函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
的一个周期为6
B．
在区间
上单调递减
C．
的图像关于直线
对称
D．
在区间
上共有100 个零点
7.已知函数
的图象关于原点对称，若
，则
的取值范围为________．
