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2012年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小高组）
一、填空题
1．（8分）2012×× 的计算结果是 ．
2．（8分）在如图的乘法竖式中，两个乘数的和是 ．
3．（8分）一袋大米，刘备单独吃5天吃完，关羽单独吃3天吃完；一袋小麦，关羽单独吃5天
吃完，张飞单独吃4天吃完．刘备每天的饭量比张飞每天的饭量少 %．
4．（8分）有2012个小矮人，他们不是好人，就是坏人，每天他们都要参加一次聚会，每次聚
会人数是3或5．每次参与聚会的小矮人中，若好人占多数，则参加聚会的人全变成好人；
若坏人占多数，则参加聚会的人全变成坏人，如果第三天聚会完毕后，全部2012人全变成
了好人．那么第一天聚会前好人的人数的最小值是 ．
5．（8分）三个半圆、两个圆如图摆放，两个小半圆和两个小圆的半径都是10厘米，大半圆外
的阴影面积比大半圆内的阴影面积大 平方厘米．
二、填空题
6．（10分）如图由一个正五边形、五个长方形、五个等边三角形组成，它是一个立体图形的平
面展开图，那么这个立体图形有 条棱．
第1页（共12页）7．（10分） ＝ ．
8．（10分）有一个五位数，它分别除以1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、13这12个自然数的余
数互不相同，这个五位数是 ．
9．（10分）早上8：10，菲菲从家步行去上学．3分钟后，狗狗出发跑去追她，在离家200米的
地方追上了她；追上后立刻往家跑去，到家后又立刻回头去追菲菲，在离家400米的地方
再次追上了她．追上后又立刻往家跑，到家后又去追菲菲，刚好在学校追上．菲菲到校时
间是8点 分．
10．（10分）如图所示，广场中央有一座漂亮的喷泉，小明从A点出发，沿喷泉周围的小路不
重复地绕喷泉走一周，最终回到A点的走法共有 种．（图中的两个喷泉圆及两圆
之间的线段均表示小路，绕喷泉一周指小明行走路线为封闭路线且喷泉在此路线内部）
三、填空题
11．（12分）有16张卡片，黑白各8张，分别写有数字1～8，把它们像扑克牌那样洗过后，如
图那样排成四行，排列规则如下，每行中左到右按从小到大的顺序排列，黑白卡片上的数
字相同时，黑卡片放在左边，已知每行4张卡片上的4个数字之和都相等，左下角是2，右
上角是7，请问：图中由左上至右下的对角线四张卡片上的数字依次是 ．
12．（12分）如图，在正方形环形道路的四个顶点各有编号为1、2、3、4的车站：甲、乙、丙、丁
四个人分别从编号为A、B、C、D的车站同时出发（A、B、C、D互不相同），沿顺时针方向驾
第2页（共12页）车匀速行驶，且从1、2、3、4号车站出发的车的速度分别为1、2、3、4，以后速度再不变化．
行驶完毕后，他们有如下的话：
甲说：“我第一次追上乙时恰在车站 ”．
乙说：“我第一次追上丙时恰在车站①”．
丙说：“我第一次追上丁时恰在车站②”．
丁说：“我第一次追上甲时恰在车站③”．
已知其中有两人的话正确，两人说的④话错误．那么四位数 ＝ ．
13．（12分）如果正整数N的每一个倍数 都满足 、 也都是N的倍数（其中a、b、c
都是0～9中的整数，并且约定123表示123，028表示28，007表示7），那么就称N为
“完美约数”（例如9就是一个“完美约数”）．这样的“完美约数”一共有 个．
14．（12分）如图，正十二边形和中心白色的正六边形的边长均为12，图中阴影部分的面积是
．
第3页（共12页）2012 年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小高组）
参考答案与试题解析
一、填空题
1．（8分）2012×× 的计算结果是 2 4 ．
【解答】解：2012×
＝2012×
＝2012×
＝2012×
＝2012×
＝2012×
＝24；
故答案为：24．
2．（8分）在如图的乘法竖式中，两个乘数的和是 73 0 ．
【解答】解：依题意可知：
由第二行与第三行倍数不同，第二个乘数的十位数字小于2并且不是0只能是1．
继续推理出第一个乘数的十位数字也是1．
再根据已知数字2是尾数那么第一个乘数的尾数可能是1或者6两种情况．
第4页（共12页）再根据结果中的尾数是4，满足条件的有数字1×4或者6×4推理出第二个乘数的个位是
4．
当第一个乘数的个位是1时，验证积的十位数字不是2，那么只能是6．
根据数字0确定第一个乘数的首位是5．即：516×214＝110424，516+214＝730．
故答案为：730．
3．（8分）一袋大米，刘备单独吃5天吃完，关羽单独吃3天吃完；一袋小麦，关羽单独吃5天
吃完，张飞单独吃4天吃完．刘备每天的饭量比张飞每天的饭量少 5 2 %．
【解答】解：把关羽每天的饭量为单位“1”，
则刘备每天的饭量为：3÷5＝
张飞每天的饭量为：5÷4＝
（ ﹣ ）÷
＝
＝52%
答：刘备每天的饭量比张飞每天的饭量少 52%．
故答案为：52．
4．（8分）有2012个小矮人，他们不是好人，就是坏人，每天他们都要参加一次聚会，每次聚
会人数是3或5．每次参与聚会的小矮人中，若好人占多数，则参加聚会的人全变成好人；
若坏人占多数，则参加聚会的人全变成坏人，如果第三天聚会完毕后，全部2012人全变成
了好人．那么第一天聚会前好人的人数的最小值是 43 5 ．
【解答】解：逆推法：极端分析，若要使好人尽量少，则应在聚会时由坏人变成好人数量最
多．
若三人一组，最多变成好人的数量是 ，若5人一组，最多使 的人变成好人； ，所
以尽量让5人一组．
2012＝5×400+3×4，
所以最后一次共分为400个5人组，和4个3人组；
每5个人中有3个人是好人，每3个人中共有2个人是好人；
第二次聚会后最少有400×3+2×4＝1208（人）；
第5页（共12页）同理1208＝5×241+3×1；
第一次机会则最少有241×3+2＝725（人），725＝145×5；
145×3＝435（人）；
故答案为：435．
5．（8分）三个半圆、两个圆如图摆放，两个小半圆和两个小圆的半径都是10厘米，大半圆外
的阴影面积比大半圆内的阴影面积大 31 4 平方厘米．
【解答】解：10+10＝20（厘米）
3.14×102×2﹣（3.14×202÷2﹣3.14×102）
＝3.14×200﹣3.14×200+3.14×100
＝3.14×100
＝314（平方厘米）
答：大半圆外的阴影面积比大半圆内的阴影面积大 314平方厘米．
故答案为：314．
二、填空题
6．（10分）如图由一个正五边形、五个长方形、五个等边三角形组成，它是一个立体图形的平
面展开图，那么这个立体图形有 2 0 条棱．
【解答】解：依题意可知：
第6页（共12页）首先根据图示发现1部分是一个底面有5条棱．
图2部分中有5条竖棱．
第三部分和第一部分相等共5条棱．
第四部分是图中含有5条倾斜的棱．
共5+5+5+5＝20．
故答案为：20
7．（10分） ＝ 9 ．
【解答】解：分母＝（1﹣ ）﹣（1﹣ ）+..+（1﹣ ）﹣（1﹣ ）＝ ﹣ +…+ ﹣
分子＝（1﹣ ）﹣（1﹣ ）+…+（1﹣ ）﹣（1﹣ ）＝ ﹣ +…+ ﹣ ＝9×（
﹣ +…+ ﹣ ）
则，
＝
＝9；
故答案为：9．
8．（10分）有一个五位数，它分别除以1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、13这12个自然数的余
数互不相同，这个五位数是 8315 9 ．
【解答】解：依题意可知：
这个五位数除以1余数是0，除以2余数是1，然后发现分别除以3，4，5，6，7，8，9，10，11
余数分别是2，3，4，5，6，7，8，9，10才是满足条件的．
发现余数都是少1的，那么只有找到1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11的公倍数减去1就是符
第7页（共12页）合条件的数字．
最小公倍为：1×2×3×2×5×7×2×3×11＝27720．
还需要满足除以13余数是11或者12的．
满足条件的数字是27720k﹣1，尝试枚举出k＝1，2，3，满足5位数的条件．
经枚举是27720×3﹣1＝83159．
故答案为：83159
9．（10分）早上8：10，菲菲从家步行去上学．3分钟后，狗狗出发跑去追她，在离家200米的
地方追上了她；追上后立刻往家跑去，到家后又立刻回头去追菲菲，在离家400米的地方
再次追上了她．追上后又立刻往家跑，到家后又去追菲菲，刚好在学校追上．菲菲到校时
间是8点 2 8 分．
【解答】解：依题意可知：
从离家200米到400米情况如图所示，在相同的时间内菲菲走了200米，狗狗走了600米，
V狗 ：V人 ＝S狗 ：S人 ＝3：1；
菲菲家里距离学校的路程是400×2＝800（米）．
在狗狗第一次追上菲菲的时候速度比是3：1，路程一定时间和速度成反比时间比为1：3，
时间差为3分钟．
菲菲走200米的时间为：3÷（3﹣1）×3＝4.5分钟．
全程是800米是200米的4倍，时间就是4倍4.5×4＝18（分），10+18＝28（分）．
故答案为：28
10．（10分）如图所示，广场中央有一座漂亮的喷泉，小明从A点出发，沿喷泉周围的小路不
重复地绕喷泉走一周，最终回到A点的走法共有 38 4 种．（图中的两个喷泉圆及两圆
之间的线段均表示小路，绕喷泉一周指小明行走路线为封闭路线且喷泉在此路线内部）
【解答】解：若只考虑顺时针a 、a 两条线段，只能选择走1条，
1 2
同理，b 、b 、c 、c 、…、h 、h 每两条线段只能选择走1条，
1 2 1 2 1 2
第8页（共12页）同时，8条线段选定后，回路的走法就唯一确定共28＝256种走法，
如果同时选择a 、h ，则A点的线段K会走两次，不符要求，
2 2
∴同时选择a 、h ，的选法共26＝64种，
2 2
∴顺时针共28﹣26＝192种走法，
对称思想，逆时针与顺时针方法数相同，
∴总计192×2＝384种走法．
故答案为：384．
三、填空题
11．（12分）有16张卡片，黑白各8张，分别写有数字1～8，把它们像扑克牌那样洗过后，如
图那样排成四行，排列规则如下，每行中左到右按从小到大的顺序排列，黑白卡片上的数
字相同时，黑卡片放在左边，已知每行4张卡片上的4个数字之和都相等，左下角是2，右
上角是7，请问：图中由左上至右下的对角线四张卡片上的数字依次是 1 、 4 、 7 、 8 或者 1 、
2 、 5 、 8 ．
第9页（共12页）【 解 答 】 解 ： 根 据 分 析 ， 可 得 到 图 形 如 下 ： 或 者
答：图中由左上至右下的对角线四张卡片上的数字依次是 1、4、7、8或者1、2、5、8．
故答案为：1、4、7、8或者1、2、5、8．
12．（12分）如图，在正方形环形道路的四个顶点各有编号为1、2、3、4的车站：甲、乙、丙、丁
四个人分别从编号为A、B、C、D的车站同时出发（A、B、C、D互不相同），沿顺时针方向驾
车匀速行驶，且从1、2、3、4号车站出发的车的速度分别为1、2、3、4，以后速度再不变化．
行驶完毕后，他们有如下的话：
甲说：“我第一次追上乙时恰在车站 ”．
乙说：“我第一次追上丙时恰在车站①”．
丙说：“我第一次追上丁时恰在车站②”．
丁说：“我第一次追上甲时恰在车站③”．
已知其中有两人的话正确，两人说的④话错误．那么四位数 ＝ 231 4 ．
第10页（共12页）【解答】解：4个人共有6次追及，设正方形边长为a．
第一次追上 时间a÷（4﹣1）＝ ，
④ ①
所以应在 、 中间．
第一次①追上②时间2a÷（4﹣2）＝a，
④所以走了2a，②在车站 ．
同理 第一次追上 ④在车站 ．
第④一次追上 在③车站 ．④
③第一次追上①在车站②．
③第一次追上②在车站④，
②所以甲、丙的话①不可能正④确．
乙第一次追上丙在车站 ，
所以B＝3，C＝1． ②
丁第一次追上甲在车站 ，
所以A＝2，D＝4． ④
所以四位数 ＝2314，
故答案为2314．
13．（12分）如果正整数N的每一个倍数 都满足 、 也都是N的倍数（其中a、b、c
都是0～9中的整数，并且约定123表示123，028表示28，007表示7），那么就称N为
“完美约数”（例如9就是一个“完美约数”）．这样的“完美约数”一共有 1 4 个．
【解答】解： 若a，b，c不全相等，则N| ，N| ，N| ，
则N|（ + ①+ ），即N|（a+b+c）×111，
若N|（a+b+c）对于每一个a，b，c均成立，则N|9，
则N|999，即N为999的约数，分别是1，3，9，27，37，111，333，999，共8个，
若a＝b＝c，则比为完美约数，分别是111，222，333，444，555，666，777，888，999，共9
②个，
与 中重复的有111，333，999，共3个，
① 第11页（共12页）所以“完美约数”共有8+9﹣3＝14个．
故答案为：14．
14．（12分）如图，正十二边形和中心白色的正六边形的边长均为12，图中阴影部分的面积是
324 ．
【解答】解：根据分析，将图进行分割，如图，
阴影部分被分成3个相同的部分，每一个部分由两个三角形构成，
其中一个三角形为腰为12的等腰直角三角形，面积
12×12÷2＝72，另一个三角形底为12，高为12× ＝6，面积为12×6÷2＝36，
∴每一个部分面积为72+36＝108，阴影部分面积为108×3＝324．
故答案是：324．
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日期：2019/5/5 18:07:52；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第12页（共12页）
