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2014年湖南省益阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（4分）四个实数﹣2，0，﹣ ，1中，最大的实数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．﹣ D．1
2．（4分）下列式子化简后的结果为x6的是（ ）
A．x3+x3 B．x3•x3 C．（x3）3 D．x12÷x2
3．（4分）小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6道，数学题5道，综合题9道，
她从中随机抽取1道，抽中数学题的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）一元二次方程x2﹣2x+m＝0总有实数根，则m应满足的条件是（ ）
A．m＞1 B．m＝1 C．m＜1 D．m≤1
6．（4分）正比例函数y＝6x的图象与反比例函数y＝ 的图象的交点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第一、三象限
7．（4分）如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使
△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是（ ）
A．AE＝CF B．BE＝FD C．BF＝DE D．∠1＝∠2
8．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的 P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将
⊙
第1页（共24页）P沿x轴正方向平移，使 P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
⊙ ⊙
A．1 B．1或5 C．3 D．5
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线
上）
9．（4分）若x2﹣9＝（x﹣3）（x+a），则a＝ ．
10．（4分）分式方程 ＝ 的解为 ．
11．（4分）小斌所在的课外活动小组在大课间活动中练习立定跳远，成绩如下（单位：米）：
1.96，2.16，2.04，2.20，1.98，2.22，2.32，则这组数据的中位数是 米．
12．（4分）小明放学后步行回家，他离家的路程（s 米）与步行时间（t 分钟）的函数图象如图所
示，则他步行回家的平均速度是 米/分钟．
13．（4分）如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC
的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是 ．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
14．（6分）计算：|﹣3|+30﹣ ．
第2页（共24页）15．（6分）如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B＝80°．求∠C的度数．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16．（8分）先化简，再求值：（ +2）（x﹣2）+（x﹣1）2，其中x＝ ．
17．（8分）某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞梦想”读书
小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、
艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合
图中的信息解答下列问题：
（1）求被调查的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？
第3页（共24页）18．（8分）“中国﹣益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端
修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间
的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝
68.2°，CD＝82米．求AB的长（精确到0.1米）．
参考数据：
sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；
sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．
第4页（共24页）五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表
是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 5台 1800元
第二周 4台 10台 3100元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的
电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给
出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
20．（10分）如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝a（x﹣2）2+k经过
第5页（共24页）点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．
（1）求a，k的值；
（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；
（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此
正方形的边长．
六、解答题（本题满分12分）
21．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，点P
第6页（共24页）沿线段AB从点A向点B运动，设AP＝x．
（1）求AD的长；
（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相
似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S 、S ，若S＝S +S ，求S的最小值．
1 2 1 2
第7页（共24页）2014 年湖南省益阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（4分）四个实数﹣2，0，﹣ ，1中，最大的实数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．﹣ D．1
【考点】2A：实数大小比较．
【分析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，比较即可．
【解答】解：∵﹣2＜﹣ ＜0＜1，
∴四个实数中，最大的实数是1．
故选：D．
【点评】本题考查了实数大小比较，关键要熟记：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大
于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．（4分）下列式子化简后的结果为x6的是（ ）
A．x3+x3 B．x3•x3 C．（x3）3 D．x12÷x2
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法．
【分析】根据同底数幂的运算法则进行计算即可．
【解答】解：A、原式＝2x3，故本选项错误；
B、原式＝x6，故本选项正确；
C、原式＝x9，故本选项错误；
D、原式＝x12﹣2＝x10，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是同底数幂的除法，熟知同底数幂的除法及乘方法则、合并同类项的法则、
幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键．
3．（4分）小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6道，数学题5道，综合题9道，
她从中随机抽取1道，抽中数学题的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】X4：概率公式．
【分析】由小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6道，数学题5道，综合题9道，
第8页（共24页）直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6道，数学题5道，综合题9
道，
∴她从中随机抽取1道，抽中数学题的概率是： ＝ ．
故选：C．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
4．（4分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以
及轴对称图形的定义即可判断出．
【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是
轴对称图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故
此选项错误；
C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项
错误；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此
选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题
的关键．
第9页（共24页）5．（4分）一元二次方程x2﹣2x+m＝0总有实数根，则m应满足的条件是（ ）
A．m＞1 B．m＝1 C．m＜1 D．m≤1
【考点】AA：根的判别式．
【分析】根据根的判别式，令△≥0，建立关于m的不等式，解答即可．
【解答】解：∵方程x2﹣2x+m＝0总有实数根，
∴△≥0，
即4﹣4m≥0，
∴﹣4m≥﹣4，
∴m≤1．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
⇔
6．（4分）正比例函数y＝6x的图象与反比例函数y＝ 的图象的交点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第一、三象限
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】11：计算题．
【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题解方程组 即可得到两函数的交点坐标，
然后根据交点坐标进行判断．
【解答】解：解方程组 得 或 ，
所以正比例函数y＝6x的图象与反比例函数y＝ 的图象的交点坐标为（1，6），（﹣1，﹣6）．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点
坐标满足两函数解析式．
7．（4分）如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使
第10页（共24页）△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是（ ）
A．AE＝CF B．BE＝FD C．BF＝DE D．∠1＝∠2
【考点】KB：全等三角形的判定；L5：平行四边形的性质．
【专题】121：几何图形问题．
【分析】利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别分得出即可．
【解答】解：A、当AE＝CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；
B、当BE＝FD，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
C、当BF＝ED，
∴BE＝DF，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
D、当∠1＝∠2，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中
第11页（共24页），
∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三
角形的判定方法是解题关键．
8．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的 P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将
P沿x轴正方向平移，使 P与y轴相切，则平移的⊙距离为（ ）
⊙ ⊙
A．1 B．1或5 C．3 D．5
【考点】D5：坐标与图形性质；MB：直线与圆的位置关系．
【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．
【解答】解：当 P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；
当 P位于y轴的⊙右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．
故⊙选：B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的
距离等于圆的半径．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线
上）
9．（4分）若x2﹣9＝（x﹣3）（x+a），则a＝ 3 ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【专题】11：计算题．
【分析】直接利用平方差公式进行分解得出即可．
第12页（共24页）【解答】解：∵x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）＝（x﹣3）（x+a），
∴a＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
10．（4分）分式方程 ＝ 的解为 x ＝﹣ 9 ．
【考点】B3：解分式方程．
【专题】11：计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分
式方程的解．
【解答】解：去分母得：4x＝3x﹣9，
解得：x＝﹣9，
经检验x＝﹣9是分式方程的解．
故答案为：x＝﹣9．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为
整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
11．（4分）小斌所在的课外活动小组在大课间活动中练习立定跳远，成绩如下（单位：米）：
1.96，2.16，2.04，2.20，1.98，2.22，2.32，则这组数据的中位数是 2.1 6 米．
【考点】W4：中位数．
【分析】根据中位数的概念求解．
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1.96，1.98，2.04，2.16，2.20，2.22，2.32，
则中位数为：2.16．
故答案为：2.16．
【点评】本题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果
数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是
偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
12．（4分）小明放学后步行回家，他离家的路程（s 米）与步行时间（t 分钟）的函数图象如图所
示，则他步行回家的平均速度是 8 0 米/分钟．
第13页（共24页）【考点】E6：函数的图象．
【专题】121：几何图形问题．
【分析】他步行回家的平均速度＝总路程÷总时间，据此解答即可．
【解答】解：由图知，他离家的路程为1600米，步行时间为20分钟，
则他步行回家的平均速度是：1600÷20＝80（米/分钟），
故答案为：80．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理
解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
13．（4分）如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC
的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是 60 ° ．
【考点】KK：等边三角形的性质；R2：旋转的性质．
【专题】11：计算题．
【分析】根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角，进而得出∠EAF的度数．
【解答】解：∵将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的
中点E的对应点为F，
∴旋转角为60°，E，F是对应点，
则∠EAF的度数为：60°．
故答案为：60°．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，得出旋转角的度数是解题关键．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
第14页（共24页）14．（6分）计算：|﹣3|+30﹣ ．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂．
【专题】11：计算题．
【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利
用立方根定义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝3+1﹣3＝1．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（6分）如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B＝80°．求∠C的度数．
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAF，再根据角平分线的定义求出∠CAF，然
后根据两直线平行，内错角相等解答．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠BAF＝180°﹣∠B＝100°，
∵AC平分∠BAF，
∴∠CAF＝ ∠BAF＝50°，
∵EF∥BC，
∴∠C＝∠CAF＝50°．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16．（8分）先化简，再求值：（ +2）（x﹣2）+（x﹣1）2，其中x＝ ．
【考点】6D：分式的化简求值．
【专题】11：计算题．
【分析】原式第一项利用乘法分配律计算，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最
简结果，将x的值代入计算即可求出值．
第15页（共24页）【解答】解：原式＝1+2x﹣4+x2﹣2x+1＝x2﹣2，
当x＝ 时，原式＝3﹣2＝1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（8分）某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞梦想”读书
小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、
艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合
图中的信息解答下列问题：
（1）求被调查的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
【专题】27：图表型．
【分析】（1）利用科普类的人数以及所占百分比，即可求出被调查的学生人数；
（2）利用（1）中所求得出喜欢艺体类的学生数进而画出图形即可；
（3）首先求出样本中喜爱文学类图书所占百分比，进而估计全校最喜爱文学类图书的学生数．
【解答】解：（1）被调查的学生人数为：12÷20%＝60（人）；
（2）喜欢艺体类的学生数为：60﹣24﹣12﹣16＝8（人），
如图所示：
第16页（共24页）；
（3）全校最喜爱文学类图书的学生约有：1200× ＝480（人）．
【点评】此题主要考查了条形统计图的应用以及扇形统计图应用、利用样本估计总体等知识，
利用图形得出正确信息求出样本容量是解题关键．
18．（8分）“中国﹣益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端
修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间
的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝
68.2°，CD＝82米．求AB的长（精确到0.1米）．
参考数据：
sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；
sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．
【考点】T8：解直角三角形的应用．
【专题】121：几何图形问题．
【分析】设AD＝x米，则AC＝（x+82）米．在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB＝2.5（x+82），
在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB＝4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．
【解答】解：设AD＝x米，则AC＝（x+82）米．
第17页（共24页）在Rt△ABC中，tan∠BCA＝ ，
∴AB＝AC•tan∠BCA＝2.5（x+82）．
在Rt△ABD中，tan∠BDA＝ ，
∴AB＝AD•tan∠BDA＝4x．
∴2.5（x+82）＝4x，
解得x＝ ．
∴AB＝4x＝4× ≈546.7．
答：AB的长约为546.7米．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学
知识解决实际问题．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表
是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 5台 1800元
第二周 4台 10台 3100元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的
电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给
出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【考点】8A：一元一次方程的应用；9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用．
【专题】12：应用题．
【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型
号的电扇收入1800元，4台A型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台，根据金额不多余5400
第18页（共24页）元，列不等式求解；
（3）设利润为1400元，列方程求出a的值为20，不符合（2）的条件，可知不能实现目标．
【解答】解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得： ，
解得： ，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台．
依题意得：200a+170（30﹣a）≤5400，
解得：a≤10．
答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；
（3）依题意有：（250﹣200）a+（210﹣170）（30﹣a）＝1400，
解得：a＝20，
∵a≤10，
∴在（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，
设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
20．（10分）如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝a（x﹣2）2+k经过
点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．
（1）求a，k的值；
（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；
（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此
正方形的边长．
第19页（共24页）【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】152：几何综合题．
【分析】（1）先求出直线y＝﹣3x+3与x轴交点A，与y轴交点B的坐标，再将A、B两点坐标
代入y＝a（x﹣2）2+k，得到关于a，k的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x＝2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x＝2于点
E．在Rt△AQF与Rt△BQE中，用勾股定理分别表示出AQ2＝AF2+QF2＝1+m2，BQ2＝
BE2+EQ2＝4+（3﹣m）2，由AQ＝BQ，得到方程1+m2＝4+（3﹣m）2，解方程求出m＝2，即可
求得Q点的坐标；
（3）当点N在对称轴上时，由NC与AC不垂直，得出AC为正方形的对角线，根据抛物线的
对称性及正方形的性质，得到M点与顶点P（2，﹣1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，
此时，MF＝NF＝AF＝CF＝1，且AC⊥MN，则四边形AMCN为正方形，在Rt△AFN中根
据勾股定理即可求出正方形的边长．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（1，0），B（0，3）．
又∵抛物线y＝a（x﹣2）2+k经过点A（1，0），B（0，3），
∴ ，解得 ，
故a，k的值分别为1，﹣1；
（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x＝2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x＝2于点
E．
在Rt△AQF中，AQ2＝AF2+QF2＝1+m2，
在Rt△BQE中，BQ2＝BE2+EQ2＝4+（3﹣m）2，
∵AQ＝BQ，
第20页（共24页）∴1+m2＝4+（3﹣m）2，
∴m＝2，
∴Q点的坐标为（2，2）；
（3）当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线．
又∵对称轴x＝2是AC的中垂线，
∴M点与顶点P（2，﹣1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为（2，1）．
此时，MF＝NF＝AF＝CF＝1，且AC⊥MN，
∴四边形AMCN为正方形．
在Rt△AFN中，AN＝ ＝ ，即正方形的边长为 ．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二元一次方程组的解法，等腰三
角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，正方形的判定与性质，综合性较强，难度适中．
六、解答题（本题满分12分）
21．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，点P
沿线段AB从点A向点B运动，设AP＝x．
（1）求AD的长；
（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相
第21页（共24页）似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S 、S ，若S＝S +S ，求S的最小值．
1 2 1 2
【考点】SO：相似形综合题．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）过点C作CE⊥AB于E，根据CE＝BC•sin∠B求出CE，再根据AD＝CE即可求
出AD；
（2）若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，则△PCB必有一个角是
直角．分两种情况讨论： 当∠PCB＝90°时，求出AP，再根据在Rt△ADP中∠DPA＝
60°，得出∠DPA＝∠B，从①而得到△ADP∽△CPB， 当∠CPB＝90°时，求出AP＝3，根据
②
≠ 且 ≠ ，得出△PCB与△ADP不相似．
（3）先求出S ＝ • ，再分两种情况讨论： 当2＜x＜10时，作BC的垂直平分线交
1
π ①
BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM，在Rt△GBH
中求出BG、BN、GN，在Rt△GMN中，求出MN＝ （ x﹣1），在Rt△BMN中，求出BM2
＝ x2﹣ x+ ，最后根据S ＝ •BM2代入计算即可． 当0＜x≤2时，S ＝ （ x2﹣
1 2
π ② π
x+ ），最后根据S＝S +S ＝ （x﹣ ）2+ 即可得出S的最小值．
1 2
π π
【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于E，
在Rt△BCE中，
∵∠B＝60°，BC＝4，
∴CE＝BC•sin∠B＝4× ＝2 ，
∴AD＝CE＝2 ．
第22页（共24页）（2）存在．若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，
则△PCB必有一个角是直角．
当∠PCB＝90°时，在Rt△PCB中，BC＝4，∠B＝60°，PB＝8，
①∴AP＝AB﹣PB＝2．
又由（1）知AD＝2 ，在Rt△ADP中，tan∠DPA＝ ＝ ＝ ，
∴∠DPA＝60°，
∴∠DPA＝∠CPB，
∴△ADP∽△CPB，
∴存在△ADP与△CPB相似，此时x＝2．
∵当∠CPB＝90°时，在Rt△PCB中，∠B＝60°，BC＝4，
②∴PB＝2，PC＝2 ，
∴AP＝8．
则 ≠ 且 ≠ ，此时△PCB与△ADP不相似．
（3）如图，因为Rt△ADP外接圆的直径为斜边PD，则S ＝ •（ ）2＝ • ，
1
π π
当2＜x＜10时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G；
①作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM．则BM为△PCB外接圆的半径．
在Rt△GBH中，BH＝ BC＝2，∠MGB＝30°，
∴BG＝4，
第23页（共24页）∵BN＝ PB＝ （10﹣x）＝5﹣ x，
∴GN＝BG﹣BN＝ x﹣1．
在Rt△GMN中，∴MN＝GN•tan∠MGN＝ （ x﹣1）．
在Rt△BMN中，BM2＝MN2+BN2＝ x2﹣ x+ ，
∴S ＝ •BM2＝ （ x2﹣ x+ ）．
2
π π
∵当0＜x≤2时，S ＝ （ x2﹣ x+ ）也成立，
2
② π
∴S＝S +S ＝ • + （ x2﹣ x+ ）＝ （x﹣ ）2+ ．
1 2
π π π π
∴当x＝ 时，S＝S +S 取得最小值 ．
1 2
π
【点评】此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的性质与判定、二次函数的最值、
勾股定理，关键是根据题意画出图形构造相似三角形，注意分类讨论．
第24页（共24页）
