领悟课标内涵贯通课堂教学
基于高阶思维数学课堂构建的思考与实践
长沙夏远景
教育专家
教研管理
一线教师
国家发展+学科需求
制定标准
制定目标+分享成长
指导衔接
研究教法+指导学法
课堂教学
引
领
衔
接
实
践
明确任务
学科教材
高考试卷
参考资料
考后分析
体现国家意志的学科要求
对课程标准的教学解读
对课程标准的评价解读
对学科教学的选读
对高考评价的选读
研读
解读
选读
引领方向
明确目标
优化教学
课程标准
明确流程
教学
研究
学
生
教
师
过程：课堂教学
状态：课堂文化
研究：校本研修
研究教法
研究学法
研究学科
表征
规范
培养
习惯
衔接
延伸
教
材
明确方向
基础概念深入化
知识融合常态化
创新思维刚性化
关注
变化
深化理解结构
融合构建模型
拓展应用视野
൞
数字特征观察
结构特征分析
几何直观运用
൞
代数与几何
连续与离散
数学与其他
൞
广泛联想
大胆猜想
创造想象
应对
变化
仅关注解题结果⟹
全面关注审题与反思
重复盘
重探究
重领悟
仅关注怎么解答⟹
全面关注为什么如此
仅关注标准答案⟹
全面关注个性化拓展
落实
变化
注意五种现象
"教过"当"学会"
"理想学情"当"实际学情"
"热闹互动"当"深度参与"
"一个学会"当"全班都会"
"纠错"当"止损"
⟪普通高中数学课程标准日常修订版𝟐𝟎𝟏𝟕年版𝟐𝟎𝟐𝟓年修订》解读
一、修订基本情况
一修订背景与要求
𝟏. ⋯落实《教育强国建设发展纲要2024— — 2035年》的任务要求⋯
𝟐. ⋯数学是人工智能技术发展的基石, 提升学生数学方面的核心素养是做好科学教育加法的关键⋯
𝟑. ⋯在其实施过程中, 创造了很好的教学经验, 如单元教学、跨学科主题学习等⋯
𝟒. ⋯需要强化学业质量对“教、学、评”的指导性和可操作性⋯
二修订的思路与重点
三修订过程
⟪普通高中数学课程标准日常修订版𝟐𝟎𝟏𝟕年版𝟐𝟎𝟐𝟓年修订》解读
二、修订的主要变化
一体现新精神新要求
⋯例如在课程性质中增加数学是“重大科技创新发展的基础”和“全面贯彻党的教育方针”的表述. ⋯
⋯例如,明确指出“教师应科学、合理地使用人工智能技术赋能数学教学改革”等. ⋯
二完善课程性质
⋯一是体现数学课程与现代技术的联系⋯二是完善高中数学课程的功能⋯
三优化学业质量
𝟏. ⋯数学质量标准从情境与问题解决、知识与体系构建、思维与交流表达、态度与价值判断⋯
𝟐. ⋯更强调学生数学知识体系的构建和在真实情境中从数学角度发现⋯提出⋯分析⋯解决⋯
⟪普通高中数学课程标准日常修订版𝟐𝟎𝟏𝟕年版𝟐𝟎𝟐𝟓年修订》解读
二、修订的主要变化
四改进评价和考试命题建议
𝟏. 优化评价建议. 对结构进行优化调整,使主要观点更加突出,且减少各部分文字篇幅大小差距.
𝟐. 改写“学业水平考试与高考建议”部分.⋯对考试理念、设计要素、试卷结构⋯提高指导性.
五加强实施指导
𝟏. 整体把握课程,实施单元教学. ⋯强调通过单元整体教学落实对课程内容结构化理解, 促进⋯
𝟐. 突出“教—学—评”一体化. ⋯对与学业质量有关的核心素养、学业要求、评价建议等做⋯
𝟑. 突出学科素养,强调实践和创新. ⋯通过数学建模活动进行跨学科内容整合, ⋯主题四⋯
主题
单元
建议课时
高中数学
(一)预备知识
①集合②常用逻辑用语③相等关系与不等关系
④从函数观念看一元二次方程和一元二次不等式
(二)函数
①函数概念及性质②幂函数, 指数函数, 对数函数
③三角函数④函数应用
⑤数列⑥一元函数导数及其应用
(三)几何与代数
①平面向量及其应用
②复数
③立体几何初步
④空间向量与立体几何⑤平面解析几何
(四)概率与统计
①概率②统计
③计数原理④概率⑤统计
(五)建模与探究
①数学建模活动与探究活动
②数学建模活动与探究活动
𝟏8
𝟓𝟐
𝟔
𝟑𝟎
𝟒𝟐
44
𝟐0
𝟐6
𝟒
引领方向
贯穿始终
强调统领
突出解析
落实应用
3
2
1
样本与总体
主变量与参变量
自变量与因变量
数量与向量
横坐标与纵坐标
常量与变量
𝟏.集合
集合是刻画一类事物的语言和工具. 本单元的学习, 可以帮助学生使用集合的语言
简洁、准确地表述数学研究的对象,学会用数学的语言表达和交流, 积累数学抽象
的经验.
①𝟐是方程𝒇𝒙= 𝟎的根.
②方程𝒇𝒙= 𝟎的根是𝟐.
是
=
⊂
—
或
条件
常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分,是数学表达和交流的工具,是逻辑思维
的基本语言.本单元的学习,可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象、进行
数学推理,体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论的作用,提高交流的
严谨性与准确性.
𝟐. 常用
逻辑用语
字
词
句
主题一、预备知识
∃
∀
𝑨→𝑩
𝑨←𝑩
量词
数学抽象
逻辑推理
数学建模
读
想
写
数学运算
直观想象
从数学外部到数学内部
从一个数学结论到另一个数学结论
从一个数学问题到一类实际问题
数据分析
思想
方法
运算
方法
捕捉数量信息
推导数量关系
建立数学模型
代数
几何
统计
算
读出数量
想到关系
写清模型
算对结果
𝟑.相等关系与不等关系
相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系,是构建
方程的基础. 本单元的学习, 可以帮助学生通过类比,理解等式
和不等式的共性与差异,掌握基本不等式.
若𝒂≥𝟎, 𝒃≥𝟎,则
𝒂𝒃≤𝒂+𝒃
𝟐. 当且仅当𝒂= 𝒃时等号成立.
两个量的和、积、平方和、倒数和的相互转化
若𝒂> 𝟎, 𝒃> 𝟎,则
𝒂𝒃≤𝒂+𝒃
𝟐
当且仅当𝒂= 𝒃时等号成立.
≤
𝒂𝟐+𝒃𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝒂+𝟏
𝒃
≤
主题一、预备知识
𝟒.从函数观念看
一元二次方程和
一元二次不等式
用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法. 本单元的学习,可以
帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式. 通过梳理
初中的相关内容,理解函数、方程和不等式之间的联系,体会数学的整体性.
1 从函数观念看一元二次方程: 会结合一元二次函数的图象,判断一元
二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.
2 从函数观念看一元二次不等式: ①经历从实际情境中抽象出一元二
次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义. 能借助一元二次函数求
解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.②借助一元二
次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
函数、方程、不等式的相互融合
主题一、预备知识
一、深化理解结构
会用数学的眼光观察现实世界
例𝟏. 设𝒕=
𝟏+ 𝒙+
𝟏−𝒙, 求𝒕的取值范围.
解法𝟏:
得𝑥= 𝑐𝑜𝑠𝜃,
由−𝟏≤𝒙≤𝟏,
则𝑡=
1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃+
1 −𝑐𝑜𝑠𝜃=
2 𝑐𝑜𝑠𝜃
2 + 𝑠𝑖𝑛𝜃
2
故𝑡的取值范围为
2, 2 .
又𝜋
4 ≤𝜃
2 + 𝜋
4 ≤3𝜋
4 ,
读
想
写
算
𝜽∈𝟎, 𝝅
𝒂< 𝒙< 𝒃
−𝒃−𝒂
𝟐< 𝒙−𝒂+𝒃
𝟐< 𝒃−𝒂
𝟐
读出有界
想到换元
写成模型
整合求解
=
2 𝑐𝑜𝑠𝜃
2 + 𝑠𝑖𝑛𝜃
2 = 2𝑠𝑖𝑛𝜃
2 + 𝜋
4 .
粗读是什么问题
细读有什么特征
精读选什么方法
例𝟏. 设𝒕=
𝟏+ 𝒙+
𝟏−𝒙, 求𝒕的取值范围.
解法𝟐:
则𝑡2 = 2 + 2 1 −𝑥2,
因1 + 𝑥+
1 −𝑥> 𝟎,
由0 ≤
1 −𝑥2 ≤1,
得2 ≤𝑡2 ≤4, 又𝑡> 0,故𝑡的取值范围为
2, 2 .
读
想
写
算
𝑿
𝒀
读出正值
想到平方
写出范围
单调求解
构建复合函数
例𝟏. 设𝒕=
𝟏+ 𝒙+
𝟏−𝒙, 求𝒕的取值范围.
解法𝟑: 令𝑡= 𝑓𝑥, 由𝑓𝑥= 𝑓−𝑥,
当𝑥∈(0,1)时,𝑓′ 𝑥=
1
2 𝑥+1 −
1
2 1−𝑥
只需求𝑓𝑥在0,1 上的取值范围.
得𝑓𝑥是偶函数,
< 0, 𝑓𝑥单调递减, 得2 < 𝑓𝑥< 2.
由𝑓1 =
2, 𝑓0 = 2, 得2 ≤𝑓𝑥≤2.
综上所述, 𝑡的取值范围为
2, 2 .
读
想
写
算
研究奇偶
导数判断
补齐端点
整合求解
理解导数概念
例1. 设𝒕=
𝟏+ 𝒙+
𝟏−𝒙, 求𝒕的取值范围.
解法𝟒:
则𝑡=
2𝑐𝑜𝑠𝜃+
2𝑠𝑖𝑛𝜃,
因
1 + 𝑥
2 + ( 1 −𝑥)2= 2
即𝑡= 2𝑠𝑖𝑛𝜃+
𝜋
4 ,
又
𝜋
4 ≤𝜃+
𝜋
4 ≤
3𝜋
4 ,故𝑡的取值范围为
2, 2 .
读
想
写
算
𝜽∈𝟎, 𝝅
𝟐
平方求和
三角换元
配凑模型
整合求解
平方和→三角换元
例1. 设𝒕=
𝟏+ 𝒙+
𝟏−𝒙, 求𝒕的取值范围.
解法𝟓: 由
1 + 𝑥
2 + ( 1 −𝑥)2= 2,
则上式可理解为以2斜边的直角三角形,
𝟏+ 𝒙
𝟏−𝒙
𝟐·
𝑨
𝑩
𝑷
即𝑡= 𝐴𝑃+ 𝑃𝐵,
则2 ≤𝑡≤2, 故𝑡的取值范围为
2, 2 .
读
想
写
算
平方求和
配凑图形
构建线段
整合求解
平方和→勾股定理
例1. 设𝒕=
𝟏+ 𝒙+
𝟏−𝒙, 求𝒕的取值范围.
算
解法𝟔:
设𝒑= 𝟏, 𝟏, 𝒒=
𝟏+ 𝒙,
𝟏−𝒙, Ԧ𝑝, Ԧ𝑞的夹角为𝛼
则𝑡= Ԧ𝑝∙Ԧ𝑞= 2𝑐𝑜𝑠𝛼,
𝛼的取值范围为0,
𝜋
4 , 故𝑡的取值范围为
2, 2 .
𝟏+ 𝒙+
𝟏−𝒙= 𝟏×
𝟏+ 𝒙+ 𝟏×
𝟏−𝒙
读
写
因
1 + 𝑥
2 + ( 1 −𝑥)2= 2
𝒖
𝒗
𝑶
𝒑
𝒒
想
平方求和
配凑向量
构建点积
单调求解
平方和→向量的模
例1. 设𝒕=
𝟏+ 𝒙+
𝟏−𝒙, 求𝒕的取值范围.
解法𝟕:
则𝑢2 + 𝑣2 = 2,
令𝟏+ 𝒙= 𝒖,
𝟏−𝒙= 𝒗,
即动直线𝑢+ 𝑣= 𝑡与定曲线𝑢2 + 𝑣2 = 2有公共点,
故𝑡的取值范围为
2, 2 .
读
想
写
算
𝒖
𝒗
𝑶
𝟐
𝟐
𝒕
其中0 ≤𝑢≤
2,0 ≤𝑣≤
2,
且𝑡= 𝑢+ 𝑣,
因
1 + 𝑥
2 + ( 1 −𝑥)2= 2,
平方求和
构建解析
转化数形
直观求解
平方和→圆的方程
例1. 设𝒕=
𝟏+ 𝒙+
𝟏−𝒙, 求𝒕的取值范围.
解法𝟖:
𝒙
𝒚
𝑶
𝟏
−𝟏
𝟏
𝟐
𝒚𝟏=
𝟏+ 𝒙
𝒚𝟐=
𝟏−𝒙
令𝒚𝟏=
𝟏+ 𝒙, 𝒚𝟐=
𝟏−𝒙.
得𝒕= 𝒚𝟏+ 𝒚𝟐.
由于𝑦1 + 𝑦2在−1,0 上递增.
故𝑡的取值范围为
2, 2 .
读
想
写
算
𝒙𝟎
构建复合
转化形式
研究性质
单调求解
自变量与因变量
例1. 设𝒕=
𝟏+ 𝒙+
𝟏−𝒙, 求𝒕的取值范围.
解法𝟗:
得1 + 𝑥,
𝑡
2 ,
1 −𝑥成等差数列.
由𝟏+ 𝒙+
𝟏−𝒙= 2 ×
𝒕
𝟐,
即1 + 𝑥=
𝑡
2 −𝑑,
1 −𝑥=
𝑡
2 + 𝑑, 𝑑为公差
故𝑡的取值范围为
2, 2 .
得2 =
𝑡2
2 + 2𝑑2, 即𝑡2 = 4 −4𝑑2.
由−2 ≤2𝑑≤
2, 得0 ≤4𝑑2 ≤2,
读
想
写
算
𝑿
𝒀
构建等差
中项表达
复合函数
性质运算
等式与等差中项公式
例𝟐.已知𝑥2 −𝑦2 = 1,求1
𝑥2−𝑦
𝑥的取值范围.
解法𝟏: 由𝑥2 −𝑦2 = 1, 得该双曲线的渐近线方程为𝑦= ±𝑥.
即𝑦
𝑥∈−1,1 .
则1
𝑥2 −𝑦
𝑥= 𝑥2−𝑦2
𝑥2
−𝑦
𝑥= 1 −
𝑦
𝑥
2 −𝑦
𝑥= −𝑦
𝑥+ 1
2
2 + 5
4 ∈൫−1, ൧
5
4 .
故1
𝑥2 −𝑦
𝑥的取值范围为൫−1, ൧
5
4 .
想
写
算
构建曲线
配凑范围
齐次变形
整合求解
读
形的理解与数的表达
例𝟐.已知𝑥2 −𝑦2 = 1,求1
𝑥2−𝑦
𝑥的取值范围.
解法𝟐: 令𝑥=
1
𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑦= 𝑡𝑎𝑛𝛼.
得1
𝑥2 −𝑦
𝑥= 𝑐𝑜𝑠2𝛼−𝑠𝑖𝑛𝛼= 1 −𝑠𝑖𝑛2𝛼−𝑠𝑖𝑛𝛼
= −𝑠𝑖𝑛𝛼+ 1
2
2 + 5
4.
故1
𝑥2 −𝑦
𝑥的取值范围是൫−1, ൧
5
4 .
想
写
算
特征换元
降元化简
配凑二次
整合求解
读
理解结构与拓展应用
例𝟑.已知𝑥3 + 𝑝𝑥2 + 𝑞𝑥+ 𝑟= 0在0,2 上有3个不等实根, 求𝑝+ 𝑞+ 𝑟的可能取值.
解: 令𝑓𝑥= 𝑥3 + 𝑝𝑥2 + 𝑞𝑥+ 𝑟= 𝑥−𝑥1
𝑥−𝑥2
𝑥−𝑥3 , 其中𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ∈0,2 .
则𝑓1 = 1 + 𝑝+ 𝑞+ 𝑟= 1 −𝑥1
1 −𝑥2
1 −𝑥3 .
由1 −𝑥1 , 1 −𝑥2 , 1 −𝑥3 ∈−1,1 ,得1 −𝑥1
1 −𝑥2
1 −𝑥3 ∈−1,1 .
即1 + 𝑝+ 𝑞+ 𝑟∈−1,1 , 故𝑝+ 𝑞+ 𝑟∈−2,0 .
构建函数
赋值转化
整体代换
化简求解
想
写
读
算
函数与方程
一般式与零点式
解:
例𝟒.设𝐴, 𝐵, 𝐶是∆𝐴𝐵𝐶的三个内角,求𝑐𝑜𝑠𝐴3𝑠𝑖𝑛𝐵+ 4𝑠𝑖𝑛𝐶的最小值.
不妨设𝜋
2 < 𝐴< 𝜋, 得−1 < 𝑐𝑜𝑠𝐴< 0.
则𝑐𝑜𝑠𝐴3𝑠𝑖𝑛𝐵+ 4𝑠𝑖𝑛𝐶= 𝑐𝑜𝑠𝐴3𝑠𝑖𝑛𝐴+ 𝐶+ 4𝑠𝑖𝑛𝐶
= 𝑐𝑜𝑠𝐴3𝑠𝑖𝑛𝐴∙𝑐𝑜𝑠𝐶+ 3𝑐𝑜𝑠𝐴+ 4 ∙𝑠𝑖𝑛𝐶= 𝑐𝑜𝑠𝐴3𝑠𝑖𝑛𝐴, 3𝑐𝑜𝑠𝐴+ 4 ∙𝑐𝑜𝑠𝐶, 𝑠𝑖𝑛𝐶
≥𝑐𝑜𝑠𝐴9𝑠𝑖𝑛2𝐴+ 3𝑐𝑜𝑠𝐴+ 4 2 = 𝑐𝑜𝑠𝐴25 + 24𝑐𝑜𝑠𝐴= −(25 + 24𝑐𝑜𝑠𝐴)𝑐𝑜𝑠2𝐴
= −12(25
12 + 2𝑐𝑜𝑠𝐴) −𝑐𝑜𝑠𝐴
−𝑐𝑜𝑠𝐴
≥−12
25
3×12
3 = −125 3
108 .
当且仅当൝
25
12 + 2𝑐𝑜𝑠𝐴= −𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑡𝑎𝑛𝐶= 3𝑐𝑜𝑠𝐴+4
3𝑠𝑖𝑛𝐴
,即ቐ
𝑐𝑜𝑠𝐴= −25
36
𝑡𝑎𝑛𝐶=
23
671
时等号成立, 故所求最小值为−125 3
108 .
读
写
想
算
端点构建
配凑向量
两类放缩
验算求解
∆𝑨𝑩𝑪→𝒎𝒊𝒏𝒔𝒊𝒏𝑨, 𝒔𝒊𝒏𝑩, 𝒔𝒊𝒏𝑪> 𝟎
例𝟓. 求椭圆𝑥2 −2𝑥𝑦+ 2𝑦2 = 4的长轴的长.
解: 由𝑥2 −2𝑥𝑦+ 3𝑦2 = −𝑥2 −2 −𝑥
−𝑦+ 2 −𝑦2,得该椭圆关于原点中心对称.
则𝑥2 + 𝑦2的最大值是椭圆的长半轴的值.
由𝑥2 −2𝑥𝑦+ 2𝑦2 = 4, 得𝑥−𝑦2 + 𝑦2 = 4. 可设𝑥−𝑦= 2𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑦= 2𝑠𝑖𝑛𝜃,
则𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃+ 2𝑠𝑖𝑛𝜃2 + 2𝑠𝑖𝑛𝜃2 = 6 + 4𝑠𝑖𝑛2𝜃−2𝑐𝑜𝑠2𝜃
= 6 + 4, −2 ∙𝑠𝑖𝑛2𝜃, 𝑐𝑜𝑠2𝜃≤6 + 2 5, 当且仅当𝑡𝑎𝑛2𝜃= −2取等号.
此时𝑥2 + 𝑦2
𝑚𝑎𝑥=
6 + 2 5 =
5 + 1. 故该椭圆的长轴长为2 5 + 2.
想
写
算
关注对称
配凑换元
模积放缩
整合求解
读
圆锥曲线与标准方程
二、融合构建模型
会用数学的思维思考现实世界
例𝟏. 设区间𝑎, 2𝑎−1 内有且仅有4个整数, 求𝑎的取值范围.
解: 由区间长度为𝑎−1, 得3 ≤𝑎−1 < 5, 即4 ≤𝑎< 6, 7 ≤2𝑎−1 < 11.
即区间𝑎, 2𝑎−1 内的整数只能是4,5,6,7,8,9,10.
若4个整数是4,5,6,7,
若4个整数是5,6,7,8,
则𝑎= 4;
则ቊ4 < 𝑎≤5
8 ≤2𝑎−1 < 9, 即9
2 ≤𝑎< 5;
若4个整数是6,7,8,9, 则ቊ5 < 𝑎≤6
9 ≤2𝑎−1 < 10, 即5 < 𝑎< 11
2 ;
若4个整数是7,8,9,10, 则ቊ6 < 𝑎≤7
10 ≤2𝑎−1 < 11,即6 < 𝑎< 6, 无解.
综上, 𝑎的取值范围为4 ∪ൣ
9
2, )
5 ∪5, 11
2 .
读
想
写
算
构建关系
列出情形
分类讨论
整合求解
先必要后充分
解:
例𝟐.已知𝑎, 𝑏∈𝑅,关于𝑥的方程𝑥4 + 𝑎𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑏𝑥+ 1 = 0有一个实根,
求𝑎2 + 𝑏2的最小值.
设𝑡是原方程的一个实根,得𝑡4 + 𝑎𝑡3 + 2𝑡2 + 𝑏𝑡+ 1 = 0.
得𝑡2 + 1 2 = −𝑎𝑡3 −𝑏𝑡= −𝒂, −𝒃∙𝒕𝟑, 𝒕
≤
𝑎2 + 𝑏2 ∙
𝑡6 + 𝑡2.
则𝑎2 + 𝑏2 ≥
𝑡2+1 4
𝑡6+𝑡2 = 2 𝑡2+1 4
2𝑡2 𝑡4+1 ≥
2 𝑡2+1 4
2𝑡2+𝑡4+1
2
2 = 8.
当且仅当ቊ𝑎𝑡= 𝑏𝑡3
2𝑡2 = 𝑡4 + 1 ,即𝑎= 𝑏= ±2时等号成立,故𝑎2 + 𝑏2的最小值为8.
读
写
想
算
构建等式
模积分离
均值放缩
验算求解
两两积的和=数量积
例𝟑.若∆𝐴𝐵𝐶三边长成等差数列,𝑐𝑜𝑠𝐴+ 𝑐𝑜𝑠𝐵+ 𝑐𝑜𝑠𝐶= 𝑀, 求𝑀的范围.
解: 不妨设∆𝐴𝐵𝐶三边长分别为𝟏−𝒏, 𝟏, 𝟏+ 𝒏,
𝑨
𝑩
𝑪
𝟏−𝒏
则𝟎≤𝒏< 𝟏
𝟐.
由𝑐𝑜𝑠𝐴=
1+𝑛2+12−1−𝑛2
2×1× 𝑛+1
=
1+4𝑛
2 1+𝑛, 𝑐𝑜𝑠𝐵= 1+𝑛2+ 1−𝑛2−12
2× 1−𝑛× 1+𝑛
=
2𝑛2+1
2 1−𝑛2 , 𝑐𝑜𝑠𝐶= 12+ 1−𝑛2−1+𝑛2
2× 1−𝑛×1
=
1−4𝑛
2 1−𝑛.
得𝑀=
1+4𝑛
2 1+𝑛+
2𝑛2+1
2 1−𝑛2 + 1−4𝑛
2 1−𝑛= 3−6𝑛2
2 1−𝑛2 = 3
2
2−2𝑛2−1
1−𝑛2
= 3
2 2 −
1
1−𝑛2 .
由0 ≤𝑛< 1
2, 得3
4 < 𝟏−𝒏𝟐≤1,即1 < 𝑴≤3
2, 故𝑀的范围为(1, ൧
3
2 .
读
想
写
算
对称构建
值化为边
求和化简
单调求解
特征构建赋值
例𝟒.已知正数𝑥, 𝑦满足9𝑥2 −1 +
9𝑦2 −1 = 9𝑥𝑦,求4𝑥2 + 𝑦2的最小值
解法𝟏:
由9𝑥2 −1 +
9𝑦2 −1 = 9𝑥𝑦,
𝑨
𝑩
𝑪
𝟑𝒙
𝟑𝒚
𝟗𝒙𝟐−𝟏
𝟗𝒚𝟐−𝟏
𝟏
𝑫
得𝐴𝐵∙𝐶𝐷= 𝐶𝐴∙𝐶𝐵
构建∆𝐴𝐵𝐶,使𝐴𝐶= 3𝑥, 𝐵𝐶= 3𝑦, 𝐴𝐵边上的高𝐶𝐷= 1, 得𝐴𝐷=
9𝑥2 −1, 𝐵𝐷=
9𝑦2 −1.
𝐴𝐵= 𝐴𝐷+ 𝐵𝐷.
= 2𝑆∆𝐴𝐵𝐶.则∠𝐴𝐶𝐵= 𝜋
2.
得
9𝑥2 −1 +
9𝑦2 −1
2
= 3𝑥2 + 3𝑦2, 即81𝑥2𝑦2 = 3𝑥2 + 3𝑦2, 即1
𝑥2 + 1
𝑦2 = 9.
则4𝑥2+𝑦2= 4𝑥2 + 𝑦2 ∙
1
𝑥2+ 1
𝑦2
9
=
5+4𝑥2
𝑦2 +𝑦2
𝑥2
9
≥1.
当且仅当ቐ
4𝑥2
𝑦2 = 𝑦2
𝑥2
4𝑥2+𝑦2= 1
,即ቐ
𝑥=
6
6
𝑦=
3
3
时等号成立. 故4𝑥2 + 𝑦2的最小值为1.
读
写
算
想
构建图形
转化定值
配凑放缩
验证求解
构建勾股定理
解法𝟐: 由9𝑥2 −1 +
9𝑦2 −1 =
9𝑥2 −1, 1 ∙1,
9𝑦2 −1
≤9𝑥2 9𝑦2 =9𝑥𝑦. 当且仅当9𝑥2 −1 9𝑦2 −1 = 1时等号成立.
此时81𝑥2𝑦2 = 9𝑥2 + 9𝑦2,即1
𝑥2 + 1
𝑦2 = 9.
则4𝑥2+𝑦2= 4𝑥2 + 𝑦2 ∙
1
𝑥2+ 1
𝑦2
9
=
5+4𝑥2
𝑦2 +𝑦2
𝑥2
9
≥1.
当且仅当ቐ
4𝑥2
𝑦2 = 𝑦2
𝑥2
4𝑥2+𝑦2= 1
,即ቐ
𝑥=
6
6
𝑦=
3
3
时等号成立. 故4𝑥2 + 𝑦2的最小值为1.
读
写
算
想
配凑向量
分离常量
配凑放缩
验算求解
例𝟒.已知正数𝑥, 𝑦满足9𝑥2 −1 +
9𝑦2 −1 = 9𝑥𝑦,求4𝑥2 + 𝑦2的最小值
构建平面向量的数量积
解法𝟑: 不妨设𝑥=
1
3𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑦=
1
3𝑐𝑜𝑠𝛽, 𝛼, 𝛽∈ൣ0, ൯
𝜋
2 .
由9𝑥2 −1 +
9𝑦2 −1 = 9𝑥𝑦,得𝑡𝑎𝑛𝛼+ 𝑡𝑎𝑛𝛽=
1
𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽,
即𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽+ 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽= 1, 即𝑠𝑖𝑛𝛼+ 𝛽= 1, 得𝛼+ 𝛽= 𝜋
2.
则4𝑥2 + 𝑦2 =
4
9𝑐𝑜𝑠2𝛼+
1
9𝑐𝑜𝑠2𝛽=
4
9𝑠𝑖𝑛2𝛽+
1
9𝑐𝑜𝑠2𝛽=
2
3𝑠𝑖𝑛𝛽,
1
3𝑐𝑜𝑠𝛽
∙
3𝑠𝑖𝑛𝛽,3𝑐𝑜𝑠𝛽
9
≥1
9
2
3𝑠𝑖𝑛𝛽,
1
3𝑐𝑜𝑠𝛽∙3𝑠𝑖𝑛𝛽,3𝑐𝑜𝑠𝛽= 1. 当且仅当
2
9𝑠𝑖𝑛2𝛽=
1
9𝑐𝑜𝑠2𝛽, 即𝑐𝑜𝑠𝛽=
3
3 时取等.
故𝑥=
6
6 , 𝑦=
3
3 时,故4𝑥2 + 𝑦2的最小值为1.
读
写
算
想
三角换元
配凑向量
模积放缩
验算求解
例𝟒.已知正数𝑥, 𝑦满足9𝑥2 −1 +
9𝑦2 −1 = 9𝑥𝑦,求4𝑥2 + 𝑦2的最小值
配凑三角换元
三、拓展应用视野
会用数学的语言表达现实世界
例𝟏. 设复数𝑧满足𝑧= 1, 求𝑧7 + ҧ𝑧5 −3𝑧3 −3 ҧ𝑧的最大值.
解: 由𝑧7 + ҧ𝑧5 −3𝑧3 −3 ҧ𝑧= 1
ҧ𝑧∙𝑧7 ҧ𝑧+ ҧ𝑧6 −3𝑧3 ҧ𝑧−3 ҧ𝑧2 = 𝑧6 + ҧ𝑧6 −3 𝑧2 + ҧ𝑧2 .
令𝑧2 + ҧ𝑧2 = 𝑡∈−2,2 , 得𝑧6 + ҧ𝑧6 = 𝑧2 + ҧ𝑧2
𝑧4 + ҧ𝑧4 −1 = 𝑡𝑡2 −3 .
令𝑓𝑡= 𝑡3 −6𝑡, 得𝑓′ 𝑡= 3𝑡2 −6, 则𝑓𝑥
𝑚𝑎𝑥= 𝑓± 2 = 4 2.
故𝑧7 + ҧ𝑧5 −3𝑧3 −3 ҧ𝑧的最大值为4 2.
特征配凑
另设主元
构建函数
整合求解
想
写
读
算
复数与实数
例𝟐.已知−1 ≤𝑥𝑖≤1, 𝑖= 1,2, ⋯, 2023, 且σ𝑖=1
2023 𝑥𝑖
3 = 1
4, 求σ𝑖=1
2023 𝑥𝑖的最小值
解: 令𝑥𝑖= 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑖,
由σ𝑖=1
2023 𝑐𝑜𝑠3𝛼𝑖= 4 σ𝑖=1
2023 𝑐𝑜𝑠3𝛼𝑖−3 σ𝑖=1
2023 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑖,
得1 = σ𝑖=1
2023 𝑐𝑜𝑠3𝛼𝑖+ 3 σ𝑖=1
2023 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑖,则只需求σ𝑖=1
2023 𝑐𝑜𝑠3𝛼𝑖的最大值.
而σ𝑖=1
2023 𝑐𝑜𝑠3𝛼𝑖≤2023, 当𝛼𝑖= 0或𝛼𝑖= 2𝜋
3 时取等号.
此时𝑐𝑜𝑠𝛼𝑖= 1或−1
2, 得𝑐𝑜𝑠3𝛼𝑖= 1或−1
8.若𝛼𝑖= 0取𝑚个,则𝛼𝑖= 2𝜋
3 取2023 −𝑚个.
得𝑚× 1 + 2023 −𝑚× −1
8 = 1
4, 解得𝑚= 225.
故σ𝑖=1
2023 𝑥𝑖𝑚𝑖𝑛= 225 × 1 + 2023 −225 × −1
2
= −674.
想
写
读
倍角余弦
有界放缩
验算取等
整合求解
算
𝛼𝑖∈0, 𝜋,
构建特征函数
例𝟑.已知函数𝑓𝑥= 10𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐𝑏, 𝑐∈𝑍在区间1,3 有两个不同的零点,
求𝑓1 ∙𝑓3 的最大值.
解:设𝑓𝑥的零点分别为𝛼, 𝛽, 且1 < 𝛼< 𝛽< 3, 得𝑓𝑥= 10 𝑥−𝛼
𝑥−𝛽.
则𝑓1 ∙𝑓3 = 100 ∙
𝛼−1
3 −𝛼
∙
𝛽−1
3 −𝛽
≤100 ∙
𝛼−1+3−𝛼
2
2 ∙
𝛽−1+3−𝛽
2
2 = 100. 当且仅当𝛼= 𝛽= 2时等号成立.
得𝑓1 𝑓3 < 100, 即𝑓1 𝑓3 ≤99. 猜想𝑓1 𝑓3 的最大值是𝟗𝟗.
不妨设ቊ𝑓1 = 9
𝑓3 = 11 ,
即𝑓𝑥= 10𝑥2 −41𝑥+ 42时能取得最大值99.
故𝑓1 ∙𝑓3 的最大值为99.
读
写
算
想
构建关系
猜想最值
重建关系
验算求解
解得ቊ𝑏= −41
𝑐= 42
,
大胆猜想与细心检验
例4. 已知正实数𝑝, 𝑞满足𝑝+ 2𝑞= 𝑝𝑞, 求𝑝+ 𝑞+
𝑝2 + 𝑞2的最小值.
解法𝟏：由𝑝+ 2𝑞= 𝑝𝑞, 得
2
𝑝+
1
𝑞= 1, 即直线
𝑥
𝑝+
𝑦
𝑞= 1过点𝐴2,1 .
设直线与𝑥轴、𝑦轴的交点分别为𝑃, 𝑄,
𝒙
𝒚
𝑶
𝑷
𝑸
𝑨(𝟐, 𝟏)
∙
𝑩
𝑫
过点𝐴分别作𝑥轴、𝑦轴的垂线, 垂足为𝐵, 𝐷.
设⦟𝑂𝑃𝑄= 𝜃, 𝜃∈0,
𝜋
2 ,
𝜽
𝜽
得𝐵𝑃=
1
𝑡𝑎𝑛𝜃, 𝐴𝑃=
1
𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝐷𝑄= 2𝑡𝑎𝑛𝜃, 𝐴𝑄=
2
𝑐𝑜𝑠𝜃,
则𝑝+ 𝑞+
𝑝2 + 𝑞2 = 3 + 2𝑡𝑎𝑛𝜃+
1
𝑡𝑎𝑛𝜃+
1
𝑠𝑖𝑛𝜃+
2
𝑐𝑜𝑠𝜃
令𝑡= 𝑡𝑎𝑛
𝜃
2 ∈0,1 , 则𝑝+ 𝑞+
𝑝2 + 𝑞2 = 3 +
2 1+𝑡
1−𝑡+
1
𝑡
= 5 +
4𝑡
1−𝑡+
1
𝑡
≥6 + 4 = 10 .
当且仅当𝑡= 1
3 ∈𝟎, 𝟏时取等号,故𝑝+ 𝑞+
𝑝2 + 𝑞2
𝑚𝑖𝑛= 10
读
想
写
算
= 6 +
4𝑡
1−𝑡+
1−𝑡
𝑡
= 3 + 2 1+𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
+ 1+𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑖𝑛𝜃.
配凑直线
构建三角
变形放缩
验算求解
常量与变量
例4. 已知正实数𝑝, 𝑞满足𝑝+ 2𝑞= 𝑝𝑞, 求𝑝+ 𝑞+
𝑝2 + 𝑞2的最小值.
解法𝟐：
令𝑥= 𝑝−2 > 0, 𝑦= 𝑞−1 > 0, 则𝑥𝑦= 2, 得𝑥+ 𝑦
𝑝+ 𝑞+
𝑝2 + 𝑞2 = 𝑥+ 2 + 𝑦+ 1 +
𝑥+ 2 2 + 𝑦+ 1 2
= 5 +
𝒙+ 𝒚−𝟐𝟐+
𝑥+ 2 2 + 𝑦+ 1 2 = 5 +
𝑥2 + 𝑦2 + 4 + 𝟐𝒙𝒚−4𝑥−4𝑦+
𝑥+ 2 2 + 𝑦+ 1 2
= 5 +
𝑥−2 2 + 𝑦−2 2 +
𝑥+ 2 2 + 𝑦+ 1 2
𝑥−2 2 + 𝑦−2 2 +
𝑥+ 2 2 + 𝑦+ 1 2为𝑥𝑦= 2 𝑥> 0 上点到点2,2 和−2, −1 的距离和.
𝒙
𝒚
O
𝒚= 𝟐
𝒙𝒙> 𝟎
𝟐, 𝟐
∙
−𝟐, −𝟏
∙
5 +
𝑥−2 2 + 𝑦−2 2 +
𝑥+ 2 2 + 𝑦+ 1 2
𝑚𝑖𝑛
= 10.
故𝑝+ 𝑞+
𝑝2 + 𝑞2的最小值为10.
·
= 5 +
2 + 2 2 + (2 + 1)2
读
写
算
由𝑝+ 2𝑞= 𝑝𝑞, 得𝑝−2
𝑞−1 = 2.
≥2 𝑥𝑦= 2 2.
想
分离配凑
平移换元
解析构建
代入求解
代数与几何
例4. 已知正实数𝑝, 𝑞满足𝑝+ 2𝑞= 𝑝𝑞, 求𝑝+ 𝑞+
𝑝2 + 𝑞2的最小值.
解法𝟑: 令
𝑝2 + 𝑞2 = 𝑟, 得𝑝= 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑞= 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝜃∈0, 𝜋
2 .
且𝑟=
2
𝑐𝑜𝑠𝜃+
1
𝑠𝑖𝑛𝜃.
则𝑝+ 𝑞+
𝑝2 + 𝑞2 = 𝑟(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃+ 𝑠𝑖𝑛𝜃),
=
2
𝑐𝑜𝑠𝜃+
1
𝑠𝑖𝑛𝜃(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃+ 𝑠𝑖𝑛𝜃) = 3 + 2 1+𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
+ 1+𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑖𝑛𝜃
= 3 +
2
𝑡𝑎𝑛(𝜋
4−𝜃
2) +
1
𝑡𝑎𝑛𝜃
2
, 令𝑡= 𝑡𝑎𝑛𝜃
2 ∈0,1 , 得𝑝+ 𝑞+
𝑝2 + 𝑞2 = 3 + 2 1+𝑡
1−𝑡+ 1
𝑡
读
想
写
算
则𝑝+ 𝑞+
𝑝2 + 𝑞2
= 5 + 4𝑡
1−𝑡+ 1
𝑡
≥10，当且仅当𝑡= 1
3 ∈𝟎, 𝟏时取等号.
= 6 + 4𝑡
1−𝑡+ 1−𝑡
𝑡
三角换元
转化关系
恒等化简
放缩求解
故最小值10.
代数与三角
整体把握教材
抓住数学本质
发展核心素养
𝟏.函数概念与性质
把函数理解为实数集合间的对应关系;
能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质;
能利用函数构建模型,解决问题。
主题二、函数
𝟐.幂指对函数
这些函数是最基本的、应用最广泛的函数,是进一步学习的基础;
学会用函数图象和代数运算的方法研究函数性质;
理解这些函数中所蕴含的运算规律;
运用这些函数建立模型,解决简单的实际问题。
𝟑.三角函数
学会借助单位圆建立一般三角函数的概念;
用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、对称性、单调性和最值等性质;
探索并研究三角函数之间的一些恒等关系;
利用三角函数构建数学模型。
主题二、函数
4.函数应用
掌握运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法);
理解用函数构建数学模型的基本过程;
运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题。
𝟓.数列
探索并掌握等差、等比数列的变化规律,建立通项公式和前𝑛项和公式;
感受数学模型的现实意义与应用;
感受数列与函数的共性与差异,体会数学的整体性。
𝟔.一元函数求导及其应用
通过丰富的实际背景理解导数的概念;
掌握导数的基本运算;
运用导数研究函数的性质,并解决一些实际问题。
主题三、几何与代数
𝟏.平面向量及其应用
理解平面向量的几何意义与代数意义;
掌握平面向量的概念、运算、向量的基本定理及向量的应用;
用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题。
𝟐.复数
通过方程求解,理解引入复数的必要性;
了解数系的扩充;
掌握复数的表示、运算及其几何意义。(∗复数的三角表示)
𝟑.立体几何初步
以长方体为载体,认识和理解空间点、直线、平面的位置关系;
用数学语言有关平行、垂直的性质与判定，并进行论证;
了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法;
运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质,
建立空间概念。
主题三、几何与代数
𝟒.空间向量
与立体几何
利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用,体会平面向量与空间向
量的共性与差异;
运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系,体会向量方法与综合几何方
法的共性和差异;
运用向量的方法解决简单的数学问题和实际问题,感悟向量是研究几何问题的有效工具。
𝟓.平面解析几何
在平面直角坐标系中,认识直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线的几何特征,建立
它们的标准方程;
运用代数的方法进一步认识圆锥曲线的性质及它们的位置关系;
运用平面解析几何的方法解决简单的数学问题和实际问题,感悟平面解析几何中
蕴含的数学思想。
例𝟓.“布朗运动”是指微小颗粒永不停歇的无规则随机运动,在如图所示的试验容器中,容器
由三个仓组成,某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或
者容器外,一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获,此试验结束.已知该粒子初始位置
在2号仓, 求试验结束时该粒子是从2号仓到达容器外的概率.
解法𝟏: 粒子初始位置在2号仓,之后两次运动,有如下可能:
𝟏
𝟐
𝟑
①直接从2号仓出;
②先到达1号仓,再从1号仓出; ③先到达1号仓,再返回2号仓;
④先到达3号仓,再从3号仓出; ⑤先到达3号仓,再返回2号仓.
设𝐴= “第一步从2号仓出”, 𝐵= “从2号仓出发, 两步运动之内能再回到2号仓”.
得𝑃𝐴= 1
3, 𝑃𝐵= 1
3 × 1
3 + 1
3 × 1
2 = 5
18. 若𝐵事件发生,则又将重新进行5种可能.
设粒子第一次从2号仓出发,最终能从2号仓出去的概率为𝑃,
则𝑃= 1
3 + 5
18 ∙1
3 +
5
18
2 ∙1
3 + ⋯+
5
18
𝑛∙1
3 + ⋯= lim
𝑛→∞
1
3 1−5
18
𝑛
1−5
18
= 6
13.
写
算
分析模型
赋值变量
构建递推
整合求解
读
想
例𝟓.“布朗运动”是指微小颗粒永不停歇的无规则随机运动,在如图所示的试验容器中,容器
由三个仓组成,某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或
者容器外,一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获,此试验结束.已知该粒子初始位置
在2号仓, 求试验结束时该粒子是从2号仓到达容器外的概率.
解法𝟐:设经𝑛步后留在1,2,3号仓的概率分别记为𝑎𝑛, 𝑏𝑛, 𝑐𝑛. 得𝑎0 = 0, 𝑏0 = 1, 𝑐0 = 0.
由𝑛∈𝑁∗,得
𝑎𝑛= 1
3𝑏𝑛−1
𝑏𝑛= 1
3𝑎𝑛−1 + 1
2𝑐𝑛−1
𝑐𝑛= 1
3𝑏𝑛−1
, 由𝑎𝑛= 𝑐𝑛,得൝
𝑎𝑛= 1
3𝑏𝑛−1
𝑏𝑛= 5
6𝑎𝑛−1
,则𝑏𝑛+2 = 5
6𝑎𝑛+1 = 5
18𝑏𝑛.
由𝑏0 = 1, 𝑏1 = 0, 则试验结束时该粒子从2号仓到达容器外的概率𝑃= 1
3 σ𝑛=0
∞
𝑏𝑛.
故𝑃= 1
3 𝑏0 + 𝑏2 + 𝑏4 + ⋯
= 1
3 1 + 5
18 +
5
18
2 + ⋯
= lim
𝑛→∞
1
3 1−5
18
𝑛
1−5
18
= 6
13.
𝟏
𝟐
𝟑
写
算
赋值变量
构建关系
配凑所求
运算求解
读
想
例𝟓.“布朗运动”是指微小颗粒永不停歇的无规则随机运动,在如图所示的试验容器中,容器
由三个仓组成,某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或
者容器外,一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获,此试验结束.已知该粒子初始位置
在2号仓, 求试验结束时该粒子是从2号仓到达容器外的概率.
解法𝟑:设从1号仓,2号仓,3号仓出的概率分别记为𝑥, 𝑦, 𝑧.
𝟏
𝟐
𝟑
𝒙←
→𝒙
↑
𝒙
↑
𝒚
→𝒚
𝒚←
𝒛←
↑
𝒛
则ቐ
3𝑥= 𝑦
3𝑦= 𝑥+ 𝑧+ 1
2𝑧= 𝑦
, 解得𝑦= 6
13.
故试验结束时该粒子从2号仓到达容器外的概率为6
13.
写
算
赋值变量
配凑模型
代数平衡
整合求解
读
想
