【雅和学小学数学思维培养体系】实践应用能力解读

雅和学的理念是“培养孩子受益一生的能力和习惯”。

引言｜

在之前的文章里，我们简单解读了一下九大能力培养体系——

雅和学小学数学思维培养体系之能力体系解读

并且解读了前七个能力：

数感认知能力——【雅和学小学数学思维培养体系】数感认知能力解读

空间想象能力——【雅和学小学数学思维培养体系】空间想象能力解读

运算求解能力——【雅和学小学数学思维培养体系】运算求解能力解读

数据处理能力——【雅和学小学数学思维培养体系】数据处理能力解读

逻辑推理能力——【雅和学小学数学思维培养体系】逻辑推理能力解读

抽象概括能力——【雅和学小学数学思维培养体系】抽象概括能力解读

算法思维能力——【雅和学小学数学思维培养体系】算法思维能力解读

能力体系视图概览：

很多人之所以不喜欢数学，往往是因为觉得它很抽象，离现实生活看起来很遥远。那么这篇文章我们将要了解的恰恰就是将抽象的数学影响到具体生活中的能力——实践应用能力。

什么是实践应用能力？

｜实践应用能力的定义

实践应用能力是有意识地运用数学概念、原理和方法，对现实世界中的现象进行合理解释、并有效解决实际问题的能力。

｜实践应用能力的体现

• 在现实情境中，主动发现数学问题。
  能够用数学的眼光观察生活，关注其中的数量、形状与变化关系，主动提出可以借助数学研究的问题。
• 运用数学知识，合理解释现实中的现象。
  能够借助数学概念、原理和方法，分析现象背后的关系，作出有依据的解释与判断。
• 为实际问题建立数学模型，形成并检验解决方案。
  能够提取关键信息，用算式、图表、方程等表达实际问题中的关系，运用数学方法求解，并结合现实条件检验和调整方案。

只要用心发掘，生活中的数学问题其实无处不在。

比如，四个小伙伴一起打车回家，车辆沿途依次把甲、乙、丙、丁送到家，总共花了100元。这100元应该怎样分摊？

大家当然可以直接商量出一个都能接受的办法。但如果继续追问“为什么这样分”，就会发现，这是一道很值得研究的数学问题。

第一步：明确目标，把“公平”说具体。

我们希望分摊得公平。但“公平”究竟是什么意思？

有人认为，既然一起出门，就应该平均分；有人认为，坐得越远，就应该付得越多，可是多多少合适，不同人心里又有不同的标准。

要借助数学解决问题，首先需要把笼统的愿望，转化为明确的分配规则。

在这个分摊问题上，所谓“公平”，就是付出相同的钱得到的应该是相同的乘车服务。

第二步：比较方案，检查它们分别遵循什么规则。

方案一：四个人平均分，每人支付25元。

四个人既然都是回家，平均分配看起来也还算合理。但稍加分析不难发现，四个人乘坐出租车的距离不同，意味着他们享受到的乘车服务也不相同，不应该支付同样的费用。

方案二：按照每个人的乘车里程分摊。

因此我们还得去了解四个人具体乘坐了多远，了解后得到甲乘坐了10千米，乙乘坐了20千米，丙乘坐了30千米，丁乘坐了40千米。他们一共坐了100km，分配下来每km需要支付1元钱，从而甲付10元，乙付20元，丙付30元，丁付40元。

这个方案体现了“乘坐相同距离，就支付相同费用”的规则。

但我们还可以继续问：甲乘坐的10千米，全程都有四个人共同乘车；丁最后乘坐的10千米，却只有他一个人。虽然看起来都是10千米，但甲乘坐10千米时得到的服务，似乎与丁乘坐10千米时得到的服务也不相同。

方案三：分段计算，每段费用由当时车上的人平均承担。

我们其实可以先设想一种最极致的公平情形：当几个人同时在车上行驶了同一段距离，那么这段费用显然就应该平均分配了——因为每个人在这个过程中都得到了完全相同的乘车服务。

基于这个原则，如果甲乙丙丁一块坐了100元的车，他们四个人就应该每人出25元，第二天乙丙丁三个人又一块打了车，花费了60元，这第二天就应该乙丙丁每人出20元。而不会将两天合在一起去让四个人来平分这160元。在这个想法的启发下，我们只需将这一趟打车经历，切割成多次打车过程，再将每次打车费用平均分配即实现了公平。

于是我们就找到了分摊不同时下车的车费的规则：

• 共同乘坐同一段路的人，平均承担这一段的费用。

• 已经下车的人，不再承担后续路段的费用。

第三步：建立模型，计算并检验结果。

按照这两条规则，就可以把整个行程分成四个阶段：

• 第一段10千米，甲、乙、丙、丁四人共同乘坐，费用由四人平摊；

• 第二段10千米，乙、丙、丁三人共同乘坐，费用由三人平摊；

• 第三段10千米，丙、丁两人共同乘坐，费用由两人平摊；

• 第四段10千米，只有丁乘坐，费用由丁独自承担。

车辆一共行驶40千米，花费100元，因此每段10千米的费用都是25元。按照分段分摊的方法：

• 甲支付第一段费用的四分之一，约为6.25元；

• 乙再加上第二段费用的三分之一，合计约14.58元；

• 丙再加上第三段费用的二分之一，合计约27.08元；

• 丁再承担最后一段的全部费用，合计约52.08元。

但回到真实的打车场景，还需要考虑实际计费方式。（出租车并不是每公里都收取相同的费用，刚开始会有起步价，距离过长了还有回城空载费……）例如，可以在每个人下车时记录计价器金额，用相邻记录的差额确定这一段新增的费用，再按照约定分摊。

在整个探讨过程中，每一次方案的改进和升级，都是抽象的数学对复杂的真实世界的进一步靠近。

孩子从“怎样分摊才公平”的生活问题出发，讨论公平的含义，把它表达成明确的规则，再借助各种数学工具来形成可执行的方案。这就是实践应用能力的具体体现。

｜平时多用数学观察生活和解释现象

实践应用能力的培养，首先要让孩子逐渐形成一种意识：生活中的许多事情，都可以用数学的眼光重新看一看。

例如，逛超市时，可以让孩子想想：“不同包装的薯片哪个更划得来？”，“选哪个收银台排队时间更短？”，“给定100元预算怎么搭配自己想吃的零食能够剩的钱最少？”，“不同的促销方案，哪个优惠力度更大”……

刚开始，成人可以示范如何观察、如何提问；随着经验增加，再逐渐减少提示，让孩子主动发现值得研究的数量与关系。

这里的关键不在于是否得到“正确答案”，而在于孩子是否逐渐开始用数学的眼光来观察这个世界。当孩子面对生活中的事情，会自然地想到“这里能不能用数学想一想”，实践应用就有了主动发生的可能。

｜让孩子参与真实任务，用数学作出决定

实践应用能力更完整的训练，是让孩子承担一个真实的小任务，经历收集信息、建立模型、求解和检验的过程。

可以给孩子一个明确的目标，同时保留让他们自己寻找条件、选择方法的空间。例如，在家庭旅行中，请孩子参与设计一天的城市游览路线。

首先，明确目标，寻找需要的信息。

今天想去哪些景点？它们分别在哪里？从哪里出发，最后回到哪里？可以先让孩子在地图上标出这些位置，初步提出一条路线。

再继续追问：“仅仅知道位置和距离，就足够安排一天的行程了吗？”

孩子会逐渐发现，还需要了解景点之间的通勤时间、开放与预约时间、游览和排队时间，以及吃饭、休息、预算和体力等限制。距离近也不一定到达得快，还要考虑换乘、绕行等情况。

实际问题所需的条件，需要主动发现和收集。遗漏一个关键条件，可能比算错一个数字更影响结果。

接着，把实际需求转化为明确的目标与条件。

“合理安排”是什么意思？是尽可能多去几个地方，还是减少通勤，让大家玩得轻松一些？

可以让孩子参与讨论，区分必须满足的条件与希望尽量做到的事情。例如，下午两点的博物馆预约必须赶上；在此基础上，希望少换乘、少走路，并留出休息时间。

随后，用表格整理信息，在地图上连接路线，或用时间轴安排各项活动。把生活中的愿望转化为可以比较和计算的关系，就是建立数学模型的开始。

然后，比较方案，说明选择的依据。

有了第一条路线后，可以问：“如果交换两个景点的顺序，会怎样？”再比较不同方案的通勤时间、费用，以及能否满足预约和休息要求。

逛街时，也可以让孩子设计一条经过所有目标店铺的路线。孩子可能希望“完全不走重复的路”，但如果某家店位于尽头没有其他出口的通道里，就必须原路返回。此时，可以把目标调整为“尽量减少重复路段或总步行距离”。

判断目标是否可行，并根据实际条件作出调整，也是实践应用的重要部分。

最后，让方案接受实践检验。

条件允许时，可以按照孩子设计的合理方案出行，让他的分析真正参与决定。途中遇到排队过长、步行较慢等情况，再一起判断：剩余时间是否足够？需要调整哪些安排？

结束后回顾：哪些估计比较准确？遗漏了什么条件？下次应该怎样改进？

当孩子的数学分析影响实际行动，实际经历又帮助他修正分析时，数学就真正成为支持判断、选择和行动的工具。

｜在应用题学习中，多练习现实情境与数学表达之间的转化。

日常应用题学习，也可以成为培养实践应用能力的重要途径。教学时，可以有意识地加强现实情境与数学表达之间的联系。

面对一道应用题，可以先请孩子说清楚：“这道题描述了一件什么事情？”“有哪些数量？它们之间有什么关系？”然后再尝试用图、表格或算式把关系表达出来。

例如，“23名同学乘车，每辆车最多坐5名同学，至少需要几辆车？”孩子列出“23÷5”后，可以继续追问：

• 算式中的数量：23和5分别表示什么？

• 计算结果的含义：商4、余数3，在这件事中分别表示什么？

• 实际问题的答案：为什么算出了4，还需要安排5辆车？

这些追问能够帮助孩子把运算与具体对象联系起来，理解为什么计算结果还需要根据实际情境作出解释。

进一步，还可以反过来训练：给出一个算式，请孩子寻找或编写与之对应的生活问题。

例如，同样是“23÷5”，可以对应不同的情境：

• 把23升果汁平均分装在5个容器里，每个容器装多少升？

• 有23元钱，买每支5元的笔，最多可以买几支？

• 有23名同学，每辆车最多坐5名同学，至少需要几辆车？

这三个问题使用相同的除法，却分别需要回答“4.6升”“4支”和“5辆”。孩子可以由此体会：数学运算可以相同，结果怎样使用，则取决于实际问题的含义。

这一方式的关键，在于让孩子能够从现实情境中提取数学关系，也能够把数学表达重新解释成现实中的数量、关系与行动。

实践应用能力的培养，并不是“会做几种生活背景的应用题”，而是一种主动联系数学与现实的思维方式。它让孩子从“学习数学知识”走向“用数学观察和解释生活”，从“根据已知条件解题”走向“主动寻找信息、建立模型”，从“算出一个答案”走向“作出实际决定、检验并调整方案”。

当这种能力真正建立，数学知识就成为孩子可以主动调用的工具，帮助他们把生活中的疑问与需求，转化为能够分析和解决的问题，再将数学结果带回现实中检验，让所学真正服务于理解世界与实际行动。

雅和学小学思维体系中的

低年级实践应用能力的培养，主要在于鼓励孩子在生活中发现数学，感受数学的作用。

｜小中的实践应用能力

中年级实践应用能力的培养，重点在于将生活中的具体问题抽象为数学问题，并运用数学方法加以解决，因此，应用题模块也成为中年级学习的重中之重。

三年级秋季第15讲-《最棒的选择》

｜小高的实践应用能力

高年级实践应用能力的培养，则着重引导孩子从一类实际问题中提炼共同的数学概念，把握其数学本质，并综合运用分数、比例、方程、几何、数论、组合等数学工具，解决具体问题。

五年级冬季第6讲-《舌尖上的科学》

六年级夏季第8讲-《理财日记》

写在最后

数学的价值，也体现在孩子如何理解生活、作出选择和解决问题。当孩子开始主动用数学观察身边的现象，将实际需求转化为可以分析的问题，并在行动中检验自己的方案，所学的知识就有了真实的力量。培养实践应用能力，就是帮助孩子建立数学与生活之间的联系，让课堂中的收获成为面对现实问题时可以主动调用的能力。