文档内容
方法精讲-数量 4
（笔记）
主讲教师：刘凯
授课时间：2024.04.06
粉笔公考·官方微信方法精讲-数量 4（笔记）
学习任务：
1.课程内容：排列组合与概率问题、容斥原理问题
2.授课时长：3小时
3.对应讲义：第208～212页
4.重点内容：
（1）掌握常用的排列组合公式，理解分类讨论与分步计算的区别，正难反
易则从反面求解
（2）掌握枚举法、捆绑法、插空法和插板法的适用范围和操作步骤
（3）掌握概率问题的两种考法——给情况求概率、给概率求概率
（4）掌握两集合容斥原理公式、三集合容斥原理的标准型和非标准型公式
（5）掌握画图法在容斥原理问题中的运用
第八节 排列组合与概率问题
【注意】排列组合与概率：山东省考比较重要的模块，平均每年考查 2题左
右，个别年份考查过 3题，在行测中比较重要，在高考中也比较重要。
一、排列组合问题
（一）基础概念
两个原理：
加法原理：分类用加法
乘法原理：分步用乘法
【补例】某年级有语文教师4名、数学教师 2名
问题 1：现要从以上两科教师中共选出 1名教师去参加培训，问有多少种不
同的选法？
加法原理：①一步完成、②要么……要么、③或
问题 2：现要从以上两科教师中各选出 1名教师去参加培训，问有多少种不
1同的选法？
乘法原理：①多步完成、②既……又、③且
【注意】补例：某年级有语文教师4 名、数学教师2名。
1.问题 1：现要从以上两科教师中共选出 1名教师去参加培训，问有多少种
不同的选法？
答：一共选 1 名教师，一步完成用加法；或者理解为要么选语文老师，要么
选数学老师，用加法；或者理解为“或”关系，用加法，所求=4+2=6 种。
2.问题 2：现要从以上两科教师中各选出 1名教师去参加培训，问有多少种
不同的选法？
答：比如语文老师有 A、B、C、D，数学老师有 m、n，语文、数学都要选 1
名，多步完成（先从语文中选 1人，再从数学中选 1人）用乘法；或者理解为既
要选语文老师，又要选数学老师，用乘法；或者理解为“且”关系，用乘法，所
求=4*2=8种。
两个概念：排列与组合
排列（A）：与顺序有关
补例：从 8个人中选出 3个人排成一队照相，共有多少种安排方式？
组合（C）：与顺序无关
补例：从 8个人中选出 3个人打扫卫生，共有多少种选法？
【判定标准】从主体当中任意的挑出两个，调换顺序
对结果有影响，与顺序有关（排列）
对结果无影响，与顺序无关（组合）
排列与组合计算
排列（A）：与顺序有关
A（n,m）=从 n开始往下依次递减1乘 m个数
组合（C）：与顺序无关
C（n,m）=从n 开始往下依次递减 1乘 m个数/从m开始往下依次递减 1直到
乘到1
【注意】排列和组合：
21.排列（A）：与顺序有关。
（1）补例：从 8个人中选出3个人排成一队照相，共有多少种安排方式？
答：总体8写在下角标，选的主体3写在上角标；从主体中任意挑出 3个人，
假设 3 个人分别是 A、B、C，调换顺序，变为 B、A、C，照相 C 位不一样，即调
换顺序对结果有影响，与顺序有关，用排列 A表示，为A（8,3）。
（2）原理：8 个人中选择 3 个人排队照相，第一步，从 8 个人中选 1 个人
站第一个空；第二步，从剩下的 7个人中选择 1个人站第二个空；第三步，从剩
下的6个人中选择 1个人站第三个空，多步完成，用乘法，为A（8,3）=8*7*6。
（3）计算：A（8,3）=8*7*6。A（n,m）=从n开始往下依次递减 1乘m个数。
如A（9,2）=9*8，A（9,4）=9*8*7*6。
2.组合（C）：与顺序无关。
（1）补例：从 8个人中选出3个人打扫卫生，共有多少种选法？
答：总体8写在下角标，选的主体3写在上角标，假设选出3 个人分别是A、
B、C，调换顺序为 B、A、C打扫卫生，结果都是这三个人打扫卫生，即调换顺序
对结果没影响，用组合 C计算，为C（8,3）。
（2）原理：组合是排列的一部分。A（8,3）可以分两步完成，第一步选人，
从 8 人中选 3 人，选人无顺序，用组合，为 C（8,3）；第二步排序，将选出来
的3个人进行排序，为 A（3,3）；多步完成，用乘法计算，A（8,3）=C（8,3）
*A（3,3），则C（8,3）=A（8,3）/A（3,3）=（8*7*6）/（3*2*1）。
（3）区分：
①A（8,3）是排列，有顺序。C（8,3）是组合，没有顺序；即 A（8,3）表
示8个人中选择 3 个人，这 3个人之间是有顺序的；C（8,3）表示 8 个人中选择
3个人，这3个人之间是没有顺序的。
②可以记忆为 C（8,3）没有顺序，分子是从下角标 8开始乘，依次递减 1，
乘以上角标3个数。分母是上角标乘到 1。
（4）计算：C（n,m）=从 n 开始往下依次递减 1 乘 m 个数/从 m 开始往下依
次递减1直到乘到 1。
①C（9,2）=（9*8）/（2*1）。
②C（9,8）=（9*8*7*6*5*4*3*2）/（8*7*6*5*4*3*2*1）=C（9,1），如办
3公室有9人，从9 人中选8人吃饭，从9 人中选1人值班，两种是一样的。
③C（9,4）=C（9,9-4）=C（9,5），C（8,6）=C（8,2）。
3.判定标准：从主体当中任意的挑出两个，调换顺序：
（1）对结果有影响，与顺序有关（排列）。
（2）对结果无影响，与顺序无关（组合）。
排列组合思维逻辑三步走：
1.目标是什么？
2.如何完成目标？（加法原理还是乘法原理）
3.排列还是组合？
打乱顺序：
对结果有影响，为排列
对结果无影响，为组合
备注：有些简单题目前两步即可完成。
【注意】排列组合思维逻辑三步走：
1.目标是什么：例如考公的目标就是上岸。
2.如何完成目标——加法原理还是乘法原理？
（1）多步完成用乘法。如第一步通过笔试、第二步通过面试、第三步通过
体检和政审。
（2）多种选择用加法。如选择考公或考研或其他。
3.排列还是组合——打乱顺序：
（1）对结果有影响→排列。
（2）对结果无影响→组合。
4.备注：有些题目前两步即可完成。
【例1】（2023 广东）某公司向餐馆订购盒饭，要求每份盒饭包含 2种荤菜、
2种素菜。如果餐馆共准备了 6种荤菜和 4种素菜，则最多有多少种盒饭？
A.42 B.60
C.72 D.90
4【解析】1.问多少种盒饭，排列组合问题，从6种荤菜中选 2种，假设选出
来是茄子炒肉和肉沫豆角，调换顺序依旧是这两个菜，即调换顺序无影响，用C
表示，为C（6,2）；从 4素菜中选2种，调换顺序无影响，用 C表示，为 C（4,2），
既要选荤菜，又要选素菜，用乘法，为 C（6,2）*C（4,2）=[（6*5）/（2*1）]*[（4*3）
/（2*1）]=15*2*3=90，对应D项。【选 D】
【例2】（2024 山东网友回忆版）某医院积极响应国家号召，组建医疗小分
队赴西部地区开展对口支援工作。该医院现有 6名男医生和3 名女医生报名，现
从9人中抽取一组男、女医生都有的 3人小分队。问有多少种不同的组队方式？
A.63 B.70
C.73 D.60
【解析】2.问多少种排队方式，排列组合问题；从 9人中抽取一组男女医生
都有的3人小分队。
方法一：（1）1 名男医生和 2名女医生：从 6名男医生中选1名，为 C（6,1）；
从 3 名女医生中选 2 名，调换顺序对结果没影响，为 C（3,2），既要男医生，
又要女医生，用乘法，为 C（6,1）*C（3,2）=6*C（3,1）=6*3=18。
（2）2 名男医生和 1 名女医生：从 6 名男医生中选 2 名，为 C（6,2）；从
3名女医生中选1 名，调换顺序对结果没影响，为 C（3,1），既要男医生，又要
女医生，用乘法，为 C（6,2）*C（3,1）=（6*5）/（2*1）*3=45。
分类用加法，所求=18+45=63，对应 A项。
方法二：反向思考，满足条件的情况数=总情况数-不满足的情况数。不满足
情况数是只有男医生或者只有女医生，总情况数是从 9人中选3人，为 C（9,3），
只有男医生是从 6 人中选 3 人，为 C（6,3），只有女医生是从 3 人中选 3 人，
为C（3,3），所求=C（9,3）-C（6,3）-C（3,3）=（9*8*7）/（3*2*1）-（6*5*4）
/（3*2*1）-1=84-20-1=63，对应A项。【选】
【例3】（2021 新疆兵团）某部门有 9名员工，从中随机抽取 2人参加公司
代表大会，要求女员工人数不得少于 1 人。已知该部门女员工比男员工多 1 人，
则共有多少种方案符合要求？
5A.24 B.30
C.36 D.72
【解析】3.一共 9 名员工，“女员工比男员工多 1 人”，则女员工为 5 人，
男员工为4人，要求从 9名员工中抽取2 人参会，女员工人数不得少于 1人。
方法一：正向思维，分类讨论：
（1）女员工选 1名，男员工选1名：从 5名女员工中选 1人，为 C（5,1），
从4名男员工中选 1人，为C（4,1），既要女员工，又要男员工，用乘法，为 C
（5,1）*C（4,1）=5*4=20。
（2）女员工选 2 名：从 5 名女员工中选 2 人，调换顺序对结果没有影响，
为C（5,2）=（5*4）/（2*1）=10。
分类用加法，所求=20+10=30，对应 B项。
方法二：逆向思维，满足条件的情况数=总情况数-不满足的情况数。总情况
数是从 9 名员工中选 2 人，为 C（9,2），不满足的情况数是没有女员工，只有
男员工，即从4名男员工中选 2人，为 C（4,2），所求=C（9,2）-C（4,2）=（9*8）
/（2*1）-（4*3）/（2*1）=36-6=30，对应 B项。【选B】
经典题型
➢枚举法
➢捆绑法
➢插空法
➢插板法
枚举法
观察选项，如果数据不大，可以利用枚举的方法。
注意：别查漏了，最好按照一个标准。
【注意】枚举法：每种情况举例出来。
1.观察选项，如果数据不大，可以利用枚举的方法（≤10项）。
2.注意：别查漏了，最好按照一个标准（可以从小→大，也可以从大→小）。
6【例4】（2022 联考）某健身房近期推出甲、乙、丙、丁 4项课程，每项课
程的一次消费分别为 200 元、300 元、400 元、500 元，会员可根据充值卡内余
额自行进行消费。会员小李充值卡内还剩 2200 元，打算在有效期内每项课程都
至少消费1次，且将充值卡内余额恰好用完，问他消费这 4项课程的组合有多少
种不同的可能性？
A.3 B.4
C.5 D.6
【解析】4.要求每项课程都要消费 1 次，先满足条件：四项都消费一次花费
=200+300+400+500=1400，剩下 2200-1400=800 元，最后分析 800 元即可。列表
分析：
（1）都消费甲：4*200=800。
（2）消费甲和丙：2*200+400=800。
（3）消费甲和乙：1*200+2*300=800。
（4）消费乙和丁：1*300+1*500=800。
（5）都消费丙：2*400=800。综上，一共 5种情况，对应C 项。【选C】
捆绑法：在一起、相邻、相连
【补例】A、B、C、D、E 五个人站成一排照相，其中 A、B 是一对情侣，要
求照相时必须相邻，一共有多少种排法？
方法：
①先捆：把相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序；
②再排：将捆绑后的看成一个元素，进行后续排列。
【注意】捆绑法：
1.特征：在一起、相邻、相连。
72.方法：
（1）先捆：把相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序。
（2）再排：将捆绑后的看成一个元素，进行后续排列。
3.补例：A、B、C、D、E 五个人站成一排照相，其中 A、B 是一对情侣，要
求照相时必须相邻，一共有多少种排法？
答：出现“相邻”，用捆绑法。先捆（为了 AB 在一起）：捆的时候要注意
内部有无顺序，比如 AB 和 BA 照相结果不同，即内部有顺序，为 A（2,2）；再
排：将捆在一起的 AB 看作一个元素，与剩余的 C、D、E 看成四个元素全排列，
为A（4,4）。多步完成用乘法，所求=A（2,2）*A（4,4）。
【例 5】（2020 河北事业单位）现有七年级的学生 1 名，八年级的学生 4
名，九年级的学生 5名，需让他们排一排拍一张合照，要求同一年级的学生要挨
在一起站，且七年级的学生不站两边，则有多少种不同的排法？
A.3760 B.4760
C.5760 D.6760
【解析】5.出现“排一排”，考查排列；出现“挨在一起”，用捆绑法，先
捆：七年级的学生只有 1人，不用捆；八年级的学生有 4人，先捆一起，内部有
顺序，为 A（4,4），同理，九年级的学生有 5 人，内部有顺序，为 A（5,5）；
要求七年级的学生不在两边，先排八年级和九年级，为 A（2,2），确定八年级
和九年级位置，则七年级只能在中间，所求=A（4,4）*A（5,5）*A（2,2）
=24*120*2=48*120=5760，对应C项。【选 C】
插空法：不在一起、不相邻、不相连
【补例】A、B、C、D、E 五个人站成一排照相，其中 A、B 吵架了，要求照
相时不能相邻，一共有多少种排法？
方法：
①先排：先安排可以相邻的元素，形成若干个空位；
②再插：将不相邻的元素插入到空位中。
【注意】插空法：不在一起、不相邻、不相连。
81.方法：
（1）先排：先安排可以相邻的元素，形成若干个空位。
（2）再插：将不相邻的元素插入到空位中。
2.补例：A、B、C、D、E 五个人站成一排照相，其中 A、B 吵架了，要求照
相时不能相邻，一共有多少种排法？
答：出现“不能相邻”，用插空法。（1）先排：先排的目的是为了准备空，
要求 A、B 不能相邻，先排可以相邻的 C、D、E，站成一排照相是有顺序的，3
个人的顺序为 A（3,3），是 C、D、E 三人的全排列，3 个人形成 4 个空；（2）
再插：只要 A、B 在空中，必然不相邻（第一个空和第二个空中隔了 1 个人、第
一个空和第三个空中隔了 2个人、第一个空和第四个空中隔了 3 个人、第二个空
和第三个空中隔了 1个人、第二个空和第四个空中隔了 2个人、第三个空和第四
个空中隔了 1 个人），从 4 个空中挑 2 个空，A 在第一个空、B 在第二个空，和
B在第一个空、A在第二个空不同，调换顺序对结果有影响，为 A（4,2）。先排
再插，多步完成用乘法，列式：A（3,3）*A（4,2）。
3.所求=总情况数-相邻情况数（捆绑）=A（5,5）-A（2,2）*A（4,4），这
样做相对复杂。
【例6】（2023 成都事业单位）要将不同的五种商品 A、B、C、D、E 在货柜
上排成一排，其中 A、B必须排在一起，C、D不能排在一起。则有多少种不同的
排列方式？
A.12 B.20
C.24 D.48
【解析】6.“A、B 必须排在一起”，考查排列组合的捆绑法；“C、D 不能
排在一起”，考查排列组合的插空法。先考虑捆绑法，AB和BA不同，AB内部有
顺序，则AB内部的顺序为 A（2,2）。再考虑插空，“C、D不能排在一起”，先
9排可以相邻的，AB 看成一个元素，AB和E 相当于两个元素全排列，为 A（2,2），
形成 3 个空，C、D 放在空中一定不相邻，从 3 个空挑 2 个给 C、D 有顺序，为 A
（3,2）。列式：A（2,2）*A（2,2）*A（3,2）=2*2*3*2=24，对应 C项。【选C】
插板法
【补例】7个相同的苹果分给三个小朋友，每人至少分一个，有多少种分法？
用法特征：
①必须是相同的东西
②每人至少一个
方法：
①n个相同物品形成 n-1个空，分给 m个人，每人至少一个，需要 m-1个板
子
②共有C（n-1,m-1）种分法。
【注意】插板法（同素分堆）：事业单位常考，山东的事业单位以公基为主，
其他省的事业单位考查职测的出插板法比较多。2020年的联考突然考查插板法，
2021年的国考也考查插板法。
1.用法特征：
（1）必须是相同的东西。
（2）每人至少一个。
2.补例：7个相同的苹果分给三个小朋友，每人至少分一个，有多少种分法？
答：把 7个苹果形成了8个空，有甲、乙、丙三个小朋友，放 2块板子即可
分成3堆，即同素分堆（相同的东西分成几堆），但左右两侧是无效板位，实际
上7个苹果形成了 6个空，分给甲、乙、丙 3 个小朋友，需要2 块板子，没有顺
10序（先放①、再放②，与先放②、再放①，都是甲 3个、乙2个、丙2个），用
组合计算，列式：C（6,2）。
3.方法：
（1）n 个相同物品形成 n-1 个空，分给 m 个人，每人至少一个，需要 m-1
个板子。
（2）共有C（n-1,m-1）种分法。
【例7】（2020 联考）某城市一条道路上有 4个十字路口，每个十字路口至
少有1名交通协管员，现将 8个协管员名额分配到这 4个路口，则每个路口协管
员名额的分配方案有：
A.35 种 B.70 种
C.96种 D.114 种
【解析】7.本题考得很严谨，分的是名额，名额是相同的。满足相同的东西
（协管员名额）；每人至少一个（每个路口至少一名协管员），套公式计算，8
个名额形成7个空，分给 4个路口需要插 3块板，列式：C（n-1,m-1）=C（8-1,4-1）
=C（7,3）=7*6*5/（3*2*1）=35，对应A 项。【选 A】
【注意】
1.插板法判定：相同的东西（协管员名额）；每人至少一个（每个路口至少
一名协管员）。
2.方法：
（1）n 个相同物品形成 n-1 个空，分给 m 个人，每人至少一个，需要 m-1
个板子。
（2）共有C（n-1,m-1）种分法。
11【拓展】（2019 江苏事业单位）某领导要把 20项任务分配给三个下属，每
个下属至少要分得 3项任务，则共有多少种不同的分配方式？
A.28 B.36
C.54 D.78
【解析】拓展.本题“每个下属至少要分得 3 项任务”，而插板法要求“每
人至少一个”，要想用插板法，需要进行转化。“某领导要把 20 项任务分配给
三个下属”，20 项任务是相同的（选项很小），如果是不同的任务，假设三个
下属分别分到 5、7、8 项任务，列式为 C（20,5）*C（15,7）*C（8,8），没有
选项符合。把每人至少 3项转化为每人至少 1项，先每人分2项，则每人至少 3
项=2+每人至少 1 项。3 个下属每人先分 2 项，还剩 20-3*2=14 项，14 项任务分
给3名下属，每人至少 1项，列式：C（n-1,m-1）=C（14-1,3-1）=C（13,2）=13*12/
（2*1）=78，对应 D项。【选D】
二、概率问题
1.给情况求概率
公式：概率=满足要求的情况数/所有的情况数
2.给概率求概率
（1）分类用加法：P=P+P+……+P
1 2 n
（2）分步用乘法：P=P*P*……*P
1 2 n
逆向思维：正难反易，P=1-反面情况概率
【注意】概率（一件事情发生的大概几率）：
1.给情况求概率：P=满足要求的情况数/所有的情况数，如往天空投一枚硬
币，落到掌心，问带字的一面朝上的概率，只有 1种情况满足题意，硬币的两面
12要么带字、要么带花，P =1/2。
字
2.给概率求概率：给出某件事件发生的概率，求另一件事发生的概率，考查
加法和乘法原理。一步用加法，多步用乘法；要么……要么……用加法，既……
又……用乘法；或用加，且用乘。
（1）分类用加法：P=P+P+……+P
1 2 n
（2）分步用乘法：P=P*P*……*P。
1 2 n
3.逆向思维：正难反易，P=1-反面情况概率。
4.补例：
（1）某商场进行抽奖活动，奖项分为一、二、三等奖，抽到一等奖的概率
为 1/10，抽到二等奖的概率为 1/5，抽到三等奖的概率 3/10，则一个人抽一次
奖，可以获奖的概率为？
答：获奖的情况，获一等奖或者获二等奖或者获三等奖，出现“或”，用加
法，可以获奖的概率=1/10+1/5+3/10=6/10=0.6。
（2）小明上学路上要经过三个红绿灯，第一个路口绿灯的概率为 4/5，第
二个路口绿灯的概率为 3/4，第三个路口绿灯的概率为 2/3，问小明上学路上三
个路口均是绿灯的概率为？
答：“三个路口均是绿灯”，要满足第一个路口是绿灯，且第二个路口是绿
灯，且第三个路口是绿灯，概率=4/5*（3/4）*（2/3）=2/5。
【例1】（2020 联考）物业派出小王、小曾、小郭三名工作人员负责修剪小
区内的6棵树，每名工作人员至少修剪 1 棵（只考虑修剪的棵数），则小王至少
修剪3棵的概率为：
A.3/10 B.3/7
C.1/4 D.3/5
【解析】1.方法一：“只考虑修剪的棵数”，说明树木相同，“每名工作人
员至少修剪1棵”，考查插板法。没有给概率，为给情况数求概率，P=满足要求
的情况数/总的情况数。总的情况数：6 棵树形成 5 个空，三名工作人员需要 2
个板，列式：C（5,2）=5*4/（2*1）=10 种，P=满足要求的情况数/10，分母为
10，约分约不到 7 和 4，排除 B、C 项。满足要求的情况数：“小王至少修剪 3
13棵”、“小曾至少修剪 3棵”、“小郭至少修剪 3棵”的概率相同，则小王至少
修剪 3 棵的概率+小曾至少修剪 3 棵的概率+小郭至少修剪 3 棵的概率+其它情况
概率=1，小王至少修剪 3 棵的概率+小曾至少修剪 3 棵的概率+小郭至少修剪 3
棵的概率＜1，则小王至少修剪 3棵的概率＜1/3，排除D项，对应 A项。
方法二：根据方法一可知总的情况数有 10 种，共 6 棵数，“小王至少修剪
3棵”，还剩3棵，可以分为（3、2、1），（4、1、1），“每名工作人员至少
修剪1棵”，不存在（5、1、0），（5、0、1）的情况。小王至少修剪 3棵的情
况：（1）小王修剪 3 棵，其余两人分别修剪 2 棵和 1 棵：其余两人为 A（2,2）
=2种，或者枚举，小曾修剪2棵、小郭修剪 1棵或者小曾修剪1 棵、小郭修剪2
棵。（2）小王修剪 4 棵，其余两人各修剪 1棵：小曾修剪1棵、小郭修剪1棵，
只有1种情况。满足要求的情况数=2+1=3 种，则P=3/10，对应 A项。【选A】
【例2】（2024 山东网友回忆版）山东手造精品众多，某展览会有叶雕、皮
影、风筝、麦秸画、柳编、葫芦画、锡雕、鲁班枕 8个展厅。因时间原因，一名
参观者决定从8个展厅中随机选取 3个进行参观。问叶雕和皮影展厅至少一个被
选中的概率是多少？
A.5/14 B.15/28
C.9/14 D.19/28
【解析】2.求概率，没有给概率，判定为给情况求概率，P=满足要求的情况
数/总的情况数。
方法一：正向思维。总情况数：“从 8 个展厅中随机选取 3 个进行参观”，
顺序对结果没有影响，考查组合，为 C（8,3）=8*7*6/（3*2*1）=56，选项都可
以通过56约分得到，无法排除选项。“叶雕和皮影展厅至少一个被选中的概率”，
选 1 个或者选 2 个。满足要求的情况：（1）叶雕和皮影展厅二者选其一，再从
其余展厅选2个：除了叶雕和皮影展厅还剩 6个展厅，调换顺序没有影响，用组
合，且的关系，用乘法连接，C（2,1）*C（6,2）=2*6*5/（2*1）=30；（2）叶
雕和皮影展厅都选，再从其余展厅选 1 个：C（2,2）*C（6,1）=1*6=6，满足要
求的情况=30+6=36。P=36/56=9/14，对应 C项。
方法二：逆向思维。正向求解复杂，考虑反向，即满足条件情况的概率=1-
14反面情况概率。“叶雕和皮影展厅至少一个被选中的概率”，说明有叶雕或皮影
的概率，反向为没有叶雕或皮影，即随机选取的3人都从余下6 人中选，叶雕和
皮影展厅至少一个被选中的概率=1-两者都不选的概率=1-C（6,3）/C（8,3）
=1-[6*5*4/（3*2*1）÷56]=1-5/14=9/14，对应C项。【选C】
【例3】（2023 天津事业单位）一枚骰子共有六面，点数从 1到6，每次掷
骰子得到的数字概率相同。掷三次骰子得到的三个数字完全相同的概率：
A.小于2% B.在2%～5%之间
C.在5%～8%之间 D.大于8%
【解析】3.求概率，但是没有给概率，判定为给情况求概率，P=满足要求的
情况数/总的情况数。总的情况数：掷三次骰子，每次的点数从 1 到 6，且的关
系，用乘法，则总的情况数=6*6*6。满足要求的情况数：“三个数字完全相同”，
枚举，（1、1、1），（2、2、2），（3、3、3），（4、4、4），（5、5、5），
（6、6、6），有 6 种情况，则P=6/（6*6*6）=1/36，首位商 2，对应B项。【选
B】
【例4】（2024 上海网友回忆版）某市向广大市民随机发放消费券，规则是
先公布消费券发放额，再根据商家的参与量决定中签率。第一批消费券商家参与
度较高，中签率为 60%；第二批和第三批消费券的中签率均为 20%。三批消费券
依次发放，市民张先生连续三次申请，则他恰好成功两次的概率约为：
A.20% B.40%
C.60% D.80%
【解析】4.“中签率为60%”，出现概率，给概率求概率问题。问“恰好成
功两次的概率”，说明只成功两次，第一批和第二批成功中签、第三批没有中签，
或第一批和第三批成功中签、第二批没有中签，或第二批和第三批成功中签、第
一批没有中签败。（1）第一批和第二批成功中签、第三批没有中签：恰好成功
两次，第三次一定要失败，则 0.6*0.2*（1-20%）=0.6*0.2*0.8。（2）第一批
和第三批成功中签、第二批没有中签：0.6*0.2*0.8。（3）第二批和第三批成功
中签、第一批没有中签败：0.2*0.2*（1-60%）=0.2*0.2*0.4。或的关系，用加
15法，列式：0.6*0.2*0.8+0.6*0.2*0.8+0.2*0.2*0.4=0.2*（0.48+0.48+0.08）=
20%*1.04≈20%，对应 A项。【选A】
【注意】排列组合与概率问题每年考查 2题左右。
第九节 容斥原理问题
容斥原理本质：去重补漏
考查类型：
两集合容斥原理
三集合容斥原理
解题方法：
公式法
画图法
【注意】容斥原理问题：考频不高，平均 2～3 年考查 1 题。讲解的原因是
题目的难度不大。容斥原理问题是高中学的集合问题，考查的题目比较简单。
1.容斥原理本质：去重补漏。
162.考查类型：两集合容斥原理、三集合容斥原理。两个圆为两集合，三个圆
为三集合。
3.解题方法：公式法（考查多）、画图法。
两集合容斥原理
公式：A+B-AB+都不=总数
【注意】两集合容斥原理：
1.公式：A+B-AB+都不=总数。
2.推导：想象为糊窗纸的模型，总体为古代的窗框，没有玻璃用纸来糊。核
心是窗纸只有一层（多了浪费、少了漏风），将 A 和 B 糊上（A+B），中间斜线
部分有两层，需要撕掉一层（-AB，AB是 A和 B的交集，既满足A、又满足B），
再将外围都不（既不满足 A、又不满足 B）的加上（+都不），此时内部都是一层，
A+B-AB+都不=总数→A+B-AB=总数-都不。
17【例1】（2022 广东）某单位计划从全部 80名员工中挑选专项工作组成员，
要求该组成员须同时有基层经历和计算机等级证书。已知，单位内有 40 人有基
层经历，有 46 人有计算机等级证书，既没有基层经历又未获得计算机等级证书
的有10人。那么能够进入工作组的员工有多少人？
A.16 B.40
C.46 D.54
【解析】1.“要求该组成员须同时有基层经历和计算机等级证书”，二者同
时满足，两个集合有重叠，考虑两集合容斥原理问题。公式：A+B-AB+都不=总数，
“单位内有40人有基层经历，有 46人有计算机等级证书，既没有基层经历又未
获得计算机等级证书的有 10 人”，设进入工作组的员工有 x 人，代入数据：
40+46-x+10=80，解得 x=16，对应A项。【选 A】
【例2】（2022 联考）某班期末考试结束后统计，物理、化学均不及格的人
数占全班的 14%，物理及格的人数比化学及格的人数多 10 人，且化学及格的人
数占全班人数的 60%。已知全班人数不超过 70 人，问物理及格的人中化学也及
格的有多少人？
A.25 B.26
C.27 D.28
【解析】2.“物理及格的人中化学也及格的”，既满足物理及格，又满足化
学及格，二者有交叉重叠，考虑两集合容斥原理问题。公式：A+B-AB+都不=总数，
“物理、化学均不及格的人数占全班的 14%”，物理、化学均不及格的人数/全
班人数=14/100=7/50，全班的人数是 50的倍数，“已知全班人数不超过 70人”，
则全班人数为 50 人。“且化学及格的人数占全班人数的 60%”，化学及格的人
数为 50*0.6=30 人，“物理及格的人数比化学及格的人数多 10 人”，物理及格
的人数为 30+10=40 人，物理、化学均不及格的人数为 50*0.14=7 人。设物理及
格的人中化学也及格的有 x 人，代入数据：40+30-x+7=50，解得 x=27，对应 C
项。【选C】
【注意】尾数法，7-x=尾数0，解得 x=尾数7。
18三集合标准型公式
判定：分别给出或求解两两集合的交集（既 A又B、既A又 C、既B又C）
公式：A+B+C-AB-AC-BC+ABC+都不=总数
【注意】三集合标准型公式：三集合分为标准型和非标准型。
1.判定：分别给出或求解两两集合的交集（既 A又B、既 A又 C、既 B又C）。
AB=只AB+ABC，AC=只AC+ABC，BC=只BC+ABC。
2.公式：A+B+C-AB-AC-BC+ABC+都不=总数。
3.推导：总体代表窗框，核心是窗纸只有一层（多了浪费、少了漏风）。先
将A、B、C区域糊上（A+B+C），AB 区域在A、B中均有，需要减去1 次，即“-AB”；
同理，AC集合在A、C中均有，需要减去 1次，即“-AC”；BC集合在 B、C中均
有，需要减去 1 次，即“-BC”。最中间位置 ABC，在 A、B、C 中加了 3 次，在
-AB、-AC、-BC 中各减了 1 次，共减了 3 次，此时最中间变成了窟窿，会漏风，
需要补上1次，即“+ABC”，再将外围都不满足的都加上，A+B+C-AB-AC-BC+ABC+
都不=总数。
【例 3】（2020 新疆）某单位共有 240 名员工，其中订阅 A 期刊的有 125
19人，订阅 B 期刊的有 126 人，订阅 C 期刊的有 135 人，订阅 A、B 期刊的有 57
人，订阅A、C 期刊的有 73人，订阅3种期刊的有 31人，此外，还有 17人没有
订阅这三种期刊中的任何一种。问订阅 B、C期刊的有多少人？
A.57 B.64
C.69 D.78
【解析】3.“订阅 A、B 期刊的有57人”，说明既订阅 A期刊又订阅 B期刊，
“订阅A、C期刊的有 73人”，既订阅A 期刊又订阅 C期刊，“订阅 B、C期刊”，
既订阅B期刊又订阅C期刊，分别给出两两集合的交集，考查三集合标准型公式：
A+B+C-AB-AC-BC+ABC+都不=总数，设订阅 B、C 期刊的有 x 人，代入数据：
125+126+135-57-73-x+31+17=240，选项尾数不同，考虑尾数法，尾数 4-x=尾数
0，解得x=尾数4，对应 B项。【选B】
【注意】
1.三集合标准型判定：分别给出或求解两两集合的交集（既 A又B、既A又
C、既B又C）。
2.三集合标准型公式：A+B+C-AB-AC-BC+ABC+都不=总数。
三集合非标准型公式
判定：统一给出或求解只满足两种（满足两种）
公式：A+B+C-满足两项-2*满足三项+都不=总数
【注意】三集合非标准型：
1.判定：统一给出或求解只满足两种（满足两种）。满足两种在数学上等价
于只满足两种（满足两种=只满足两种）。如有 3 门功课，分别为语文、数学、
20英语，问小明有几门功课及格，小明说“有 2 门及格”，默认是只有 2 门及格；
满足两种=只满足两种。只满足两种=只AB+只AC+只BC。
2.公式：A+B+C-满足两项-2*满足三项+都不=总数。
3.推导：总数代表窗框，核心是窗纸只有一层（多了浪费、少了漏风）。把
A、B、C 区域糊上时（A+B+C），发现只满足两项的有两层（斜线部分），需要
撕去一层，即“-（只）满足两项”；最中间的 ABC在“A+B+C”时加了三层，需
要撕去两层，即“-2*满足三项”，此时内部都只有一层，再加上外围的都不，
A+B+C-满足两项-2*满足三项+都不=总数。
4.注意：
（1）标准型：AB=只AB+ABC，AC=只 AC+ABC，BC=只 BC+ABC。“-AB-AC-BC”
里面，ABC被减了 3次，前面加了3次，因此需要补回来。
（2）非标准型：只满足两项=只 AB+只 AC+只 BC，“-（只）满足两项”里
面，ABC没有减过，前面加了 3次，需要减去 2次。
【例4】（2023 事业单位联考）某高新技术园区对园区内的部分企业的专利
申请情况进行了调查，在接受调查的企业中，申请了发明专利的有 46 家，申请
了实用新型专利的有 69 家，申请了外观设计专利的有 25家，三类专利都申请了
21的有 12 家，申请了其中两类专利的有 39 家，三类专利都没申请的有 16 家，那
么接受调查的企业有多少家？
A.89 B.93
C.106 D.111
【解析】4.有交叉重叠，为三集合容斥原理问题。“申请了其中两类专利的
有 39 家”，出现只满足两种，包括申请了发明专利和申请了实用新型专利、申
请了发明专利和申请了外观设计专利、申请了实用新型专利和申请了外观设计专
利，三集合非标准型公式：A+B+C-满足两项-2*满足三项+都不=总数，代入数据：
46+69+25-39-2*12+16=总数，选项尾数不同，考虑尾数法，总数=尾数3，对应B
项。【选B】
【注意】
1.三集合非标准型判定：统一给出或求解只满足两种（满足两种）。
2.三集合非标准型公式：A+B+C-满足两项-2*满足三项+都不=总数。
三集合标准型与非标准型的区分
标准型判定：分别给出或求解两两集合的交集（既 A 又 B、既 A 又 C、既 B
又C）
【例 3】（2020 新疆）某单位共有 240 名员工，其中订阅 A 期刊的有 125
人，订阅 B 期刊的有 126 人，订阅 C 期刊的有 135 人，订阅 A、B 期刊的有 57
人，订阅A、C 期刊的有 73人，订阅3 种期刊的有 31人，此外，还有 17人没有
订阅这三种期刊中的任何一种。问订阅 B、C期刊的有多少人？
非标准型判定：统一给出或求解只满足两种（满足两种）
【例4】（2023 事业单位联考）某高新技术园区对园区内的部分企业的专利
申请情况进行了调查，在接受调查的企业中，申请了发明专利的有 46 家，申请
了实用新型专利的有 69家，申请了外观设计专利的有 25家，三类专利都申请了
的有 12 家，申请了其中两类专利的有 39 家，三类专利都没申请的有 16 家，那
么接受调查的企业有多少家？
【注意】三集合标准型与非标准型的区分：看分别给出（分别给出即给三次，
22既A又B、既A又 C、既B又C）还是统一给出（一次给完，即给和）。
容斥原理的方法选择
1.公式法：
题目中所给所求都是公式中的一部分
2.画图法：
题目中所给所求公式里没有，公式法不好用（往往是出现只满足某一个条件）
画图法三步走：
第一步，画圈圈
第二步，标数字（从里到外，注意去重）
第三步，列算式
【注意】容斥原理的方法选择：
1.公式法：题目中所给所求都是公式中的一部分。
2.画图法：题目中所给所求公式里没有，公式法不好用（往往是出现只满足
某一个条件，优先画图：如只满足 A、只满足 B、只满足 C）。三集合标准型：
A+B+C-AB-AC-BC+ABC+都不=总数；三集合非标准型：A+B+C-只满足两项-满足三
项*2+都不=总数，两个公式中都没有只A、只B、只C的位置。
3.画图法三步走：
（1）第一步，画圈圈。两集合画两个圈，三集合画三个圈。
（2）第二步，标数字（从里到外，注意去重）。
23（3）第三步，列算式。
【例5】（2024 江苏网友回忆版）某基层工会共有 180名会员，举行甲、乙
两项工会活动，60%的会员参加甲活动，50%的会员参加乙活动，若只参加甲活动
的会员有80人，则只参加乙活动的会员有：
A.10人 B.36 人
C.62人 D.78 人
【解析】5.“若只参加甲活动的会员有 80 人”，只满足甲，“只参加乙活
动的会员”，只满足乙，出现只满足某一个条件，公式不好用，考虑画图法。外
框表示总人数，可以不画。“某基层工会共有 180 名会员”、“60%的会员参加
甲活动，50%的会员参加乙活动”，有180*60%=108 人参加甲活动，有180*50%=90
人参加乙活动，“若只参加甲活动的会员有 80 人”，画图分析，中间部分为
108-80=28人，只参加乙活动的会员为90-28=62人，对应C项。【选 C】
【注意】画图法：题目中所给或所求公式里没有，公式法不好用（往往是出
现只满足某一个条件）。
24【注意】容斥原理问题：2～3 年考查 1 题，考频不高。题目难度不大，掌
握后可以做，多数考查公式法，画图法次之。
课后测验
课后练习1（2023联考）如果 3个学生一起报名，且 3个学生都通过科目一
考试，那么就可以减免 1个学生的报名费。他们 3人不能通过科目一考试的概率
分别为1/2、1/3、1/4，则减免1个学生报名费资格的概率为：
A.3/4 B.2/3
C.1/3 D.1/4
【解析】拓展 1.给概率求概率，考查加法、乘法原理。要想减免 1 个学生
报名费资格，需要 3个学生都通过科目一考试，给不能通过的概率，需要先算出
能通过的概率，3 人能通过科目一考试的概率分别为 1-1/2=1/2、1-1/3=2/3、
1-1/4=3/4，要想都通过科目一考试，且的关系用乘法，列式：1/2*（2/3）*（3/4）
=1/4，对应D项。【选 D】
课后练习 2（2019 联考）某班参加学科竞赛人数为 40 人，其中参加数学竞
赛的有 22 人，参加物理竞赛的有 27 人，参加化学竞赛的有 25 人，只参加两科
竞赛的有24人，参加三科竞赛的有多少人？
A.2 B.3
C.5 D.7
【解析】拓展 2.“只参加两科竞赛的有 24人”，统一给出只满足两项的和，
考查非标准型公式：A+B+C-满足两项-2*满足三项+都不=总数，设参加三科竞赛
的有x人，代入数据：22+27+25-24-2*x=总数-都不=参加学科竞赛人数=40，2x=10，
解得x=5，对应C 项。【选C】
【注意】
1.三集合非标准型判定：统一给出或求解只满足两种（满足两种）。
2.三集合非标准型公式：A+B+C-满足两项-2*满足三项+都不=总数。
25课程最后寄语
1.结合思维导图整理每节课的思维逻辑，看回放查缺补漏，把能够掌握的题
型做到烂熟于心，对于确实怎么都弄不懂的题型可以战略性放弃。
2.理论知识掌握扎实后，不断做题总结，将题目和理论相结合。
3.题目选择：山东/国考/北京/联考等。
4.坚持经常参加每周的模考，不断寻找实战的感觉。
【注意】课程最后寄语：
1.结合思维导图整理每节课的思维逻辑，看回放查缺补漏，把能够掌握的题
型做到烂熟于心（数量关系优先掌握工程问题、经济问题、和差倍比问题；行程
问题、排列组合与概率属于难题，适当放弃），对于确实怎么都弄不懂的题型可
以战略性放弃。
2.理论知识掌握扎实后，不断做题总结，将题目和理论相结合。
3.题目选择：山东/国考/北京/联考等。如果是学霸，还可以做江苏、浙江
的题目。
4.坚持经常参加每周的模考，不断寻找实战的感觉。
【答案汇总】
排列组合问题 1-5：DABCC；6-7：CA
概率问题：1-4：ACBA
容斥问题1-5：ACBBC
26遇见不一样的自己
Be your better self
27
