2024 年中考第一次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．计算(−5)×2的结果等于（ ）
A．-3 B．3 C．-10 D．10
【答案】C
【分析】根据有理数乘法法则计算．
【详解】解：(-5)×2=-10，
故选：C．
【点睛】本题考查有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键．
2．3tan30°的值等于（ ）
√3 3
A． B． C． D．3√3
3 2
【答案】B
【分析】结合特殊角的三角函数值，进行求解即可．
√3
【详解】解：∵tan30°＝ ，
3
√3
∴原式＝3×
3
＝ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键在于熟练掌握各特殊角的三角函数值．
3．我们伟大的祖国山川秀美，地形多样，幅员辽阔，陆地面积约960万平方千米．把960万用科学记数法
表示为（ ）
A． B．
C．9.6×102
D．
【答案】A【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n ，其中 ，n为整数．
【详解】解：960万=9600000=9.6×106．
故选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中 ，n为整数．确
定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当
原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数，确定a与n的值是解题的关键．
4．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解
答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．该图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；
B．该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意；
C．该图不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
D．该图既是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意；
故选D．
5．如图所示的几何体是由7个相同的小正方体组成的立体图形，则下列四个图形中是它的俯视图的是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：从上面看，底层左边是两个正方形，上层是三个正方形．
故选：Ｄ．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．6．估计√30的值在哪两个整数之间（ ）
A．29和31 B．4和5C．5和6D．6和7
【答案】C
【分析】根据√25＜√30＜√36即可得出结论．
【详解】解：∵25＜30＜36，
∴√25＜√30＜√36，
即5＜√30＜6，
故选：C
【点睛】本题主要考查无理数大小的估算，熟练掌握无理数大小的估算方法是解题的关键．
x2+3x x−5
7．化简 − 的结果是（ ）
x2−9 x−3
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将异分母分式通分，即可化简．
【详解】解：原式
故选：B
【点睛】本题考查异分母分式的减法运算．找到最简公分母进行通分是解题关键．
k2+1
8．已知点A(a,m),B(b,m+1),C(c,m+2)在反比例函数y=− 的图象上，其中−1<m<0，则下列
x
结论正确的是（ ）
A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．b>a>c
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到−(k2+1)<0，则可以判断图象的位于二四象限，再根据
点的纵坐标，判断出具体象限，再根据纵坐标比较出横坐标的关系，即可得到答案．
【详解】解：∵−(k2+1)<0
∴在各自象限内，y随x的增加而增加
∵−1<m<0
∴点A(a,m)在第四象限，点B(b,m+1)和点C(c,m+2)在第二象限，且m<m+1，则a>0，b<c<0∴a>c>b
故选：B．
k
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象是双曲
x
线，掌握反比例函数的性质是解答此题的关键．
9．已知
x
、
x 是一元二次方程x2+x−2=0的两个实数根，则
的值是（ ）
1 2
A．3 B．1 C．−1 D．−3
【答案】D
b
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，掌握“一元二次方程的根与系数关系x +x =− 、
1 2 a
c
x x = ”是解题的关键．
1 2 a
【详解】解：∵x 、x 是一元二次方程x2+x−2=0的两个实数根，
1 2
c −2
x x = = =−2
， 1 2 a 1 ，
∴x +x +x x =−1+(−2)=−3，
1 2 1 2
故选：D
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，两对角线交于点E．若点B的
坐标为(−1,0)，∠BCD=120°，则点E的坐标为（ ）
(1 √3) (3 √2) (1 √3) (2 √3)
A． , B． , C． , D． ,
2 2 5 2 2 3 5 3
【答案】A
【分析】本题考查菱形的性质、30度所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，根据菱形边相等，对角线平分对角，结合∠BCD=120°，得到△ABC为等边三角形，E为AC的中点，利用点B的坐标为(−1,0)，
以及30度所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，推出AB、OA、OC的长度，得出点A、C的坐标即
可解题．
【详解】解：∵在菱形ABCD中，AC、BD为菱形的对角线，且∠BCD=120°，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴△ABC为等边三角形，
又有∠ABE=∠CBE=30°，
∴AE=CE，即E为AC的中点，
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB=30°，
∵点B的坐标为(−1,0)，
∴OB=1，
∴AB=2，
∴OA=√AB2−OB2=√3,即A(0,√3)，
又BC=AB=2，
∴OC=BC−OB=1,即点C的坐标为(1,0)，
(1 √3)
∴E , ．
2 2
故选：A．
11．如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点D为斜边AB上一点，将△BCD绕点C逆时
针旋转90°得到△ACE，则下列说法错误的是（ ）
A．∠EAC=∠B B．△EDC是等腰直角三角形
C．BD2+AD2=CD2D．∠AED=∠ACD
【答案】C
【分析】由AC=BC，∠ACB=90°，可得∠ABC=∠BAC=45°，由旋转的性质可知
∠EAC=∠B=45°，EC=DC，∠ECD=90°，可判定A正确，B正确；根据∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，可得AE2+AD2=DE2，即可得BD2+AD2=2CD2，判断C错误；
由∠EAC=∠B且对顶角相等，可判断D正确．
【详解】解： ，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠BAC=45°．
由旋转的性质可知∠EAC=∠B=45°，EC=DC，∠ECD=90°，
故A正确，不符合题意；
∴△EDC是等腰直角三角形，
故B正确，不符合题意；
∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，DE2=2CD2，
∴AE2+AD2=DE2，
，
∵AE=BD，
，
故C错误，符合题意
∵∠EAC=∠B=∠CDE=45°，且对顶角相等，
∴∠AED=∠ACD，
故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理的应用，熟练掌握相关
知识是解题的关键．
12．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标满足下表∶
x … 0 1 2 3 4 …
y … 8 3 0 m 3 …
下列说法中：①该二次函数的对称轴为直线 ；②a<0；③不等式ax2+bx+c<0的解集为1<x<3；④
方程 有两个不相等的实数根，正确的个数有（ ）个．
ax2+bx+c=8(a≠0)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与方程、不等式的关系．利用待定系数法求得二次函
数解析式，然后利用二次函数的性质，二次函数与方程、不等式的关系逐个进行判断．【详解】由表可知，二次函数 图象经过点 ， ， ，
y=ax2+bx+c(a≠0) (0,3) (1,0) (2,−1)
{
c=3
{
a=1
∴ a+b+c=0 ，解得 b=−4，
4a+2b+c=−1 c=3
∴二次函数为y=x2−4x+3，
∵ ，
y=x2−4x+3=(x−2) 2−1
∴该二次函数的对称轴为直线 ，故①正确；
∵a=1，
∴a>0，故②错误；
把x=3代入二次函数y=x2−4x+3中，得y=32−4×3+3=0，
∴m=0
∵二次函数y=x2−4x+3的图象开口向上，与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)，
∴不等式ax2+bx+c<0的解集为1<x<3，故③正确；
∵方程ax2+bx+c=8即为x2−4x+3=8，
整理为x2−4x−5=0，
解得x =5，x =−1，
1 2
∴方程 有两个不相等的实数根．故④正确．
ax2+bx+c=8(a≠0)
综上所述，说法正确的共有3个．
故选：C
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．
−2x y2 ⋅(−3x3y) 2 =
．
【答案】−18x7 y4/−18 y4x7
【分析】依据积的乘方及同底数的幂的乘法公式进行计算即可．
【详解】解： ，
−2x y2 ⋅(−3x3y) 2 =−2x y2 ⋅9x6 y2=−18x7 y4
故答案为：−18x7 y4．
【点睛】本题考查了积的乘方及同底数的幂的乘法；熟练掌握相关公式是解题的关键．
14．计算：(2√6+5)(2√6−5)= ．【答案】-1
【分析】利用平方差公式计算二次根式的乘法即可得．
【详解】解： ，
(2√6+5)(2√6−5)=(2√6) 2 −52=24−25=−1
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握平方差公式是解题关键．
15．不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、2个绿球和3个黑球，这些球除颜色外其他都相同．从袋
子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ．
2
【答案】
7
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的
比值就是其发生的概率的大小．
【详解】∵不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、2个绿球和3个黑球，
2
∴从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是： ．
7
2
故答案为： ．
7
【点睛】考查了概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，
m
其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
n
16．如果函数y＝(m−3)x+1−m的图象经过第二、三、四象限，那么常数m的取值范围为 ．
【答案】1<m<3
【分析】根据一次函数的性质列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可．
【详解】∵函数y＝(m−3)x+1−m的图象经过第二、三、四象限，
{m−3<0
∴ ，
1−m<0
解得1<m<3．
故答案为：1<m<3
【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y＝kx+b(k≠0)中，当k<0，b<0时，
函数图象经过第二、三、四象限是解答此题的关键．
17．如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB=45°，
延长 交于点M，连接BM，若C为FM中点，BM=10，则FG的长为 ．【答案】4√5
1
【分析】过C点作CH⊥BF于H点，证明△AGB≌△BHC，得出BG=CH，证明CH= GM，根据勾
2
股定理求出GM，根据等腰三角形的判定求出FG=GM即可解决问题．
【详解】解：过C点作CH⊥BF于H点，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，
∵AG⊥BF，CH⊥BF，
∴∠AGB=∠BHC=90°，
∴∠ABG+∠BAG=90°， ，
∴∠BAG=∠FBE，
在△AGB和△BHC中，
∵∠AGB=∠BHC，∠BAG=∠HBC，AB=BC，
∴△AGB≌△BHC(AAS)，
∴BG=CH，
∵C为FM的中点，1
∴CF= MF，
2
∵CH⊥GF，AG⊥BF，
∴CH∥GM，
CH CF 1
∴ = = ，
GM FM 2
1
∴CH= GM，
2
1
∴BG= GM，
2
∵BM=10，∠BGM=90°，
∴BG2+GM2=BM2，
∴BG2+(2BG) 2=102，
解得：BG=2√5，负值舍去，
∴GM=4√5，
∵∠FGM=90°，∠GFM=45°，
∴∠GMF=90°−45°=45°，
∴∠GFM=∠GMF，
∴FG=GM=4√5．
故答案为：4√5．
【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质和正方形的性质，解题的
关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明△AGB≌△BHC．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上，
5
且AB= ．
3
（Ⅰ）线段BC的长等于 ；⏜
（Ⅱ）以BC为直径的半圆与边AC相交于点D，若在 上有一点P，使其满足∠PCD=∠BCD，请用
CD
无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）
．
√82
【答案】 见解析
3
【分析】（Ⅰ）利用勾肌定理计算即可；
（Ⅱ）由BC是圆的直径，得∠BDC=90°，若∠PCD=∠BCD，根据三线合一，可知，点P应在以点C
为顶角的等腰三角形的一腰上，所取格点M、N，使MN∥AC，且两平行线间距离等于点B到AC的距离，
所以等腰三角形另一顶点B'是BD延长线与MN的交点，再连接B'C与圆的交点即是所要求画的点P．
【详解】解：（Ⅰ）由勾股定理，得 ，
√82
故答案为： ；
3
（Ⅱ）如图，取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点B'；连接B'C，与半圆相交于点
P，则点P即为所求．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理及其推论，平行线分线段成比例，解题词关
键是熟练掌握勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理及其推论推论，平行线分线段成比例的应用是解
题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）{3(x−1)≤5x+1,①
19．解不等式组 15−x 请按下列步骤完成解答：
6x+1< ②
2
(1)解不等式①，得__________________；
(2)解不等式②，得__________________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为__________________．
【答案】(1)x≥−2 (2)x<1 (3)见解析(4)−2≤x<1
【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答；
（3）根据在数轴上表示不等式的解集的方法分别画出所求的范围即可；
（4）根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】（1）解：解不等式①：3(x−1)≤5x+1，
3x−3≤5x+1，
3x−5x≤1+3，
−2x≤4，
x≥−2；
故答案为：x≥−2；
15−x
（2）解不等式②：6x+1< ，
2
2(6x+1)<15−x
12x+2<15−x，
12x+x<15−2，
13x<13，
x<1；
故答案为：x<1；
（3）将不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示：（4）由（1）（2）可得，原不等式组的解集为：−2≤x<1；
故答案为：−2≤x<1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的
步骤是解题的关键．
20．某校为了解学生利用课余时间参加义务劳动的情况，随机调查了部分学生参加义务劳动的时间（单位：
h）．根据统计的结果，绘制出如下条形统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为_________；
(2)求统计的这部分学生参加义务劳动时间这组数据的平均数、众数和中位数；
(3)若该校有600名学生参加了义务劳动，估计其中劳动时间超过2.5h的学生人数．
【答案】(1)40人
(2)平均数：3.15h；众数：3.5h；中位数：3.25h；
(3)劳动时间超过2.5h的学生人数约为480人
【分析】（1）根据统计图中的学生参加义务劳动的各个时间点的人数求得本次调查的学生人数；
（2）根据统计图中的数据可以求得这组数据的平均数和众数、中位数；
（3）根据统计图中的数据可以求得该校劳动时间超过2.5h的学生人数．
【详解】（1）解：由条形统计图可知，
4+4+12+16+4=40（人），
所以本次接受随机抽样调查的学生人数为40人；
故答案为：40人；
1
（2）解：¯x= (2×4+2.5×4+3×12+3.5×16+4×4)=3.15h，
40
∴这组数据的平均数是3.15h．
在这组数据中，3.5出现了16次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为3.5h．
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，处于中间的两个数是3，3.5，∴有 h，
∴这组数据的中位数为3.25h．
12+16+4
（3）解：∵在抽取的学生中，劳动时间超过2.5h的学生人数占 ×100%=80%，
40
∴估计该校600名参加义务劳动的学生中劳动时间超过2.5h的学生人数占80%，
即600×80%=480人．
∴该校600名参加义务劳动的学生中劳动时间超过2.5h的学生人数约为480人．
【点睛】本题考查条形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，
利用数形结合的思想解答．
21．随着科技的发展，无人机在实际生活中运用广泛．如图，小明利用无人机测量两栋大楼AB，CD之
间的距离，无人机在空中点O处，测得大楼B的底部点B的俯角为70°，测得大楼CD的顶部点C和底部
点D的俯角分别为30°和60°（其中点A，B，C，D，O均在同一平面内）．已知大楼CD共8层，每层高
度为3m，请根据以上数据计算两栋大楼之间的距离BD的长．（结果精确到0.1m，参考数据：
sin70°=0.94，cos70°=0.34，tan70°=2.75， ）
【答案】33.9m
【分析】如图所示，分别延长BA、DC分别交过点O且与地面平行的直线于G、H，则四边形BDHG是
矩形，证明∠COD=∠CDO得到OC=CD=24m，解Rt△OCH求出CH=12m，OH≈20.76m，则
BG=DH=36m，解Rt△BOG求出OG≈13.09m，则BD=GH=OG+OH≈33.9m，即两栋大楼之间的
距离BD的长约为33.9m．
【详解】解：如图所示，分别延长BA、DC分别交过点O且与地面平行的直线于G、H，则四边形
BDHG是矩形，
∴BG=DH，HG=BD，∠G=∠H=90°，由题意得，∠BOG=70°，∠ODH=30°，∠OCH=60°，
∴∠DOC=∠OCH−∠ODH=30°，
∴∠COD=∠CDO，
∴OC=CD=3×8=24m，
在Rt△OCH中，CH=OC⋅cos∠OCH=12m，OH=OC⋅sin∠OCH=12√3≈20.76m，
∴BG=DH=CD+CH=3×8+12=36m，
BG 36
在Rt△BOG中，OG= = ≈13.09m，
tan∠BOG tan70°
∴BD=GH=OG+OH≈20.76+13.09≈33.9m，
∴两栋大楼之间的距离BD的长约为33.9m．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判断，等腰三角形的判定等等，正确作
出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．在△ABC中，∠C=90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交
AB，AC于点E，F．
(1)如图①，连接AD，若∠CAD=26°，求∠B的大小；
⏜
(2)如图②，若点F为 的中点，⊙O的半径为3，求AB的长．
AD
【答案】(1)∠B=38° (2)9【分析】（1）如图，连接OD，由切线性质得∠ODB=90°，可证OD∥AC，于是
∠CAD=∠ADO=26°，运用外角的性质，得∠BOD=2∠OAD=52°，于是
∠B=90°−∠BOD=38°；
（2）连接OD，OF．则∠AOF=∠FOD．可证△AFO为等边三角形，于是∠CAB=60°，得
∠B=30°，于是OB=2OD=6，AB=9．
【详解】（1）解：如图，连接OD，
∵OA为半径的圆与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=90°，
在△ABC中，∠C=90°，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴∠CAD=∠ADO=26°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=26°，
∴∠BOD=2∠OAD=52°，
∴∠B=90°−∠BOD=38°；
（2）连接OD，OF．
⏜
∵F为 的中点，
AD∴∠AOF=∠FOD．
∵OD∥AC，
∴∠AFO=∠FOD，
∴∠AFO=∠AOF．
∵OA=OF，
∴∠AFO=∠OAF，
∴△AFO为等边三角形，
∴∠CAB=60°，
∴∠B=30°，
∵OD=3，
∴OB=2OD=6，
∴AB=OA+OB=9．
【点睛】本题考查弧、弦、圆心角关系定理，切线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形两锐角
互余；添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
23．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．小明在练习操控航拍无人机，
该型号无人机在上升和下落时的速度相同，设无人机的飞行高度为ym，小明操控无人机的时间为xmin，
结合图象反映了这个过程中ym与xmin之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
无人机飞行的时间/min 0.5 1.5 3 5 7
无人机飞行的高度/m 10 ___________ ___________ ___________ ___________
(2)填空：
①无人机上升的速度为 ___________m/min；
②无人机在第 ___________分钟开始下降的；
(3)当5≤x≤12时，请直接写出y关于x的函数解析式；(4)当无人机距地面的高度为50m时，直接写出x的值．
{ 20x−60(5≤x≤6)
【答案】(1)30，40，40，60 (2)①20，②9 (3)y= 60(6<x≤9) (4)5.5和9.5
−20x+240(9<x≤12)
【分析】（1）根据图象信息即可得到答案；
（2）根据图象信息即可得到答案；
（3）根据图象信息，利用待定系数法即可求得函数解析式；
（4）利用（3）中的函数解析式分别代入即可得到答案．
10
【详解】（1）解：由图象可得：1.5分钟无人机飞行的高度为1.5× =30（m），
0.5
3分钟无人机飞行的高度为40m，
5分钟无人机飞行的高度为40m，
7分钟无人机飞行的高度为60m，
故答案为：30，40，40，60．
40
（2）解：①无人机上升的速度为 =20(m/min())，
2
故答案为：20．
②∵该型号无人机在上升和下落时的速度相同，
60
∴无人机在开始下降的时间是12− =9(min())，
20
故答案为：9．
（3）解：当5≤x≤6时，设 ，
∵图象过(5，40)，(6，60)，
{5k+b=40
∴ ，
6k+b=60
{ k=20
解得 ，
b=−60
∴y=20x−60；
当6＜x≤9时，y=60；
当9＜x≤12时，设y=k'x+b'，
∵图象过(9，60)，(12，0)，{9k'+b'=60
∴ ，
12k'+b'=0
{k'=−20
解得 ，
b'=240
∴y=−20x+240，
{ 20x−60(5≤x≤6)
∴y= 60(6<x≤9) ；
−20x+240(9<x≤12)
（4）解：无人机从40米高度到60米高度的函数关系式为y=20x−60(5≤x≤6)，由20x−60=50，解
得x=5.5，
当无人机下降时，由−20x+240=50，解得x=9.5，
综上所述，无人机距地面的高度为50米时x的值为5.5和9.5．
【点睛】本题考查了从函数图象中获得信息，熟练掌握函数图象在各段所表示的意义是解题的关键．
24．如图①，在平面直角坐标系中，O为原点，已知 ，B(b,0)，且a，b满足关系式：
，现同时将点A，B向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应
点C，D，连接AC，CD，DB．
(1)a=______，b=______，点C的坐标为_________，点D的坐标为_________；
(2)连接 CB，在x轴上是否存在一点P，使得三角形BDP的面积等于三角形ABC面积的 ？若存在，请求
出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
(3)如图②，点M是直线BD上一个动点连接MC，MO，当点M在直线BD上运动时，请直接写出∠OMC
与∠MCD， 的数量关系．(14 ) ( 2 )
【答案】(1)−2，2，(−1,3)，(3,3) (2)存在， ,0 或 − ,0 ，(3)见解析
3 3
{a+2=0
【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的意义得 没从而得出a，b的值，根据平移的性质，进一
a+b=0
步得出结果；
2
（2）根据S = S ，得出 ，结合 ，得出 ，进一步得出结
△BDP 3 △ABC
果；
（3）分为：当点M在BD上时，可延长CM，交x轴于E，可推出 ， ，
从而 ；当点M在BD的延长线上时，设OM交CD于F，可推出 ，
，从而得出 ；当点M在DB的延长线时，设CM交AB于F，
可推出 ， ，从而 ．
【详解】（1）解：由题意得，
{a+2=0
，
a+b=0
{a=−2
，
b=2
∴A(−2,0)，B(2,0)，
∴0+3=3，−2+1=−1，2+1=3，
∴C(−1,3)，D(3,3)，
故答案为：−2，2，(−1,3)，(3,3)；
（2）由题意得，
2
S = S ，
△BDP 3 △ABC
1 2(1 )
BP⋅ℎ = AB⋅ℎ ，
2 BP 3 2 AB
∵AB∥CD，
，
2 8
∴BP= AB= ，
3 3
8 14 8 2
∵2+ = ，2− =− ，
3 3 3 3(14 ) ( 2 )
∴P ,0 ，或 − ,0 ；
3 3
（3）如图，
当点M在BD上时，延长CM，交x轴于E，
，
由平移可得CD∥AE，
，
，
如图2，
当点M在BD的延长线上时，设OM交CD于F，
，
，
，
，
如图3，当点M在DB的延长线时，设CM交AB于F，
∵AB∥CD，
，
，
．
【点睛】本题考查了算术平方根和绝对值的意义，平行线的性质，平面直角坐标系点的坐标平移的特征等
知识，解决问题的关键是分类讨论．
25．在平面直角坐标系中，点O(0,0)，A(−3,0)，B(3,0)．已知抛物线 （a为常数，a≠0），
与y轴相交于点C，P为顶点．
(1)当抛物线过点A时，求该抛物线的顶点P的坐标；
(2)若点P在x轴上方，当∠POB=45°时，求a的值；
(3)在（1）的情况下，连接AC，BC，点E，点F分别是线段CO，BC上的动点，且CE=BF，连接AE，
，求AE+AF最小值，并求此时点E和点F的坐标．
(5 121) 6 ( 2 ) ( 9 40)
【答案】(1)P , (2) (3)AE+AF的最小值为√61，此时E 0, ，F ,
2 24 25 13 13 13
1
【分析】（1）把A(−3,0)代入 ，求得a=− ，从而得出抛物线的解析式为
6
y=−
1
x2+
5
x+4=−
1(
x−
5) 2
+
121
，即可得出抛物线的顶点坐标；
6 6 6 2 24
(5 25a−16)
（2）先求出抛物线 的顶点P的坐标为 ,− ．再点P作PQ⊥x轴于点Q，则
2 4
5 25a−16
．可知PQ=OQ，即 =− ，解之即可求解；
2 4
（3）过点B作A'B⊥x轴，且使得A'B=AC=5，连接A'F，可证得△ACE≌△A'BF，则AE=A'F．所以AE+AF=A'F+AF．当A，A'，F三点共线时，AE+AF取得最小值A A'．由勾股定理可求
( 9 40)
AE+AF的最小值；此时点F是A A'与BC的交点，求出直线A A'与直线BC的交点F , ，则
13 13
CE=BF= √ ( 9 −3 ) 2 + (40 −0 ) 2 = 50 ，所以CF=OC−OF= 3 ．则
13 13 13 2
50 2
OE=OC−CE=OC−BF=4− = ，即可得出点E坐标．
13 13
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点A(−3,0)，
∴0=9a+15a+4，
1
解得a=− ．
6
∴抛物线的解析式为y=−
1
x2+
5
x+4=−
1(
x−
5) 2
+
121
．
6 6 6 2 24
(5 121)
∴该抛物线的顶点为P , ．
2 24
(5 25a−16)
（2）解：∵抛物线 的顶点P的坐标为 ,− ．
2 4
由点P在x轴上方，∠POB=45°时，知点P在第一象限．
过点P作PQ⊥x轴于点Q，
∴ ．
5 25a−16
∴PQ=OQ，即 =− ，
2 4
6
解得a= ．
25
（3）解：由（1）得C(0，4)，
∴OA=OB=3，OC=4，∴ ，BC=√OC2+OB2=5，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
过点B作A'B⊥x轴，且使得A'B=AC=5，连接A'F，
∴∠A'BF+∠CBA=90°=∠CAB+∠ACE，
∴∠A'BF=∠ACE，
又∵CE=BF，
∴△ACE≌△A'BF(SAS)，
∴AE=A'F．
∴AE+AF=A'F+AF．
当A，A'，F三点共线时，AE+AF取得最小值A A'．
∴A A'=√AB2+A'B2=√62+52=√61
∴AE+AF的最小值为√61．
此时点F是A A'与BC的交点，
∵C(0,4)，B(3,0)，设BC的解析式为：y=kx+b，
{ 4
{3k+b=0 k=−
则 ，解得： 3，
b=4
b=4
4
∴直线BC的解析式为y=− x+4，
3
∵A(−3,0)，A'(3,5)，
5 5
∴同理可得：直线A A'的解析式为y= x+ ，
6 24 9
{y=− x+4 {x=
3 13
联立 ，解得 ，
5 5 40
y= x+ y=
6 2 13
( 9 40)
∴F , ，
13 13
√ ( 9 ) 2 (40 ) 2 50
∴CE=BF= −3 + −0 = ，
13 13 13
3
∴CF=OC−OF= ．
2
50 2
∴OE=OC−CE=OC−BF=4− = ．
13 13
( 2 )
∴E 0,
13
( 2 ) ( 9 40)
∴AE+AF的最小值为√61，此时E 0, ，F , ．
13 13 13
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数与一次函数解析式，抛物线上点的坐标特征，求最短距离问题，
全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形性质．熟练掌握用待定系数法求二欠函数与一次函
数解析式，二次函数图像性质是解题的关键，题目属中考压轴题目，综合较强．
