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数学答案-广州大学附属中学2024-2025学年高二上学期开学考试(1)_1多考区联考_09142024-2025学年高二上学期9月初开学数学试卷1

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数学答案-广州大学附属中学2024-2025学年高二上学期开学考试(1)_1多考区联考_09142024-2025学年高二上学期9月初开学数学试卷1
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2024 年 9 月广附高二开学考试数学问卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．单选题（8道，共40分） 1．已知A={x∣10,b>0，且a+b=1，则下列不等式成立的是（ ） 1 4 9 A．ab≥ B． + ≥25 C． a+ b ≤ 2 D．a2 0，求函数F(x)的单调区间. 2 16．已知斜三角形ABC. (1)借助正切和角公式证明：tanA+tanB+tanC =tanAtanBtanC. 并充分利用你所证结论，在①②中选择一个求值： ①tan20°+tan40°+ 3tan20°tan40°， tan20°+tan40°+tan120° ② ； tan20°tan40° (2)若C =135°，求tanA+tanB的最小值. 17．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BC，垂足为P，E为CD中点，   (1)若 AP·AC=32，求AP的长；   10  (2)设|AB|＝ 2，|AC|＝ 5，cos∠BAC＝－ ， AP 10   ＝xAE ＋yAC，求xy的值． 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司18．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD=60，PD= AD=1， PB= AB=2． (1)证明：BD⊥平面PAD； (2)当二面角D−PA−B的正切值为 6时，求直线BD与平 面PBC所成角的大小． 19．已知有序数对X :{x,x ,x }，有序数对Y:{y ,y ,y }，定义“Ω变换”：y = x −x ， 1 2 3 1 2 3 1 1 2 y = x −x ，y = x −x ，可以将有序数对X 转化为有序数对Y． 2 2 3 3 3 1 (1)对于有序数对X :{3,4,5}，不断进行“Ω变换”，能得到有序数对{0,0,0}吗？请说明理由． (2)设有序数对X :{x,x ,x }经过一次“Ω变换”得到有序数对Y:{y,2,x}(x≥ y)，且有序数对 1 2 3 y Y的三项之和为2024，求 的值． x (3)在（2）的条件下，若有序数对Y经过n次“Ω变换”得到的有序数对的三项之和最小，求n 的最小值． 试卷第4页，共4页2024 年 9 月广附高二开学考试数学答案 1．D，2．A，3．A，4．D，5．D，6．D，7．D 8．C     【详解】方法一：点O是ABC内心的充要条件是：aOA+bOB+cOC =0，其中BC =a，AC =b，           ( ) ( ) AB=c，理由如下：若aOA+bOB+cOC =0，则aOA+b OA+AB +c OA+AC =0，          bc AB AC 整理得(a+b+c)OA+bAB+cAC =0，所以OA=−   +  ，即点O在∠BAC的角平 a+b+c AB AC    分线上，同理可证，点O在∠ABC，∠BCA的角平分线上，即点O为ABC的内心.  b  c  b+c 1 a 故AO= AB+ AC，故µ+λ= ⇒ =1+ ． a+b+c a+b+c a+b+c µ+λ b+c 15 7 因为角A为锐角，sinA= ，所以cosA= ．由定理得到 8 8 7 15 b2+c2− bc b2+c2−a2 7 7 a 4 4 cosA= = ⇒b2+c2− bc=a2，故 = = 1− ． 2bc 8 4 b+c b2+c2+2bc b c + +2 c b 15 15 b c 4 4 1 又因为 + ≥2（当且仅当b=c时取等号），所以1− ≥1− = ，所以 c d b c 2+2 16 + +2 c b 1 a 1 5 4 =1+ ≥1+ = ，故µ+λ≤ ， µ+λ b+c 16 4 5 方法二：如图，延长AO，交BC于点D，          ( ) 设CD= yCB，即AD−AC = y AB−AC ，故AD= yAB+(1−y)AC，       设AO=xAD=x ( yAB+(1−y)AC ) =xyAB+x(1−y)AC，  µ=xy 则 ，∴λ+µ=x，作ABC的内切圆与BC边切于点E，与AB切于点F，  λ=x(1−y) A A A 2sin cos 2tan 15 A A 2 2 2 设圆O半径为r，sinA= 且A为锐角，sinA=2sin cos = = ， 8 2 2 sin2 A +cos2 A tan2 A +1 2 2 2 A 2tan 2 15 A 15 A 15 A 故 = ，解得tan = 或 15（舍去），故sin = cos ， tan2 A +1 8 2 15 2 15 2 2 答案第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司A A A 1 OF 1 又sin2 +cos2 =1，解得sin = ，负值舍去，∴ = ，即AO=4r，由图知OD≥OE=r， 2 2 2 4 OA 4  AO 4r 4 x=  = ≤ .故选：C． AD 4r+ OD 5 9．BCD 10．ABC 11．ABD 【详解】对于A：10次点数为1,1,1,1,4,4,4,4,4,6符合题意，故A正确； 对于B：10次点数为3,3,3,3,4,4,4,6,6,6符合题意，故B正确； 对于C：设10次点数为x ,x ,x ,x ,x ,x ,x ,x ,x ,x 且x ≤x ≤x ≤x ≤x ≤x ≤x ≤x ≤x ≤x ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均数为m， x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2 假设有一次点数为6，不妨设x =6，由方差公式s2 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −m2， 10 10 代入相关数据得： x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2+36 2.1= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −4，即x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2 =25， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 显然x 最大只能取4， 9 不妨设x =4得x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2 =9，此时方程无解，所以x ≠4， 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 当x =3时得：x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2 =16，x 最大只能取3， 9 1 2 3 4 5 6 7 8 8 不妨设x =3得x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2 =7，此时方程有唯一解， 8 1 2 3 4 5 6 7 x =x =x =x =x =x =x =1， 1 2 3 4 5 6 7 即10次点数为1,1,1,1,1,1,1,3,3,6，但此时平均数为1.9不合题意，所以x ≠3， 9 当x =2得x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2+x2 =21取x =x =x =x =2得x2+x2+x2+x2 =5， 9 1 2 3 4 5 6 7 8 5 6 7 8 1 2 3 4 此时方程无解（其余情况也均无解），所以x ≠2，当x =1时，平均数为1.5不合题意. 9 9 综上所述，假设有一次点数为6不成立，故C错误；对于D：10次点数为3,3,3,3,3,3,3,4,4,6符合题 意，故D正确.故选：ABD 12．86.25 13．4 3 答案第2页，共7页【详解】因为b2+c2+bc=(bcosC+ccosB)2，由正弦定理可得 sin2B+sin2C+sinBsinC =(sinBcosC+sinCcosB)2，又 sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sin(π−A)=sinA，所以sin2B+sin2C+sinBsinC =sin2 A，由 正弦定理可得b2+c2+bc=a2， 由余弦定理a2 =b2+c2−2bccosA，所以cosA=− 1 ，又A∈(0,π)，所以A= 2π ， 2 3  1  1     因为AD是ABC中BC边上中线，则AD= AB+ AC，即2AD= AB+AC，所以 2 2      4AD 2 = AB 2 +AC 2 +2AB⋅AC ，所以16=b2+c2−bc≥2bc−bc，可得bc≤16，当且仅当b=c=4时等 1 3 号成立，故S = bcsinA= bc≤4 3，即ABC面积的最大值为4 3． △ABC 2 4 故答案为：4 3 14．4a f (x ) f (x )+1 f (x ) f (x )+1 【详解】令x=x −x ，f (−x)= f (x −x )= 2 1 =− 1 2 =−f (x −x )=−f (x)， 1 2 2 1 f (x )− f (x ) f (x )− f (x ) 1 2 1 2 2 2 f (−a) f (x)+1 −f (a) f (x)+1 ∴ f (x)是奇函数．∵ f (x+a)= f  x−(−a)  = f (−a)− f (x) = −f (a)− f (x) f (x)−1 −1 = f f ( ( x x ) ) + −1 1 , ( f (a)=1 ) ，∴ f (x+2a)= f   (x+a)+a  = f f ( (x x) )+ −1 1 =− f 1 (x) ， +1 f (x)+1 1 ∴ f (x+4a)= f   (x+2a)+2a  = −f (x+2a) = f (x) ， ∴f (x)是以4a为周期的周期函数． 答案第3页，共7页 学科网（北京）股份有限公司15． π 2π π 【详解】（1）因为函数 f(x)= 3sin(ωx+ϕ)(0<ω<1,ϕ< )的图象过(− ,0)，( , 3)两点，所 2 3 3 T 1 2π 1 以 +kT =π，即( +k)× =π，解得ω= +k,k∈Z， 4 4 ω 2 1 π 1 又因为0<ω<1，则ω= .所以 3sin( × +ϕ)= 3， 2 3 2 π π π 所以 +ϕ= +2kπ,k∈Z，则ϕ= +2kπ,k∈Z， 6 2 3 π π 1 π 又因为|ϕ|< ，所以ϕ= ，即 f(x)= 3sin( x+ )， 2 3 2 3 1 所以将 f(x)的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变， 2 π 再向右平移 个单位长度得g(x)= 3sinx. 3 3 （2）由（1）知，F(x)= 3sinx− ， 2 3 1 因为F(x)>0，所以 3sinx− >0，即sinx> ， 2 2 π 5π 解得 +2kπ0，tanB>0，∴tanA+tanB=−tan135°+tanAtanBtan135°=1−tanAtanB≥1− ， 4 ∴(tanA+tanB)2+4(tanA+tanB)−4≥0，解得 tanA+tanB≥2 2−2 或 tanA+tanB≤−2 2−2 （舍去）， 所以 tanA+tanB≥2 2−2 ，当且仅当tanA=tanB= 2−1时取等号 ∴tanA+tanB的最小值为2 2−2． 答案第4页，共7页17．    【详解】（1）AP⊥BC,∴ AP 是AC在 AP 方向上的投影向量,     ∴ AP·AC＝AP 2 = AP 2 =32,即AP＝4 2；        2 法二：AP⊥BC，∴ AP·AC =|AP|·|AC|cos∠PAC =|AP|·|AP|= AP =32， 即AP＝4 2；  10 （2）在ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB⋅AC⋅cos∠BAC＝=2＋5－2× 2× 5×  −  =9，  10  BC2+AB2−AC2 2+9−5 2 所以BC＝3，cosB = ＝ ＝ ， 2×AB×BC 2×3× 2 2 π 因为B∈(0，π)，所以B= ，AP=ABsinB=1，BP=ABcosB=1，PC=BC－PB=2, 4 以P为坐标原点，PC，PA所在直线分别为x轴，y轴，建系如图: 易知P(0，0)，A(0，1)，C(2，0)，D(3，1)，因为E为CD中点， 5 1 所以E( ，)， 2 2    5 1 AP=(0,−1)，AE= ,− ，AC =(2,−1) , 2 2    ∵ AP ＝xAE ＋yAC,∴ 5 1 5 1 (0，−1)=x( ，− )+y(2，-1)=( x+2y，− x−y) 2 2 2 2 5  4 x+2y=0 x=−   2  3 20  ，解得： ，所以： xy=− − 1 x−y=−1  y= 5 9  2  3  10 法二：在ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB⋅AC⋅cos∠BAC＝=2＋5－2× 2× 5×  −   =9，  10  BC2+AB2−AC2 2+9−5 2 所以BC＝3，cosB = ＝ ＝ ， 2×AB×BC 2×3× 2 2 π 因为B∈(0，π)，所以B= ，AP=ABsinB=1，BP=ABcosB=1，PC=BC－PB=2, 4           1 1( ) 2 1 因为PC =2PB，所以AP= AB+BP= AB+ BC = AB+ AC−AB = AB+ AC， 3 3 3 3            1 x 又∵ AP=xAE+yAC =x(AC+CE)+yAC =x(AC− AB)+yAC =− AB+(x+y)AC 2 2  1 2  4 − x= x=−    2 3  3 20 由平面向量基本定理得： ，解得： ，所以： xy=−  x+y= 1  y= 5 9  3  3 答案第5页，共7页 学科网（北京）股份有限公司18． 1 【详解】（1）在△ABD中，由余弦定理得BD2 = AD2+AB2−2AD⋅ABcosA=1+4−2×1×2× =3， 2 π 显然AD2+BD2 = AB2，则∠ADB= ，即AD⊥BD， 2 π 由AD=PD，AB=PB，BD=BD，得△ABD≌△PBD，则∠PDB= ，即PD⊥BD， 2 又ADPD=D，PD,AD⊂平面PAD，所以BD⊥平面PAD. （2）取PA中点E，连接BE，DE，如图， 由AB=PB，AD=PD，则BE ⊥PA，DE⊥PA，即∠BED为二面角D−PA−B的平面角， 由（1）知，BD⊥平面PAD，DE⊂平面PAD，则BD⊥DE，BD= 3， BD 2 于是tan∠BED= = 6，DE= ，而PD= AD=1， DE 2 2 则AE= ，PA= 2，PD2+AD2 =PA2，于是PD⊥ AD， 2 又BD⊥ AD，PD∩BD=D，PD,BD⊂平面PBD，因此AD⊥平面PBD， 又BC//AD，则BC⊥平面PBD，过D作DF ⊥PB于点F，DF ⊂平面PBD，于是BC ⊥DF， 而BCPB=B，BC,PB⊂平面PBC，则DF⊥平面PBC， 因此直线BD与平面PBC夹角即为∠PBD， π PD 1 Rt△PBD中，∠BDP= ，sin∠PBD= = ， 2 PB 2 π 且∠PBD∈(0,π)，则∠PBD= ， 6 π 所以直线BD与平面PBC夹角为 . 6 19． 【详解】（1）解：对于有序数对X :{3,4,5}， 不断进行“Ω变换”：y = x −x ，y = x −x ，y = x −x ， 1 1 2 2 2 3 3 3 1 得到的有序数对分别为1,1,2，{0,1,1}，{1,0,1}，{1,1,0}，{0,1,1}， 答案第6页，共7页以下重复出现，所以不能得到有序数对{0,0,0}． （2）解：由Ω变换知：y= x −x ，2= x −x ，x= x −x ， 1 2 2 3 3 1 因为有序数对Y的三项之和为2024，且x≥ y，所以x+y=2022，x≥1011≥ y， 所以 x −x ≥1011≥ x −x ，故 x −x 最大，即x >x >x 或x >x >x ， 3 1 1 2 3 1 1 2 3 3 2 1 y=x −x 1 2  当x >x >x 时，可得2=x −x ， 1 2 3 2 3  x=x −x 1 3 由x+y+2=2024，得2(x −x )=2024，即x=1012， 1 3 y 1010 505 所以y=1010，故 = = ； x 1012 506 y=x −x 2 1  当x >x >x 时，可得2=x −x ， 3 2 1 3 2  x=x −x 3 1 由x+y+2=2024，得2(x −x )=2024，即x=1012， 3 1 y 1010 505 所以y=1010，故 = = ． x 1012 506 y 505 综上可得， = ． x 506 （3）解：有序数对Y:{y,2,y+2}，将有序数对Y经过6次“Ω变换”得到的有序数对分别为 {y−2,y,2},{2,y−2,y−4},{y−4,2,y−6},{y−6,y−8,2},{2,y−10,y−8}，{y−12,2,y−10}， 由此可见，经过6次“Ω变换”后得到的有序数对也是形如{y,2,y+2}的有序数对， 与有序数对Y“结构”完全相同，但最大项减小12， 因为1010=12×84+2， 所以将有序数对Y经过6×84=504次“Ω变换”后得到的有序数对为{2,2,4}， 经过“Ω变换”后得到的有序数对分别为{0,2,2},{2,0,2},{2,2,0},{0,2,2},{2,0,2},⋅⋅⋅， 从以上分析可知，以后数对循环出现，所以有序数对各项之和不会更小， 所以当n≥505时，经过n次“Ω变换”得到的有序数对的三项之和均最小为4． 所以n的最小值为505． 答案第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司
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