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数量关系精选 250 题解析
数量关系基础 125 题解析
1．D
【解析】设每月比前一个月的增长率为r，根据公式：现期量 ，可列式：
，化简为 。代入A 项：
，满足条件且为唯一解。
故正确答案为A。
2．A
【解析】行程问题。假设乙的速度为x，甲的速度为1.2x；可列方程2x+3×（x+30）=5×1.2x；解
得x=90。那么AB两地相距为6x=6×90=540千米。
故正确答案为 A。
3．B
【解析】和差倍比问题。根据“保持总体规模不变，即总人数保持不变。”按职工总数 10%的比
例引进高级技术工人，则引进了 名，说明50岁以上可以有24 人退休，
则 50 岁以上职工申请退休的比例为 。
故正确答案为B。
4．D
【解析】设开班时男孩有 3x 人，女孩有 4x 人，后来有 2 个男孩、1 个女孩退出，可得 ，
解得x=4，则开班时女孩有16 人。
故正确答案为D。
5．C
【解析】根据题意，设每天定量的自然损耗为x吨，根据农副产品总量不变可列式：1.5×50+50x=2
×40+40x，解得x=0.5，即每天定量的自然损耗为0.5吨，故这批农副产品有1.5×50+0.5×50=100
吨。
1故正确答案为C。
6．B
【解析】根据题意可知，原油A 提炼出1 吨苯乙烯的成本为 万元，原油 B提炼出1 吨苯
乙烯的成本为 万元，因此购买原油B提炼苯乙烯的费用更低；每吨A、B原油产生
的废气量分别为0.4 吨、0.3 吨，原油B产生废气量更少，综合考虑应尽可能多购买原油 B。提
炼 1.9 吨的苯乙烯，优先购买原油 B： ……0.5（注：默认每类原油都购买整数吨），
即最多购买 2 吨原油 B，提炼剩下的 0.5 吨的苯乙烯还需要购买 1 吨原油 A，此时共产生废气
量为2×0.3+0.4=1 吨，符合题干要求，则最低费用为2×0.4+0.3=1.1万元。
故正确答案为B。
7．A
【解析】根据题意可知，总情况数为小赵从 6 个月饼中选择 3 个，共有 种情况。满足条
件情况数为小赵从 3 个蛋黄馅月饼中选择 1 个，从余下 3 个月饼中选择 2 个，共有
种情况。则所求概率P 。
故正确答案为A。
8．D
【解析】假设这叠文件有 n 组，则总共有 10n 份文件，其中通知文件有 10n×60%=6n 份。要想文
件总数最多，则 n 应尽量大，因此 6n 也应尽量大，即通知文件应尽量多。故除去有 18 份通知
的2 组外，让其余每组都有5 份通知，可得6n=18+5×（n-2），解得 n=8，则这叠文件最多可
能有10n=80 份。
故正确答案为 D。
9．D
【解析】容斥问题，三集合容斥（只满足某条件）。
由题目可知，题目中出现只会一种语言，因此采用画图标数解题；如图：三者都会有50，包含
俄、英、法；正中间标50；
由会俄语全会英语，则标出右上角两个0（只会俄语；只会俄语法语）；
由会俄语的一半会法语，可知 50 人为俄语的一半，则只会俄语英语为另一半标数 50；由只会
2两种语言共100 可知，标数只会英语法语有50；
由会英语一半会法语，可知英语共200，则只会英语标数50；
由只会一种有150 可得，只会法语标数100；则会法语共100+50+50=200 人。
故正确答案为D。
10．C
【解析】根据题意，要求同一部门的选手顺序相连，故可先将同一部门的选手捆绑起来，再对三个
部门进行排序。因同一部门的选手有先后之分，则3 个部门分别有 、 、
种排列方式，3 个部门共有 种排列方式。故一共有 2×24×24×6=6912 种不同的投篮
顺序，在C项范围内。
故正确答案为C。
11．C
【解析】设水速为 1，则船速为 5，小张逆水行船的速度为 5-1=4，小刘顺水行船的速度为 5+1=6，
相遇时小张一共行驶了 16-1=15 个 1.31 千米，行驶时间 。相遇时小刘的路程为
，即小刘一共走了 22.5 个 1.31 千米，故两个码头之间的总路程为
（15+22.5）×1.31=37.5×1.31 千米。根据出发时采集一次后每 1.31 千米采样一次，则每人全程
需采样37+1=38 次，故两人全程一共采集了38×2=76 份水样。
故正确答案为C。
12．D
【解析】年龄问题。根据“2030 年张和李的年龄之和与王年龄相同”，则 +8+ +7=X+7，解得
X=48，所以2023 年王48 岁，张25 岁，李16岁，即48+25+16+3N=120，N=10.3，故取 11 年，
则2023+11=2034 年。
故正确答案为D。
313．C
【解析】排列组合。由于第一二批不去甲，故第三、四、五批去甲，分情况讨论如下：（1）甲去
1 批，乙去2 批，丙去2 批： =18；（2）甲去1 批，乙去 1 批，丙去3 批：
=12；（3）甲去1 批，乙去3 批，丙去 1 批： =12；（4）甲去2 批，乙去2 批，丙去
1 批： =9；（5）甲去2批，乙去1 批，丙去1 批： =9；（6）甲去 3 批，乙
去1 批，丙去1 批： =2；故总的情况数有18+12+12+9+9+2=62 种情况。
故正确答案为 C。
14．B
【解析】直接代入法。设大型客车 X 辆，中型客车 y 辆。根据题意可得： ，代入
A 选项， ，排除A；代入B选项， ，符合；代入
C选项， 。
故正确答案为 B。
15．D
【解析】经济利润问题。假设去年上半年的支出为 x，那么去年下半年的支出为（960−x）；今年
上半年的支出为0.8x，今年下半年的支出为0.85×（960−x）；根据盈余=收入−支出，可得1200
−[0.8x+0.85×（960−x）]=1200−960+172；解得 x=560。那么今年上半年的支出为 0.8x=0.8×
560=448，今年下半年的支出为0.85×（960−x）=0.85×（960−560）=340。因此今年上半年支
出比下半年多448−340=108 万元。
故正确答案为D。
16．C
【解析】构造法。由于问题问到“最大的数只能取”，那么说明只有唯一的可能。即让其他的数尽
可能小，即前 18 个数分别为 1，2，3，……，18；此时前 18 个数的和为 。
那么最大的数只能为 。
故正确答案为C。
17．A
【解析】构造法。要想判断题答对的最少，那么判断题得分要尽量少，总分82 是定值，则选择题
的得分尽量多，并且要满足选择题的答错数大于答对数，则构造选择题答对 9 题、不答 1 题，
4答错10 题，得分=9×3+1=28 分。则此时判断题分值只需要达到54分。代入选项验证，问最小
从最小项代入，
C 项：答对 15 题，分值=15×3=45，还剩 5 题即使不答，只能凑够 45+5=50 分，不满足排除；
D 项：答对 16 题，分值=16×3=48，还剩 4 题即使不答，只能凑够 48+4=52 分，不满足排除；
A 项：答对17 题，分值=17×3=51，还剩3题都不答，则凑够51+3=54 分，满足题意。
故正确答案为A。
18．B
【解析】除了销售时间相同，销售鸡蛋和销售桃子没有其它关系，所以二者是相互独立的，因此可
赋值传统销售模式下的鸡蛋和桃子的销售效率均为 1，则直播带货期间，鸡蛋销售效率为 2，
桃子销售效率为3。根据题意可得，该批鸡蛋总量为20×1=20，该批桃子总量为25×1=25。设销
售期间直播带货的天数为 x，则非直播带货的鸡蛋销售时间为 ，非直播带
货的桃子销售时间为 。因为两种产品同时销售完成，其中的直播带货时间
相同，那么非直播带货的时间也相同，即20-2x=25-3x，解得x=5，因此销售期间直播带货的天
数为5。
故正确答案为B。
19．B
【解析】比例问题。进入面试 100 人，由于甲高校下降至当前 40％，所以进入笔试的甲高校人员
有 40 人，又说丙有 50 人，所以乙高校仅有 100-40-50=10 人，所以乙占了当前的 10％，题干
中说乙高校占比下降了15 个百分点，所以说笔试时乙占比为 25％，那么丙占比也为25％，所
以三所高校之比为50％：25％：25％=2：1：1。
故正确答案为B。
20．C
【解析】等差数列问题。假设第5 天两条生产线产量相同的时候为x。那么可得甲的前五天产量依
次为x−4m、x−3m、x−2m、x−m、x。乙的前五天产量依次为x+8m、x+6m、x+4m、x+2m、x。
前五天乙的工作量为5x+20m，甲的工作量为5x−10m；根据乙是甲的2 倍，可得5x+20m=2（5x
−10m），解得x=8m。第一天甲为 x−4m=8m−4m=4m，第一天乙为x+8m=8m+8m=16m；可得
第一天乙的产量是甲的 =4 倍。
5故正确答案为C。
21．A
【解析】排列组合问题。已知总共有3 个国家，四名运动员，中国运动员有两人，其余两个国家各
一人，并且中国运动员始终处于领滑位置，故第一名始终为中国运动员，从中国两个运动员里
面选择一人，共有 种选择方式，剩余三名运动员顺序没有特别要求，故顺序为 ，则运
动员的排序共有 种。
故正确答案为A。
22．C
【解析】方程法。设M 型灯带有x条，N 型灯带有 y条。综合题意，可列方程组 30x=2×60y且20x-
30y=30000,解方程组可知，x=2400，y=600。那么共采购灯带 2400+600=3000 条。
故正确答案为C。
23．C
【解析】设小李骑行外圆（乐道）的半径为 R、妈妈步行内圆（福道）的半径为r，如下图所示：
设小李骑行外圆一周的时间为 t，则妈妈骑行内圆一周的时间为 4t。因两人的路程分别为内外
两圆的周长，则可列式： ……①， ……②，根据A、B两点间距
离为 50 米，即 R=r+50，联立①②式，解得 r=100 米，则湖面面积（图中内圆面积）
。
故正确答案为B。
24．A
【解析】几何问题。要想工作站C点与两个联络站距离之和最小，如图所示，沿路做甲的镜像，甲
丙=甲’丙，则甲’乙＝甲丙+丙乙。甲甲’距离为 12×2=24km，根据勾股定理可知（三边比例
5：12：13），甲’乙=26km。
6故正确答案为 A。
25．C
【解析】几何问题。做辅助线如图所示：
五边形内角和为540°，可得∠D为540°-90°×3-135°=135°;由图可得：∠FBC=∠CDG=45°;
通过直角等腰ΔCDG：可得出 DG=CG=25 ；由FG=AE=60，则 FC=60-25 ；通过直角等腰
ΔBCF：可得 BF=FC=60-25 ；BC=60 -50；EG=AF=40+60-25 =100-25 ；ED=EG-
DG=100- ；则总周长=60+40+50+100-50 +60 -50=200+10 ≈214
故正确答案为C。
26．D
【解析】工程问题。设甲乙效率分别为a，b。则工作总量=（a+b）×25=a×1+15a×（24-1-5）+b
×24，化简该式得： ，故甲工厂效率是乙工厂的 倍。
故正确答案为D
27．A
【解析】工程问题。由于题干只给出工作效率的比例关系，故赋值乙的工作效率为 1，则甲的工作
效率为2，则工作总量 。合作10 天后，剩余工作总量 ，
此时甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 。又合作10 天后，
剩余工作总量 ，甲单独完成剩余任务还需 天，总共需要
7天，则最终工作比预计时间早 天。
故正确答案为A
28．C
【解析】工程问题。根据题干可知：甲、丙先合作 2 天，完成了全部任务的 ，接着乙、丙合作2
天完成剩下任务 45%。可赋值全部任务为 60份。根据 ，可列方程：
化简可
得： ①； ②； ③，联立方程 可得：甲一天可完
成6份任务，甲一共工作 4 天，完成24 份任务，故甲完成的部分占全部任务的 。
故正确答案为C
29．A
【解析】工程问题。根据题意设甲单干的时间为 2x，乙单干需要 小时，丙单干需要
小时，工作量一定的情况乙单干的时间是丙的 2 倍，可知丙的效率是乙的2 倍，所以工作总
量需要甲干10 小时加上乙干 12 小时，已知乙单干用的时间比甲多4 小时，所以可得甲单独
干需要20 小时。
故正确答案为A
30．B
【解析】工程问题。用赋值法和方程法解题。赋值甲的效率 3，则乙的效率6，丙的效率 8。工程
总量为 。故乙单独完成工程所需时间为 （小时）。
故正确答案为B
31．D
【解析】行程问题。根据题意，可画出如下线路图，
8根据题意，可列方程 解得 分钟， 分钟。当第二
次距离相等时，距离十字路口的距离为 米。
故正确答案为D
32．C
【解析】甲每天加工产品 件，则乙每天加工产品 件；甲完成480 件产品需要的时间是
天，乙完成的时间是 天。根据题意可得 。
故正确答案为C。
33．B
【解析】赋值一幅拼图的工作总量为6，则甲、乙、丙的效率分别为 、 、 。由于同
时开始，同时结束，因此在两幅拼图完工过程中，甲、乙、丙始终在工作，假设工作时间总
计为 ，则有 ，解得 小时。甲的工作量为 ，则丙帮
甲干的时间为 小时，则丙帮乙干的时间为 小时。
故正确答案为B。
34．B
【解析】设甲每天完成量为1，则工程总量为6，甲乙合作，2 天可完成，则甲乙合作每天完成量
为 ，所以乙单独每天完成量为 ，则乙需要 天完成任务。
故正确答案为B。
35．D
【解析】工程问题。根据题意，赋值甲、乙、丙、丁 4 人的工作效率分别为3、5、4、6，则甲乙
合作的效率为 ，丙丁合作的效率 。设甲乙合作所需时间为x，则
，解得 ，所以4 人合作完成工程所需时间 天。
故正确答案为D
36．D
【解析】工程问题。根据“甲转移 资源或者乙转移 资源效果相等”可知，甲、乙效率比为3：
5，赋值甲、乙的效率分别为3 和5；由题意可知，甲转移 的资源给丙后，甲乙效率之和与
丙相等，即：3+5-1=丙+1，可得丙原来效率为6。设原来甲乙合作生产A 需要x天，则丙独
自生产B需要（ ）天，根据题意可列方程： ，解得 ，所以A 工程的
工作总量为 ，则三个工厂一块儿生产A 需要时间为 ，故需要26 天。
故正确答案为D
937．D
【解析】工程问题。设乙每小时挖x吨土，则甲每小时挖（x+35）吨土，可列方程：
。解得 。则工作总量为 ，故乙单独
挖需 小时。
故正确答案为D
38．D
【解析】统筹问题。已知只安排8 个工人加工甲零件，每个人可加工15 个甲零件，则每天可以加
工 个甲零件。每套仪器需甲零件2 个、乙零件3 个，若想零件配套，甲和乙个数比
应为2：3。甲零件个数为 120 个，若要甲、乙零件个数比为2:3，则乙零件个数应为 180
个，已知每个工人每天可以加工 10 个乙零件，则要想每天完成 180个零件需要 个工
人。所以该车间一共安排了 个工人加工甲、乙两种零件。
故正确答案为D
39．C
【解析】工程问题。赋值工作总量为30（15和10 的最小公倍数），则甲乙合作效率为 。
设乙的效率为 x，可得 ，解得 。第三步，甲的效率为 ，则
甲单独完成所需时间为 （天）。
故正确答案为C
40．A
【解析】工程问题。甲4 小时抽完，乙6 小时抽完，赋值工作总量为 12（4 和6 的最小公倍
数），可知甲、乙的效率分别为 3 和2；设渗水效率为 x，由于渗水用3 小时抽完，可得
，解得x＝1。乙在渗水时单独抽，需要 （小时）抽完。
故正确答案为A
41．B
【解析】行程问题。根据题意可知，第一次相遇为小张第一次到达乙地后返回甲地途中与小王相
遇，此时两人共走了 2 个全程；第二次相遇为小张返回甲地后第二次前往乙地途中与第一次
到达乙地后返回甲地的小王相遇，此时两人共走了 4 个全程。则两次相遇所用时间相等。又
因为两次在同一地点相遇，则第二次相遇时小王所走路程与小张在第一次相遇时所走路程相
同，即同样的路程小王所用时间时小张的 2 倍，所以小张的速度为小张的2 倍。
故正确答案为B
1042．C
【解析】方法一：设 A、B两地间的距离为 x 千米，当甲距B地还剩18 千米时，说明甲行驶了
（x-18）千米，乙还剩60 千米，说明乙行驶了（x-60）千米；当甲到达终点时行驶了 x千
米，乙还剩48 千米，说明乙行驶了（x-48）千米。根据时间相同，速度比等于路程比，可列
等式： ，解得：x=144，即A、B两地间的距离应为144 千米。
方法二：相同时间内，甲行驶18 千米，乙行驶了 60-48=12 千米，则甲、乙两车的速度比为
18：12=3：2。当甲到达终点时，甲、乙两车的路程比等于两车的速度比3：2，此时甲比乙
多行驶48 千米，故 A、B两地间的距离为48×3=144 千米。
故正确答案为C。
43．A
【解析】行程问题。假设小王、小刘的速度分别为 a、b，甲地到乙地的距离为 ，小王从
甲到乙所需时间 ，小刘从乙到甲所需时间 ，二者相差27 分钟，即
，即 ，将选项代入验证，若a：b=5:4，则 ，满足。
故正确答案为A
44．B
【解析】设甲骑车的时间为 ，休息的时间为 ，则乙骑车的时间为 ，休息的时间为 。根据
甲乙所用时间相等可得： ，解得 。不妨设 ， ，则甲骑车时间
为8，乙骑车时间为9，从而甲和乙骑车的时间比为 ，又知甲乙的路程相同，因此甲和
乙骑车的速度比为 。
故正确答案为B。
45．C
【解析】行程问题。由第一次相遇时甲比乙多跑 60 米，可知相遇时乙跑了 ，甲跑了
180 米，时间一定，速度与路程成正比，由此可知两者的速度比为 。故甲跑了三
圈时，乙跑了两圈，此时两人都回到了起始点，即六边形的相对顶点，其直线距离为 200
米。
故正确答案为C
46．B
【解析】行程问题。根据题意可知：追及距离为 米。设t 小时以后甲追上乙，则可列方
程： ，解得 ，即甲追上乙需要 5 小时。
11故正确答案为B
47．C
【解析】甲乙两人同时从A 点出发，在B点相遇，所用时间相同，路程与速度成正比，即所走路
程之比为 。则甲走了 米，乙走了 米。
相遇后，甲在原地停留四分钟，然后保持原来的速度继续前行，最终与乙在 A 点再次相遇，
则所走路程为720 米，所走的时间 分钟；因乙并未停留，故乙共走了 分
钟，所走路程为1080米，则相遇后乙的速度变为 米/分钟。
故正确答案为C。
48．C
【解析】行程问题。两次给的都是距A 地得距离，所以为单岸型相遇，直接代入公式，两地相距
的距离 千米。
故正确答案为C
49．C
【解析】甲每小时跑 ，乙每小时跑 ，丙每小时跑 。要使他们同时在出
发点相遇，一定使他们的圈数均为整数，三人同时回到出发点的时间必须是 2 和3 的公倍
数。
故正确答案为C。
50．C
【解析】行程问题。乙因故骑自行车返回 A 地而甲下车继续步行前行直到乙追上甲时，二者时间
相同，甲走了 的全程，乙实际走过的路程相当于1 个全程。由时间一定，路程比等于速度
比，可得甲、乙的路程之比为 1：3，其速度之比也为 1:3。乙骑自行车的速度为15 千米/小
时，则甲步行的速度为 千米/小时。
故正确答案为C
51．B
【解析】行程问题。环形追击中，相邻两次相遇的路程差等于周长 400，而现在只差了250，说明
一开始二人就相距 150米。
故正确答案为B
52．B
【解析】行程问题。走走停停类问题一般用直接代入法。代入 A 选项，若两人从出发到第一次相
12遇所用的时间是 2 小时10 分钟（即130 分钟），由于甲每走 50分钟休息 10 分钟，则甲休息
了20 分钟，走了 分钟，同理可知乙休息10分钟，走了 分钟。
甲、乙共走的路程为 千米，此时没有相遇，排除A 选项。代入B选
项，若两人从出发到第一次相遇所用的时间是2 小时22 分钟，即在 A 选项的基础之上，两人
又走了12 分钟，故两人又走了 千米，甲、乙共走的路程为 千米，此
时刚好相遇。
故正确答案为B
53．C
【解析】行程问题。当乙车追上甲车，则两车行驶距离相等，速度比为时间比的反比，甲乙速度
比为 ，则可得时间比为 ，可设甲车所用时间为3x，乙车为2x，则 分钟，
分钟，所以甲车从出发到被追上共用 分钟，此时时间为9：30。
故正确答案为C
54．C
【解析】由题意可知，时间相同时， 则丙游的
圈数 圈。
故正确答案为C。
55．B
【解析】
如图所示，设两地相距 米，根据题意可列式： ，解得 ，故两地相距
600 米。
故正确答案为B。
56．B
【解析】概率问题。根据题意可知，把7 人分成人数不同的3 个小组，3 个小组的人数只能分别为
1 人，2 人和4 人。3个小组参加3 项不同的活动，总的情况数 种。2 位
博士毕业人员分在同一小组，分类讨论：①只有2 位博士毕业人员组成一组有 种可能，
其余两个小组有（ ）种可能，则此时有 种情况；②2 位博士毕业人
员和2 位硕士毕业人员组成一组，有 种可能，其余两个小组有（ ）种可
13能，则此时有 种情况。因此，满足2 位博士毕业人员分在同一小组的情况数
种。则所求概率 ，在B项范围内。
故正确答案为B。
57．D
【解析】概率问题。 。
故正确答案为D
58．D
【解析】由于两个事件独立发生，所以家庭既订阅该种日报又有电视机的概率
。
故正确答案为D。
59．B
【解析】概率问题。所有的孩子都挨着自己的母亲就座，在此条件下，总情况数＝ 。当所有
孩子均不相邻，其情况数 。故所有孩子均不相邻的概率 6.25%。
故正确答案为B
60．C
【解析】概率问题。甲队获得这场比赛胜利有三种情况：（1）甲连胜第三局和第四局
（2）甲胜第三局输第四局胜第五局 （3）甲输第
三局胜第四局和第五局 ，则甲队获得这场比赛胜利的概率
。
故正确答案为C
61．D
【解析】概率问题。
从反面计算较简单，甲乙中至少一人被录用的概率 。
故正确答案为D
62．D
【解析】概率问题。选择乘地铁且18：45 之前到家的概率为： ；公交为：
。所以他18：45 之前到家的概率为： 。
故正确答案为D
1463．A
【解析】概率问题。要使第二场为甲对丙，则需第一场甲对乙时，甲获胜，概率为 60%。要使第三
场为甲对丙，则需第一场甲对乙时，乙获胜（概率为 ）；第二场为乙对丙时，丙
获胜（概率为 ），故第三场甲对丙概率为 。第三场比赛甲对丙的
概率与第二场相差 ，即低40 个百分点。
故正确答案为A
64．B
【解析】概率问题。一个箱子装有12 件产品，其中 2 件次品，则有12－2＝10 件非次品，随机抽
出2 件产品，恰好有 1件次品，则抽出的另 1 件为非次品。恰好是1 件次品1 件非次品有
种，而总情况数为 种，故抽取2 件产品恰好有1 件次品的概率为 。
故正确答案为B
65．C
【解析】概率问题。根据题意，3 颗骰子向上点数之和为4 的情况有（1，1，2）、（1，2，1）、
（2，1，1），共三种，总的情况数为 种。概率 。
故正确答案为C
66．B
【解析】概率问题。彩票刮奖总的情况为 ，数字之和等于8 的组合有（0，8）、
（1，7）、（2，6）、（3，5）、（4，4）、（5，3）、（6，2）、（7，1）、（8，0），
共9 种。故中奖概率为 。
故正确答案为B。
67．D
【解析】概率问题。根据公式 ，总的情况数为：前两支队伍抽签的情况总
数 ，满足条件情况数为：分在同一小组的情况时，第一支队伍有 种选择，第二支
队伍只能从第一支队伍选择的颜色所剩余的 3 个球中选1 个，同一组的情况数= 。第一
支抽签队伍与第二支抽签队伍被分在同一小组的概率为 。
故正确答案为D
68．D
【解析】在随机射击时，若要使得击中10 环和 9 环的概率相同，应使10 环和9 环部分的面积相
同。设10 环半径为1，9 环半径为x，由面积相等可列公式： ，解得
15。10 环外圈半径与9环外圈半径的比值为 。
故正确答案为D。
69．A
【解析】概率问题。恰好在第3 次取得黑球可分为三种情况：①前两次取出的不是黑球。每次从
袋中摸出一球不再放回，恰好在第 3 次取得黑球的概率是 ；②第 1 次取出的是
黑球，第2 次不是黑球，第3 次是黑球，恰好在第 3 次取得黑球的概率是 ；
③第1 次取出的不是黑球，第2 次是黑球，第 3 次是黑球，恰好在第3 次取得黑球的概率是
。所以恰好在第3 次取得黑球的概率是 。
故正确答案为A
70．C
【解析】方法一：小王迟到的概率 小王不迟到的概率。不迟到的情况有两种：没有遇到红灯
和遇到1 个红灯。没有遇到红灯的概率为 。遇到1 个红灯的概率为
。故上班迟到的概率 。
方法二：小王迟到的情况为遇到超过 1 个红灯，即他遇到2 个红灯或3 个红灯。遇到2 个红
灯的概率为 。遇到 3 个红灯的概率为 。故他上班迟到的
概率为 。
故正确答案为C。
71．B
【解析】方法一：假设降价x元，利润为y，则 ，判定其为一
元二次函数，当 x的值为函数对称轴时，y值最大。令 ，则 ， ；
或 ， ，当x的值即对称轴 时，y取得最大值，此时售价为
元。
方法二：直接代入选项计算利润。
A 项：售价为 23 元时， ；
B项：售价为22 元时， ；
C项：售价为21 元时， ；
D 项：售价为20 元时， 。
当售价为22 元时，利润最大。
故正确答案为B。
1672．C
【解析】设该商品每件成本 元，则未减价前每件利润为 元，减价 后每件利润为
元，订购数量为 件，根据题意有 ，解得
。
故正确答案为C。
73．C
【解析】方法一：设上半年进货价格为 ，则售价为 ，下半年进货价格为 ，售价为
。则下半年售价比上半年降低了 。
方法二：将上半年的进货价格赋值为 100，则上、下半年销售情况可列表如下：
下半年售价比上半年降低了 。
故正确答案为C。
74．B
【解析】经济利润问题。降价5%后，售价变为 ，共订货
（件）。设该商品每件成本是x元，根据题意可列方程 ，
解得 。
故正确答案为B
75．C
【解析】经济利润问题。设调价次数为x次，则单件工艺品利润为 元，销量为
件。 ， ； ，在
时取得最大值。此时的售价为 120－15＝105元。
故正确答案为C
76．C
【解析】经济利润问题。假设每套童装成本为 1 份，进货时总进货量为1 份。那么每套获利50%，
定价为1.5，根据题干信息， ，总
17利润比期望少了 份利润，0.06 份利润对应390 元，问题问服装店买进这批童装
总共花的钱，即问的是总成本 1 份是多少。1份的利润＝ 元。
故正确答案为C
77．C
【解析】设该商品标价为 元，根据题意，5 折后售价为 ，由 ，打折后利
润为 。根据公式 ，可知 ，解得 。
故正确答案为C。
78．A
【解析】题干中没有具体值，所求也为比值，因此可以考虑赋值法。赋值去年每册书利润为 10
元，去年销量为10 册，则今年每册书的利润为 元，销量为
册。因此去年的总利润为 元，今年的总利润为
元，因此今年销售该畅销书的总利润比去年增加了 。
故正确答案为A。
79．D
【解析】经济利润问题。分批销售，设数量为 1，最开始定价为1，则成本为0.4。以定价的八折
售出这批图书的 60%，利润为（1×0.8-0.4）×0.6=0.24。剩下40%的图书以六折的价格售
完，利润为 。总利润为 。利润率
故正确答案为D
80．C
【解析】方法一：设墨镜的进价为100x元，则近视镜的进价为84x元。根据公式：售价=进价×
（1+利润率），则墨镜的售价 ，近视镜的售价 。
根据“墨镜比近视镜的卖价贵 142 元”，可得： ，解得x=5，则墨镜的进价为
5×100=500 元。
方法二：根据题干及选项可猜测，墨镜和近视镜的进价及售价应均为整数。因“墨镜的利润
为进价的25%”，即 ，则墨镜进价应为4 的倍数；再因“近视镜的进价是墨镜进价的
84%”，即 ，则墨镜进价应为25 的倍数。因此墨镜进价同时为 4 与25 的倍
数，结合选项，只有C项满足。
故正确答案为C。
81．A
18【解析】经济利益问题。设这批香菇存放 x天后卖出，根据总利润＝总收入－总成本，列出等式
22500＝（2000－6x）×（10＋0.5x）－340x－2000×10，求得 ， （舍去，因为最
多保存110 天）。
故正确答案为A
82．B
【解析】经济利润问题。设种植农产品1 亩，如下表：
设采用新技术前总成本为a、则采用新技术后总成本为1.35a，根据每亩利润比之前增加了
100%列方程： ，解得 ，采用新种植技术后，每亩利润为
，每亩利润占每亩销售收入的比例为 。
故正确答案为B。
83．A
【解析】经济利润问题。根据题意可知：前三个月总花费成本为 万元，若每月增加
2000 元得到，从第4个月开始，收益分别为 3 万元、3.2 万元、3.4 万元……结合选项，优
先考虑第7 个月，发现总额为 万元，已经能够收回投资。
故正确答案为A
84．C
【解析】经济利润问题。赋值去年成本为 100，利润为 ，那么今年成本为85，根据题意可得
，解得 。则该商品去年的利润率为 。
故正确答案为C
85．C
【解析】经济利润问题。根据公式 ，调整方案前的售价和成
本已知，销量和利润未知，为了方便计算赋值销量为 100，则单日利润为
元；而调整方案后销量上涨15%，变为115，售价变为268 元，要想
保持原来的单日利润的话，设成本变为x元，则 元，解得 ，所以
19成本要降低 。
故正确答案为C
86．B
【解析】由题意可知，秒针长度为4 厘米，秒针转动一圈即1 分钟，其顶点移动路程为
厘米，现秒针顶点累计移动了 厘米，即经过时间 分钟。分
针每60 分钟转一圈，5 分钟转 圈，半径为 3厘米，其扫过的面积为 平方厘米。
故正确答案为B。
87．A
【解析】如图所示，过大圆的圆心O作平行于矩形长的AB，过小圆的圆心Q作平行于矩形宽的
CD，AB与CD 相交于G点， 为直角三角形。大圆的半径为 米，小圆的半径为
米。由题干圆与矩形围栏的相切关系可知，CQ=1 米，GB=1 米，GD=3米，AO=3 米，CD=6
米，OQ=3+1=4 米，QG=CD-CQ-GD=6-1-3=2米。在直角三角形OQG中，
米。则矩形围栏的长=AB=AO+OG+GB 米，矩形围栏的
面积=CD×AB 平方米。
故正确答案为A。
88．B
【解析】几何问题。根据三角形性质，两个三角形高相等，面积之比等于底边之比。△AOB 和
△BOC的高相同，底边之比为 ，故△AOB和△BOC的面积之比为 ，△AOB区
域需要1 人，那么△BOC区域需要3 人。△AOB和△AOD 的高相同，底边之比为
，故△AOB和△AOD 的面积之比为 ，△AOB区域需要1 人，那么△AOD 区域
需要2 人。△AOD 和△COD 的高相同，底边之比为 ，故△AOD 和△COD 的面积
之比为 ，△AOD 区域需要2 人，那么△COD 区域需要6 人。因此剩余草坪为△BOC和
△AOD 和△COD 共需 人，需额外增加 人。
故正确答案为B。
2089．A
【解析】几何问题。如下图所示，为使石子间的距离最远，先在正方形四个角进行投放，即 A、
B、C、D 四个点各一个石子。连接 AC，根据正方形边长为2，可求得AC=2 ，设O点为正方
形的中心，则OA= ，此时向正方形中任意一处再投入1 个石子即可
√
满2足石子中一定存
𝐴𝐴𝐴𝐴
在距离不超过 的两2 个=石√2子，故至少投5 个石子。
√2
故正确答案为A
90．B
【解析】几何问题。因为△ABD、△ADE、△AEC高相同，则
。赋值 ，则 ， ，则
。因为F 为AE 中点，则 ，又因为△DAF、△DEF 高相同，所以
，则 ，那么 ，则新能源产业园区
总面积是中央工厂区面积的6 倍。
故正确答案为B。
91．B
【解析】作E 点关于AD 和AB的垂线，分别交于 F 点和G点，易得AG=FE，如下图所示：
方法1：根据 、 、 ，可得 为以E 为直角顶点的直角三角形。
由于 且有公共顶角 ，故 ，即 ，代入数据可得
21，解得 ， 。
方法2：观察图像可得，AG＞ 、 ，故 ，代入
1
中可得25 2𝐴𝐴𝐴𝐴 = 5𝑐𝑐𝑐𝑐，仅B项满足。
故正确答案为B。
92．C
【解析】几何问题。根据题意，扫地机器人的前端边刷需要清扫到地面边角，如下图所示，设该
型号扫地机器人圆形机身的最大半径为 rcm，根据三角形勾股定理可得： ，解得
，向下取整，即最大半径为19cm，则该型号扫地机器人圆形机身的最大直径为
。
故正确答案为C。
93．A
【解析】几何问题。由于实心圆锥体零件的质量不变且放入液体 A、B中均为漂浮状态，则两种放
置方式所受浮力相等。
根据物理学中浮力公式： ，令尖部朝下放入时排出的液体体
积为 ，尖部朝上放入时排出的液体体积为 ，则： ，化简得
。由于尖部朝下时浮出液面的高度为 ，则液体中零件的高度为 ，此时液
面下方零件为实心圆锥体， 。根据相似图形结论：当图形相似比为 1：
k时，其体积之比为 ，液面下零件与实心圆锥体积比为729：1000，赋值零件总体积为
1000，则液面下方零件的体积 ，则 。当实心圆锥体零件尖部朝上放入液体中，液面
上方零件为实心圆锥体（其与实心圆锥零件整体相似），则体积为 。则此时液
面上方零件体积与实心圆锥体积比为514：1000，则浮出液面高度：实心圆锥高度= ，
则浮出液体的高度为 ＞0.8x。（因为 ）。
3
√514
故正确答案为A。 10
2294．D
【解析】几何问题。如图所示，由 ，则ED 为 的中位线，则 ED∥FC，且
，则 可推出 ，且
。赋值黑色部分人工湖△EDO面积为1，根据面积之比等于相似比的平
方，可知△FOC面积为 4。△EDO与△EOF，高相同，底边 ，则△EOF 面积为2，
则△ECF 面积=△EOF 面积+△FOC面积 。由AE=EF=FB，C点向AB的高相同，可知
，则三角形公园ABC面积为 。故所求为
倍。
故正确答案为D。
95．C
【解析】几何问题。屋顶面积与底面面积相等均为 ，那么屋顶的造价为 元是3 的倍
数，因为猪圈的高为3 米，所以正面和侧面的面积是 3 的倍数，那么造价也是3 的倍数，所
以整体造价是3 的倍数，只有C选项满足。
故正确答案为C
96．A
【解析】排列组合问题。因为题目要求每个分公司最多分配 3 人，那么只能以每个公司3 人、3
人、2 人的形式分配，因为“何分配到的分公司不能是人数最多的”那么何所在的公司只能分
2 个人，另一个人只能在刘、李、陈3 人选一人，有 种方法，再从3 个公司中选择一个公
司，有 种方法。张、王必须分配到同一个分公司，而且分配到 3 个人的公司，只能在刘、
李、陈中剩下的 2 人中选择一人有 种方法，再从剩下的2 个公司中选择一个公司有 种方
法，那么一共有 种方法。
故正确答案为A
97．A
【解析】排列组合问题。根据题意可知一共是两排车位，甲乙必须在一排，可以分为两种情况；
（1）剩下的两辆车分别在两排，情况数有 （2）剩下的两辆车均在甲
乙之外的一排，情况数有 。
分类用加法， ，故有672 种派位方式。
故正确答案为A
98．C
23【解析】6 人排列，考虑顺序，共有 种方法；
3 名男职工全部连在一起，利用捆绑法有 种方法；
则3 名男职工不能全部连在一起的方法有： 种。
故正确答案为C。
99．B
【解析】排列组合问题。8 名已就座员工环形排列形成8 个空隙，先安排1 名加班员工有8种方
式，现形成9 个空隙；剩余两名员工不得在第一位员工左右两边共4 个位置入座，则只剩 5
个空隙可坐，有 0 种，但根据题意还要去掉在同一名员工左右的4 种，所以共6 个空隙可
坐，两人可交换顺序入座，有 种，则共有 种加座方式。
故正确答案为B
100．C
【解析】排列组合问题。同类书籍必须放在一起，所以可先将同类的书籍都捆绑起来，再对三大
类书籍进行排序。因同类书籍中可以互相调换位置，有顺序用排列，则艺术类书籍有 种
排列方式，教育类书籍有 种排列方式，医药类书籍有 种排列方式；3 大类书籍共有
种排法。故一共有 种放置方式。或者可以用尾数法来确定答案，算式
尾数 应为8，又因为 ，再乘以12 一定比288大，所以选择C。
故正确答案为C
101．D
【解析】由题意可得本题为排列组合问题，分步排列即可。同一品种的放一起，则 5 幅国画捆绑
在一起，内部全排为 ，4 幅油画捆绑在一起，内部全排为 ，由于水彩画只能摆中间，则
国画和油画全排为 ，总排列数为 。
故正确答案为D。
102．B
【解析】排列组合问题。因为丙、丁、戊、己四个村只能在周一和周二去，且每人每天只能去一
个村，每个村只能去 1 人次，则周一、周二只能去这四个村。要求小李必须去丙村，则小李
还需要在丁、戊、己三个村中选一个有 因此周一、周二共有 余下四
个村，余下三天。小张必须去甲村和乙村，有 小李余下3 天时间，小李余下 1 天时
间，相当于4 个空位安排两个村，有 最终共有 种不同的安排方式。
故正确答案为B。
103．A
24【解析】排列组合问题。根据题意，要求每个大项不少于 1 个，即分为三类情况讨论如下：
第一类：滑冰大项中选择 1 个分项，滑雪大项中选择5 个分项，情况数为 种情
况；
第二类：滑冰大项中选择 2 个分项，滑雪大项中选择4 个分项，情况数为 种情
况；
第三类：滑冰大项中选择 3 个分项，滑雪大项中选择3 个分项，情况数为 种情
况；
分类相加，即符合条件的总情况数为 种。
故正确答案为A
104．B
【解析】买4 套衣服和3 双鞋合计花费 元，预算不超过800 元，故还剩
元，此时接下来的花费不超过203 元即可。列表枚举如下：
则一共有7 种购买方式。
故正确答案为B。
105．D
【解析】排列组合。根据题意，必须连在一起，用捆绑法解题。3 幅油画捆绑在一起有 ，4
幅国画捆绑在一起有 ，5 幅水彩画捆绑在一起有 ，一共3 个整体，但是油画不
能在两端，则油画必须在中间，那么国画和水彩画在两端有 ，那么一共有
（种）。
故正确答案为D
106．B
【解析】和差倍比问题。假设总人力为100x，则甲、乙企业的人力分别为75x和25x；假设总资金
25为100y，则乙、丙企业的资金分别为40y和60y，根据题意将人力和出资金额按一定比例分
配利润，则甲分配的利润是乙的 1.5 倍，可得 ，解得5x=8y，那么此项目总
的资金和人力为 。丙的总投入为60y，则丙分配的利润为总利润的
= 。
故正确答案为B
107．B
【解析】方程法。设甲中x发，乙中y发，则 ， ，两
方程联立，解得 。
故正确答案为B
108．D
【解析】方程法。设甲植树 棵，则丙植树 棵、乙植树 棵，根据三人一起种了29
棵数，列方程： ，解得 棵；则甲、乙、丙种植树的比值为 4：15:10。
故正确答案为D
109．D
【解析】经济利润问题。约定好费用支出均分，利润也均分，鉴定费 300，每人150。甲给了乙
500 元，除去甲应支付的鉴定费，乙应该还给甲 元，然而乙没有返还，相当于
欠甲350 元。藏品以20000 元卖出，利润均分，每人 10000 元，乙需要返回欠甲的350 元，
所以乙最终应拿 元，甲最终应拿 元
故正确答案为D
110．D
【解析】方程法。
方法一：由甲、乙两个单位人数相同，甲单位的党员占总人数的 20%，乙单位的党员占总人数
的25%。整体相同要想比重也相同就是中间值 。由此可知20 名党员对应总
人数的2.5%， 两个单位共有党员 。
方法二：设甲、乙两个单位的总人数均为 20x，那么甲单位的党员人数为 ，乙单位的党员人
数为 ，乙单位20 名党员与甲单位 20 名群众互换单位后，甲单位党员人数为 ，乙单
位党员人数为 ，总人数固定，两单位党员占比相同则党员人数相同，可列方程：
，解得 ，那么两个单位共有党员 。
故正确答案为D。
26111．B
【解析】设既到滑冰场又到滑雪场的人数为 人。根据两集合容斥原理公式：
，可列式， ，解得 。故既到滑冰
场又到滑雪场的人数为51 人，对应B项。
故正确答案为B。
112．D
【解析】编号为3 的倍数的运动员共有 取整，为333 人；
编号为7 的倍数的运动员共有 取整，为142 人；
两者都满足的运动员共有 取整，为 47 人。
根据两集合容斥原理公式： ，可得到关系：参加开幕式的人数 参
加闭幕式的人数 开闭幕式都参加的人数 总人数 开闭幕式都不参加的人数，代入数字：
开闭幕式都不参加的人数，解得：开闭幕式都不参加的运动员 人。
故正确答案为D。
113．C
【解析】容斥原理问题。编号为3 的倍数的运动员有 ，即33 人；编号为5 的倍数的
运动员有 人；同时是3、5 的倍数的运动员（15 的倍数）有 余 ，即6
人。设既不参加开幕式又不参加闭幕式队列的运动员有m 人，根据两集合容斥原理公式，可
得 ，解得 。
故正确答案为C
114．A
【解析】容斥原理问题。设既不近视又不超重的人数为 x，可得 ，解得 。
故正确答案为A
115．D
【解析】容斥原理问题。根据题意，设会日文的人数为 x，则会法文的人数为2x，会英文的人数
为 ，根据 10 人中既会英文又会日文的小李是唯一掌握一种以上外语的人，可得
，解得 人，则只会英文的人数为 人。
故正确答案为D
116．D
【解析】构造法。设四家企业按报价金额从高到低排序为甲、乙、丙、丁。根据题意：
27,变式得： 。要使甲企业的报价最高，乙丙丁应尽
可能小，任意两家企业的报价不多于100 万元，不少于 10 万元，则丁最小的情况下比甲少
100 万元，丙最小的情况下比丁多 10 万元，乙最小的情况下比丙多 10 万元。设甲企业的报
价为x万元，丁为 万元，丙为 万元，乙为 万元。列式得：
。
故本题答案为D。
117．B
【解析】构造法。根据题意可知四个研究所抽调人员性别构造只能如下图：
共24 人。根据题意现将整个科考队分成勘察、化验两个小组，要求每个小组中均包含 4 个研
究所的人且来自任意2 个研究所的人数都不相同，则只能是 0 人一组与
人一组。根据题干要求化验小组男性最少，则取化验总人数为 人
一组，勘探总人数为 14 人。则满足题干要求的分组方式如下图：
则化验组在A、C研究所中均抽调女性，在 B、D 研究所中各抽调1名男性，此时化验组中男
性最少，共2 名。
故正确答案为B。
118．C
【解析】数字特性法。1—9 这九个数字各用一次，先将1—9 加和为45，组成三个能被9 整除的
三位数，可知每个三位数各位数字加和均为9 的倍数，则三个三位数各位数字加和分别为9、
18、18。满足数字之和为9 的三个数可以是 1、2、6 或2、3、4 或1、3、5，该三位数最大
为621；此时，其余两个满足数字之和为 18的三位数最大分别是954 和873。则
28（可用尾数法，尾数为 8）。
故正确答案为C
119．A
【解析】保留一位小数时为5.8，说明该平均数取两位小数时必介于 5.75 与5.84 之间，则
，因此这33 个偶数的和最小是190，它们的平均数是
(保留两位小数)。
故正确答案为A。
120．D
【解析】根据题意可得：六名同学得分总和为 分，设第三名同学得分为 ，要使 取值
最小，则其余五名同学的分数要尽可能高，可列表为：
则 ，解得 ，即排名第三的同学最少得到96 分。
故正确答案为D。
121．D
【解析】年龄问题。设三人的年龄分别为 l、m、n，根据题意可列① ；② ；③
，将①②③分别乘2 可知：l 最大，n 最小。③－①可得 ，故最大年龄与最
小年龄之差为 28。。
故正确答案为D
122．D
【解析】年龄问题。根据题意，在21 世纪的某年，这个人年龄的平方数等于该年的年份，21 世纪
年份为平方数的只有 年，即2025 年这个人45岁，则此人出生于 年。
故正确答案为D
123．D
【解析】年龄问题。假设哥哥今年n 岁，弟弟今年m 岁，由题意得， 解这个方程
组得 。
故正确答案为D
124．B
【解析】年龄问题。代入排除法，根据“爸爸比儿子大 33 岁”，只有 B项符合。
29故正确答案为B
125．A
【解析】二者年龄差为 ，为恒定值。当父亲的年龄是儿子的 8 倍时，设儿子的年龄为
，则父亲的年龄为 。此时，两人年龄差为 ，解得 ，二者年龄之和为
。因此，当父亲的年龄是儿子的 8 倍时，父子的年龄和是36 岁。
故正确答案为A。
30数量关系进阶 125 题解析
1．B
【解析】根据题意可得，应届毕业生总数减去 13后，剩下的人数既是7的倍数，也是9的倍数。
代入A项， ，既不是 7的倍数也不是9的倍数，排除；
代入B项， ，满足；
代入C项， ，既不是7的倍数也不是9的倍数，排除；
代入D项， ，既不是 7的倍数也不是9的倍数，排除。
故正确答案为 B
2．C
【解析】根据题意，该数列前两项依次为 2、6，第三项为 2+6=8，第四项为6+8=14的个位数4，第
五项为 8+4=12 的个位数 2，第六项到第八项依次为 6、8、4。观察可得，此数列以 2、6、8、
4 四个数字周期循环， ，即经过 504 个周期后，剩余 2 项，则第 2018 项是
6。
故正确答案为C
3．C
【解析】几何问题。卷10cm长的豆芽，圆柱高为 10cm，底面圆的周长 ，半径r为
，故10cm长的蛋卷体积为 ；卷 7cm长的豆芽，圆柱高为 7cm，底面
圆的周长 ，半径 R为 。故7cm长的蛋卷体积为 7 。两
者体积之比为 。
故正确答案为 C
4．D
【解析】方程法。试卷满分 100分，每少做对 1道题，少得4分（做对一道加 2分，做错一道倒扣
2分）。由少做错 2道刚好及格可知，小伟得分为52分，即少得100－52＝48分。所以他做错
了 道题目，做对了50－12＝38道。
故正确答案为D
5．D
【解析】在世界共有 76 家超市，要使排名最后的城市超市数量最多，则应使其他城市的超市数量
最少。设排名最后的城市最多有 x家超市，如表所示，
31则有 ，解得x=6。因排名最后的
城市最多有6 家超市。
故正确答案为D
6．B
【解析】概率问题。方法一：根据题意，会议室有 5排共40个座位，每排座位数相同，则每排有 8
人，则概率为 ，概率高于 15%但低于 20%。方法二：共有 40 个座位，
每排有8个，第一个人，可选择任意座位入座，概率为1，第二个人，在剩余的 39个座位中选
择，其中与第一个人在一排的还有 7 个座位，所以概率为 ，则他们坐在同一排的概率 1×
，概率高于15%但低于20%。
故正确答案为B
7．B
【解析】排列组合问题。先从六个人中选三个参加演讲，这三个全排列，可得情况数为 ；
圆桌对话必须安排在任意两场演讲之间，共有三场演讲，产生两个空，再把圆桌对话插入这两
个空里，共有两种选择；先再用乘法，因此符合条件的情况数为 。
故正确答案为B
8．C
【解析】工程问题。赋值挖井工作总量为 40（8和10的最小公倍数），阴天时，甲效率为5，乙效
率为4。晴天时，甲效率下降 40%，为 ；乙下降 ，为 。
第设挖井过程中有 个阴天、 个晴天，根据同时开工同时挖好，可得 ，解
得 ，甲家挖了10个晴天。
故正确答案为C
9．D
【解析】经济利润问题。设小张投资甲乙两种股票的钱数分别为 x、y元，由题意列式： 、
，解得 ， 。
故正确答案为D
3210．C
【解析】赋值计划行驶速度为 100米/分钟，则全程为2×60×100=12000米。根据题意可得，出发
后头30分钟的行驶路程为30×100=3000米，此后50分钟的行驶路程也为3000米，则剩余路
程为 12000-3000-3000=6000 米。中间 50 分钟路程的行驶速度为 3000÷50=60 米/分钟，即后
40分钟匀加速行驶的初始速度为60米/分钟。后40分钟路程的平均速度为 6000÷40=150米/
分钟，根据公式：平均速度 ，可得 米/分钟。根据匀加速运
动公式： ，可得加速度 ，则 1 小时 50 分钟时的行驶
速度为 60+4.5×30=195 米/分钟，最后 10 分钟的平均速度为 米/分钟，题干所
求倍数为 ，在C项范围内。
故正确答案为C
11．A
【解析】已知每名党员每周六都被随机安排到甲、乙、丙三个社区，则每名党员每周六有 种行
程安排。连续的 3个周六，共有 种行程安排。
要想保证在任意连续的3个周六中，至少有3名党员的志愿服务行程完全相同，考虑最不利情
况：任意连续的 3个周六中所有的志愿服务行程均各有2名党员选择，在此基础上再加 1名党
员，即可保证至少3名党员的志愿服务行程完全相同。故该单位至少有 27×2+1=55人。
故正确答案为A
12．D
【解析】根据“甲、丁商品销量相同”，设甲、乙、丙、丁四种商品销量分别为 x件、y件、z件、
x 件。根据“这四种商品共 40 件”可得，2x+y+z=40……①；根据“共盈利 201 元”可得，
15x+9y+4z+x=201……②。令①×8-②可消去 x，得 4z-y=119。因为四种商品每种至少销售 1
件，可得 4z＞119，即 ，排除 A、B、C 三项。代入 D 项验证，若 z=31，则 y=4z-
119=124-119=5，2x=40-31-5=4，x=2，符合题干所有条件。
故正确答案为D
13．B
【解析】赋值甲每分钟的速度为3，乙每分钟的速度为2。根据甲 9：40 到达c地，则 ；
乙全程不休息，在 10：40 到达 c 地，则 ，因此 ab 的路程
33。设甲、乙两人从 9：00 开始出发 t 分钟后相遇，则
，解得t=70，因此甲、乙相遇的时间为9：00+70分钟=10：10。
故正确答案为B
14．B
【解析】设哥哥今年的年龄为 x 岁，则弟弟今年 岁。当哥哥 岁时，弟弟年龄为
岁。根据题意：“哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半”，
可列方程： ，解得 ，即哥哥今年21岁。
故正确答案为B
15．C
【解析】几何问题。
根据题意，这5块矩形花卉区域周长相等，则每块矩形的周长为 米，长+宽=10 米。
因为围栏不可弯折，则矩形的宽最小为 1米，那么：
当宽为1米时，长为 9米，面积为1×9=9平方米；
当宽为2米时，长为 8米，面积为2×8=16平方米；
当宽为3米时，长为 7米，面积为3×7=21平方米；
当宽为4米时，长为 6米，面积为4×6=24平方米；
当宽为5米时，长为 5米，面积为5×5=25平方米。
综上可得，面积最大为 25平方米，最小为9平方米，最多相差25-9=16平方米。
故正确答案为C
16．A
【解析】设原绿方阵最外侧每边有n架无人机，则黄色正方框空心方阵最外侧每边有n+4架无人机，
根据“原红方阵恰好可填满黄方阵的空心”可得：黄色正方框空心方阵共有 架无人
机。根据题意可知，黄色方阵为红、绿两个正方形方阵融合而成，即黄色无人机数量=红色无人
机数量+绿色无人机数量，可列式： ，解得 n=14。则无人机总数=红色
无人机数量+绿色无人机数量 架。
故正确答案为A
17．A
【解析】根据三集合容斥原理非标准型公式：A+B+C-满足两项-2×满足三项=总数-都不，可列式：
34360+380+237-选择其中两项的学生人数-2×60=725-8，解得：选择其中两项的学生人数=140人。
根据三集合常识型公式：满足一项+满足两项+满足三项=总数-都不，可列式：仅选择其中1项
的学生人数+140+60=725-8，解得：仅选择其中1项的学生人数=517人。
故正确答案为A
18．B
【解析】根据题意可得，骑手完成每单的基础收益 a 元为整数，则第一日完成 30 单时收益 247.5
元，平均每单价格为 元，非整数，说明30单已超出每日基础接单量，但由题意可知
30单未超过健康临界接单量，即这30 单中每单收益可以分为a和（a+1.5）两类。则根据混合
比例居中，可得：a < 8.25 < a+1.5，解得6.75 < a < 8.25，则5.75 < a-1 < 7.25，排除
A、D选项。
该骑手第一日完成 30单时收益247.5元，第二日完成40单时收益315元，相差40-30=10单，
收益相差315-247.5=67.5元，由题意可知这10单中每单收益可以分为（a+1.5）和（a-1）两
类。
设这10单中每单收益（a+1.5）元的有x单，则每单收益（a-1）元的有（10-x）单。代入选项
验证：
B 项：若 a-1=6 元，则 a+1.5=6+1+1.5=8.5 元。8.5x+6（10-x）=67.5，解得 x=3，满足条件。
C 项：若 a-1=7 元，则 a+1.5=7+1+1.5=9.5 元。9.5x+7（10-x）=67.5，解得 x=-1，不符合题
意，排除。
故正确答案为B
19．C
【解析】小朗从一号门跑到两人迎面相遇的位置用时6分钟，小峰从两人迎面相遇的位置跑到一号
门用时 5 分钟，根据“路程相同，速度与时间成反比”，则 ，设小朗速度为 5v，
小峰速度为6v。小朗跑到三号门时，小峰距离三号门还有 180米，且小峰又经过6分钟追上小
朗，根据追及公式 ，可列式：180=（6v-5v）×6，解得v=30米/分钟，则小朗速
度为5v=5×30=150米/分钟=9千米/小时。
故正确答案为C
20．D
【解析】赋值甲、乙两个圆柱容器底面积分别为 、 ，设两个容器注入的液体体积均为
。根据题意，变化后两个容器内液体高度相等，故两个容器内液体体积之比等于底面积
35之比，即 ，解得x=36。则甲容器液面上升高
度为 cm，甲容器液面最终高度为12+7=19cm。
故正确答案为D
21．B
【解析】直接代入法。代入A项，则长为 米，宽为 米，面积为 平方米；代入
B项，则长为100，宽为 50，面积为5000 平方米；代入C项，则长为 米，宽为 ，面积
为 平方米；代入D项，则长为 ，宽为 ，面积为 平方米。
B项所对应的面积最大。
故正确答案为 B
22．C
【解析】连接AB，交公路L于点E。根据两点之间线段最短，垃圾站建在E点，此时距离 A、B两
个村庄距离和最短。因 ， ，可知 ，则
，又 ，解得 ，故应建在离C处2公里位置。
故正确答案为C
23．B
【解析】根据题意，赋值该圆柱零件高为 2，则底面半径为 3，
；切割后单个部分如图所示，其黑色面积
， 其 白 色 面 积
，则所求倍数为 倍，
36在B项范围内。
故正确答案为B
24．D
【解析】几何问题。
如下图所示，扇形 GEF与AC相切于点H，连接GH，则GH⊥AC，且三角形GEF为正三角形，则
GE=GF=EF=GH=AB，即三角形GEF的边长与正方形ABDC的边长相等。已知SABCD=25，则
EF=AB=5cm，S△GEF= 。由于正三角形内角为60°，S扇形GEF=
，则所求钻头的截面积=3×（S扇形GEF-S△GEF）+S△GEF=3×
（ ）+ （ ）cm2。
故正确答案为D
25．C
【解析】
由题意可得，总降雨量为圆锥 CDE 的体积，所求日降雨量 w 为直径 300mm 圆柱的高。如图，
，所以 ，由此可得 mm，总降雨量
。则 ，求得 mm，
37在中雨范围内。
故正确答案为C
26．B
【解析】方程法。假设每人每天效率为1，甲需要X 天，则乙需要 天，5 人负责甲社区、2人
负责乙社区，则甲总量为 5X，乙总量为 。若3 人负责甲社区、4 人负责乙社区，则乙
社区完成排查后，只需6 人共同工作 4 天就能完成甲社区的排查，可知乙完成排查用时：
，可得： ，X=9。甲总量=45，乙总量=28，需要 天，
至少13 人，原有7 人，需增加 6 人。
故正确答案为B
27．D
【解析】工程问题。甲乙效率相同，则总量和时间成正比，所以 A、B总量比为3：2，根据已知
条件可赋值 ，则 ，甲效率为8，乙效率为4，丙效率
为11，则三人合作 ，则需要27 天。
故正确答案为D
28．B
【解析】工程问题，属于时间类。赋值工作总量为 36（12 和9 的最小公倍数），则甲、乙效率和
为 ，乙、丙效率和为 ，丙、丁效率和为 ，故甲、丁效率和为
甲、丁合作完成这项工程需要的时间为 。
故正确答案为B
29．B
【解析】工程问题。赋值工程总量为30、24、48 的最小公倍数240，则甲的效率为 8，乙的效率
为10，丙的效率为5，若按照甲、乙、丙、……的顺序轮流放水，则每个周期内甲、乙、丙
各工作2 分钟， 分钟为一个周期，一个周期可完成 的工作量，需要
个周期…10，剩余 10的工作量需要甲工作 分钟，那么注满这水池需要
分钟。
故正确答案为B
3830．A
【解析】工程问题。设乙组每小时植树x棵，甲组每小时植树（ 棵，甲乙共植树
。甲组单独工作 2 小时，且甲乙合作1 小时，共植总棵数的 ，即
，解得 ，则两个小组一共植 棵。
故正确答案为A
31．A
【解析】工程问题。
设需增加载重24 吨的汽车 x辆，则可得方程： ，解得 。
故正确答案为A。
32．A
【解析】方法一：根据工程问题中，工程总量一定，效率与时间成反比，可知甲、乙效率比
。设甲的效率为 3a，则乙的效率为4a，当甲加工600 个零件时，乙加工了800 个零件。
设甲、乙共同工作的时间为 x小时，根据题意可列方程： ，解得
，则甲 12 小时完成600 个零件，乙12 小时完成 800 个零件，那么乙 6 小时完成400 个
零件，乙一共工作 小时，则乙总共加工零件的个数是 。
方法二：根据工程问题中，工程总量一定，效率与时间成反比，可知甲、乙效率比
。当甲加工了600 个零件时，乙加工了 800 个零件。已知这批零件乙单独做需要 27 小
时，那么甲乙共同完成的零件相当于乙单独做 小时完成的。设乙单独工作的效率
为 ，则 ，可知 ，因此，乙总共加工零件的个数
是 。
故正确答案为A。
33．D
【解析】工程问题。赋值工作总量为400（50和80 的最小公倍数），则甲的工作效率为
，乙的工作效率为 。设丙的工作效率为x，可列式：
，解得： ，则丙单独完成所需的时间为 天。
故正确答案为D
34．A
【解析】方法一：根据题目给出的效率比，直接赋值三个工程队的效率分别为 6、5、4，并假设丙
队参与A 工程y天，则根据题意可得 6×16＋4y＝5×16＋4×（16－y），解得y＝6。
39方法二：根据题目中的效率比，直接赋值三个工程队的效率分别为 6、5、4，将两工程合在一
起看成整体，则三个工程队一天的工作量为6＋5＋4＝15，因为两项工程同时开工同时结
束，则16 天的总工作量为 15×16＝240，于是 A 工程的工作量为120，其中甲完成的工作量
为6×16＝96，则丙队需要参与 A 工程施工（120-96）÷4＝6 天。
故正确答案为A。
秒杀技：
秒杀技1：将效率比看作份数，甲比乙每天多 1 份，16 天则多16份，而丙一天完成4 份，因
此完成这16 份需要4天，也即丙参与A 工程比参与B工程少4 天，于是参与A 工程的天数为
（16－4）÷2＝6 天。
秒杀技2：由题意知，甲的效率高于乙的效率，因此丙必然在甲中参与天数少于16 天的一
半，也即答案只在 A、B两项中选择，这两个选项中，优先考虑代入A 项验证，符合条件。
故正确答案为A。
35．C
【解析】工程问题。由题意：乙的工效与甲、丙两队合作的工效相等可得：甲＋丙＝乙①，又根
据丙的工效是甲、乙两队合作工效的四分之一可得：甲＋乙＝4 丙②，联立两式得，甲、乙、
丙3 队效率之比为3∶5∶2；则赋值3 个工程队的效率分别为 3、5、2，根据三队合作30个
工作日完成一项工程，可得工作总量为（3＋5＋2）×30＝300；则甲单独来做，需要300÷3
＝100 个工作日。
故正确答案为C
36．A
【解析】根据题意，设总工程量为20（20 和10 的公倍数），则甲、乙工作效率分别为1、2，甲
乙循环挖隧道时，每一次循环（2 天）的工作量为 3，因为 ， 则6次循环（12 天）
后，剩余工程量为 ，此时轮到甲继续工作 1 天后，还需要乙工作半天，故总天
数为 天。
故正确答案为A。
37．B
【解析】工程问题。设甲每小时完成x个，则乙每小时完成3x个，甲社团开始工作3 小时后，乙
社团才开始工作，但比甲社团推迟 20 分钟完成任务，由此可知甲比乙多干： 小时，
则可列方程： ，解得 ，则 ，即乙每小时完成60 个。
40故正确答案为B。
38．B
【解析】根据题意可知，甲工作效率提升前与提升后效率之比为 。总量相同，效率
与时间成反比，则时间之比为 6：5。提升后比提升前时间少了 1 份，又已知工作提前 2 天完
工，所以 ，可知甲提升前、后完成时间分别为12 天、10 天。
同理，乙降低效率前与降低后效率之比为 ，则时间之比为 。降低后比降低
前多了一份，又已知延后2 天完工，所以 ，可知降低前、后时间分别为 6 天、8
天。
甲单独完工需12 天，乙单独需 6 天，12 和6 的最小公倍数12 为工作总量，则效率分别为
， 。故甲乙合作时间=总量/效率和= 天。
故正确答案为B。
39．D
【解析】方法一：赋值工作总量为5、18、90的最小公倍数90，由三人合作3 天完成总量的 可
得，甲、乙、丙三人效率之和为 ；第四天甲、乙完成总量的 为 ；第五天乙完成
总量的 为 。此时剩余总量为 ，三人还需 天，总工期为
天。
方法二：由三人合作3 天完成总量的 可知，若三人合作15 天可完成总量，现第四、五天均
有人未参与工作，则实际完工时间应长于 15天，只有D 项符合，当选。
故正确答案为D。
40．B
【解析】工程问题。1小时＝60 分钟，1 小时 20 分＝80 分钟，赋值总工程量为 240（60、80 的最
小公倍数），甲、乙、丙合作效率为 ，甲、乙合作效率为： ，所以丙效率为
4－3＝1，丙单独灌满一池水需要 分钟＝4 小时。
故正确答案为B
41．C
【解析】行程问题。设AB两点间跑到的长度是S。甲乙第1 次相遇走S，甲走了1000m，两人第
三次相遇，共走 5S，则甲走5000m；甲到达 B点2 次，则甲走的路程为 ，解
得 。
故正确答案为C
4142．D
【解析】设树的高度为 ，甲、乙两蜗牛相遇时，甲的位置是离树顶 树高处，则乙的位置是离地
面 的高处。两个蜗牛的速度相等，在相等的时间内爬的距离相等，因此甲蜗牛爬过的距离为
，乙蜗牛爬过的距离为 ，则 ，解得 尺。
故正确答案为D。
43．D
【解析】行程问题。根据题目可知，甲从 9 时到13 时，经过4 小时到达中点，根据速度 ，
所以甲的速度为 千米/小时。乙从10 时到13时经过3 小时到达中点，所以乙的速
度为 千米/小时。那么从9 时到11 时经过了2 小时，此时两车相距等于总路程减
去两车已经走的距离： 千米。
故正确答案为D
44．C
【解析】由甲跑步的速度是乙步行速度的 2.5倍，赋值，乙的速度为12，则甲跑步的速度为 30，
休息时速度为0，代入选项，得到下表：
从表中可以看出，14：30 分甲就可以追上乙。
故正确答案为C。
45．C
【解析】行程问题。根据“小赵小钱小孙的速度之比为 1：2:3”，赋值小赵速度为 1，小钱速度
为2，小孙速度为3。则小赵小钱出发后 10分钟，小赵已走路程： ，小钱已走路
42程： 。为了节省时间要先追速度快的小钱。根据追击时间 ，追及的距离
为20，则追击时间为 分钟。接着返回追小赵，小赵此时又行走了 ，则追及
的距离为 ，则追击时间为 分钟。这时小孙返回乙地，需要时间为
分钟。故小孙从乙地出发到把介绍信送到后返回乙地最少需要 分
钟。
故正确答案为C。
46．D
【解析】根据题意，可知甲的速度可转化为 450 米/分，“甲每骑5分钟休息1 分钟”，即以6 分
钟为一个周期，一个周期内行驶 米，乙6 分钟行驶 米，可推出
一个周期甲可追上乙 米，由于甲追上乙的最后一个周期不休息，乙只行驶
5 分钟，所以1650 米需要 个周期，共需要 分钟。
故正确答案为D。
47．D
【解析】行程问题。由题意：甲车的速度是乙车的 ，则赋值乙车速度为3，甲车速度为2；两车
开出6 小时后相遇，可得A、B两地之间路程为（2＋3）×6＝30，则甲、乙走完全程分别需
要30÷2＝15（小时）、30÷3＝10（小时）；则甲比乙晚15－10＝5 小时。
故正确答案为D
48．C
【解析】由于水速为2米/秒，所以顺行时候甲船速度是 8 米/秒，乙船速度是6 米/秒。逆行时候
甲船速度是4 米/秒，乙船速度是2 米/秒。甲乙的两次相遇分别在甲船第一次返回和甲船第
二次顺行途中，甲第一次返回原地花费时间为 秒，此时乙到达对岸，逆
水往回走，两船距离 米，再次相遇需要的时间为
。所以总时间为 秒。
故正确答案为C。
49．D
【解析】设船在静水中的速度为 ，即 。 ，推出 ；
，推出 ；两个方程两个未知数，联立方程，
，那么 。
故正确答案为D。
4350．B
【解析】设甲乙两地相距 千米，则相遇时 A 所走的路程为 千米，B所走的路程为 千
米。A、B二人同时出发，相遇时所用时间相同，因此，路程和速度成正比。可得：
，解得 千米。
故正确答案为B。
51．B
【解析】行程问题。根据题意去时走的路程为 25、30、35、……、25；回时走的路程为 35、
40、……、30；往返路程相同，去除相同部分30、35、……，可知回时倒数第二天路程为
（公里），则甲乙两地相距 （公里）。
故正确答案为B
52．B
【解析】方法一：题目的关键在于第一次相遇，两人游过长度之和为泳池长，之后每次相遇，都
需要两人再游过两个泳池长。两人一起游一个泳池长，所需时间为 30÷（37.5＋52.5）×60
＝20 秒，因此两人分别在 20 秒时、60 秒时、100 秒时相遇，共相遇 3 次。
方法二：关键点同方法一。直接求出 1 分50秒两人合起来游过的距离为（37.5＋52.5）
×110÷60＝165 米，为5.5 个泳池长。而两人相遇时都恰是合起来游过距离为奇数个泳池长
时，也即两人分别在合游1 个、3 个、5 个泳池长时相遇，故共相遇 3 次。
方法三：套用公式。先看迎面相遇， ，得 ，即有3 次迎面相
遇；公式：两运动体从两端同时出发，相向而行，不断往返；第N 次迎面相遇，两运动体路
程和＝全程×（2N－1）；
故正确答案为B。
53．A
【解析】行程问题。由题意知，总路程为 10公里（即10000 米），甲乙两班的速度分别为每分钟
250 米和200 米，则甲、乙原计划到达目的地的时间分别为10000÷250＝40 分钟、
10000÷200＝50 分钟，根据题意最后乙班比甲班先到达目的地，则甲班实际用时超过 50分
钟。题目问到甲班在军途中至少看到几次，优先从最小数据的选项代入。代入 A 选项，甲班
向后行军 6 次，后退路程如下表：
44则甲走完后退的路程用时1050÷250＝4.2 分钟，共用时 40＋6＋4.2＞50 分钟，符合题意。
故正确答案为A。
54．B
【解析】行程问题。在往返过程中总上坡与总下坡的距离相等。由等距离平均速度公式，往返过
程中，上下坡的平均速度 ，与平路的速度相等，故往返全程的平均
速度为20。
故正确答案为B
55．A
【解析】行程问题。每小时甲比乙多走 公里，甲、乙两人相遇时，距离A、B两地的中点刚
好为1 公里，则甲比乙多走了2 公里。所以相遇时，两人走了 小时，则
。故当甲走到B地时，乙距离A 地的路程＝ 公
里，则乙还需 小时 分钟。
故正确答案为A
56．A
【解析】“获得1 票以上者方可进入下一轮”，意为必须拿到两票或两票以上才能进入下一轮。
每一位嘉宾的投票均包括给票或不给票两种可能，则：
获得两票的概率为： × × × ＝ ；获得三票的概率为： × × ＝ 。则进入下一轮的概
率为： ＋ ＝ 。
故正确答案为A。
57．B
【解析】根据题意，若某人的检查结果为阳性，包含两种情况：①真患有肝癌；②未患有肝癌。
真患有肝癌且阳性概率为 0.04%×99%，未患有肝癌且阳性概率为（1-0.04%）（1-99.9%）
=99.96%×0.1%，故所求为 ，与B项最接近。
故正确答案为B。
58．D
【解析】概率问题。首先在6 人中随机选取1人，概率为1，剩下的5 人中只有4 人可与其一组，
45则第一组两人来自不同单位的概率为 ；再在4 人中随机选取1 人，概率为1，剩下
的3 人只有2 人可与其一组，则第二组两人来自不同单位的概率为 ；最后一组的两
人一定来自不同单位，因此每组成员均来自不同单位的概率为 。
故正确答案为D
59．A
【解析】概率问题。同一家公司中标，可以是第一家，第二家，……，第五家，故满足要求的情
况数为 5，所有随机的情况数为 ，因此，概率＝ 故正确答案为A
60．A
【解析】概率问题。由甲科室4 人，男性比女性少2 人，可知甲科室有男1 人，女3 人；由乙科
室5 人，女性比男性少1 人可知，乙科室有男 3 人、女2 人。抽调出同性别的情况有两类
（1）全是男性，概率为 ；（2）全是女性，概率为 。抽调出的人是同
性别的概率是 。
故正确答案为A
61．B
【解析】概率问题。小王抽取的卡片数字为 3 和9，二者之商为3，小张要在剩下的卡片中抽出两
张卡片数字之商大于 3，有以下两种情况：当抽取的其中一张卡片数字为1 时，另一张卡片可
以为：4、5、6、7、8、10，共6 种情况；当抽取的其中一张卡片数字为2 时，另一张卡片可
以为：7、8、10，共3种情况；在剩下的 8 张卡片中随机抽取2 张，共 种情况。故
小张的计算结果大于小王的概率为： 。
故正确答案为B
62．C
【解析】概率问题。要想组成的数是偶数，则个位数字必然为偶数，所以这道题相当于在问个位
数字是偶数的概率，一共 5 张卡片，满足偶数的有2 张，所以个位数字为偶数的概率 。
故正确答案为C
63．C
【解析】概率问题。取出一个黑球，则袋中黑球占总数的 ，列式 ；由取出两个白
球，则袋中白球占总数的 ，列式 ，联立方程解得 ， 。则抽出的3 个
46球有且仅有一个黑球的概率为： 。（新思路：总数是7 的倍数加1，总数减2 同
时是3 的倍数，代入7的倍数，总数为 8 时不满足，总数为29 时满足情况，则总数为
29。）
故正确答案为C
64．C
【解析】概率 。总情况数 种。符合情况数分情况看：
第一次摸到编号为1 的球，则第二次摸到编号为0 的球可获奖，共1种；
第一次摸到编号为2 的球，则第二次摸到编号为0、1 的球可获奖，共 2 种；
第一次摸到编号为3 的球，则第二次摸到编号为0、1、2 的球可获奖，共 3 种；
第一次摸到编号为4 的球，则第二次摸到编号为0、1、2、3 的球可获奖，共4 种；
依次类推......
第一次摸到编号为9 的球，则第二次摸到编号0-8 的球可获奖，共 9 种。
故符合情况数一共有 种，则抽奖顾客获奖概率 。
故正确答案为C。
65．D
【解析】根据公式，概率= 。总情况为12 名学员随机选2 名，共有 种情
况；满足要求的情况为 5 名男生中选1 名有 种情况、7 名女生中选1 名有 种情况，分步
用乘法，共有 种情况。则概率= 。
故正确答案为D。
66．B
【解析】第一步，本题考查概率问题，属于基本概率。
第二步，设女性有x人，根据选出2 人全为女性的概率为 ，可得 ，解得x＝6。
第三步，选出3 人全为女性的概率为 ≈16．7%。
故正确答案为B
67．A
【解析】10 个人就座，可按人头逐个进行安排，即分步考虑。就座分顺时针与逆时针，概率相
同。以顺时针为例，先任挑一人就座，然后从剩余人员中选出其配偶挨其坐下，概率为 ；再
在剩余中任挑一人就座，然后从剩余人员中选出其配偶挨其坐下，概率为 ；如此继续，依次
47得概率为 、 ；因此总概率为 。考虑到顺时针与逆时针，总概率为 ≈ 。
故正确答案为A。
68．A
【解析】概率问题。概率 总情况数是小李和小王分别在50 题中选择2 道不作答，有
种，满足情况数是他们未作答的两道题相同，有 种，则所
求概率为 。
故正确答案为A
69．A
【解析】概率 。不放回的依次随机取出3 个小球，总的情况数为
种；要求取出的小球依次是黑色、红色、白色的情况数为 种，则取出
的小球依次是黑色，红色，白色的概率为 。
故正确答案为A。
70．D
【解析】枚举法。设这三门课程分别为甲、乙、丙，则三门课程优秀的人数分别为 5、10、8。不
及格的人数分别为 6、9、5。一个学生，对于一门课程而言，只有三种情况，具体列表如下：
很容易得到，在该班级任选一名学生，至少有一门课程优秀且至少有一门课程不及格的情况
最多有20 种 ，所以最大概率为 。
故正确答案为D
71．C
【解析】经济利润问题。 ，设定价为 ，降价20%，则降价后的价格为
根据获得进价52%的利润可得： ， 。
故正确答案为C
72．A
【解析】经济利润问题。由64G存储器的成本是256G存储器的一半，设 64G存储器的成本是 ，
48则256G存储器的成本是 ，其他成本均为 ，成本总计 ， 。销售一台256G
手机的利润比 64G手机高150 元，所以 ，解得 。可计算
出64G手机利润为 ，256G手机利润 。
那么销售64G和256G手机各10 万台，利润为 （万元）。
故正确答案为A
73．D
【解析】十字交叉法。根据公式成本 ，所以甲品种成本 ，则甲品种的
利润 元；根据题目，一份甲有3 千克A 食物、1 千克B食物、1 千克C食物可
得： ， 元，化简得到 （元），根据题目，一份乙有 1 千克A 食
物、2 千克B食物、2 千克C食物，所以每份乙品种的成本为A＋2B＋2C
（元）。两种品种的总利润率可以由甲、乙两品种的利润率混合而来，考虑运用十字交叉法
来解决。设甲、乙品种的销售份数分别为x、y，根据十字交叉法差值之比等于两个分数的分
母之比，利润率混合之后得到的是总成本之比，可得：
，所以 ，解得 。
故正确答案为D
74．C
【解析】经济利润问题。设提升了 个档次，总利润为 。 ，令
；
令 。
故正确答案为C。
75．C
【解析】统筹问题。设生产甲产品x件，生产乙产品y件时，获得的利润最大。可列方程组：
，联立解得， 。当y取17 时，x最大可取57，此时总利润为
，当y取18 时，x最大可取55，此时总利润为
，所以y取17，x取57 时，总利润最大，为85900 元。
故正确答案为C
4976．A
【解析】方法一：一元二次函数法。设利润为 元，降价 元，则多订购 套。根据题意，得
，令 ，解得 ，
。当 时，y取得最大值，此时套数为 。
方法二：倍数法。“如果每套座垫的售价每降低 2 元，就多订购6 套”，则多订购的套数也
必然是6 的倍数，由于120 是6 的倍数，故最终的套数一定是6 的倍数，结合选项可直接选
A。
故正确答案为A。
77．C
【解析】经济利润问题。假设活动前甲乙的销售量都为 10 套，则活动期间甲销售 ，乙
销售x套。活动期间， ，乙的总利
润为37.5x，由甲乙利润相同可得 ，解得 。活动前乙卖10 套，活动期间乙卖
套，则乙销量减少了（ ） 。
故正确答案为C
78．B
【解析】设手机原来进价为 元，由进价、利润率和售价的关系，列表如下：
根据“售价减少25 元”，列方程： ，解得 ，
则这部手机卖了 元。
故正确答案为B。
79．D
【解析】经济利润问题。设该款手机的成本价为 n，总利润为m 赋值原来的销量为1，所以现在销
量为2，根据总利润=单件利润×销量可列式 ，
，联立两个方程，解得 。
故正确答案为D
80．C
50【解析】经济利润问题。赋值小米、糯米和红豆的混合量分别为 7、6 和5，则混合后的杂粮粥原
料成本为 。根据 ，要想毛利润额在采购金额的20%到
30%，则售价约在 至 ，即7.2 至7.8 之间，只有 C项7.4 满足条件。
故正确答案为C
81．C
【解析】设批发商购买了 公斤芒果，因 的芒果因故无法出售，故只售出了
的芒果，即只售出了 公斤芒果。
，解得 公斤，则批发商购买了 公斤芒果。
故正确答案为C。
82．D
【解析】假定A 的利润为 ，B的利润为 ，则由题意可以列出以下方程： ，解得
。
故正确答案为D。
83．B
【解析】经济利润问题。赋值原价是10，第一天的销量为 1，则售价每天下降 ，成本
为 。
这6 天的总利润为 ，总成本为 ，那么总利
润是总成本的 ，介于10%—20%之间。
故正确答案为B
84．C
【解析】经济利润问题。由于单件B款服装进价为A 款的75%，则设单件A 款服装进价4X，单件
51B款服装进价3X，则单件B款服装定价为 4.8X，单件B款服装利润为1.8X，单件A 款服装
利润为3.6X，单件A款服装定价为7.6X；现以定价销售 A 服装的总销售额超过2500 元，则
销售量为 ，想要销量少，则X 应取最大值，因购入一百多件A 款服装，其单件进价为整
数元，总进价为1 万元，则X 最大为20，那么销量最少为 ，问最少往大取，则
最少为17 件。
故正确答案为C
85．B
【解析】代入排除法。代入A 选项，时间为5 年，每年的维护费用分别为1100、1500、1900、
2300、2700，那么维护费用共计 元，利润为
元，不符合题意，排除；代入B选项，时间为6 年，
第6 年的维护费用为3100 元，收益为9100元，其他成本不变则第6 年利润为
元，则总利润为 元，符合题意。
故正确答案为B
86．B
【解析】几何问题。原来共有 个小正方体。每一个灰色部分对应被挖去 4 个小正方
体，共挖去 个；两个灰色“贯穿”重复一次，共6 个，三个灰色“贯穿”重复两次，
共 个，故挖去 个，则剩下 个。
故正确答案为B
87．C
【解析】几何问题。半径最大为1.5cm，则可以进行如图所示切割，A、B为圆心，CF、AE 过球心
且垂直于边，AC⊥FC，AE、BF 分别是两个球的半径。 。因为 ，所以
。△ABC是直角三角形，则 ，代入数据：
，AC= 。最左侧一个半球的宽度为0.75，最右侧一个半球的宽度为0.75，那么
中间剩长度有多少 √2AC中间就有多少个球，可列式： ≈13.1，也就是中间可以切割
13 个球，在加上两端的两个半球可以组成一个完整的球，一共可以切割 个球。
故正确答案为C。
88．B
52【解析】
如图，连接AM、AN、BM、BN、CM、DM，则游客在 A、B、C、D 四处位置的观察视角分析
如下：
A 点，由于MN 长度等于湖的半径，则 MN=AM=AN， 是等边三角形，故
；
B点， 、 分别为弧MN 的圆周角、圆心角。根据圆周角定理“同弧所对的圆周
角等于它所对的圆心角的一半”，则 ；
C点， 也为弧MN 的圆周角，则 ；
D 点，由于 、 ，则 ， ；在直角 中，AN＞
ND，由于MN=AN，则MN＞ND， ，故 。
综上，在A、B、C、D 这四处位置，游客的观察视角大于 的有A 点和D 点，共2 处。
故正确答案为B。
89．A
【解析】方程法。若将圆柱形木头商的金皮卷沿垂直于地面的方向用小刀划开并展开，会发现此
时金皮呈一长方体状，长方体的长为圆金皮包卷的周长，宽为原金皮包卷的厚度，高为原金
皮包卷的高。同一金皮，由于密度相同，质量与体积呈正比，即满足
，由此可知金皮实际体积 立方厘米。长方体
的体积 ，那么长方体的宽（金皮的厚度）
厘米，即0.25 毫米。
故正确答案为A
90．C
【解析】几何问题。形状没有发生变化边长比的立法等于体积之比，
，浮出水面的上高为 。
故正确答案为C
5391．D
【解析】几何问题。窗户面积等于半圆面积和矩形面积，设总面积为 S，圆的半径为r，则矩形的
宽为2r，矩形的长为y，因为总长度为 27，可得 ，化简得
，则
，当
，S 最大，则 。
故正确答案为D
92．A
【解析】几何问题。设同时被两个洒水器洒到水的区域（灰色）面积为 x平方米（以下称灰色区
域）。根据题意，正方形草坪边长为 8 米，洒水器的洒水半径为2 米，可得该正方形草坪面
积为 平方米，每个洒水器洒水的面积为 平方米。根据图形之间的交叉关系可
知，没有洒到水的区域（黑色）面积 正方形草坪面积-（5 个洒水器洒水区域总面积-灰色
区域面积） 平方米。则灰色区域面积减去黑色区域面积的差值
为 平方米，即小不到5 平方米。
故正确答案为A
93．C
【解析】几何问题。以O为圆心，OQ为半径作圆，可得如下图，因此可得：在跑道上有且仅有一
点Q与O点距离最远，即有且仅有一点光照强度最低，观察选项，A、B、D 项均有多个最低
点，则只有C项满足。
故正确答案为C
94．C
【解析】几何问题。将图形进行割补，可得如下图型，即只需计算一个完整扇形以及一部分圆环
即可，扇形及圆环的夹角均为 ，则扇形面积为 ，圆环部分为
，则阴影部分面积为 。
54故正确答案为C ′
95．D
【解析】几何问题。赋值 ，由图1 可知，∠CPQ为30°，则 ，那么正方形
ABCD 的面积为 ；由图2 可知，变形后CP 长度不变，依然为 2，而∠C′PQ′
变为60°，则C′Q′= ，A′C′=B′D′= ，那么正方形 的面积为 ×A′C′×B′D′=6，所以
1
第二次伞撑开后形成 √ 的3正方 2√ 是3第一次撑开后正方形ABCD 面积2的3 倍。
故正确答案为D
96．A
【解析】排列组合问题。先从6 个人中选出1个人去甲，有 种情况；再从剩下5 个人中选出
2 个人去乙，有 种；剩下3 人去丙只有1 种方法，故总的情况数为 种。
故正确答案为A
97．B
【解析】排列组合。计划运动时间为60 分钟到 120 分钟包含60 与120，5 类项目时间为30、30、
40、60、90 每个项目限选一次且最多可以选择三项，选一项的有60 与90 两个满足，选两项
的是 （90 与60、90 与40 不满足），选三项的有（30，30，40）和（30，30，60）
两项满足，则一共 种满足方式。
故正确答案为B
98．B
【解析】枚举法。张师傅某时段维修工时费共收入 15 元，可按从大往小的顺序进行枚举，
55共五种情况。
故正确答案为B。
99．B
【解析】排列组合问题。前面的字母有 种，后面数字的乘积是320 的倍数， ，
如果是一倍则可分为2、4、5、8，如果是两倍无法分成四个数乘积，如果是三倍可分为 4、
5、6、8。则密码共有 种。
故正确答案为B
100．C
【解析】排列组合问题。丙组只能从事防疫协助工作，那么可以分成两种情况：（1）要么丙没有
被挑出来：由于甲、乙不能从事英语翻译，那么英语翻译只能从甲、乙、丙外的 3 个人里挑1
个人来从事，即 3 种可能；同时剩下的3 个工作从除英语翻译及丙之外的4 个人中挑选，有
种可能，即丙没被挑出来共有 种可能；（2）要么丙被挑选出来从事防疫协助
工作，同样由于甲、乙不能从事英语翻译，那么英语翻译只能从甲、乙、丙外的 3 个人里挑1
个人来从事，即 3 种可能；同时剩下的嘉宾引导和物资发放两个工作有剩下的 4 个人中挑
选，共有 种可能，即丙被挑选出来从事防协助工作共有 36 种可能。“要么……
要么……”用加法，一共有 种可能。
故正确答案为C
101．C
【解析】排列组合相关问题。根据题干，若每项课程都先消费 1 次，将消费
元，此时充值卡内剩余 元，题干要求将充值卡内余
额恰好用完无剩余，故消费组合的总情况较少，对情况进行枚举可得：
56综上可知，小李消费这4 项课程的组合共有5 种不同的可能。
故正确答案为C
102．D
【解析】第一步，本题考查排列组合问题，属于其他排列组合。
第二步，公交车运营路线整理如图所示，换乘方案可分以下两类：
。分阶段分析：（1）第一阶段：A—B过程乘车方式有4 种。（2）第二阶段：①B—D 乘车方
案有1 种；②B—C—D 乘车方案有4×3=12（种）。其中，坐 B线路第10 站换乘C又在第10
站换乘D 显然不合常理，合理的乘车方案只有11 种。
第三步，总的乘车方案数为4×（1+11）=48（种）。
故正确答案为D
103．D
【解析】排列组合问题。每个主题的嘉宾发言次序必须相邻，有 。
故正确答案为D
104．B
【解析】排列组合问题。小刘报名方式有两种：要么参加一场，有 种选法；要么参加两
57场：有 种选法。要么要么用加法，所以报名方式共有 种。
故正确答案为B
105．B
【解析】排列组合问题。根据题意AB企业要求在相邻的时间内作报告，先将 AB捆绑，有
种；CDE 企业的前后顺序为 DCE，此时形成4个空位，再将AB插入4 个空隙中，有4 种方
式；此时形成5 个空位，F 企业要求不能第一个也不能最后一个，则在剩余的3 个空隙中选择
一个，有 3 种。“先……再……”用乘法，不同的安排方式共有 种。
故正确答案为B。
106．C
【解析】方程法。假设重新分配之后四个小组人数相等时为 x人，则原来第一、二、三、四组人
数分别为： 人、 人、 人、 人，根据分配之后的总人数比之前总人数多 2 人，
有：x ，解得： ，则原来第一、二、三、四组人数分别为 4，
15，7，28 人，则原先人数最多的小组与人数最少的小组之间相差： 人。
故正确答案为C
107．C
【解析】盈亏问题。由题意可知：如果每个城管驿站服务 80 人，那么有 1080 名户外作业人员无
法得到服务；如果每个城管驿站服务 100 人，那么就有四个驿站空置。根据盈亏问题公式：
份数＝ ，则该城市共有城管驿站 个， ；
要想满足每个城管驿站服务的人尽量少，则所有户外作业人员尽量均分，故每个城管驿站要
服务 人，问至少往多取，则至少服务95 人。
故正确答案为C
108．B
【解析】方程法。根据题意，设现有电动公交车 x量，柴油公交车y 量，则根据碳排放量可得方
程： ，解得 ，即电动公交车占比为 。
故正确答案为B
109．C
【解析】牛吃草问题。由题意可知，30 分钟后，已疏导 辆，新进入200 辆，即此时有
车200 辆，且此后每分钟进入3 辆。设还需 x分钟疏通完所有车辆，根据牛吃草问题列式：
，解得 分钟，则共需要 分钟道路基本疏通。
58故正确答案为C
110．B
【解析】鸡兔同笼。150 元不变放在快递柜是0.8 元，单独派件1 元，
。
故正确答案为B
111．D
【解析】直接代入法。 是两组数的距离故直接代入选项A 是12、B是14、C是 16、D
是18。
故正确答案为D
112．B
【解析】构造法。设 C库房X 台，B库房为X+2 台，A 库房为X+6 台，则 ，解得：
X=8，A 有14 台，B有10 台，C有8 台，三个部门一共有 台，想要分的部门
多，让每个部门电脑尽可能少些，则先给每个部门分1、2、3、4、5、6、7 分给7 个部门共
28 台电脑，还剩4 台无法再给新单位分，则最多分 7 个单位。
故正确答案为B
113．C
【解析】构造法。本题考查最值问题，属于数列构造。在总分一定的前提下，要使得最低分最
少，那么其他人的得分应尽可能的多。设最低分为 x分，已知最高分21 分，那么剩余三人的
得分应该分别为 20、19、18。根据总分可列方程 ，解得 ，即最低
分至少是13 分。
故正确答案为C
114．C
【解析】构造法。假设“预中标价”为m，各报价为a1、a2、……、an，则“预中标价”与报价
数之差的平方和为
… ，由二次函
数求最值原理可知，当 m 为各报价的平均数时，平方和最小。故“预中标价”为
。
故正确答案为C
115．D
59【解析】如果打折，则买360 元的产品只需 ，所以采用满300 返 180
元更好；
打折买220 元的产品只需 ，采用满200 返 100元更好；
买150 元的产品，打折只需 元，采用打折更好。
所以最少需要 元。
故正确答案为D。
116．C
【解析】根据容斥原理两集合公式 ，
，得出 人。
故正确答案为C。
117．D
【解析】设对甲、乙都满意的人数为 。由题意可知，对甲满意的人数为 人，对乙满意的
人数为 人，对甲、乙都不满意的人数为 人。根据两集合容斥原理的公式：
总数 都不，代入数据得： ，解得 。
故正确答案为D。
118．C
【解析】设班内既是全运会志愿者又是奥运会志愿者的同学有 人，根据两集合容斥原理公式：
，可得： ，解得 。则班内是全运
会志愿者而非奥运会志愿者的同学为 人。
故正确答案为C。
119．C
【解析】容斥问题。设三种组织均参加的人数为 ，根据条件得：由总人数为72，有
，解得 ，则参加学校法律援助协会的有 （人）。
故正确答案为C
120．A
【解析】参加国家级竞赛的人数为 ，两个级别的竞赛都参加过的人数为 。设参
加过省级竞赛的会员人数是 人，由两集合容斥原理可知， ，解得
。
故正确答案为A。
60121．C
【解析】方程法。设2020 年李某工龄为X，则李某年龄为 4X，是张某年龄 ，则张某年龄6X，
2024 年张某年龄 ，则张某2024 年工龄 ，2020 年工龄 ，张某参加工作时李某
10 岁，则张某的工龄-李某年龄 ， ， ，李某参加工作时年龄为
。
故正确答案为C
122．B
【解析】年龄问题。此题采用代入法。A 选项：可以算出李老师出生年份是 ，数字
和为21，不满足条件；B选项：可以算出李老师出生年份是 ，数字和为22，
满足条件李老师在 1994 年的年龄比他出生那一年的年份的各位数字之和大6。
故正确答案为B
123．C
【解析】年龄问题考虑代入排除法。三个人的年龄之积为 2450，对2450 做因式分解得
，没有因子3，则三人年龄均不可能为3 的倍数，排除 A、B两项。三
人年龄之和为 ，代入C项：最大 49 岁，剩余两人年龄之和为 岁，
年龄之积为 ，即两人为5 岁和10 岁，满足题意，当选。
故正确答案为C。
124．A
【解析】四年前家庭里所有的人的年龄总和是 58 岁，则四年后家庭所有成员各长 4 岁，即
岁，而由题目可知是73 岁，比74 少了1 岁，则说明四年前最小的儿子还没
有出生，即最小的儿子现在是 3 岁。
故正确答案为A。
125．C
【解析】年龄问题。设姐姐现在年龄为X 岁，姐姐与妹妹的年龄差是D，则列表如下：
根据题意可得： ，解得 。
故正确答案为C。
61
