夜雨聆风今天继续 1987 到 2026 整整 40 年的数一真题逐题详解计划！每道题都会给出完整的步骤拆解，遇到质量高、思路灵活的好题，还会附上一题多解，帮你把一道题吃透成一类题。更新频率大概每周 2 到 3 更，剩下的日子里也不会断更，会穿插更新「好题分享」系列。
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今天分享的是1990年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。
unsetunset第1题unsetunset
过点 且与直线
垂直的平面方程为？
待求平面的法向量和已知直线的方向向量平行，再结合过定点即可。
unsetunset第2题unsetunset
设 为非零常数，则 ?
型，套路题。
unsetunset第3题unsetunset
设函数
则函数 ?
根据题意逐步化简即可，由于 ，因此最后的结果只有一支。
unsetunset第4题unsetunset
积分 ?
显然需要换序。
unsetunset第5题unsetunset
已知向量组 ，则该向量组的秩为 ?
按列拼起来进行初等行变换。最后得到的阶梯型矩阵在主元位置的两列就可以作为极大无关组，当然这是不唯一的，但是极大无关组包含的向量个数，也就是秩，是唯一的。
通过最后得到的阶梯矩阵，我们还可以得出其余向量用极大无关组线性表示的表达式，就是我红笔写的那部分。
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设 为连续函数，，则 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
求导题。
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已知 具有任意阶连续导数，且 ，则当 为大于 的正整数时， 的 阶导数 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
这种类型的高阶导数题直接找规律归纳即可。选 A。
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设 为常数，则级数 ?
(A) 绝对收敛
(B) 条件收敛
(C) 发散
(D) 收敛性与 的取值有关
将级数拆成两部分，分别判断敛散性。发现一个绝对收敛，一个发散，因此整体是发散的。
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已知 在 的某邻域内连续，且 ，则在点 处 ?
(A) 不可导
(B) 可导，且
(C) 取得极大值
(D) 取得极小值
考察极限的保号性和极值的定义。选 D。
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已知 是非齐次线性方程组 的两个不同解， 是对应的齐次线性方程组 的基础解系， 为任意常数，则方程组 的通解为 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
非齐次通解=齐次通解+非齐次特解。其中非齐次特解的组合仍然可以只看系数，和1989年数一的第8题比较类似。忘记的朋友可以回顾一下这道题。详细过程如下：
unsetunset第11题unsetunset
求
分部积分即可。
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设 ，其中 具有二阶连续偏导数，求
简单计算题。
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求微分方程 的通解.
二阶线性微分方程基础题。
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求幂级数 的收敛域，并求其和函数.
通过比值或者根值判别法容易求出收敛域。
对于和函数，常见的方法有两种，第一种是运用逐项求导和逐项积分的性质进行求解，过程如下：
另一种方法是通过常见的幂级数和函数进行线性组合，适用于这种形式比较简单的题目。对于本题，显然可以由如下两个幂级数进行组合：
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求曲面积分 ，其中 是球面 的外侧.
补面法 + 公式。注意我们补的面方向取的是下侧，因此在化为二重积分的时候千万不要漏了负号！
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设不恒为常数的函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，且 ，证明：在 内至少存在一点 ，使得 .
几何直观很好理解，连续函数在端点处相等，那么必然会有一段是增的状态。
考虑对任意区间内点的函数值和端点值的大小分类讨论，结合 中值定理即可证明。
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设 4 阶矩阵 ，且矩阵 满足关系式 ，其中 为 4 阶单位矩阵， 表示 的逆矩阵， 表示 的转置矩阵，将上述关系式化简并求矩阵 .
运用转置的性质进行化简，将问题转化为矩阵求逆。对于化简得到的这个4阶方阵，最简单的求逆方法是分块求解，当然直接初等变换也可以做，这里我采用后者。
如果只会用定义和初等变换求解逆矩阵，可以看看我之前的这篇文章，详细介绍了所有和逆矩阵有关的方法，非常全面：
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求一个正交变换，化二次型 为标准形.
套路题，下面给出这类“用正交变换化简二次型“题型的处理步骤：
写出二次型的系数矩阵 ，求出 的特征值 及其线性无关的特征向量； 若 是 重特征值，则用 正交化方法将它的 个线性无关的特征向量正交化。由于属于不同特征值的特征向量必然相互正交，因此单特征值对应的特征向量不必正交化。 假设已经得到 个两两正交的特征向量 ，令 ，则 是一组两两正交的单位特征向量。令 ，则 就是要求的正交矩阵，此时 ，注意 是属于特征值 的特征向量。
下面是本题的详细过程：
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质点 沿着以 为直径的半圆周, 从点 运动到点 的过程中受到力 的作用, 的大小等于点 到原点 之间的距离, 其方向垂直于线段 , 且与 轴正向的夹角小于 , 求变力 对质点 所做的功.
物理应用，和1988年数一那题类似。本题考虑补线法 + 公式求解。
unsetunset第20题unsetunset
已知随机变量 的概率密度函数为 , 则随机变量 的概率分布函数为 .
考察分布函数定义，注意绝对值需要分段处理。
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设随机事件 及其和事件 的概率分别为 和 , 设 为事件 的对立事件, 则 .
加法公式，减法公式。
unsetunset第22题unsetunset
已知离散型随机变量 服从参数为 的泊松分布, 即 , 则随机变量 的数学期望 .
泊松分布期望公式，期望的线性性质。
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设二维随机变量 在区域 内服从均匀分布，求关于 的边缘概率密度及随机变量 的方差 .
首先根据均匀分布得出 的联合概率密度函数，然后通过边缘概率密度定义求解第一问。
对于 的方差，等价于求解 的方差，根据定义分别求出 和 即可。
以上就是对于1990年数一真题的全部解答，总体来看难度和前几年差不多，但是考察了很多前几年数一没有涉及到的知识点，如高阶导数、线性方程组解的结构、正交矩阵，边缘概率密度等。其中第18题计算量较大。
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