数学答案-广州大学附属中学2024-2025学年高二上学期开学考试(1)_1多考区联考_09142024-2025学年高二上学期9月初开学数学试卷1

2024 年 9 月广附高二开学考试数学问卷
姓名：___________班级：___________考号：___________
一．单选题（8道，共40分）
1．已知A={x∣1<x<2},B={x∣x<a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值
范围是（ ）
A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥2
2．已知z=1−i是方程z2+2az−b=0(a,b∈R )的根，则a+b=（ ）
A．−3 B．−1 C．2 D．3
3．已知aea =π，blnb=π，c= π，则（ ）
A．a<c<b B．c<a<b C．c<b<a D．a<b<c
 π 1
4．已知α,β∈0, ，cos2α−sin2α= ，且3sinβ=sin(2α+β)，则α+β的值为（ ）
 4 7
π π π π
A． B． C． D．
12 6 4 3
π 
5．已知函数 f (x)=sin(2x+ϕ)（0<ϕ<π）， f  −x= f (x)，则（ ）.
6 
1
A． f (0)=
2
π
B． f (x)的图象向左平移 个单位长度后关于y轴对称
6
π 2π
C． f (x)在 , 上单调递减
6 3 
π  π 
D． f  −x+ f  +x=0
3  3 
6．在某种药物实验中，规定100ml血液中药物含量低于20mg为“药物失效”．现测得实验动
物血液中药物含量为0.8mg/ml，若血液中药物含量会以每小时20%的速度减少，那么至少
经过（ ）个小时才会“药物失效”．（参考数据：lg2≈0.3010）
A．4 B．5 C．6 D．7
13 5π
7．已知圆台的体积为 ，母线长为3，高为 5，则圆台的侧面积为（ ）
3
A．36π B．24π C．18π D．12π
  
15
8．已知O为ABC的内心，角A为锐角，sinA= ，若AO=µAB+λAC，则µ+λ的最
8
大值为（ ）
1 3 4 5
A． B． C． D．
2 4 5 6
试卷第1页，共4页
学科网（北京）股份有限公司二．多选题（3道，共18分）
9．已知a>0,b>0，且a+b=1，则下列不等式成立的是（ ）
1 4 9
A．ab≥ B． + ≥25 C． a+ b ≤ 2 D．a2 <a
4 a b
10．如图，已知棱长为2的正方体ABCD−ABCD 中，点P在线段BC上运动，现给出下
1 1 1 1 1
列结论：则正确的选项为（ ）
A．直线AD 与直线DP所成角的大小不变
1
B．平面PBD ⊥平面ACD
1 1 1
2 3
C．点P到平面ACD的距离为定值
1 1
3
π
D．存在一点P，使得直线AP与平面BCCB 所成角为
1 1 3
11．一个同学投掷10次骰子，记录出现的点数，根据统计结果，在下列情况中可能出现点
数6的有（ ）
A．平均数为3，中位数为4
B．中位数为4，众数为3
C．平均数为2，方差为2.1
D．中位数为3，方差为0.85
三．填空题（3道，共15分）
12．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如
图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的75%分
位数为 分．
13．已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是ABC的中线．若AD=2，
且b2+c2+bc=(bcosC+ccosB)2，则ABC面积的最大值为 ．
14．设函数 f (x)的定义域关于原点对称且满足：
f (x )⋅ f (x )+1
（ⅰ） f (x −x )= 1 2 ；（ⅱ）存在正常数a使 f (a)=1．
1 2 f (x )− f (x )
2 1
则函数 f (x)的一个周期是 ．
试卷第2页，共4页四．解答题（13，15，15，17，17，共77分）
π  2π  π 
15．已知函数 f (x)= 3sin(ωx+ϕ)(0<ω<1,ϕ< )的图象过− ,0， , 3两点，将
2  3  3 
f (x)的图象上各点的横坐标缩短为原来的 1 ，纵坐标不变，再向右平移 π 个单位长度，得
2 3
到函数g(x)的图象.
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)若函数F(x)=g(x)− 3 >0，求函数F(x)的单调区间.
2
16．已知斜三角形ABC.
(1)借助正切和角公式证明：tanA+tanB+tanC =tanAtanBtanC.
并充分利用你所证结论，在①②中选择一个求值：
①tan20°+tan40°+ 3tan20°tan40°，
tan20°+tan40°+tan120°
② ；
tan20°tan40°
(2)若C =135°，求tanA+tanB的最小值.
17．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BC，垂足为P，E为CD中点，
 
(1)若 AP·AC=32，求AP的长；
  10 
(2)设|AB|＝ 2，|AC|＝ 5，cos∠BAC＝－ ，
AP
10
 
＝xAE ＋yAC，求xy的值．
试卷第3页，共4页
学科网（北京）股份有限公司18．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD=60，PD= AD=1，
PB= AB=2．
(1)证明：BD⊥平面PAD；
(2)当二面角D−PA−B的正切值为 6时，求直线BD与平
面PBC所成角的大小．
19．已知有序数对X :{x,x ,x }，有序数对Y:{y ,y ,y }，定义“Ω变换”：y = x −x ，
1 2 3 1 2 3 1 1 2
y = x −x ，y = x −x ，可以将有序数对X 转化为有序数对Y．
2 2 3 3 3 1
(1)对于有序数对X :{3,4,5}，不断进行“Ω变换”，能得到有序数对{0,0,0}吗？请说明理由．
(2)设有序数对X :{x,x ,x }经过一次“Ω变换”得到有序数对Y:{y,2,x}(x≥ y)，且有序数对
1 2 3
y
Y的三项之和为2024，求 的值．
x
(3)在（2）的条件下，若有序数对Y经过n次“Ω变换”得到的有序数对的三项之和最小，求n
的最小值．
试卷第4页，共4页2024 年 9 月广附高二开学考试数学答案
1．D，2．A，3．A，4．D，5．D，6．D，7．D
8．C
   
【详解】方法一：点O是ABC内心的充要条件是：aOA+bOB+cOC =0，其中BC =a，AC =b，
         
( ) ( )
AB=c，理由如下：若aOA+bOB+cOC =0，则aOA+b OA+AB +c OA+AC =0，
 
      
bc AB AC
整理得(a+b+c)OA+bAB+cAC =0，所以OA=−   +  ，即点O在∠BAC的角平
a+b+c AB AC 
 
分线上，同理可证，点O在∠ABC，∠BCA的角平分线上，即点O为ABC的内心.
 b  c  b+c 1 a
故AO= AB+ AC，故µ+λ= ⇒ =1+ ．
a+b+c a+b+c a+b+c µ+λ b+c
15 7
因为角A为锐角，sinA= ，所以cosA= ．由定理得到
8 8
7 15
b2+c2− bc
b2+c2−a2 7 7 a 4 4
cosA= = ⇒b2+c2− bc=a2，故 = = 1− ．
2bc 8 4 b+c b2+c2+2bc b c
+ +2
c b
15 15
b c 4 4 1
又因为 + ≥2（当且仅当b=c时取等号），所以1− ≥1− = ，所以
c d b c 2+2 16
+ +2
c b
1 a 1 5 4
=1+ ≥1+ = ，故µ+λ≤ ，
µ+λ b+c 16 4 5
方法二：如图，延长AO，交BC于点D，
        
( )
设CD= yCB，即AD−AC = y AB−AC ，故AD= yAB+(1−y)AC，
     
设AO=xAD=x ( yAB+(1−y)AC ) =xyAB+x(1−y)AC，
 µ=xy
则 ，∴λ+µ=x，作ABC的内切圆与BC边切于点E，与AB切于点F，

λ=x(1−y)
A A A
2sin cos 2tan
15 A A 2 2 2
设圆O半径为r，sinA= 且A为锐角，sinA=2sin cos = = ，
8 2 2 sin2 A +cos2 A tan2 A +1
2 2 2
A
2tan
2 15 A 15 A 15 A
故 = ，解得tan = 或 15（舍去），故sin = cos ，
tan2 A +1 8 2 15 2 15 2
2
答案第1页，共7页
学科网（北京）股份有限公司A A A 1 OF 1
又sin2 +cos2 =1，解得sin = ，负值舍去，∴ = ，即AO=4r，由图知OD≥OE=r，
2 2 2 4 OA 4

AO
4r 4
x=  = ≤ .故选：C．
AD 4r+ OD 5
9．BCD
10．ABC
11．ABD
【详解】对于A：10次点数为1,1,1,1,4,4,4,4,4,6符合题意，故A正确；
对于B：10次点数为3,3,3,3,4,4,4,6,6,6符合题意，故B正确；
对于C：设10次点数为x ,x ,x ,x ,x ,x ,x ,x ,x ,x 且x ≤x ≤x ≤x ≤x ≤x ≤x ≤x ≤x ≤x ，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
平均数为m，
x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2
假设有一次点数为6，不妨设x =6，由方差公式s2 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −m2，
10
10
代入相关数据得：
x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2+36
2.1= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −4，即x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2 =25，
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
显然x 最大只能取4，
9
不妨设x =4得x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2 =9，此时方程无解，所以x ≠4，
9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
当x =3时得：x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2 =16，x 最大只能取3，
9 1 2 3 4 5 6 7 8 8
不妨设x =3得x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2 =7，此时方程有唯一解，
8 1 2 3 4 5 6 7
x =x =x =x =x =x =x =1，
1 2 3 4 5 6 7
即10次点数为1,1,1,1,1,1,1,3,3,6，但此时平均数为1.9不合题意，所以x ≠3，
9
当x =2得x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2 =21取x =x =x =x =2得x2+x2+x2+x2 =5，
9 1 2 3 4 5 6 7 8 5 6 7 8 1 2 3 4
此时方程无解（其余情况也均无解），所以x ≠2，当x =1时，平均数为1.5不合题意.
9 9
综上所述，假设有一次点数为6不成立，故C错误；对于D：10次点数为3,3,3,3,3,3,3,4,4,6符合题
意，故D正确.故选：ABD
12．86.25
13．4 3
答案第2页，共7页【详解】因为b2+c2+bc=(bcosC+ccosB)2，由正弦定理可得
sin2B+sin2C+sinBsinC =(sinBcosC+sinCcosB)2，又
sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sin(π−A)=sinA，所以sin2B+sin2C+sinBsinC =sin2 A，由
正弦定理可得b2+c2+bc=a2，
由余弦定理a2 =b2+c2−2bccosA，所以cosA=− 1 ，又A∈(0,π)，所以A= 2π ，
2 3
 1  1    
因为AD是ABC中BC边上中线，则AD= AB+ AC，即2AD= AB+AC，所以
2 2
    
4AD
2
= AB
2
+AC
2
+2AB⋅AC
，所以16=b2+c2−bc≥2bc−bc，可得bc≤16，当且仅当b=c=4时等
1 3
号成立，故S = bcsinA= bc≤4 3，即ABC面积的最大值为4 3．
△ABC 2 4
故答案为：4 3
14．4a
f (x ) f (x )+1 f (x ) f (x )+1
【详解】令x=x −x ，f (−x)= f (x −x )= 2 1 =− 1 2 =−f (x −x )=−f (x)，
1 2 2 1 f (x )− f (x ) f (x )− f (x ) 1 2
1 2 2 2
f (−a) f (x)+1 −f (a) f (x)+1
∴ f (x)是奇函数．∵ f (x+a)= f  x−(−a)  = f (−a)− f (x) = −f (a)− f (x)
f (x)−1
−1
= f f ( ( x x ) ) + −1 1 , ( f (a)=1 ) ，∴ f (x+2a)= f   (x+a)+a  = f f ( (x x) )+ −1 1 =− f 1 (x) ，
+1
f (x)+1
1
∴ f (x+4a)= f   (x+2a)+2a  = −f (x+2a) = f (x) ，
∴f (x)是以4a为周期的周期函数．
答案第3页，共7页
学科网（北京）股份有限公司15．
π 2π π
【详解】（1）因为函数 f(x)= 3sin(ωx+ϕ)(0<ω<1,ϕ< )的图象过(− ,0)，( , 3)两点，所
2 3 3
T 1 2π 1
以 +kT =π，即( +k)× =π，解得ω= +k,k∈Z，
4 4 ω 2
1 π 1
又因为0<ω<1，则ω= .所以 3sin( × +ϕ)= 3，
2 3 2
π π π
所以 +ϕ= +2kπ,k∈Z，则ϕ= +2kπ,k∈Z，
6 2 3
π π 1 π
又因为|ϕ|< ，所以ϕ= ，即 f(x)= 3sin( x+ )，
2 3 2 3
1
所以将 f(x)的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，
2
π
再向右平移 个单位长度得g(x)= 3sinx.
3
3
（2）由（1）知，F(x)= 3sinx− ，
2
3 1
因为F(x)>0，所以 3sinx− >0，即sinx> ，
2 2
π 5π
解得 +2kπ<x< +2kπ,k∈Z，
6 6
π π  π 5π 
所以F(x)的单调递增区间为 +2kπ, +2kπ,k∈Z，单调递减区间为 +2kπ, +2kπ,k∈Z
6 2  2 6 
16．
【详解】（1）C =π−(A+B)，∴tanC=tan[π−(A+B)]=−tan(A+B)，
tanA+tanB
∴tanC =− ，∴tanC(1−tanAtanB)=−(tanA+tanB)，
1−tanAtanB
∴tanA+tanB+tanC =tanAtanBtanC；①tan20°+tan40°+ 3tan20°tan40°
=tan20°+tan40°+tan120°+ 3tan20°tan40°+ 3 =tan20°tan40°tan120°+ 3tan20°tan40°+ 3
=− 3tan20°tan40°+ 3tan20°tan40°+ 3= 3 ；
tan20°+tan40°+tan120° tan20°tan40°tan120°
② = =tan120°=− 3；
tan20°tan40° tan20°tan40°
（2）C=135°，则0°< A<45°，0°<B<45°，且A+B=45°，
(tanA+tanB)2
所以tanA>0，tanB>0，∴tanA+tanB=−tan135°+tanAtanBtan135°=1−tanAtanB≥1− ，
4
∴(tanA+tanB)2+4(tanA+tanB)−4≥0，解得 tanA+tanB≥2 2−2 或 tanA+tanB≤−2 2−2 （舍去），
所以 tanA+tanB≥2 2−2 ，当且仅当tanA=tanB= 2−1时取等号
∴tanA+tanB的最小值为2 2−2．
答案第4页，共7页17．
  
【详解】（1）AP⊥BC,∴
AP
是AC在
AP
方向上的投影向量,
   
∴ AP·AC＝AP 2 = AP 2 =32,即AP＝4 2；
      
2
法二：AP⊥BC，∴ AP·AC =|AP|·|AC|cos∠PAC =|AP|·|AP|= AP =32，
即AP＝4 2；
 10
（2）在ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB⋅AC⋅cos∠BAC＝=2＋5－2× 2× 5×

−

=9，
 10 
BC2+AB2−AC2 2+9−5 2
所以BC＝3，cosB = ＝ ＝ ，
2×AB×BC 2×3× 2 2
π
因为B∈(0，π)，所以B= ，AP=ABsinB=1，BP=ABcosB=1，PC=BC－PB=2,
4
以P为坐标原点，PC，PA所在直线分别为x轴，y轴，建系如图:
易知P(0，0)，A(0，1)，C(2，0)，D(3，1)，因为E为CD中点，
5 1
所以E( ，)，
2 2
  
5 1
AP=(0,−1)，AE= ,− ，AC =(2,−1) ,
2 2
  
∵
AP
＝xAE ＋yAC,∴
5 1 5 1
(0，−1)=x( ，− )+y(2，-1)=( x+2y，− x−y)
2 2 2 2
5  4
x+2y=0 x=−
 
2  3 20
 ，解得： ，所以： xy=−
− 1 x−y=−1  y= 5 9
 2  3
 10
法二：在ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB⋅AC⋅cos∠BAC＝=2＋5－2× 2× 5×

− 

=9，
 10 
BC2+AB2−AC2 2+9−5 2
所以BC＝3，cosB = ＝ ＝ ，
2×AB×BC 2×3× 2 2
π
因为B∈(0，π)，所以B= ，AP=ABsinB=1，BP=ABcosB=1，PC=BC－PB=2,
4
         
1 1( ) 2 1
因为PC =2PB，所以AP= AB+BP= AB+ BC = AB+ AC−AB = AB+ AC，
3 3 3 3
          
1 x
又∵ AP=xAE+yAC =x(AC+CE)+yAC =x(AC− AB)+yAC =− AB+(x+y)AC
2 2
 1 2  4
− x= x=−
 
 2 3  3 20
由平面向量基本定理得： ，解得： ，所以： xy=−
 x+y= 1  y= 5 9
 3  3
答案第5页，共7页
学科网（北京）股份有限公司18．
1
【详解】（1）在△ABD中，由余弦定理得BD2 = AD2+AB2−2AD⋅ABcosA=1+4−2×1×2× =3，
2
π
显然AD2+BD2 = AB2，则∠ADB= ，即AD⊥BD，
2
π
由AD=PD，AB=PB，BD=BD，得△ABD≌△PBD，则∠PDB= ，即PD⊥BD，
2
又ADPD=D，PD,AD⊂平面PAD，所以BD⊥平面PAD.
（2）取PA中点E，连接BE，DE，如图，
由AB=PB，AD=PD，则BE ⊥PA，DE⊥PA，即∠BED为二面角D−PA−B的平面角，
由（1）知，BD⊥平面PAD，DE⊂平面PAD，则BD⊥DE，BD= 3，
BD 2
于是tan∠BED= = 6，DE= ，而PD= AD=1，
DE 2
2
则AE= ，PA= 2，PD2+AD2 =PA2，于是PD⊥ AD，
2
又BD⊥ AD，PD∩BD=D，PD,BD⊂平面PBD，因此AD⊥平面PBD，
又BC//AD，则BC⊥平面PBD，过D作DF ⊥PB于点F，DF ⊂平面PBD，于是BC ⊥DF，
而BCPB=B，BC,PB⊂平面PBC，则DF⊥平面PBC，
因此直线BD与平面PBC夹角即为∠PBD，
π PD 1
Rt△PBD中，∠BDP= ，sin∠PBD= = ，
2 PB 2
π
且∠PBD∈(0,π)，则∠PBD= ，
6
π
所以直线BD与平面PBC夹角为 .
6
19．
【详解】（1）解：对于有序数对X :{3,4,5}，
不断进行“Ω变换”：y = x −x ，y = x −x ，y = x −x ，
1 1 2 2 2 3 3 3 1
得到的有序数对分别为1,1,2，{0,1,1}，{1,0,1}，{1,1,0}，{0,1,1}，
答案第6页，共7页以下重复出现，所以不能得到有序数对{0,0,0}．
（2）解：由Ω变换知：y= x −x ，2= x −x ，x= x −x ，
1 2 2 3 3 1
因为有序数对Y的三项之和为2024，且x≥ y，所以x+y=2022，x≥1011≥ y，
所以 x −x ≥1011≥ x −x ，故 x −x 最大，即x >x >x 或x >x >x ，
3 1 1 2 3 1 1 2 3 3 2 1
y=x −x
1 2

当x >x >x 时，可得2=x −x ，
1 2 3 2 3

x=x −x
1 3
由x+y+2=2024，得2(x −x )=2024，即x=1012，
1 3
y 1010 505
所以y=1010，故 = = ；
x 1012 506
y=x −x
2 1

当x >x >x 时，可得2=x −x ，
3 2 1 3 2

x=x −x
3 1
由x+y+2=2024，得2(x −x )=2024，即x=1012，
3 1
y 1010 505
所以y=1010，故 = = ．
x 1012 506
y 505
综上可得， = ．
x 506
（3）解：有序数对Y:{y,2,y+2}，将有序数对Y经过6次“Ω变换”得到的有序数对分别为
{y−2,y,2},{2,y−2,y−4},{y−4,2,y−6},{y−6,y−8,2},{2,y−10,y−8}，{y−12,2,y−10}，
由此可见，经过6次“Ω变换”后得到的有序数对也是形如{y,2,y+2}的有序数对，
与有序数对Y“结构”完全相同，但最大项减小12，
因为1010=12×84+2，
所以将有序数对Y经过6×84=504次“Ω变换”后得到的有序数对为{2,2,4}，
经过“Ω变换”后得到的有序数对分别为{0,2,2},{2,0,2},{2,2,0},{0,2,2},{2,0,2},⋅⋅⋅，
从以上分析可知，以后数对循环出现，所以有序数对各项之和不会更小，
所以当n≥505时，经过n次“Ω变换”得到的有序数对的三项之和均最小为4．
所以n的最小值为505．
答案第7页，共7页
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