苏教版数学选修第二册高清教材_4-教培资料-26年最新资料-同步更新_初中高中教资_03科三专项（进去保存报考的学科即可）_02科三专项（笔记真题思维导图教学设计版本二）

ISBN 978-7-5499-9164-8 9 787549 991648> 定价： 元 10.55书书书主 编 单 墫 李善良 副 主 编 葛 军 徐稼红 石志群 本册主编 石志群 编写人员 陈光立 孙旭东 石志群 徐稼红 樊亚东 李善良 葛 军 张松年 张乃达 单 墫 责任编辑 田 鹏 普通高中教科书 书 名 数学（选择性必修第二册） 主 编 单 墫 李善良 责任编辑 田 鹏 出版发行 江苏凤凰教育出版社（南京市湖南路１号Ａ楼 邮编２１０００９） 照 排 南京展望文化发展有限公司 印 刷 江苏省高淳印刷股份有限公司（电话：０２５５７８８９８０８） 厂 址 南京市高淳区开发区双高路１７８号（邮编：２１１３００） 开 本 ８９０毫米×１２４０毫米 １／１６ 印 张 １１．５ 版 次 ２０２１年７月第１版 印 次 ２０２１年７月第１次印刷 书 号 ＩＳＢＮ９７８７５４９９９１６４８ 定 价 １０．５５元 盗版举报 ０２５８３６５８５７９ 苏教版图书若有印装错误可向出版社联系调换 质量热线：０２５８３６５８５２８ ０２５８３６５８５２６大自然这本书是用数学语言写成的． ———伽利略 一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到完 善的地步． ———马克思 致 同 学 亲爱的同学，高中阶段的数学学习生活有趣吗？ 我们知道，数学是高中阶段的重要学科，不仅是学习物理、化学 等学科的基础，而且可以帮助我们认识世界，改造世界，创造新的生 活，对我们的终身发展有较大的影响． 怎样学习数学？ 第一，要学会发现问题、提出问题．面对各种情境（生活的、数学 的、科学的），我们需要学会观察、实验、归纳，学会从特殊到一般、从 具体到抽象、从模糊到清晰，大胆地提出数学问题． 第二，要尝试分析并解决所提出的问题．通过抽象、推理、建模、 运算等多种活动，建立数学理论，并运用这些数学理论去解决 问题． 第三，要学会回顾反思．在解决完问题之后，要思考：我们是如何 解决这个问题的，从中可以得到哪些启发，还能提出哪些问题． 在数学学习过程中，我们要主动地学习数学基础知识、基本技 能，自觉地感悟基本数学思想，不断积累数学活动经验，提升数学抽 象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等核心素养， 并逐步学会用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言 表达世界． 通过数学学习，我们会发现数学非常奇妙，非常有趣．数学将给 我们以新奇和动力，我们的思维水平会不断提高，我们的创造能力会 得到发展．我们将快乐地成长． １考虑广大同学的不同需要，本书提供了较大的选择空间． 书中的引言、正文、练习、习题中的“感受·理解”部分、阅读、本 章回顾、本章测试等内容构成一个完整的体系．它体现了教科书的基 本要求，是所有学生应当掌握的内容，相信你一定能学好这部分 内容． 本书还设计了一些具有挑战性的内容，包括思考、探究、链接、问 题与探究、应用与建模，以及习题中的“思考·运用”“探究·拓展” 等．在掌握基本内容之后，选择其中一些内容作思考与探究，相信你 会更加喜欢数学． ２目 录 第６章 空间向量与立体几何 ６．１ 空间向量及其运算 …………………………………………… ５ ６．２ 空间向量的坐标表示 ………………………………………… １７ ６．３ 空间向量的应用 ……………………………………………… ２６ 问题与探究 平面方程 …………………………………………… ４３ 阅读 向量的向量积 ……………………………………………… ４３ 第７章 计数原理 ７．１ 两个基本计数原理 …………………………………………… ５３ ７．２ 排列 …………………………………………………………… ５９ ７．３ 组合 …………………………………………………………… ６７ ７．４ 二项式定理 …………………………………………………… ７５ 问题与探究 算两次 ……………………………………………… ８２ 阅读 杨辉三角 …………………………………………………… ８３ 第８章 概率 ８．１ 条件概率 ……………………………………………………… ９３ ８．２ 离散型随机变量及其分布列 ……………………………… １０２ ８．３ 正态分布 …………………………………………………… １２３ 问题与探究 你的彩票被扔掉了吗？ …………………………… １３０ 阅读 高斯与概率统计 …………………………………………… １３０ 第９章 统计 ９．１ 线性回归分析 ……………………………………………… １３９ ９．２ 独立性检验 ………………………………………………… １５８ 应用与建模 区分蠓蚊 …………………………………………… １６６ １ 书书书阅读 世界一流的统计学家———许宝 ………………………… １６６ ! 专题 数学建模与数学探究 案例分析 …………………………………………………………… １７３ 课题推荐 …………………………………………………………… １７６ 附录 标准正态分布犘（犣≤狕）数值表 …………………………… １７７ ２本书部分常用符号 犗狓狔狕 空间直角坐标系 → 犃犅 以犃为起点、犅为终点的向量 → → ｜犃犅｜ 向量犃犅的模（或长度） ｛犲，犲，犲｝ 空间的一个基底 １ ２ ３ ｛犻，犼，犽｝ 单位正交基底 〈犪，犫〉 向量犪与犫的夹角 犿α 直线犿在平面α内 犿∩狀＝犅 直线犿和直线狀相交于点犅 犾∥α 直线犾平行于平面α 犾⊥α 直线犾垂直于平面α Ａ犿 从狀个不同的元素中选出犿个不同元素的排列数 狀 狀！ 将狀个不同的元素进行全排列的排列数 Ｃ犿 从狀个不同的元素中选出犿个不同元素的组合数 狀 犘（犡＝狓） 随机变量犡取值为狓时对应的随机事件发生的概率 犻 犻 犡～犅（狀，狆） 随 机变量犡服从参数为狀，狆的二项分布 犡～犎（狀，犕，犖） 随 机 变 量犡服从参数为狀，犕，犖的超几何分布 犃珡 随机事件犃的对立事件 犘（犃） 随机事件犃发生的概率 犘（犅狘犃） 随机事件犃发生的条件下随机事件犅发生的概率 犘（犃犅） 随机事件犃，犅同时发生的概率 犈（犡）（或 μ ） 随 机变量犡的均值或数学期望 犇（犡）（或σ２ ） 随 机变量犡的方差 槡犇（犡）（或σ） 随机变量犡的标准差 犡～犖（ μ ，σ２ ） 随机变量犡服从参数为 μ ，σ２ 的正态分布 χ２ χ２ 分布 犡 犡数据的均值 书书书第６章 空间向量与立体几何数无形时少直觉，形少数时难入微． ———华罗庚 在《数学（必修第二册）》中，我们学习了平面向量，研究了平面向 量的运算、平面向量基本定理及平面向量的坐标表示，运用平面向量 知识解决了数学和物理中的一些问题． 然而，在现实生活中，许多涉及大小和方向的问题不仅出现在平 面中，也经常出现在空间中．例如，吊车吊载物体，飞机降落，火箭发 射…… ● 空间向量是如何进行运算的？ ● 怎样用向量解决空间图形的相关问题？ ４６ 空间向量与立体几何 第 章 ６．１ 空间向量及其运算 在空间，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向 的量，叫作空间向量（ｓｐａｃｅｖｅｃｔｏｒ）． 我们已经学习过平面向量的运算及其性质，那么， ● 空间向量如何进行运算？ ● 空间向量具有什么性质？ ６１１ 空间向量的线性运算 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示．凡是方向相同且长 度相等的有向线段都表示相同的向量．类比平面向量的运算，空间向量 也有加法、减法和数乘运算． → 如图６ １ １，已知空间向量犪，犫，在空间任取一点犗，作犗犃＝ → 犪，犃犅＝犫．由犗，犃，犅三点确定一个平面或三点共线可以知道，空 间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段来表示． 图６ １ １ 与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意 义为（图６ １ ２）： → → → 犗犅＝犗犃＋犃犅＝犪＋犫， → → → 犅犃＝犗犃－犗犅＝犪－犫， → 犗犘＝λ犪（λ∈犚）． 图６ １ ２ ５选择性必修第二册 数学 同样，空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律： （１）犪＋犫＝犫＋犪； （２）（犪＋犫）＋犮＝犪＋（犫＋犮）； （３）λ（犪＋犫）＝λ犪＋λ犫（λ∈犚）． 如图６ １ ３，我们可以借助空间四边形来验证空间向量的加法 满足结合律． 图６ １ ３ 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算． 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那 共线向量的方向 么这些向量叫作共线向量或平行向量．向量犪与犫平行，记作犪∥犫． 相同或相反． 我们规定零向量与任意向量共线． 平面向量共线的充要条件在空间也是成立的，即有 共线向量定理 对空间任意两个向量犪，犫（犪≠０），犫与犪共 线的充要条件是存在实数λ，使犫＝λ犪． 例１ 如图６ １ ４，在三棱柱犃犅犆 犃犅犆 中，犕是犅犅的 １ １ １ １ 中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： → → （１）犆犅＋犅犃； １ → → １→ （２）犃犆＋犆犅＋ 犃犃； ２ １ → → → （３）犃犃 －犃犆－犆犅． １ → → → 解 （１）犆犅＋犅犃 ＝犆犃． １ １ （２）因为犕是犅犅 的中点， １ → １→ 所以 犅犕＝ 犅犅． ２ １ → → 又犃犃 ＝犅犅， １ １ → → １→ → → → 所以 犃犆＋犆犅＋ 犃犃 ＝犃犅＋犅犕＝犃犕． ２ １ ６６ 空间向量与立体几何 第 章 → → → → → → （３）犃犃 －犃犆－犆犅＝犆犃 －犆犅＝犅犃． １ １ １ → → → 向量犆犃，犃犕，犅犃 如图６ １ ４所示． １ １ 图６ １ ４ 图６ １ ５ 例２ 如图６ １ ５，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，点犕，犖 １ １ １ １ １ １ 分别在线段犃犅，犇犅 上，且犅犕＝ 犅犃，犅犖＝ 犅犇，犘为棱 １ １ １ ３ １ １ ３ １ １ 犅犆 的中点．求证：犕犖∥犅犘． １ １ → → → → 证明 犕犖＝犕犅＋犅犅＋犅犖． １ １ １ １ 因为 犅犕＝ 犅犃，犅犖＝ 犅犇， ３ １ １ ３ １ １ 所以 → １→ → １→ 犕犖＝－ 犅犃 ＋犅犅＋ 犅犇 ３ １ １ ３ １ １ １ → → → １ → → ＝－ （犅犅＋犅犃）＋犅犅＋ （犅犃＋犃犇） ３ １ １ １ １ ３ １ １ １ １ ２→ １→ ２→ １→ ＝ 犅犅＋ 犃犇 ＝ 犅犅＋ 犅犆． ３ １ ３ １ １ ３ １ ３ １ １ 又因为犘为犅犆 的中点，所以 １ １ → → → → １→ 犅犘＝犅犅＋犅犘＝犅犅＋ 犅犆 １ １ １ ２ １ １ （ ） ３ ２→ １→ ３→ ＝ 犅犅＋ 犅犆 ＝ 犕犖， ２ ３ １ ３ １ １ ２ → → 从而犅犘与犕犖为共线向量． 因为直线犕犖与犅犘不重合，所以犕犖∥犅犘． 练 习 １．化简： → → → → （１）犃犅＋犅犆＝ ； （２）犃犅－犃犆＝ ． ２．如图，在空间四边形犃犅犆犇中，犈是线段犃犅的中点，犆犉＝２犉犇，连接犈犉， 犆犈，犃犉，犅犉．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： → → → → → → （１）犃犆＋犆犅＋犅犇； （２）犃犉－犅犉－犃犆； ７选择性必修第二册 数学 １→ → ２→ （３） 犃犅＋犅犆＋ 犆犇． ２ ３ （第２题） （第３题） ３．如图，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，点犈，犉分别是上底面犃犅犆犇 和 １ １ １ １ １ １ １ １ 侧面犆犇犇犆的中心，求下列各题中犿，狀的值： １ １ → → → → （１）犃犈＝犿犃犅＋狀犃犇＋犃犃； １ → → → → （２）犃犉＝犿犃犅＋犃犇＋狀犃犃． １ → → ４．已知四棱锥犘 犃犅犆犇的底面犃犅犆犇是平行四边形，犃犅＝犪，犃犇＝犫， → → 犃犘＝犮，犈为犘犆的中点，试用犪，犫，犮表示向量犆犈． → → → ５．已知犲，犲是两个不共线的空间向量，犃犅＝２犲＋犽犲，犆犅＝犲＋３犲，犆犇＝ １ ２ １ ２ １ ２ ２犲－犲，且犃，犅，犇三点共线，求实数犽的值． １ ２ ６１２ 空间向量的数量积 前面，我们讨论了空间向量的线性运算，同样，空间向量也有数 量积运算． 如图６ １ ６，犪，犫是空间两个非零向量，过空间任意一点犗， → → 作犗犃＝犪，犗犅＝犫，∠犃犗犅＝θ（０≤θ≤π）叫作向量犪与向量犫的 夹角，记作〈犪，犫〉． 图６ １ ６ 根据两个向量夹角的定义，容易知道 〈犪，犫〉＝ 〈犫，犪〉． 如果〈犪，犫〉＝０，那么向量犪与犫同向；如果〈犪，犫〉＝π，那么向量 ８６ 空间向量与立体几何 第 章 π 犪与犫反向；如果〈犪，犫〉＝ ，那么称犪与犫互相垂直，并记作犪⊥犫． ２ 设犪，犫是空间两个非零向量，我们把数量狘犪‖犫狘ｃｏｓ〈犪，犫〉 叫作向量犪，犫的数量积，记作犪·犫，即 犪·犫＝狘犪‖犫狘ｃｏｓ〈犪，犫〉． 我们规定：零向量与任一向量的数量积为０． 由此可见，空间两个非零向量犪，犫的夹角〈犪，犫〉可以由 犪·犫 ｃｏｓ〈犪，犫〉＝ 狘犪‖犫狘 求得． 根据定义，可以得到 犪⊥犫犪·犫＝０（犪，犫是两个非零向量）， 狘犪狘２＝犪·犪＝犪２． 与平面向量一样，空间向量的数量积也满足下列运算律： （１）犪·犫＝犫·犪； （２）（λ犪）·犫＝λ（犪·犫）（λ∈犚）； （３）（犪＋犫）·犮＝犪·犮＋犫·犮． 由空间向量的数量积的定义不难验证运算律（１）（２）的正确性． 对于运算律（３），我们可以通过“投影向量”的概念进行证明． → → 对于空间任意两个非零向量犪，犫，设向量犗犃＝犪，犗犅＝犫 （图６ １ ７），过点犃作犃犃⊥犗犅，垂足为犃．上述由向量犪得到向 对比平面向量中 １ １ → → 量犗犃的变换称为向量犪向向量犫投影，向量犗犃称为向量犪在向量 向量犪向向量犫投影 １ １ 的概念． 犫上的投影向量（ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｖｅｃｔｏｒ）． 图６ １ ７ 与平面向量的情形类似，我们有 → 犪·犫＝犗犃·犫， １ 即向量犪，犫的数量积就是向量犪在向量犫上的投影向量与向量犫的 数量积． ９选择性必修第二册 数学 思 考 试运用上述空间向量向某个向量投影的概念，仿照平面向量的 相关内容证明运算律（３）． 例３ 如图６ １ ８，犃，犅为平面α外两点，点犃，犅在平面α 上的射影分别为点犃′，犅′，犿为平面α内的向量． → → 求证：犃犅·犿＝犃′犅′·犿． 图６ １ ８ 证明 由犃犃′⊥α，且犿在α内可知 → 犃犃′·犿＝０． → 同理 犅′犅·犿＝０． 因此， → → → → 犃犅·犿＝ （犃犃′＋犃′犅′＋犅′犅）·犿 → → → ＝犃犃′·犿＋犃′犅′·犿＋犅′犅·犿 → ＝０＋犃′犅′·犿＋０ → ＝犃′犅′·犿． 故命题成立． 如图６ １ ９，设向量犿＝犆  犇 → ，过犆，犇分别作平面α的垂线，垂 → → 足分别为犆，犇，得向量犆犇．我们将上述由向量犿得到向量犆犇 １ １ １ １ １ １ → 的变换称为向量犿向平面α投影，向量犆犇称为向量犿在平面α上 １ １ 的投影向量． 图６ １ ９ 由例３可知，对于平面α内的任一向量狀，有 → 犿·狀＝犆犇·狀， １ １ 也就是说，空间向量犿，狀的数量积就是向量犿在平面α上的投影向 量与向量狀的数量积． １０６ 空间向量与立体几何 第 章 例４ 如图６ １ １０，在棱长为１的正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 １ １ １ １ 中，犕为棱犆犆 上任意一点． １ 图６ １ １０ → → → （１）确定向量犃犕在平面犃犅犆上的投影向量，并求犃犕·犅犆； → → → （２）确定向量犃犕在直线犅犆上的投影向量，并求犃犕·犅犆． 解 （１）在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，犆犆⊥平面犃犅犆，因 １ １ １ １ １ 此，犃  犆 → 即为犃  犕 → 在平面犃犅犆上的投影向量． → 又因为犅犆在平面犃犅犆内，所以 → → → → 犃犕·犅犆＝犃犆·犅犆＝槡２×１×ｃｏｓ４５°＝１． （２）在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，犃犅⊥犅犆，且犆犆⊥犅犆，因 １ １ １ １ １ 此，犅  犆 → 即为犃  犕 → 在直线犅犆上的投影向量，从而 → → → → → 犃犕·犅犆＝犅犆·犅犆＝狘犅犆狘２＝１． π 练 习 １．若狘犪狘＝４，狘犫狘＝４，〈犪，犫〉＝ ，则犪·犫＝ ． ３ ２．若犪，犫是空间两个非零向量，则 （１）当犪·犫＝狘犪狘狘犫狘时，〈犪，犫〉＝ ； （２）当犪·犫＝０时，〈犪，犫〉＝ ； （３）当犪·犫＝－狘犪狘狘犫狘时，〈犪，犫〉＝ ． ３．证明空间向量数量积的运算律（２）． ４．已知犪，犫均为单位向量，如果它们的夹角为６０°，那么｜犪＋３犫｜＝ ． ５．已知犿，狀是空间两个单位向量，它们的夹角为６０°，设向量犪＝２犿＋狀， 犫＝－３犿＋２狀．求： （１）犪·犫； （２）向量犪与犫的夹角． ６．如图，在三棱锥犘 犃犅犆中，犘犃⊥平面犃犅犆，犆犅⊥犃犅，犃犅＝犅犆＝犪， 犘犃＝犫． （第６题） １１选择性必修第二册 数学 → → → （１）确定犘犆在平面犃犅犆上的投影向量，并求犘犆·犃犅； → → → （２）确定犘犆在直线犃犅上的投影向量，并求犘犆·犃犅． ６１３ 共面向量定理 → → 如图６ １ １１，在长方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，犃犅 ＝犃犅， １ １ １ １ １ １ → → → → → → 犃犇 ＝犃犇，而犃犅，犃犇，犃犆在同一平面内，此时，我们称犃犅， １ １ １ １ → → 犃犇，犃犆是共面向量． １ １ 图６ １ １１ 一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量（ｃｏｐｌａｎａｒ ｖｅｃｔｏｒｓ）．显然，任意两个空间向量都是共面向量． 我们知道，空间向量犫与向量犪（犪≠０）共线的充要条件是存在 实数λ，使得犫＝λ犪，即空间向量满足共线向量定理．同样，空间向量 也满足共面向量定理． 共面向量定理 如果两个向量犪，犫不共线，那么向量狆与 向量犪，犫共面的充要条件是存在有序实数组（狓，狔），使得 狆＝狓犪＋狔犫． 与平面向量一样， 对于空间向量狆，犪， 犫，若狆＝狓犪＋狔犫成 这就是说，向量狆可以由两个不共线的向量犪，犫线性表示． 立，则称狆由犪，犫线性 表示． 例５ 如图６ １ １２，已知矩形犃犅犆犇和矩形犃犇犈犉所在平面 １ 相交于犃犇，点犕，犖分别在对角线犅犇，犃犈上，且犅犕＝ 犅犇， ３ １ 犃犖＝ 犃犈．求证：犕犖∥ 平面犆犇犈． ３ 图６ １ １２ １２６ 空间向量与立体几何 第 章 → 分析 要证明犕犖∥ 平面犆犇犈，只要证明向量犕犖可以用平面 → → 犆犇犈内的两个不共线的向量犇犈和犇犆线性表示． １ 证明 如图６ １ １２，因为点犕在犅犇上，且犅犕＝ 犅犇， ３ → １→ １→ １→ 所以 犕犅＝ 犇犅＝ 犇犃＋ 犃犅． ３ ３ ３ → １→ １→ 同理 犃犖＝ 犃犇＋ 犇犈． ３ ３ → → → 又 犆犇＝犅犃＝－犃犅， → → → → 所以 犕犖＝犕犅＋犅犃＋犃犖 （１→ １→ ） → （１→ １→ ） ＝ 犇犃＋ 犃犅 ＋犅犃＋ 犃犇＋ 犇犈 ３ ３ ３ ３ ２→ １→ ２→ １→ ＝ 犅犃＋ 犇犈＝ 犆犇＋ 犇犈． ３ ３ ３ ３ → → → → → 又犆犇与犇犈不共线，根据共面向量定理，可知犕犖，犆犇，犇犈 共面． 因为犕犖不在平面犆犇犈内，所以犕犖∥ 平面犆犇犈． 在平面内，我们曾依据向量共线定理，推得判断三点共线的向量 关系式．那么，在空间中，如何用向量方法来判断四点共面呢？ 例６ 在平面向量中有如下结论： → → → → → 已知犗犃，犗犅不共线，若犗犘＝狓犗犃＋狔犗犅，且狓＋狔＝１，则犘， 犃，犅三点共线． 你能据此得到空间向量中类似的结论吗？ → → → → 解 类比上述结论，猜想：已知犗犃，犗犅，犗犆不共面，若犗犘＝ → → → 狓犗犃＋狔犗犅＋狕犗犆，且狓＋狔＋狕＝１，则犘，犃，犅，犆四点共面．证 明如下： 由狓＋狔＋狕＝１，可得 狓＝１－狔－狕． → → → → 则 犗犘＝狓犗犃＋狔犗犅＋狕犗犆 → → → ＝ （１－狔－狕）犗犃＋狔犗犅＋狕犗犆 → → → → → ＝犗犃＋狔（犗犅－犗犃）＋狕（犗犆－犗犃）， → → → → 所以 犗犘－犗犃＝狔犃犅＋狕犃犆， １３选择性必修第二册 数学 → → → 即 犃犘＝狔犃犅＋狕犃犆． → → → → 由犃，犅，犆三点不共线，可知犃犅和犃犆不共线，所以犃犘，犃犅， → 犃犆共面且有公共起点犃． 从而犘，犃，犅，犆四点共面． → → 思 考 如果将狓＋狔＋狕＝１整体代入，由（狓＋狔＋狕）犗犘＝狓犗犃＋ → → 狔犗犅＋狕犗犆出发，你能得到什么结论？ → 练 习 １．如图，在四面体犘犃犅犆中，点犕，犖分别为犘犃，犘犅的中点，问：犕犖与 → → 犅犆，犃犆是否共面？ （第１题） ２．给出下列四个命题： ① 若存在实数狓，狔，使狆＝狓犪＋狔犫，则狆与犪，犫共面； ② 若狆与犪，犫共面，则存在实数狓，狔，使狆＝狓犪＋狔犫； → → → ③ 若存在实数狓，狔，使犕犘＝狓犕犃＋狔犕犅，则点犘，犕，犃，犅共面； → → → ④ 若点犘，犕，犃，犅共面，则存在实数狓，狔，使犕犘＝狓犕犃＋狔犕犅． 其中 是真命题．（填序号） ３．已知空间向量犪，犫，犮，狆，若存在实数组（狓，狔，狕）和（狓，狔，狕），满足 １ １ １ ２ ２ ２ 狆＝狓犪＋狔犫＋狕犮，狆＝狓犪＋狔犫＋狕犮，且狓≠狓，求证：向量犪，犫，犮 １ １ １ ２ ２ ２ １ ２ 共面． ４．如图，四棱锥犘 犃犅犆犇的底面是平行四边形，犕是犘犆的中点，求证： 犘犃∥平面犅犕犇． （第４题） ５．已知犃，犅，犘三点共线，犗为空间任意一点（犗，犃，犅不共线），且存在实数 → → → α，β，使犗犘＝α犗犃＋β犗犅，求α＋β 的值． １４６ 空间向量与立体几何 第 章 习题６．１ 感受·理解 １．如图，在单位正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，点犈，犉分别是棱犅犆，犆犆的 １ １ １ １ １ １ １ → → → → → 中点．设犃犅＝犻，犃犇＝犼，犃犃 ＝犽，试用犻，犼，犽表示向量犃犈和犃犉． １ （第１题） （第２题） ２．如图，已知犕，犖分别是空间四边形犃犅犆犇的对角线犃犆和犅犇的中点，求 → １ → → 证：犕犖＝ （犃犅＋犆犇）． ２ → → ３．如图，在三棱柱犃犅犆犃′犅′犆′中，犅犆′与犅′犆交于点犗，试用向量犃犅，犃犆， → → 犃犃′表示向量犃犗． （第３题） （第４题） → → → ４．如图，在平行六面体犃犅犆犇 犃′犅′犆′犇′中，已知犃犅＝犪，犃犇＝犫，犃犃′＝ 犮，点犘，犕，犖分别是犆犃′，犆犇′，犆′犇′的中点，点犙在犆犃′上，且犆犙∶ 犙犃′＝４∶１，试用犪，犫，犮表示下列向量： → → → → （１）犃犘； （２）犃犕； （３）犃犖； （４）犃犙． ５．已知四棱锥犘犃犅犆犇的底面是平行四边形，犈为棱犘犆上的点，且犆犈＝ → → → → ２犈犘，试用犃犅，犃犇，犃犘表示向量犆犈． ６．已知犃，犅，犆三点不共线，对于平面犃犅犆外的任意一点犗，分别根据下列 条件，判断点犕是否与点犃，犅，犆共面： → １→ １→ １→ （１）犗犕＝ 犗犃＋ 犗犅＋ 犗犆； ２ ３ ６ → → → → （２）犗犕＝３犗犃－犗犅－犗犆． ７．已知狌，狏是两个不共线的向量，犪＝狌＋狏，犫＝３狌－２狏，犮＝２狌＋３狏． 求证：犪，犫，犮共面． 思考·运用 ８．在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，已知犈，犉分别是犅犅，犇犅 的中点， １ １ １ １ １ １ １ １５选择性必修第二册 数学 求证： （１）犈犉∥犅犇； １ （２）犅犇 ⊥犃犇． １ １ ９．在空间四边形犃犅犆犇中，已知犃犅⊥犆犇，犃犆⊥犅犇，求证：犃犇⊥犅犆． → → → → １０．如图，从犃犅犆犇所在平面外一点犗作向量犗犃′＝犽犗犃，犗犅′＝犽犗犅， → → → → 犗犆′＝犽犗犆，犗犇′＝犽犗犇．求证： （１）犃′，犅′，犆′，犇′四点共面； （２）平面犃′犅′犆′犇′∥平面犃犅犆犇． （第１０题） （第１１题） 探究·拓展 １１．如图，在空间四边形犃犅犆犇中，已知犌为△犅犆犇的重心，犈，犉，犎分别为 边犆犇，犃犇和犅犆的中点，化简下列各式： → １→ １→ （１）犃犌＋ 犅犈－ 犃犆； ３ ２ １ → → → （２） （犃犅＋犃犆－犃犇）； ２ １→ １→ １→ （３） 犃犅＋ 犃犆＋ 犃犇． ３ ３ ３ １２．已知犪，犫，犮是空间三个不共线向量，求证：向量犪，犫，犮共面的充要条件 是存在三个不全为零的实数犾，犿，狀，使犾犪＋犿犫＋狀犮＝０． １６６ 空间向量与立体几何 第 章 ６．２ 空间向量的坐标表示 空间向量是平面向量的推广，在平面向量中，向量可以用坐标表 示，进而利用坐标运算来解决相关问题．那么， ● 空间向量怎样用坐标表示呢？ ６２１ 空间向量基本定理 平面向量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面的两个 不共线向量来线性表示．对于空间向量，有类似的结论吗？ 对于空间向量狆， 空间向量基本定理 如果三个向量犲，犲，犲不共面，那么 犲，犲，犲，若狆＝狓犲＋ １ ２ ３ １ ２ ３ １ 对空间任一向量狆，存在唯一的有序实数组（狓，狔，狕），使 狔犲＋狕犲成立，则称狆 ２ ３ 由犲，犲，犲线性表示． 狆＝狓犲＋狔犲＋狕犲． １ ２ ３ １ ２ ３ 证明 如图６ ２ １，设犲，犲，犲是三个不共面的向量，过空间 １ ２ ３ 一点犗作 → → → → 犗犃＝犲，犗犅＝犲，犗犆＝犲，犗犘＝狆． １ ２ ３ 图６ ２ １ 过点犘作直线犘犘′∥犗犆，交平面犗犃犅于点犘′；在平面犗犃犅内， 过点犘′作直线犘′犃′∥犗犅，犘′犅′∥犗犃，分别交直线犗犃，犗犅于点 犃′，犅′．根据向量共线的条件，存在三个确定的实数狓，狔，狕，使 → → 犗犃′＝狓犗犃＝狓犲， １ → → 犗犅′＝狔犗犅＝狔犲， ２ → → 犘′犘＝狕犗犆＝狕犲， ３ 所以 → → → → 犗犘＝犗犃′＋犗犅′＋犘′犘 → → → ＝狓犗犃＋狔犗犅＋狕犗犆， １７选择性必修第二册 数学 从而 狆＝狓犲＋狔犲＋狕犲． １ ２ ３ 下面证明唯一性． 假设存在实数组（狓′，狔′，狕′），且狓′≠狓，使 狆＝狓′犲＋狔′犲＋狕′犲， １ ２ ３ 于是 狓犲＋狔犲＋狕犲＝狓′犲＋狔′犲＋狕′犲， １ ２ ３ １ ２ ３ 即 （狓－狓′）犲＋（狔－狔′）犲＋（狕－狕′）犲＝０． １ ２ ３ 因为 狓≠狓′， 狔－狔′ 狕－狕′ 所以 犲＝－ 犲－ 犲， １ 狓－狓′２ 狓－狓′３ 从而犲，犲，犲共面，这与已知犲，犲，犲不共面矛盾． １ ２ ３ １ ２ ３ 因此，有序实数组（狓，狔，狕）是唯一的． 空间向量基本定理告诉我们，如果三个向量犲，犲，犲不共面，那 １ ２ ３ 么空间的每一个向量都可由向量犲，犲，犲线性表示．我们把｛犲，犲， １ ２ ３ １ ２ 犲｝称为空间的一个基底，犲，犲，犲叫作基向量． ３ １ ２ ３ 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底 叫作正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量 时，称这个基底为单位正交基底，通常用｛犻，犼，犽｝表示． 推论 设犗，犃，犅，犆是不共面的四点，则对空间任意一点 因为犗，犃，犅，犆 犘，都存在唯一的有序实数组（狓，狔，狕），使得 四点不共面，所以共 → → → → 犗犘＝狓犗犃＋狔犗犅＋狕犗犆． → 起点的三个向量犗犃， → → 犗犅，犗犆不共面．你能 说明理由吗？ 例１ 如图６ ２ ２，在正方体犗犃犇犅犆犃′犇′犅′中，点犈是犃犅 → → → 与犗犇的交点，犕是犗犇′与犆犈的交点，试分别用向量犗犃，犗犅，犗犆 → → 表示向量犗犇′和犗犕． 图６ ２ ２ → → → 解 因为 犗犇＝犗犃＋犗犅， → → → → → → 所以 犗犇′＝犗犇＋犇犇′＝犗犃＋犗犅＋犗犆． １８６ 空间向量与立体几何 第 章 犗犕 犗犈 由 △犗犕犈∽ △犇′犕犆，可得 ＝ ． 犇′犕 犇′犆 １ 又 犗犈＝ 犇′犆， ２ １ １ 则 犗犕＝ 犇′犕＝ 犗犇′， ２ ３ → １→ 所以 犗犕＝ 犗犇′ ３ １→ １→ １→ ＝ 犗犃＋ 犗犅＋ 犗犆． ３ ３ ３ 练 习 １．若｛犪，犫，犮｝为空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基 底的是 ．（填序号） ①犪，犪＋犫，犪－犫； ②犫，犪＋犫，犪－犫； ③犮，犪＋犫，犪－犫； ④犪＋犫，犪－犫，犪＋２犫． → ２．在空间四边形犗犃犅犆中，已知点犕，犖分别是犗犃，犅犆的中点，且犗犃＝犪， → → → 犗犅＝犫，犗犆＝犮，试用向量犪，犫，犮表示向量犕犖． → → → ３．如图，在平行六面体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′中，已知犇犃＝犪，犇犆＝犫，犇犇′＝犮， 点犌是侧面犅′犅犆犆′的中心，试用向量犪，犫，犮表示下列向量： → → → → 犇犅′，犅犃′，犆犃′，犇犌． （第３题） （第４题） ４．如图，在空间四边形犗犃犅犆中，已知犈是线段犅犆的中点，点犌在犃犈上，且 → → → → 犃犌＝２犌犈，试用向量犗犃，犗犅，犗犆表示向量犗犌． ５．如图，设犘是平行四边形犃犅犆犇所在平面外一点，犗是平行四边形对角线 犃犆和犅犇的交点，犙是犆犇的中点，求下列各式中狓，狔的值． → → → → （１）犗犙＝犘犙＋狓犘犆＋狔犘犃； → → → → （２）犘犃＝狓犘犗＋狔犘犙＋犘犇． （第５题） １９选择性必修第二册 数学 ６２２ 空间向量的坐标表示 在平面向量中，我们借助平面直角坐标系得到了平面向量的坐 标表示和坐标运算．那么，如何建立坐标系，用坐标表示空间向量及 其运算呢？ 如图６ ２ ３（１），在空间选定一点犗和一个单位正交基底｛犻，犼， 犽｝．以点犗为原点，分别以犻，犼，犽的方向为正方向建立三条数轴：狓 轴、狔轴、狕轴，它们都叫作坐标轴．这时我们说建立了一个空间直角 坐标系犗狓狔狕，点犗叫作坐标原点，三条坐标轴中的每两条确定一 个坐标平面，分别称为狓犗狔平面、狔犗狕平面和狕犗狓平面． 图６ ２ ３ 如图６ ２ ３（２），在空间直角坐标系中，让右手拇指指向狓轴的 正方向，食指指向狔轴的正方向，若中指指向狕轴的正方向，则称这个 本书建立的坐标系 坐标系为右手直角坐标系． 都是右手直角坐标系． 在空间直角坐标系犗狓狔狕中，对于空间任意一个向量犪，根据空 间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（犪，犪，犪），使 １ ２ ３ 犪＝犪犻＋犪犼＋犪犽． １ ２ ３ 有序实数组（犪，犪，犪）叫作向量犪在空间直角坐标系犗 狓狔狕 １ ２ ３ 中的坐标，记作 犪＝ （犪，犪，犪）． １ ２ ３ 事实上，记向量犪在犻，犼，犽上的投影向量分别为犪，犪，犪，则 犻 犼 犽 犪＝犪＋犪＋犪 犻 犼 犽 ＝ （犪·犻）犻＋（犪·犼）犼＋（犪·犽）犽， 即犪＝犪·犻，犪＝犪·犼，犪＝犪·犽． １ ２ ３ 如图６ ２ ４，在空间直角坐标系犗狓狔狕中，对于空间任意一点 → 犘，我们称向量犗犘为点犘的位置向量．于是，存在唯一的有序实数组 （狓，狔，狕），使得 ２０６ 空间向量与立体几何 第 章 → 犗犘＝狓犻＋狔犼＋狕犽． → 因此，向量犗犘的坐标为 → 犗犘＝ （狓，狔，狕）． → 此时，我们把与向量犗犘对应的有序实数组（狓，狔，狕）叫作点犘的 狓，狔，狕分别叫 坐标，记作犘（狓，狔，狕）． 作点犘的横坐标、纵 坐标和竖坐标． 图６ ２ ４ 类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算 的法则． 设犪＝ （狓，狔，狕），犫＝ （狓，狔，狕），则 １ １ １ ２ ２ ２ 犪＋犫＝ （狓＋狓，狔＋狔，狕＋狕）， １ ２ １ ２ １ ２ 犪－犫＝ （狓－狓，狔－狔，狕－狕）， １ ２ １ ２ １ ２ λ犪＝ （λ狓，λ狔，λ狕），λ∈犚． １ １ １ 空间向量平行的坐标表示为 犪∥犫（犪≠０）狓＝λ狓，狔＝λ狔，狕＝λ狕（λ∈犚）． ２ １ ２ １ ２ １ 例２ 已知犪＝（１，－３，８），犫＝（３，１０，－４），求犪＋犫，犪－ 犫，３犪． 解 犪＋犫＝ （１，－３，８）＋（３，１０，－４）＝ （１＋３，－３＋１０， ８－４）＝ （４，７，４）， 犪－犫＝（１，－３，８）－（３，１０，－４）＝（１－３，－３－１０，８＋４） ＝ （－２，－１３，１２）， ３犪＝３（１，－３，８）＝（３×１，３×（－３），３×８）＝（３，－９，２４）． 与平面向量一样，若犃（狓，狔，狕），犅（狓，狔，狕），则 １ １ １ ２ ２ ２ → → → 犃犅＝犗犅－犗犃＝ （狓－狓，狔－狔，狕－狕）． ２ １ ２ １ ２ １ 这就是说，一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终 点坐标减去它的起点坐标． ２１选择性必修第二册 数学 例３ 已知空间四点犃（－２，３，１），犅（２，－５，３），犆（１０，０， １０）和犇（８，４，９），求证：四边形犃犅犆犇是梯形． → → 证明 依题意 犗犃＝（－２，３，１），犗犅＝（２，－５，３）， → → → 所以 犃犅＝犗犅－犗犃 ＝ （２，－５，３）－（－２，３，１）＝ （４，－８，２）． → → → 同理犇犆＝ （２，－４，１），犃犇＝ （１０，１，８），犅犆＝ （８，５，７）． → → 由犃犅＝２犇犆，可知 → → 犃犅∥犇犆． → → １０ １ → 考察向量犃犇与犅犆，由于 ≠ ，故不存在实数狋，使得犃犇＝ ８ ５ → → → 狋犅犆，即犃犇与犅犆不共线，所以四边形犃犅犆犇是梯形． 练 习 １．已知正方体犃犅犆犇 犃′犅′犆′犇′的棱长为２，建立如图所示的空间直角坐标 系，写出正方体各顶点的坐标． （第１题） ２．已知｛犻，犼，犽｝为一个单位正交基底，试写出下列向量的坐标： （１）犪＝－２犻＋８犼＋３犽； （２）犫＝－５犻＋２犽． ３．已知向量犪＝（３，－２，１），犫＝（－２，４，０），犮＝（３，０，２），求犪－２犫＋４犮． → ４．已知点犃（３，８，－５），犅（－２，０，８），求向量犃犅的坐标． ５．判断下列各组中的两个向量是否平行： （１）犪＝（１，３，－２），犫＝（－２，－６，４）； （２）犪＝（－２，０，５），犫＝（８，０，２０）． ６．设犿，狀是实数，已知犪＝（２，２犿－３，狀＋２），犫＝（４，２犿＋１，３狀－２），且 犪∥犫，求犿，狀的值． ７．设犿，狀是实数，已知点犃（２，－５，－１），犅（－１，－４，－２），犆（犿＋３，－３， 狀）在同一直线上，求犿＋狀的值． 对于平面内两个非零向量犪＝ （狓，狔）和犫＝ （狓，狔），有 １ １ ２ ２ 犪·犫＝狓狓＋狔狔． １ ２ １ ２ 那么，对于空间两个非零向量，它们的数量积的坐标表示又是怎 样的呢？ ２２６ 空间向量与立体几何 第 章 一般地， 设空间两个非零向量为犪＝ （狓，狔，狕），犫＝（狓，狔，狕），则 １ １ １ ２ ２ ２ 犪·犫＝狓狓＋狔狔＋狕狕． １ ２ １ ２ １ ２ 证明 设｛犻，犼，犽｝为空间的一个单位正交基底，则 犪＝ （狓，狔，狕）＝狓犻＋狔犼＋狕犽， １ １ １ １ １ １ 犫＝（狓，狔，狕）＝狓犻＋狔犼＋狕犽． ２ ２ ２ ２ ２ ２ 对于单位正交基 犪·犫＝（狓犻＋狔犼＋狕犽）·（狓犻＋狔犼＋狕犽） １ １ １ ２ ２ ２ 底｛犻，犼，犽｝，有 ＝狓狓犻２＋狔狔犼２＋狕狕犽２＋狓狔犻·犼＋狓狕犻·犽＋ １ ２ １ ２ １ ２ １ ２ １ ２ 犻·犻＝犼·犼＝犽·犽＝１， 狔狓犼·犻＋狔狕犼·犽＋狕狓犽·犻＋狕狔犽·犼 犻·犼＝犻·犽＝犼·犽＝０． １ ２ １ ２ １ ２ １ ２ ＝狓狓＋狔狔＋狕狕． １ ２ １ ２ １ ２ 由此可知， 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 特别地，当犫＝犪时，可以得到向量犪的长度公式： 狘犪狘＝槡狓２＋狔２＋狕２． １ １ １ 思 考 试用向量方法推导点犃（狓，狔，狕），犅（狓，狔，狕）间的距离公式 １ １ １ ２ ２ ２ 犃犅＝槡（狓－狓） ２＋（狔－狔） ２＋（狕－狕） ２． ２ １ ２ １ ２ １ 设空间两个非零向量犪＝ （狓，狔，狕），犫＝（狓，狔，狕），它们 １ １ １ ２ ２ ２ 的夹角为〈犪，犫〉．由向量数量积的定义，可得 狓狓＋狔狔＋狕狕 ｃｏｓ〈犪，犫〉＝ １ ２ １ ２ １ ２ ． 槡狓２＋狔２＋狕２ 槡狓２＋狔２＋狕２ １ １ １ ２ ２ ２ 由此，我们可以得到空间向量垂直的坐标表示为 犪⊥犫犪·犫＝０狓狓＋狔狔＋狕狕＝０． １ ２ １ ２ １ ２ 例４ 已知点犃（３，１，３），犅（１，５，０），求： （１）线段犃犅的中点坐标和犃犅的长度； （２）到犃，犅两点距离相等的点犘（狓，狔，狕）的坐标狓，狔，狕满足 的条件． 解 （１）设犕是犃犅的中点，犗是坐标原点，则 → 犗犃＝ （３，１，３）， → 犗犅＝ （１，５，０）． ２３选择性必修第二册 数学 → → → → １→ 犗犕＝犗犃＋犃犕＝犗犃＋ 犃犅 ２ → １ → → １ → → ＝犗犃＋ （犗犅－犗犃）＝ （犗犃＋犗犅） ２ ２ １ （ ３） ＝ ［（３，１，３）＋（１，５，０）］＝ ２，３， ． ２ ２ （ ３） 所以线段犃犅的中点坐标是 ２，３， ． ２ → → → 因为犃犅＝犗犅－犗犃＝（１，５，０）－（３，１，３）＝（－２，４，－３）， 所以线段犃犅的长度为 → 狘犃犅狘＝槡（－２） ２＋４２＋（－３） ２ ＝槡２９． （２）设犘（狓，狔，狕）到犃，犅两点的距离相等，则 槡（狓－３） ２＋（狔－１） ２＋（狕－３） ２＝槡（狓－１） ２＋（狔－５） ２＋（狕－０） ２． 化简，得 ４狓－８狔＋６狕＋７＝０， 这就是点犘的坐标狓，狔，狕满足的条件． 思 考 已知点犃（狓，狔，狕），犅（狓，狔，狕），试用向量方法推导线段 １ １ （１ ２ ２ ２ ） 狓＋狓 狔＋狔 狕＋狕 犃犅的中点犕的坐标为 １ ２， １ ２，１ ２ ． ２ ２ ２ 练 习 １．设犪＝（１，３，７），犫＝（３，－１，０），求犪·犫，并判断犪与犫是否垂直． ２．若向量犪＝（－１，１，－２）与犫＝（１，狓，２）垂直，则实数狓的值为 ． ３．已知向量犪，犫，犮满足２犪＋犫＝ （０，－５，１０），犮＝ （１，－２，－２），且 犪·犮＝４，求犫·犮． → ４．已知点犃（１，４，１），犅（－２，０，１），求｜犃犅｜． ５．写出与点犆（１，－２，３）距离等于４的点犕的坐标狓，狔，狕满足的关系式． 习题６．２ 感受·理解 １．判断下列命题的真假： （１）若向量犪，犫共线，则向量犪，犫所在的直线平行； （２）若向量犪，犫所在的直线是异面直线，则向量犪，犫一定不共线； （３）若三个向量犪，犫，犮两两共面，则三个向量犪，犫，犮一定共面； （４）若犪，犫，犮是空间三个向量，则对空间任一向量狆，总存在唯一的有序实 数组（狓，狔，狕），使狆＝狓犪＋狔犫＋狕犮． → → → ２．已知犘是△犃犅犆所在平面外一点，犕是犘犆中点，且犅犕＝狓犃犅＋狔犃犆＋ → 狕犃犘，求狓，狔，狕的值． → → → ３．如图，在三棱柱犃犅犆犃′犅′犆′中，已知犃犃′＝犪，犃犅＝犫，犃犆＝犮，点犕，犖 ２４６ 空间向量与立体几何 第 章 → → 分别是犅犆′，犅′犆′的中点，试用基底｛犪，犫，犮｝表示向量犃犕，犃犖． （第３题） ４．已知犪＝（－３，２，５），犫＝（１，５，－１），求３犪－２犫，（犪＋犫）·（犪－犫）． → → ５．已知犃（３，５，－７），犅（－２，４，３），犕是线段犃犅的中点，求犃犅，犅犃以及 点犕的坐标． ６．判断下列各题中的两个向量是否平行： （１）犪＝（２，－１，－２），犫＝（６，－３，－６）； （２）犪＝（０，０，１），犫＝（０，０，－３）． ７．设犿，狀为实数，已知犪＝（－２，３，－１），犫＝（４，犿，狀），且犪∥犫，求犿，狀的值． ８．求下列各题中两个向量夹角的大小： （１）犪＝（２，－３，槡３），犫＝（１，０，０）； （２）犪＝２犻＋２槡６犼－２犽，犫＝－２犻＋２犽，其中｛犻，犼，犽｝是一个单位正交基底． ９．设狓为实数，已知犪＝（２，－１，３），犫＝（－４，２，狓），且犪⊥犫，求狓的值． 思考·运用 １０．在三棱锥犗 犃犅犆中，已知侧棱犗犃，犗犅，犗犆两两垂直，求证：底面 △犃犅犆是锐角三角形． １１．设犿为实数，已知犃（犿，１＋犿，２＋犿），犅（１－犿，３－２犿，３犿）是空间两 → 个动点，求｜犃犅｜的最小值． → → → １２．已知犗犃＝（１，２，３），犗犅＝ （２，１，２），犗犆＝ （１，１，２），点犕在直线 → → 犗犆上运动．当犕犃·犕犅取最小值时，求点犕的坐标． 探究·拓展 １３．如图，已知正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 的棱长为１，犘，犙，犚分别在犃犅， １ １ １ １ 犃犘 犆犙 犇犚 犪 → 犆犆，犇犃 上，并满足 ＝ ＝ １ ＝ （０＜犪＜１）．设犃犅＝ １ １ １ 犘犅 犙犆 犚犃 １－犪 １ １ → → 犻，犃犇＝犼，犃犃 ＝犽． １ → → （１）用犻，犼，犽表示犘犙，犘犚； → （２）设△犘犙犚的重心为犌，用犻，犼，犽表示犇犌； → → （３）当犚犌⊥犇犌时，求犪的取值范围． （第１３题） ２５选择性必修第二册 数学 ６．３ 空间向量的应用 在平面向量中，我们借助向量研究了平面内两条直线平行、垂直 等位置关系． ● 如何用向量刻画空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的 位置关系？ ６３１ 直线的方向向量与平面的法向量 为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先要用向量来表示 直线和平面的“方向”． 我们把直线犾上的向量犲（犲≠０）以及与犲共线的非零向量叫作 直线犾的方向向量（ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｖｅｃｔｏｒ）． 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，我们可以考虑 用平面的垂线的方向向量来刻画平面的“方向”． 如果表示非零向量狀的有向线段所在直线垂直于平面α，那 么称向量狀垂直于平面α，记作狀⊥α．此时，我们把向量狀叫作 平面α的法向量（ｎｏｒｍａｌｖｅｃｔｏｒ）． 与平面垂直的直 线叫作平面的法线． 因此，平面的法向量 → 例１ 在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，求证：犇犅 是平面 就是平面的法线的方 １ １ １ １ １ 犃犆犇 的法向量． 向向量． １ 图６ ３ １ → → → 证明 不妨设正方体的棱长为１，以｛犇犃，犇犆，犇犇｝为单位正 １ 交基底，建立如图６ ３ １所示的空间直角坐标系犇狓狔狕，则 犃（１，０，０），犆（０，１，０），犇（０，０，１），犅（１，１，１）， １ １ ２６６ 空间向量与立体几何 第 章 所以 → → → 犇犅 ＝ （１，１，１），犃犆＝ （－１，１，０），犃犇 ＝ （－１，０，１）． １ １ → → 因为 犇犅·犃犆＝１×（－１）＋１×１＋１×０＝０， １ → → 所以 犇犅 ⊥犃犆． １ → → 同理 犇犅 ⊥犃犇． １ １ 又因为 犃犆∩犃犇 ＝犃， １ → 所以 犇犅 ⊥ 平面犃犆犇， １ １ → 从而犇犅 是平面犃犆犇 的法向量． １ １ 在空间直角坐标系中，我们可以用待定系数法来求平面的法 向量． 例如，在上面的例子中，我们可以设平面犃犆犇 的一个法向量为 １ 狀＝ （狓，狔，狕），则 → → 狀⊥犃犆，狀⊥犃犇， １ → → 从而 狀·犃犆＝０，狀·犃犇 ＝０． １ → → 因为 犃犆＝ （－１，１，０），犃犇 ＝ （－１，０，１）， １ 所以 －１·狓＋１·狔＋０·狕＝０， －１·狓＋０·狔＋１·狕＝０． 烄狓－狔＝０， 解方程组 烅 烆狓－狕＝０， 烄狔＝狓， 得 烅 烆狕＝狓． 不妨取狓＝１，则狔＝狕＝１． 所以狀＝ （１，１，１）就是平面犃犆犇 的一个法向量． １ 例２ 在空间直角坐标系中，设平面α经过点犘（狓，狔，狕）， ０ ０ ０ 平面α的一个法向量为狀＝（犃，犅，犆），犕（狓，狔，狕）是平面α内任意 一点，求狓，狔，狕满足的关系式． 解 由题意可得 → 犘犕＝ （狓－狓，狔－狔，狕－狕）． ０ ０ ０ → 因为狀是平面的法向量，所以狀⊥犘犕， → 从而 狀·犘犕＝０， ２７选择性必修第二册 数学 即 （犃，犅，犆）·（狓－狓，狔－狔，狕－狕）＝０， ０ ０ ０ 得到 犃（狓－狓）＋犅（狔－狔）＋犆（狕－狕）＝０． ０ ０ ０ 所以满足题意的关系式为 犃（狓－狓）＋犅（狔－狔）＋犆（狕－狕）＝０． ０ ０ ０ 从上例中，我们不难发现，在空间直角坐标系中，平面可以用关 于狓，狔，狕的三元一次方程来表示． 思 考 已知直线上一点和直线的方向向量，这条直线就唯一确定．已知 平面内一点和平面的法向量，这个平面是否唯一确定？ 练 习 １．设犿为实数，直线犾的方向向量为犪＝（２，－１，２），直线犾的方向向量为 １ ２ 犫＝（１，１，犿），若犾⊥犾，则犿的值为 ． １ ２ ２．设狋为实数，若直线犾垂直于平面α，且犾的方向向量为（狋，２，４），α的法向量 （ ） １ 为 ，１，２ ，则狋的值为 ． ２ → ３．在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，证明犃犇是平面犃犅犆犇 的法向量． １ １ １ １ １ １ １ ４．已知平面α内两个向量犪＝（－１，１，０），犫＝（－１，０，１），求平面α的一个 法向量． ５．已知点犃（１，１，１），犅（１，０，０），犆（０，１，－１）． （１）写出直线犅犆的一个方向向量； → （２）设平面α经过点犃，且犅犆是α的法向量，犕（狓，狔，狕）是平面α内任意一 点，试写出狓，狔，狕满足的关系式． ６３２ 空间线面关系的判定 在“立体几何初步”一章中，我们运用几何的方法研究了空间直 线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系． 下面我们用向量的方法来研究空间线面的平行和垂直关系． 设空间两条直线犾，犾的方向向量分别为犲，犲，两个平面α，α １ ２ １ ２ １ ２ 的法向量分别为狀，狀，则有下表： １ ２ 平 行 垂 直 犾与犾 犲∥犲 犲⊥犲 １ ２ １ ２ １ ２ 犾与α 犲⊥狀 犲∥狀 １ １ １ １ １ １ α与α 狀∥狀 狀⊥狀 １ ２ １ ２ １ ２ ２８６ 空间向量与立体几何 第 章 例３ 证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜 线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．（三垂线定理） 已知：如图６ ３ ２，犗犅是平面α的斜线，犗为斜足，犃犅⊥α，犃 为垂足，犆犇α，且犆犇⊥犗犃． 求证：犆犇⊥犗犅． → → → → 分析 要证犆犇⊥犗犅，只要证犆犇⊥犗犅，即证犆犇·犗犅＝０． 证明 因为犆犇⊥犗犃， 图６ ３ ２ → → 所以 犆犇·犗犃＝０． 因为 犃犅⊥α，犆犇α， 所以 犃犅⊥犆犇， → → 犆犇·犃犅＝０． → → → 又因为 犗犅＝犗犃＋犃犅， → → → → → → → → → 所以 犆犇·犗犅＝犆犇·（犗犃＋犃犅）＝犆犇·犗犃＋犆犇·犃犅＝０， 故 犆犇⊥犗犅． 在“立体几何初步”一章中，我们通过操作、感知，得到了直线与 平面垂直的判定定理，下面用向量的方法加以证明． 例４ 证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那 么这条直线垂直于这个平面．（直线与平面垂直的判定定理） 已知：如图６ ３ ３，犿α，狀α，犿∩狀＝犅，犾⊥犿，犾⊥狀． 求证：犾⊥α． 分析 根据定义，要证明直线与平面垂直，只要证明该直线垂直 于平面内任意一条直线．由于犿，狀是平面α内两条相交直线，所以平 面内任意一个向量都可以用直线犿，狀上的非零向量线性表示．向量 图６ ３ ３ 的垂直关系可以通过它们的数量积为０来推得． 证明 如图６ ３ ３，在α内任意作一条直线犵，在直线犾，犿，狀， 犵上分别取非零向量犾，犿，狀，犵． 因为直线犿与狀相交，所以向量犿，狀不共线．由共面向量定理 可知，存在唯一的有序实数组（狓，狔），使得 犵＝狓犿＋狔狀， 所以 犾·犵＝犾·（狓犿＋狔狀）＝狓犾·犿＋狔犾·狀． 因为 犾⊥犿，犾⊥狀， 所以 犾·犿＝０，犾·狀＝０． ２９选择性必修第二册 数学 由空间两条直线 可得 犾·犵＝０， 方向向量的数量积为０ 即 犾⊥犵． 来判定这两条直线互 相垂直是常用的方法． 因为犾垂直于α内的任意一条直线， 所以 犾⊥α． 例５ 如图６ ３ ４，已知矩形犃犅犆犇和矩形犃犇犈犉所在平面 １ 互相垂直，点犕，犖分别在对角线犅犇，犃犈上，且犅犕＝ 犅犇， ３ １ 犃犖＝ 犃犈．求证：犕犖∥ 平面犆犇犈． ３ 图６ ３ ４ 分析 在６．１．３节的例５中，我们曾用共面向量定理证明了 犕犖∥ 平面犆犇犈．这里，我们将用坐标的方法加以证明，为此，只需 → 证明向量犕犖垂直于平面犆犇犈的法向量． 证明 因为矩形犃犅犆犇和矩形犃犇犈犉所在平面互相垂直，所以 犃犅，犃犇，犃犉互相垂直．不妨设犃犅，犃犇，犃犉的长分别为３犪，３犫， → → → ３犮，以｛犃犅，犃犇，犃犉｝为正交基底，建立如图６ ３ ４所示的空间直 角坐标系犃狓狔狕．则 犅（３犪，０，０），犇（０，３犫，０），犉（０，０，３犮），犈（０，３犫，３犮）， → → 所以 犅犇＝ （－３犪，３犫，０），犈犃＝ （０，－３犫，－３犮）． → １→ → １→ 因为犅犕＝ 犅犇＝（－犪，犫，０），犖犃＝ 犈犃＝（０，－犫，－犮）， ３ ３ → → → → 所以 犖犕＝犖犃＋犃犅＋犅犕 ＝ （０，－犫，－犮）＋（３犪，０，０）＋（－犪，犫，０） ＝ （２犪，０，－犮）． → 又平面犆犇犈的一个法向量是 犃犇＝ （０，３犫，０）， → → 由 犖犕·犃犇＝ （２犪，０，－犮）·（０，３犫，０）＝０， → → 得到 犖犕⊥犃犇． ３０６ 空间向量与立体几何 第 章 因为犕犖不在平面犆犇犈内， 直线的方向向量 与平面的法向量垂 所以 犕犖∥ 平面犆犇犈． 直，这条直线可能与 平面平行，也可能在 例６ 在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，已知犈，犉分别为 该平面内． １ １ １ １ 犅犅，犆犇的中点，求证：犇犉⊥ 平面犃犇犈． １ １ 分析 要证明犇犉⊥平面犃犇犈，只要证明犇犉垂直于平面 １ １ 犃犇犈内两条相交直线．为此，可以建立适当的空间直角坐标系，通过 向量的坐标运算，根据数量积是否等于０来判断垂直关系． → → → 证明 不妨设正方体的棱长为１，以｛犇犃，犇犆，犇犇｝为单位正 １ 交基底，建立如图６ ３ ５所示的空间直角坐标系犇狓狔狕，则 → → 犇犃＝ （１，０，０），犇犇 ＝ （０，０，１）， １ → （ １ ） → （ １） 犇犉＝ ０， ，０ ，犇犈＝ １，１， ． ２ ２ 因为 图６ ３ ５ → → → （ １ ） （ １ ） 犇犉＝犇犉－犇犇 ＝ ０， ，０ －（０，０，１）＝ ０， ，－１ ， １ １ ２ ２ → → １ 所以 犇犃·犇犉＝１×０＋０× ＋０×（－１）＝０， １ ２ → → 可得 犇犉⊥犇犃． １ → → → （ １） （ １） 因为 犃犈＝犇犈－犇犃＝ １，１， －（１，０，０）＝ ０，１， ， ２ ２ → → １ １ 所以 犃犈·犇犉＝０×０＋１× ＋ ×（－１）＝０， １ ２ ２ → → 可得 犇犉⊥犃犈． １ 又因为 犇犃∩犃犈＝犃， 所以 犇犉⊥ 平面犃犇犈． １ 在例３至例６中，空间的位置关系（平行或垂直）是通过直线的方 向向量与平面的法向量的位置关系（平行或垂直）来判定的． 练 习 １．填空： （１）若直线犾的方向向量为犪＝（１，－２，２），直线犾的方向向量为犫＝（２， １ ２ ３，２），则犾与犾的位置关系是 ． １ ２ （２）若μ＝（１，２，－２），ν＝（－３，－６，６）分别是平面α，β 的法向量，则平 面α，β 的位置关系是 ． （３）若直线犾的方向向量为犲＝ （１，０，３），平面α的法向量为狀＝ （ ） ２ －２，０， ，则直线犾与平面α的位置关系是 ． ３ ３１选择性必修第二册 数学 （４）已知直线犾的方向向量为犲＝ （－１，１，２），平面α的法向量为狀＝ （ ） １ ，λ，－１ （λ∈犚）．若犾⊥α，则λ的值为 ． ２ （５）设μ＝（－１，２，４），ν＝（狋，－１，－２）（狋∈犚）分别是平面α，β 的法向 量．若α∥β，则狋＝ ；若α⊥β，则狋＝ ． ２．如图，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，犆犇 和犇犆 相交于点犗，求证： １ １ １ １ １ １ 犃犗⊥犃犅． １ （第２题） （第６题） ３．用向量方法证明：经过一个平面的垂线的平面垂直于该平面． ４．在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，求证：犃犅⊥犃犆． １ １ １ １ １ １ ５．证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也 和这条斜线在平面内的射影垂直． ６．如图，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，犗是犃犆与犅犇的交点，犕是犆犆 的 １ １ １ １ １ 中点．求证：犃犗⊥平面犕犅犇． １ ７．已知平面α⊥平面 β，α∩β＝犾，直线犿α，且犿⊥犾，求证：犿⊥β． ６３３ 空间角的计算 我们已经用直线的方向向量和平面的法向量分别刻画空间直线 和平面的“方向”，下面我们用向量的方法来求空间直线与直线、直线 与平面、平面与平面所成的角． 例７ 如图６ ３ ６，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，点犈， １ １ １ １ １ １ １ 犉 分别在犃犅，犆犇 上，且犈犅 ＝ 犃犅，犇犉 ＝ 犇犆，求 １ １ １ １ １ １ １ ４ １ １ １ １ ４ １ １ 犅犈 与犇犉 所成的角的大小． １ １ 分析 两条异面直线所成的角与它们的方向向量所成的角相等 或互补．可以先求出它们的方向向量的夹角，再确定两条异面直线所 图６ ３ ６ 成的角． → → 解 设犇犇 ＝４犪，犇犉 ＝犫，则狘犪狘＝狘犫狘，犪⊥犫． １ １ １ → → → 因为 犅犅 ＝犇犇 ＝４犪，犅犈 ＝－犫， １ １ １ １ ３２６ 空间向量与立体几何 第 章 所以 → → → → → → 犇犉 ＝犇犇 ＋犇犉 ＝４犪＋犫，犅犈 ＝犅犅＋犅犈 ＝４犪－犫， １ １ １ １ １ １ １ １ → → 故 狘犇犉狘２＝狘犅犈狘２＝ （４犪） ２＋犫２＝１７犪２ ， １ １ → → 犅犈·犇犉 ＝ （４犪－犫）·（４犪＋犫）＝１６犪２－犫２＝１５犪２． １ １ 由 → → → → 犅犈·犇犉 １５ ｃｏｓ〈犅犈，犇犉〉＝ １ １ ＝ ， １ １ 狘犅  犈 → 狘狘犇  犉 → 狘 １７ １ １ 可得异面直线犅犈 与犇犉 所成的角约为２８．０７°． １ １ 思 考 你能通过建立空间直角坐标系的方法来求解上例吗？ 例８ 在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，犉是犅犆的中点，点犈 １ １ １ １ １ １ 在犇犆 上，且犇犈 ＝ 犇犆，试求直线犈犉与平面犇犃犆所成角 １ １ １ １ ４ １ １ １ １ 的大小． 分析 斜线与平面所成的角是锐角，可以通过直线的方向向量 与平面的法向量的夹角来求得．直线犈犉与平面犇犃犆所成的角，就 １ １ 是直线犈犉与该平面的垂线所成角的余角．为此，要先确定平面 １ 犇犃犆的法向量． １ → → → 解 不妨设正方体的棱长为１，以｛犇犃，犇犆，犇犇｝为单位正交 １ 基底，建立如图６ ３ ７所示的空间直角坐标系犇狓狔狕，则 （ １ ） （１ ） 犅（１，１，１），犈 ０， ，１ ，犉 ，１，０ ， １ １ ４ ２ → → （１ ３ ） 所以 犇犅 ＝ （１，１，１），犈犉＝ ， ，－１ ． １ １ ２ ４ 图６ ３ ７ → → １ ３ １ 犇犅·犈犉＝１× ＋１× ＋１×（－１）＝ ， １ １ ２ ４ ４ → → 槡 １ ９ 槡８７ 狘犇犅狘狘犈犉狘＝槡３× ＋ ＋１＝ ． １ １ ４ １６ ４ → → 设犇犅 与犈犉所成的角为θ，则 １ １ → → 犇犅·犈犉 槡８７ ｃｏｓθ＝ １ １ ＝ ， 狘犇  犅 → 狘狘犈  犉 → 狘 ８７ １ １ 从而可得θ≈８３．８５°． → → 因为犈犉是直线犈犉的方向向量，犇犅 是平面犇犃犆的法向量， １ １ １ １ 所以犈犉与平面犇犃犆所成角是θ的余角，大小约为６．１５°． １ １ ３３选择性必修第二册 数学 思 考 １ 把题设中的条件“犉是犅犆的中点”改为“犆犉＝ 犆犅”，你能得 ４ 到什么结论？本例怎样用综合法求解？试对这两种方法加以比较． 在定义了平面的法向量之后，我们就可以用平面的法向量来求 两个平面所成的角． 由于平面的法向量垂直于平面，这样，两个平面所成的二面角就 可以转化为这两个平面的法向量所成的角．因为二面角的平面角θ的 取值范围是０°≤θ≤１８０°，所以二面角的平面角θ与这两个平面的法 向量的夹角相等或互补（图６ ３ ８）． 图６ ３ ８ 例９ 在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，求二面角犃 犅犇 １ １ １ １ １ 犆 的大小． １ → → → 解 不妨设正方体的棱长为１，以｛犇犃，犇犆，犇犇｝为单位正交 １ 基底，建立如图６ ３ ９所示的空间直角坐标系犇狓狔狕，则 → → 犇犅＝ （１，１，０），犇犆 ＝ （０，１，１）． １ 设平面犆犅犇的法向量为狀 ＝ （狓，狔，狕）， 图６ ３ ９ １ １ → → 则 狀·犇犅＝０，狀·犇犆 ＝０， １ １ １ 即 狓＋狔＝０，狔＋狕＝０． 令狓＝１，则狔＝－１，狕＝１． 所以狀＝ （１，－１，１）是平面犆犅犇的一个法向量． １ １ 同理，狀＝ （－１，１，１）是平面犃犅犇的一个法向量． ２ １ 因为 狘狀狘＝槡３，狘狀狘＝槡３， １ ２ 狀·狀＝－１－１＋１＝－１， １ ２ ３４６ 空间向量与立体几何 第 章 狀·狀 １ 所以 ｃｏｓ〈狀，狀〉＝ １ ２ ＝－ ． １ ２ 狘狀狘狘狀狘 ３ １ ２ 由此可知向量狀和狀的夹角约为１０９．４７°． １ ２ 所求二面角的平面角与这个夹角相等或互补．根据图形可知，二 面角犃 犅犇犆 的大小约为７０．５３°． １ １ 在例７、例８和例９中，空间角的计算问题是转化为计算直线的 方向向量与平面的法向量所成的角来解决的． 练 习 １．若向量犪＝（２，－３，槡３）是直线犾的方向向量，向量狀＝（１，０，０）是平面α 的法向量，则直线犾与平面α所成的角为 ． ２．如图，设正方形犃犅犆犇与正方形犃犅犈犉的边长都为１，若犉犃⊥平面犃犅犆犇， 则异面直线犃犆与犅犉所成角的大小为 ． ３．在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，犕是犃犅的中点，求对角线犇犅 与犆犕所 １ １ １ １ １ 成角的余弦值． ４．已知平面的一条斜线和它在平面内的射影的夹角为４５°，平面内一条直线和这 条斜线在平面内的射影的夹角为４５°，求斜线和平面内这条直线所成的角． （第２题） ５．如图，在正方体犃犅犆犇犃犅犆犇中，求犅犇与平面犃犆犇所成角的余弦值． １ １ １ １ １ １ （第５题） （第６题） ６．如图，在正方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，犗是正方形犃犅犆犇的中心，犕是犆犆 １ １ １ １ １ 的中点． → （１）求证：犗犕是平面犃犅犇的法向量； １ （２）求二面角犃犃犅犇的大小． １ ６．３．４ 空间距离的计算 我们知道，空间两条平行直线间的距离、一条直线到与它平行的 平面的距离、两个平行平面间的距离可以转化为点到直线的距离或 点到平面的距离． 下面我们用向量的方法分别研究点到直线的距离及点到平面的 距离． 先考察点到平面的距离． 如图６ ３ １０，犘是平面α外一点，犘犗⊥α，垂足为犗，犃为平 ３５选择性必修第二册 数学 面α内任意一点，设狀为平面α的法向量，则 → → 犃犘·狀＝狘犃犘狘狘狀狘ｃｏｓθ， → 其中θ＝〈犃犘，狀〉． 图６ ３ １０ → 从而 狘犃  犘 → 狘ｃｏｓθ＝ 犃犘·狀 ． 狘狀狘 因为狘犃  犘 → 狘ｃｏｓθ的绝对值即为点犘到平面α的距离犱，所以 → 狘犃犘·狀狘 犱＝ ． 狘狀狘 例１０ 已知正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇的棱长为１，求点犅到 １ １ １ １ 平面犅犆犇的距离． １ １ → → → 解 以｛犇犃，犇犆，犇犇｝为单位正交基底，建立如图６ ３ １１ １ 所示的空间直角坐标系犇狓狔狕，则 犅（１，１，０），犆（０，１，０），犅（１，１，１），犇（０，０，１）． １ １ 所以 → → → 犇犅＝（１，１，０），犆犅＝（１，０，１），犅犆＝（－１，０，０）． １ １ １ 设平面犅犆犇的法向量为狀＝（狓，狔，狕）， 图６ ３ １１ １ １ 则 狀·犇  犅 → ＝０，狀·犆  犅 → ＝０， １ １ １ 即 狓＋狔＝０，狓＋狕＝０． 令狓＝－１，则狔＝１，狕＝１． 所以狀＝（－１，１，１）是平面犅犆犇的一个法向量． １ １ 因为狀·犅  犆 → ＝１，狘狀狘＝槡３，所以点犅到平面犅犆犇的距离为 １ １ → 狘狀·犅犆狘 槡３ 犱＝ ＝ ． 狘狀狘 ３ 思 考 本题还有其他解法吗？ 下面，再考察点到直线的距离． 如图６ ３ １２（１），犘为直线犾外一点，犃是犾上任意一点，在点 ３６６ 空间向量与立体几何 第 章 → 犘和直线犾所确定的平面内，取一个与直线犾垂直的向量狀，则 设狀＝λ犲＋μ犃犘 犃  犘 → ·狀＝狘犃  犘 → 狘狘狀狘ｃｏｓθ，其中θ＝〈犃  犘 → ，狀〉，从而点犘到直线犾 （λ，μ∈犚），其中犲是 的距离为 直线犾的方向向量．根 据狀·犲＝０，求出λ，μ → 的一组值，就得到狀． 狘犃犘·狀狘 犱＝ ． 狘狀狘 我们还可以借助直线犾的方向向量来求点到直线的距离． 图６ ３ １２ 如图６ ３ １２（２），犘是直线犾外一点，犘犗⊥犾，犗为垂足，犃是犾 上任意一点，设犲是直线犾的方向向量，记 φ＝ 〈犃  犘 → ，犲〉，则 → 犃犘·犲 ｃｏｓφ＝ ， → 狘犃犘狘狘犲狘 故点犘到直线犾的距离为 → 犱＝狘犃犘狘ｓｉｎφ． 例１１ 已知正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇的棱长为１，犈，犉分别 １ １ １ １ 是犅犆和犆犇的中点． （１）求证：犈犉∥犅犇； １ １ （２）求两条平行线犈犉和犅犇间的距离． １ １ → → → 解 以｛犇犃，犇犆，犇犇｝为单位正交基底，建立如图６ ３ １３所 １ 示的空间直角坐标系犇狓狔狕，则 （１ ） 犆（０，１，０），犅（１，１，１），犇 （０，０，１），犈 ，１，０ ， １ １ ２ （ １ ） 犉０， ，０ ． ２ 图６ ３ １３ （１ １ ） → → → （１）因为犉犈＝ ， ，０ ，犇犅＝（１，１，０）＝２犉犈， ２ ２ １ １ 所以 犉  犈 → ∥犇  犅 → ． １ １ 故 犈犉∥犅犇． １ １ （２）因为犈犉∥犅犇，所以点犈到直线犅犇的距离即为两条平 １ １ １ １ 行线犈犉和犅犇间的距离． １ １ ３７选择性必修第二册 数学 方法１ 设在平面犈犅犇 内与直线犅犇 垂直的向量为狀＝（狓， １ １ １ １ 狔，狕），则由狀⊥犅  犇 → 可得狓＋狔＝０． １ １ → → 由狀与犅犇，犅犈共面可知，存在实数犿，狆，使得 １ １ １ → → 狀＝犿犅犇＋狆犅犈． １ １ １ （ ） 因为犅  犇 → ＝ （－１，－１，０），犅  犈 → ＝ － １ ，０，－１ ， １ １ １ ２ （ ） １ 所以 （狓，狔，狕）＝犿（－１，－１，０）＋狆－ ，０，－１ ２ １ ＝ （－犿－ 狆，－犿，－狆）， ２ １ 烄狓＝－犿－ 狆， ２ 即 烅 狔＝－犿， 烆狕＝－狆． １ 所以 狓＝狔＋ 狕． ２ 令狓＝１，则狔＝－１，狕＝４，即狀＝ （１，－１，４）． 故点犈到直线犅犇 的距离为 １ １ ９ → 狘犈犅·狀狘 ２ ３槡２ 犱＝ １ ＝ ＝ ， 狘狀狘 槡１８ ４ ３槡２ 即两条平行线犈犉和犅犇 间的距离为 ． １ １ ４ （１ ） 方法２ 连接犈犅，则犈  犅 → ＝ ，０，１ ． １ １ ２ → → 记θ＝ 〈犇犅，犈犅〉， １ １ １ １ 槡５ 因为 犇  犅 → ·犈  犅 → ＝ ，狘犇  犅 → 狘＝槡２，狘犈  犅 → 狘＝ ， １ １ １ ２ １ １ １ ２ → → 犇犅·犈犅 槡１０ ３槡１０ 所以 ｃｏｓθ＝ １ １ １ ＝ ，ｓｉｎθ＝ ． 我们还可以结合 狘犇  犅 → 狘狘犈  犅 → 狘 １０ １０ 平面几何知识求解： １ １ １ 设犕，犖分别是犈犉， 故点犈到直线犅犇的距离为 １ １ → 犅犇 的中点，则犕犖 １（１ ） → 槡５ ３槡１０ ３槡２ １ １ 犱＝狘犈犅狘ｓｉｎθ＝ × ＝ ， ＝ ，－ ，１ ．易 １ ２ １０ ４ ４ ４ → → → 证犕犖⊥犈犉，犕犖⊥ ３槡２ → → 即两条平行线犈犉和犅犇间的距离为 ． 犅犇，则狘犕犖狘就是 １ １ ４ １ １ 所求的距离． 通过例１０和例１１我们可以归纳出用向量方法研究空间距离问 ３８６ 空间向量与立体几何 第 章 题的一般步骤： 第一步，确定法向量； 第二步，选择参考向量； 第三步，确定参考向量到法向量的投影向量； 第四步，求投影向量的长度． 练 习 １．如图，在棱长为１的正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇中， １ １ １ １ （１）两条平行直线犃犇和犅犆间的距离为 ； １ １ （２）两个平行平面犃犇犅和犇犆犅间的距离为 ； １ １ １ （３）点犃到平面犃犇犅的距离为 ； １ （４）点犃到直线犇犆的距离为 ． １ （第１题） （第２题） ２．如图，将边长为槡２的正方形犃犅犆犇沿对角线犅犇折成直二面角，求点犇到 平面犃犅犆的距离． ３．如图，在棱长为１的正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇中，犘是正方形犃犅犆犇的中 １ １ １ １ 心，犕是犆犆的中点． １ （１）求点犃到直线犕犘的距离； １ （２）求点犆到平面犃犇犅的距离． １ （第３题） （第４题） １ ４．如图，在棱长为３的正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇中，犃犕＝ 犃犅，犅犖＝ １ １ １ １ １ ３ １ １ １ 犅犇． ３ １ １ （１）求证：犃犅∥平面犅犇犆； １ １ １ → （２）求证：犕犖是平面犅犇犆的法向量； １ １ （３）求犃犅和平面犅犇犆的距离． １ １ １ ３９选择性必修第二册 数学 链 接 运用空间向量求异面直线间的距离 如图６ ３ １４，设犃，犘分别为异面直线犪，犫上的点，狀是与直线 犪，犫都垂直的向量，从而异面直线犪，犫间的距离为 → 狘犃犘·狀狘 犱＝ ， 狘狀狘 → 即为向量犃犘在向量狀上的投影向量的模． 图６ ３ １４ 习题６．３ 感受·理解 １．已知点犃（１，１，１），犅（０，２，０），犆（２，３，１）． （１）写出直线犅犆的一个方向向量； （２）写出平面犃犅犆的一个法向量． ２．如图，已知△犃犅犆和△犇犅犆所在的平面互相垂直，犃犅＝犅犆＝犅犇， ∠犃犅犆＝∠犇犅犆＝１２０°，求： （１）犃犇与犅犆所成的角； （２）犃犇与平面犅犆犇所成的角； （３）二面角犃犅犇 犆的大小． （第２题） （第３题） ３．如图，在正方体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，犕，犖分别是犃犃，犅犅的中点，求 １ １ １ １ １ １ 直线犆犕与犇犖所成的角． １ ４．如图，已知正三棱柱犃犅犆犃犅犆的各棱长都等于２，点犇是犅犆上一点， １ １ １ 犃犇⊥犆犇． １ （１）求证：平面犃犇犆⊥平面犅犆犆犅； １ １ １ （２）求点犃 到平面犃犆犇的距离． １ １ （第４题） （第５题） ４０６ 空间向量与立体几何 第 章 ５．如图，已知正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 的棱长为２，犈，犉，犌分别为犃犅， １ １ １ １ 犅犆，犅犅 的中点． １ （１）求证：平面犃犇犆∥平面犈犉犌； １ １ （２）求平面犃犇犆 与平面犈犉犌间的距离． １ １ 思考·运用 ６．已知平面的一条斜线和它在平面内的射影的夹角为θ，平面内的一条直线 １ 和这条斜线在平面内的射影的夹角为θ．设斜线和平面内这条直线的夹角 ２ 为θ，求证：ｃｏｓθ＝ｃｏｓθ·ｃｏｓθ． １ ２ ７．如图，矩形犃犅犆犇的对角线犃犆，犅犇交于点犗，犃犅＝４，犃犇＝３．沿犃犆 把△犃犆犇折起，使二面角犇 犃犆犅为直二面角，求二面角犇 犅犆犃的 １ １ 大小． （第７题） ８．如图，正三棱柱犃犅犆 犃犅犆 的底面边长为犪，侧棱长为槡２犪，犕是犃犅 １ １ １ １ １ 的中点． → （１）求证：犕犆是平面犃犅犅犃 的一个法向量； １ １ １ （２）求犃犆与侧面犃犅犅犃 所成的角． １ １ １ （第８题） （第９题） ９．如图，在棱长为２的正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，点犈，犉分别是上底面 １ １ １ １ 犃犅犆犇 和侧面犆犇犇犆的中心． １ １ １ １ １ １ （１）求ｃｏｓ∠犈犃犉； （２）求直线犃犈与平面犆犇犇犆所成角的正弦值； １ １ （３）求点犆到平面犃犈犉的距离． １０．如图，在棱长为２的正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，点犈是犆犇的中点． １ １ １ １ （１）求证：犈犅 ⊥犃犇； １ １ （２）求犇犈与犃犆 所成的角； １ １ （３）求证：犅犆∥平面犃犇犈，并求直线犅犆 和平面犃犇犈的距离． １ １ １ １ ４１选择性必修第二册 数学 （第１０题） （第１１题） 探究·拓展 １１．如图，在四棱锥犘犃犅犆犇中，犘犃⊥平面犃犅犆犇，犘犅与底面犃犅犆犇所成 π π 的角为 ，底面犃犅犆犇为直角梯形，∠犃犅犆＝ ∠犅犃犇＝ ，犃犇＝２， ４ ２ 犘犃＝犅犆＝１． （１）求证：平面犘犃犆⊥平面犘犆犇． （２）在棱犘犇上是否存在一点犈，使犆犈∥平面犘犃犅？若存在，请确定点犈 的位置；若不存在，试说明理由． （３）求点犘到直线犆犇的距离． １２．已知点犃（－２，３，－３），犅（４，５，９）． （１）设平面α经过线段犃犅的中点，且与直线犃犅垂直，犕（狓，狔，狕）是平面 α内任意一点，求狓，狔，狕满足的关系式； （２）求到犃，犅两点距离相等的点犘（狓，狔，狕）的坐标狓，狔，狕满足的关 系式； （３）比较（１）（２）的结论，你发现了什么？ ４２６ 空间向量与立体几何 第 章 问题与探究 平 面 方 程 我们知道，在平面直角坐标系中，方程狓＋狔＝１表示直线．那么， 在空间直角坐标系中，方程狓＋狔＋狕＝１表示什么图形呢？ 如图１，已知空间三点犃（１，０，０），犅（０，１，０），犆（０，０，１），点 犘（狓，狔，狕）是空间任意一点，试探究点犃，犅，犆，犘共面的充要 条件． → → 分析 设狀是平面犃犅犆的一个法向量，则狀⊥犃犅，狀⊥犃犆．因 → → 为犃犅＝ （－１，１，０），犃犆＝ （－１，０，１），容易验证狀＝ （１，１，１） 图１ → → 垂直于犃犅和犃犆，所以狀是平面犃犅犆的一个法向量．由此可得 犘∈ 平面犃犅犆 直线犃犘 平面犃犅犆 ! → 狀·犃犘＝０ ! （１，１，１）·（狓－１，狔，狕）＝狓－１＋狔＋狕＝０ ! 狓＋狔＋狕＝１． ! 因此，狓＋狔＋狕＝１是平面犃犅犆上的点满足的条件，也就是平面 犃犅犆的方程． 请仿照上面的方法，解决下面的问题： （１）求过点犃（犪，０，０），犅（０，犫，０），犆（０，０，犮）的平面犃犅犆的 方程，其中犪，犫，犮均是不等于０的常数． （２）已知狀＝（犃，犅，犆）是平面α的一个法向量，且平面α经过 点犘（狓，狔，狕），试求平面α的方程． ０ ０ ０ ０ （３）已知平面α的方程为犃狓＋犅狔＋犆狕＋犇＝０，证明（犃，犅，犆） 是平面α的法向量． （４）求证：点犘（狓，狔，狕）到平面犃狓＋犅狔＋犆狕＋犇＝０的 ０ ０ ０ ０ 距离为 狘犃狓＋犅狔＋犆狕＋犇狘 犱＝ ０ ０ ０ ． 槡犃２＋犅２＋犆２ 向量的向量积 阅 读 两个空间向量除了数量积运算外，还有一种称为向量积的运算． １．向量积的定义 两个空间向量犪和犫的向量积是一个向量，记作犪×犫．若犪，犫 不共线，则犪×犫的模是：狘犪×犫狘＝狘犪狘狘犫狘ｓｉｎθ，其中θ是向量犪和 犫的夹角，犪×犫的方向是：垂直于犪，犫，且犪，犫和犪×犫按照这个顺序 成右手系．若犪，犫共线，则犪×犫＝０．向量的向量积也称为外积或 叉积． ４３选择性必修第二册 数学 向量积的几何意义：两个不共线向量犪，犫的向量积的模｜犪×犫｜ 等于以犪，犫为邻边的平行四边形的面积． ２．向量积的性质 对于两个非零向量犪和犫， （１）犪∥犫的充要条件是犪×犫＝０； （２）犪⊥犫的充要条件是｜犪×犫｜＝｜犪｜｜犫｜． ３．向量积的运算律 （１）交换律：犪×犫＝－（犫×犪）； （２）分配律：（犪＋犫）×犮＝犪×犮＋犫×犮； （３）结合律：（λ犪）×犫＝犪×（λ犫）＝λ（犪×犫）（λ为实数）． ４．向量积的坐标表示 在空间直角坐标系犗狓狔狕中，分别取与狓轴、狔轴、狕轴方向相 同的单位向量犻，犼，犽作为基向量． 设犪＝狓犻＋狔犼＋狕犽，犫＝狓犻＋狔犼＋狕犽，则 １ １ １ ２ ２ ２ 犪×犫＝ （狔狕－狕狔）犻＋（狕狓－狓狕）犼＋（狓狔－狔狓）犽． １ ２ １ ２ １ ２ １ ２ １ ２ １ ２ 你能根据向量积的定义来求平面的法向量吗？ ４４６ 空间向量与立体几何 第 章 本章回顾 本 章 概 览 本章在平面向量的基础上，学习了空间向量及其运算，并运用向量 的方法解决了有关空间直线、平面的平行、垂直以及夹角、距离等问题． 空间向量为我们处理立体几何问题提供了新的视角，它是解决 三维空间中图形的位置关系与度量问题的有效工具．我们要体会向 量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象力． 向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标法是研究向量问题的 有力工具．利用空间向量的坐标表示，可以把向量问题转化为代数运 算，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要数学思想． 复 习 题 感受·理解 １．如图，在平行六面体犃犅犆犇犃犅犆犇 中，点犕是棱犃犃 的中点，点犌在 １ １ １ １ １ → → → 对角线犃犆上，且犆犌∶犌犃 ＝２∶１．设犆犇＝犪，犆犅＝犫，犆犆＝犮，用向量 １ １ １ → → → → 犪，犫，犮表示向量犆犃，犆犃，犆犕，犆犌． １ ２．已知犈，犉，犌，犎分别是空间四边形犃犅犆犇的边犃犅，犅犆，犆犇，犇犃的中 点，用向量法证明： （１）犈，犉，犌，犎四点共面； （２）犅犇∥平面犈犉犌犎． → ３．已知犃，犅，犆三点不共线，对平面犃犅犆外任一点犗，满足条件犗犘＝ １→ ２→ ２→ （第１题） 犗犃＋ 犗犅＋ 犗犆，判断点犘与犃，犅，犆是否共面． ５ ５ ５ ４５选择性必修第二册 数学 ４．如图，线段犃犅⊥平面α，犅犆在α内，犆犇⊥犅犆，犆犇与平面α成３０°角，点犇 与点犃在α的同侧．已知犃犅＝犅犆＝犆犇＝２，求犃犇的长． （第４题） （第５题） ５．如图，在平行六面体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，犕，犖，犘，犙，犚，犛分别是各 １ １ １ １ → → → 棱的中点，求证：向量犕犖，犘犙，犚犛共面． ６．如图，△犃犅犆内接于⊙犗，犃犅为⊙犗的直径，犃犅＝１０，犅犆＝６，犆犇＝８， 且犆犇⊥平面犃犅犆，犈为犃犇的中点． （１）求证：平面犅犆犈⊥平面犃犅犇；（２）求异面直线犅犈与犃犆所成的角； （３）求点犃到平面犅犆犈的距离． （第６题） （第７题） ７．如图，平行六面体犃犅犆犇 犃犅犆犇 的底面犃犅犆犇是菱形，且∠犆犆犅＝ １ １ １ １ １ ∠犆犆犇＝∠犅犆犇＝θ． １ （１）求证：犆犆⊥犅犇； １ 犆犇 （２）当 的值为多少时，犃犆⊥平面犆犅犇？请给出证明． 犆犆 １ １ １ 思考·运用 ８．如图，已知正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 的棱长为１，犕犖是异面直线犃犆与 １ １ １ １ 犆犇的公垂线段，试确定点犕在犃犆上及点犖在犆犇上的位置，并求异面 １ １ 直线犃犆与犆犇间的距离． １ （第８题） （第９题） ９．如图，以正四棱锥犞 犃犅犆犇的底面中心犗为坐标原点建立空间直角坐标 系犗狓狔狕，其中犗狓∥犅犆，犗狔∥犃犅，犈为犞犆的中点，正四棱锥的底面边 长为２犪，高为犺． ４６６ 空间向量与立体几何 第 章 → → （１）求ｃｏｓ〈犅犈，犇犈〉； （２）当∠犅犈犇是二面角犅 犞犆 犇的平面角时，求∠犅犈犇． １０．如图，在正四棱锥犘犃犅犆犇中，犘犃＝犃犅＝２，点犕，犖分别在犘犃，犅犇 犘犕 犅犖 １ 上，且 ＝ ＝ ． 犘犃 犅犇 ３ （１）求证：犕犖⊥犃犇； （２）求犕犖与犘犆所成的角； （３）求证犕犖∥平面犘犅犆，并求直线犕犖和平面犘犅犆的距离． （第１０题） （第１１题） １１．如图，已知四棱锥犛犃犅犆犇的底面犃犅犆犇是直角梯形，犃犇∥犅犆，犃犇＝ ２，∠犃犅犆＝９０°，犛犃⊥平面犃犅犆犇，犛犃＝犃犅＝犅犆＝１．求： （１）四棱锥犛犃犅犆犇的体积； （２）平面犛犆犇与平面犛犅犃所成的二面角的余弦值； （３）点犛到直线犆犇的距离． 探究·拓展 １２．如图，已知正方形犃犅犆犇和矩形犃犆犈犉所在的平面互相垂直，犃犅＝槡２， 犃犉＝１，犕是线段犈犉的中点． （１）求证犃犕∥平面犅犇犈，并求直线犃犕和平面犅犇犈的距离； （２）求二面角犃 犇犉 犅的大小； （３）试在线段犃犆上确定一点犘，使犘犉与犅犆所成的角是６０°． （第１２题） （第１３题） １３．如图，在棱长为４的正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇 中，点犗为正方形犃犅犆犇 １ １ １ １ １ １ １ １ 的中心，点犘在棱犆犆 上，且犆犆 ＝４犆犘． １ １ （１）求直线犃犘与平面犅犆犆犅 所成角的余弦值． １ １ （２）设点犗在平面犃犇犘上的射影为点犎，求证：犇犎⊥犃犘． １ １ （３）求点犆到平面犃犇犘的距离． １ １ （４）在线段犃犅 上是否存在点犙，使得犇犙⊥平面犃犇犘？若存在，请确定 １ １ １ 点犙的位置；若不存在，试说明理由． ４７选择性必修第二册 数学 本章测试 → → 一、填空题 １．若犃犅＝（２，３，６），则｜犃犅｜＝ ． ２．若犪＝（３，２，４），犫＝（２，０，１），则３犪－４犫的坐标为 ． ３．若｛犻，犼，犽｝是一个单位正交基底，且向量犪＝８犻＋３犽，犫＝－犻＋５犼－４犽， 则犪·犫＝ ． ４．已知犪＝（０，２，１），犫＝（－１，１，－２），那么〈犪，犫〉＝ ． ５．设犽为实数，已知犪＝（１，３，２），犫＝（１，０，１），狆＝犽犪－２犫，狇＝３犪＋４犫． 若狆∥狇，则犽的值为 ． ６．若单位向量犲与向量犪＝（０，１，０），犫＝（０，０，１）都垂直，则向量犲的坐 标为 ． → 二、选择题 ７．已知点犃（３，－１，０），若向量犃犅＝（２，５，－３），则点犅的坐标是（ ）． Ａ ． （１ ， － ６， ３ ） Ｂ ． （５ ， ４， － ３ ） Ｃ．（－１，６，－３） Ｄ．（２，５，－３） ８．已知犃，犅，犆三点不共线，犗为平面犃犅犆外一点，下列条件中能确定犕，犃， 犅，犆四点共面的是（ ）． → → → → → → → → Ａ．犗犕＝犗犃＋犗犅＋犗犆 Ｂ．犗犕＝２犗犃－犗犅－犗犆 → → １→ １→ → １→ １→ １→ Ｃ．犗犕＝犗犃＋ 犗犅＋ 犗犆 Ｄ．犗犕＝ 犗犃＋ 犗犅＋ 犗犆 ２ ３ ３ ３ ３ ９．在空间直角坐标系中，若三点犃（１，－１，犪），犅（２，犪，０），犆（１，犪，－２）满 → → → 足（犃犅－２犃犆）⊥犅犆，则实数犪的值为（ ）． ９ Ａ． Ｂ．１ ２ ９ ７ Ｃ．－ Ｄ．－ ２ ２ ８ １０．设向量犪＝（１，λ，２），犫＝（２，－１，２），若ｃｏｓ〈犪，犫〉＝ ，则实数λ的值 ９ 为（ ）． Ａ．２ Ｂ．－２ ２ ２ Ｃ．－２或 Ｄ．２或－ ５５ ５５ 三、解答题 １１．已知犪＝（３，２，－１），犫＝（２，１，２）． （１）求（犪－犫）·（犪＋２犫）； （２）当（犽犪－犫）⊥（犪＋犽犫）时，求实数犽的值． → → → １２．如图，在平行六面体犃犅犆犇 犃犅犆犇中，设犃犃＝犪，犃犅＝犫，犃犇＝犮， １ １ １ １ １ 犕，犖，犘分别是棱犃犃，犅犆，犆犇的中点，试用犪，犫，犮表示以下各向量： １ １ １ → → → → （１）犃犘；（２）犃犖；（３）犕犘＋犖犆． １ １ ４８６ 空间向量与立体几何 第 章 （第１２题） （第１３题） １３．如图，正方体犃犅犆犇犃犅犆犇的棱长为１，点犘是对角线犅犇 上异于犅， １ １ １ １ １ 犇犘 犇 的点，记 １ ＝狋．当∠犃犘犆为钝角时，求实数狋的取值范围． １ 犇犅 １ １４．如图，在正四棱锥犘犃犅犆犇中，底面正方形的对角线犃犆，犅犇交于点犗， 犃犅＝２，犗犘＝１．求： （１）二面角犅犘犇 犆的大小； （２）点犅到平面犆犇犘的距离． （第１４题） （第１５题） １５．如图，在直三棱柱犃犅犆犃犅犆中，犃犆⊥犅犆，犃犆＝犅犆＝犅犅，犇为犃犅 １ １ １ １ 的中点．试用向量的方法证明： （１）犅犆 ⊥犃犅； １ １ （２）犅犆 ∥平面犃犆犇． １ １ ４９第７章 · 计 数 原 理 书书书有待探索的自然界是有规律的．相信基本规律是简明 单纯的． 爱因斯坦 在生活中，与计数有关的问题是普遍存在的，如电话号码的编 排、密码的设定、体育赛事的设计、集成电路的布线安排，以及生物遗 传的可能，等等． 在某时间段内，某市的汽车号牌后５个号码选号规则为：从２４ 个英文字母（Ｏ，Ｉ容易和０，１混淆，一般不用）中任选１个，从１０个阿 拉伯数字中任选４个，并按照适当的顺序排列而成，那么在这个时间 段内，该市所有可能的汽车号牌号码有多少个？ 下图是某城市的局部街道．某同学的家位于西北角，学校位于东 南角．问：从该同学家经过东西４条街、南北５条街到学校（最短距 离），有多少种不同的走法？ 上述两个问题都涉及计数的问题．通过列举或树形图，可以解决 问题．但是，当数值较大或情况比较复杂时，计数就比较困难．本章将 构建适当的数学模型来分析和解决上述计数问题，并借助构建的模 型研究二项展开式的相关知识．那么， ● 构建怎样的数学模型来刻画和解决计数问题？ ５２７ 计数原理 第 章 ７．１ 两个基本计数原理 考察下面两个问题： （１）如图７ １ １（１），从甲地到乙地有３条公路、２条铁路，那么 从甲地到乙地，共有多少种不同的方法？ （２）如图７ １ １（２），从甲地到乙地有３条道路，从乙地到丙地 有２条道路，那么从甲地经乙地到丙地，共有多少种不同的方法？ 图７ １ １ ● 上述两个问题有什么区别？ ● 由这两个问题分别可以得到怎样的数学模型？ 先考察问题（１）． 公路有３条，走任意一条公路都能完成从甲地到乙地这件事；而 铁路有２条，走任意一条铁路也都能完成从甲地到乙地这件事．所以， 从甲地到乙地共有 ３＋２＝５ 种不同的方法． 再考察问题（２）． 必须经过先从甲地到乙地，再从乙地到丙地两个步骤，才能完成 从甲地经乙地到丙地这件事（图７ １ ２）． 图７ １ ２ 从甲地到乙地有３种不同的方法，从乙地到丙地有２种不同的方 法．所以，从甲地经乙地到丙地共有 ３×２＝６ 种不同的方法． ５３选择性必修第二册 数学 由上述分析可知，在问题（１）中，任选一种方法都能达到完成这 件事的目的．在问题（２）中，必须依次连续完成两个步骤，才能达到完 成这件事的目的． 一般地，我们有： 分类计数原理 如果完成一件事，有狀类方式，在第１类方 分类计数原理又 式中有犿 种不同的方法，在第２类方式中有犿 种不同的方 １ ２ 称为加法原理． 法……在第狀类方式中有犿 种不同的方法，那么完成这件事共 狀 有 犖＝犿＋犿＋…＋犿 １ ２ 狀 种不同的方法． 分步计数原理 如果完成一件事，需要分成狀个步骤，做第 分步计数原理又 １步有犿 种不同的方法，做第２步有犿 种不同的方法……做第 １ ２ 称为乘法原理． 狀步有犿 种不同的方法，那么完成这件事共有 狀 犖＝犿×犿×…×犿 １ ２ 狀 种不同的方法． 例１ 某班共有男生２８名、女生２０名，从该班选出学生代表参 加校学生代表大会． （１）若学校分配给该班１名代表，则有多少种不同的选法？ （２）若学校分配给该班２名代表，且男、女生代表各１名，则有多 少种不同的选法？ 解 （１）选出１名代表有两类方式： 第一类 从男生中选出１名代表，有２８种不同的选法； 第二类 从女生中选出１名代表，有２０种不同的选法． 根据分类计数原理，共有不同的选法种数是 ２８＋２０＝４８． （２）选出男、女生代表各１名，可以分成两个步骤完成： 第一步 选１名男生代表，有２８种不同的选法； 第二步 选１名女生代表，有２０种不同的选法． 根据分步计数原理，选出男、女生代表各１名，共有不同的选法种 数是 ２８×２０＝５６０． 答 选出１名代表有４８种不同的选法；选出男、女生代表各１ 名，有５６０种不同的选法． ５４７ 计数原理 第 章 例２ （１）在图７ １ ３（１）的电路中，仅合上１只开关接通电 路，有多少种不同的方法？ （２）在图７ １ ３（２）的电路中，仅合上２只开关接通电路，有多 少种不同的方法？ 图７ １ ３ 解 （１）在图７ １ ３（１）中，按要求接通电路，只要在犃中的 ２只开关或犅中的３只开关中合上１只即可．根据分类计数原理， 共有 ２＋３＝５ 种不同的方法． （２）在图７ １ ３（２）中，按要求接通电路必须分两步进行：第一 步，合上犃中的１只开关；第二步，合上犅中的１只开关．根据分步计 数原理，共有 ２×３＝６ 种不同的方法． 答 在图７ １ ３（１）的电路中，仅合上１只开关接通电路，有５ 种不同的方法；在图７ １ ３（２）的电路中，仅合上２只开关接通电 路，有６种不同的方法． 例３ ３名同学每人从５本不同的电子书中任选１本，共有多 少种不同的选法？ 分析 ３名同学选电子书，要分每名同学依次选电子书的３步进 行．每名同学选电子书都有５种不同的选法． 解 第一名同学选１本电子书有５种不同的选法，第二、第三名 同学各选１本电子书，仍各有５种不同的选法．因此，根据分步计数原 理，３名同学每人各选１本电子书的不同选法种数是 ５×５×５＝１２５． 答 共有１２５种不同的选法． 例４ 为了确保电子邮箱的安全，在注册时，通常要设置电子邮 箱密码．在某网站设置的邮箱中， ５５选择性必修第二册 数学 （１）若密码为４位，每位均为０～９这１０个数字中的１个，则这 样的密码共有多少个？ （２）若密码为４～６位，每位均为０～９这１０个数字中的１个，则 这样的密码共有多少个？ 解 （１）设置１个４位密码要分４步进行，每一步确定一位数 字，每一位上都可以从０～９这１０个数字中任取１个，有１０种取 法．根据分步计数原理，４位密码的个数是 １０×１０×１０×１０＝１００００． （２）设置的密码为４～６位，每位均为０～９这１０个数字中的１ 个，这样的密码共有３类．其中４位密码、５位密码、６位密码的个数分 别为１０４ ，１０５ ，１０６．根据分类计数原理，设置由数字０～９组成的４～ ６位密码的个数是 １０４＋１０５＋１０６＝１１１００００． 答 满足条件的密码的个数分别为１００００和１１１００００． 练 习 １已知某种新产品的编号由１个英文字母和１个数字组合而成，且英文字母 在前．其中英文字母可以是犃，犅，犆，犇，犈，犉这６个字母中的１个，数字 可以是１，２，…，９这９个数字中的１个．问：共有多少种不同的编号？ ２某人有４枚明朝不同年代的古币和６枚清朝不同年代的古币． （１）若从中任意取出１枚，则有多少种不同的取法？ （２）若从中任意取出明、清古币各１枚，则有多少种不同的取法？ ３从甲地到乙地，可以乘飞机，也可以乘火车，还可以乘长途汽车．每天飞机 有２班，火车有４班，长途汽车有１０班．一天中，乘坐这些交通工具从甲 地到乙地共有多少种不同的方法？ ４手表厂为了生产更多款式新颖的手表，给统一的机芯设计了４种形状的外 壳、２种颜色的表面及３种形式的数字．问：共有几种不同的款式？ ５如图，从甲地到乙地有３条公路，从乙地到丙地有２条公路，从甲地不经过 乙地到丙地有２条水路．问： （１）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？ （２）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ （第５题） ６若４名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报１项，则不同的 报名方式有（ ）． Ａ．３４ 种 Ｂ．４３ 种 Ｃ．３×２×１种 Ｄ．４×３×２种 ５６７ 计数原理 第 章 习题７．１ 感受·理解 １在读书节上，１名学生要从７本不同的科技类图书、８本不同的历史类图书 和６本不同的文艺类图书中任选１本，共有多少种不同的选法？ ２在校本课程目录中，１名学生在科技类课程中发现了４门有趣的课程，在文 艺类课程中发现了６门有趣的课程．如果这名学生决定在科技类课程和文 艺类课程中各选１门有趣的课程作为新学期的选修课，那么这名学生有多 少种不同的选择？ ３某校“数学俱乐部”有高一学生１０人，高二学生８人，高三学生７人． （１）从中选出１人担任总干事，有多少种不同的选法？ （２）从每一个年级各选１人担任本年级的组长，有多少种不同的选法？ ４如图，从甲地到乙地有３条路，从乙地到丁地有２条路；从甲地到丙地有２ 条路，从丙地到丁地有４条路．问：从甲地到丁地共有多少种不同的走法？ （第４题） （第５题） ５如图，一条电路从犃处到犅处接通时，可以有多少条不同的线路（每条线路 仅含１条通路）？ ６（１）从甲、乙、丙、丁４幅不同的画中选出２幅，分别挂在书房和客厅，用树 形图表示出不同挂法的所有可能情况； （２）某农场要在３块不同类型的土地上，分别试种犃，犅，犆３个不同品种 的小麦，用树形图表示出不同试种方法的所有可能情况． ７已知一个两位数中的每个数字都从１，２，３，４中任意选取． （１）如果两位数中的数字不允许重复使用，那么能得到多少个不同的两 位数？ （２）如果两位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？ ８（１）乘积（犪＋犫＋犮＋犱）（犿＋狀）（狓＋狔＋狕）展开后共有多少项？ （２） ∑狀 犪· ∑犿 犫展开后共有多少项？ 犻 犼 犻＝１ 犼＝１ 思考·运用 ９以正方形的４个顶点中某一顶点为起点、另一个顶点为终点作向量，可以作 出多少个不相等的向量？ １０（１）如果犃＝｛０，１，２，３，４，５｝，那么在平面直角坐标系内，集合｛（狓，狔）狘 狓，狔∈犃｝中有多少个不同的点？ （２）如果犽∈ ｛１，３，５，７｝，犫∈ ｛２，４，６，８｝，那么在平面直角坐标系内， 方程狔＝犽狓＋犫所表示的不同的直线共有多少条？ １１集合｛１，２，３，４｝有多少个子集？ ５７选择性必修第二册 数学 探究·拓展 １２（１）如图（１），从犃处沿街道走到犅处，使路程最短的不同走法有多少种？ （２）如图（２），从犃处沿街道走到犅处，使路程最短的不同走法有多少种？ （第１２题） １３用４种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共 有多少种不同的涂法？ （第１３题） ５８７ 计数原理 第 章 ７．２ 排 列 考察下面两个问题： （１）高二（１）班准备从甲、乙、丙这３名学生中选出２人分别担任 班长和副班长，有多少种不同的选法？ （２）从１，２，３这３个数字中取出２个数字组成两位数，这样的两 位数共有多少个？ ● 上面两个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学模型来 刻画？ 先考察问题（１）中的所有可能的选法． 从３名学生中选出２人担任班长和副班长，可以分成两个步骤 完成： 第一步：从甲、乙、丙３名学生中选出１人担任班长； 第二步：从余下的２人中选出１人担任副班长． 所有可能的情况用树形图表示（图７ ２ １）： 图７ ２ １ 即共有６种不同的选法：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙． 事实上，这６种选法分别是从甲、乙、丙这３名学生中选２名学 生，并按一定的顺序排成一列（班长排在第１位，副班长排在第 ２位）而得到的． 类似地，问题（２）中的每个两位数都是从３个不同的数字中取２ 个数字，按一定的顺序排成了一列． 一般地，从狀个不同的元素中取出犿（犿≤狀）个元素，按照一定 如无特别说明， 的顺序排成一列，叫作从狀个不同元素中取出犿个元素的一个排列 取出的犿个元素都是 不重复的． （ａｒｒａｎｇｅｍｅｎｔ）． 例１ （１）写出从犪，犫，犮，犱这４个字母中，取出２个字母的所有 排列； （２）写出从犪，犫，犮，犱这４个字母中，取出３个字母的所有排列． 解 （１）把犪，犫，犮，犱中的任意一个字母排在第１个位置上，有４ 种排法；第１个位置上的字母排好后，第２个位置上的字母就有３ 种排法． ５９选择性必修第二册 数学 如果第１个位置是犪，那么第２个位置可以是犫，犮或犱，有３个排 列，即犪犫，犪犮，犪犱． 同理，第１个位置更换为犫，犮或犱，也分别各有３个排列，如 图７ ２ ２ 所示． 图７ ２ ２ 因此，共计有１２个不同的排列，它们是 犪犫，犪犮，犪犱，犫犪，犫犮，犫犱， 犮犪，犮犫，犮犱，犱犪，犱犫，犱犮． （２）根据（１），从４个字母中取出２个字母的排列有１２个，在每 一种这样的排列后面排上其余２个字母中的任何一个，就得到取出３ 个字母的所有排列，如图７ ２ ３所示． 图７ ２ ３ 因此，共计有２４个不同的排列，它们是 犪犫犮，犪犫犱，犪犮犫，犪犮犱，犪犱犫，犪犱犮， 犪犫犮与犪犮犫是相同 犫犪犮，犫犪犱，犫犮犪，犫犮犱，犫犱犪，犫犱犮， 的排列吗？ 犮犪犫，犮犪犱，犮犫犪，犮犫犱，犮犱犪，犮犱犫， 犱犪犫，犱犪犮，犱犫犪，犱犫犮，犱犮犪，犱犮犫． 思 考 你能写出犪，犫，犮，犱这４个字母都取出的所有排列吗？ 练 习 １写出从犪，犫，犮这３个字母中取出２个字母的所有排列． ２用红、黄、蓝３面小旗（３面小旗都要用）竖挂在绳上表示信号，不同的顺序表 示不同的信号，试写出所有的信号． ３犪，犫，犮排成一行，其中犫不排在第２位，写出所有满足条件的排列． ４从０，１，２，３这４个数字中选出３个不同的数字组成１个三位数，试写出所 有满足条件的三位数． ６０７ 计数原理 第 章 从例１（２）的树形图中可以看出，处理排列问题可分步进行．例 如，例１（２）将构成排列的过程分为３个步骤，从第１位到第３位依次 选填： 第１位可从这４个字母中任取１个来填，有４种不同的方法； 第２位从剩下的３个字母中任取１个来填，有３种不同的方法； 第３位从剩下的２个字母中任取１个来填，有２种不同的方法 （图７ ２ ４）． 图７ ２ ４ 根据分步计数原理可知，从４个字母中任取３个字母的所有排列 的个数为４×３×２＝２４． 一般地，从狀个不同元素中取出犿（犿≤狀）个元素的所有排列的 个数，叫作从狀个不同元素中取出犿个元素的排列数，用符号Ａ犿 表 狀 示，如例１（２）中的排列数可以表示为Ａ３＝２４． ４ 思 考 “排列”与“排列数”有何区别与联系？ 一般地，为了求出从狀个不同元素中任意取出犿个元素的排列 数，可以把这犿个元素所排列的位置划分为第１位、第２位……第犿 位（图７２ ５）． 图７ ２ ５ 第一步 第１位从狀个元素中任取１个来填，有狀种不同的方法； 第二步 第２位只能在余下的狀－１个元素中任取１个来填，有 狀－１种不同的方法； 第三步 第３位只能在余下的狀－２个元素中任取１个来填，有 狀－２种不同的方法； …… 第犿步 第犿位只能在余下的狀－（犿－１）个元素中任取１个来 填，有狀－犿＋１种不同的方法． 根据分步计数原理，我们得到排列数公式 排列数 Ａ犿是犿 狀 个连续正整数的积， Ａ犿＝狀（狀－１）（狀－２）…（狀－犿＋１）， 狀 其中最大的因数为狀． ６１选择性必修第二册 数学 其中狀，犿∈犖  ，且犿≤狀． 狀个不同元素全部取出的一个排列，叫作狀个不同元素的一个全 排列．在排列数公式中，当犿＝狀时，即有 Ａ狀＝狀（狀－１）（狀－２）×…×３×２×１， 狀 狀（狀－１）（狀－２）×…×３×２×１称为狀的阶乘（ｆａｃｔｏｒｉａｌ），通常用狀！ 表示，即 Ａ狀＝狀！． 狀 例２ 计算： （１）Ａ３ ； （２）Ａ５ ； ５ ５ （３）Ａ４ ； （４）Ａ４ ． １０ ３５ 解 （１）Ａ３＝５×４×３＝６０． ５ （２）Ａ５＝５×４×３×２×１＝１２０． ５ （３）Ａ４ ＝１０×９×８×７＝５０４０． １０ （４）Ａ４ ＝３５×３４×３３×３２＝１２５６６４０． ３５ 狀！ 例３ 求证：Ａ 狀 犿＝ （狀－犿）！ （狀＞犿）． 证明 Ａ犿＝狀（狀－１）（狀－２）…（狀－犿＋１） 狀 狀（狀－１）（狀－２）…（狀－犿＋１）（狀－犿）×…×２×１ ＝ （狀－犿）×…×２×１ 狀！ ＝ ． （狀－犿）！ 为了使上述结论在犿＝狀时也成立，我们规定０！＝１． 由此可知，排列数公式还可以写成 狀！ Ａ 狀 犿＝ （狀－犿）！ ． 例４ 求证：Ａ犿＝狀Ａ犿－１ （狀≥犿≥２）． 狀 狀－１ 狀！ （狀－１）！ （狀－１）！ 证法１ Ａ 狀 犿＝ （狀－犿）！ ＝狀· （狀－犿）！ ＝狀· ［（狀－１）－（犿－１）］！ ＝ 狀Ａ犿－１． 狀－１ （狀－１）！ 狀！ 证法２ 狀Ａ 狀 犿 － － １ １＝狀· ［（狀－１）－（犿－１）］！ ＝ （狀－犿）！ ＝Ａ 狀 犿． ６２７ 计数原理 第 章 你能写出其他类 证法３ 考虑从狀个不同元素中取出犿（犿≤狀）个元素的排列． 似的恒等式吗？ 一方面，其所有排列的个数为Ａ犿． 狀 另一方面，这样的排列也可以分成两步来完成：第一步，从狀个 不同元素中取出１个元素，排在首位，有狀种方法；第二步，从余下的 狀－１个元素中取出犿－１个元素，排在其余位置上，有Ａ犿－１种方法． 狀－１ 那么，所有排列的个数为狀Ａ犿－１． 狀－１ 因此，Ａ犿＝狀Ａ犿－１． 狀 狀－１ 练 习 １计算： Ａ５ （１）Ａ４； （２）Ａ６； （３）Ａ４－Ａ３； （４） ７． １２ ６ ９ ９ Ａ５ ５ ２计算下表中的阶乘数，并填入表中： 狀 ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 狀！ ３用排列数符号Ａ犿表示下列各式： 狀 （１）１０×９×８×７×６＝ ； （２）２４×２３×２２×…×３×２×１＝ ； （３）犽（犽－１）（犽－２）（犽－３）＝ （犽∈犖且犽≥４）． ４下列各式中，不等于狀！的是（ ）． １ Ａ．Ａ狀 Ｂ． Ａ狀＋１ Ｃ．Ａ狀 Ｄ．狀Ａ狀－１ 狀 狀＋１ 狀＋１ 狀＋１ 狀－１ ５求证： （１）Ａ４＋４Ａ３＝Ａ４； （２）Ａ犿＋犿Ａ犿－１＝Ａ犿 ． ７ ７ ８ 狀 狀 狀＋１ 例５ 从５名同学中选３名排成一列，共有多少种不同的排法？ 解 从５名同学中选３名排成一列，对应于从５个不同元素中取 出３个元素的一个排列．因此，不同排法的种数是 Ａ３＝５×４×３＝６０． ５ 答 共有６０种不同的排法． 思 考 例５与７．１节例３这两个问题有什么区别？ 例６ 某足球联赛共有１２支球队参加，每队都要与其余各队在 主、客场分别比赛１次，共要进行多少场比赛？ 分析 由于任何两队间进行１次主场比赛与１次客场比赛，所以 主客场比赛可看 １场比赛相当于从１２个不同元素中任取２个元素的１个排列． 成比赛双方的不同排 解 因为１场比赛对应于从１２个不同元素中任取２个元素的１ 列．一个排列对应一 个排列，所以总共进行的比赛场次是 场比赛． ６３选择性必修第二册 数学 Ａ２ ＝１２×１１＝１３２． １２ 答 共要进行１３２场比赛． 例７ 用０～９这１０个数字能组成多少个没有重复数字的三 位数？ 解法１ 由于百位上的数字不能是０，因此，为了得到这个三 位数，可以分两步完成（图７ ２ ６）： 图７ ２ ６ 第一步 排百位上的数字，可从１～９这９个数字中任选１个，有 Ａ１ 种选法； ９ 第二步 排十位和个位上的数字，可以从余下的９个数字中任选 ２个，有Ａ２ 种选法． ９ 根据分步计数原理，所求的三位数的个数是 Ａ１Ａ２＝９×９×８＝６４８． ９ ９ 解法２ 考虑到０是一个特殊元素，因此，符合条件的三位数可 以分成３类（图７ ２ ７）： 图７ ２ ７ 第一类 每一位数字都不是０的三位数有Ａ３ 个； ９ 第二类 个位数字是０的三位数有Ａ２ 个； ９ 第三类 十位数字是０的三位数有Ａ２ 个． ９ 根据分类计数原理，符合条件的三位数的个数是 Ａ３＋Ａ２＋Ａ２＝９×８×７＋９×８＋９×８＝６４８． ９ ９ ９ 解法３ 从０～９这１０个数字中任取３个数字的排列数为Ａ３ ， １０ 其中０在首位的排列数为Ａ２ ，这些排列不能构成三位数．因此，所求 ９ 的三位数的个数是 Ａ３ －Ａ２＝１０×９×８－９×８＝６４８． １０ ９ 答 可以组成６４８个没有重复数字的三位数． ６４７ 计数原理 第 章 思 考 在上面的６４８个数中，有多少个数是奇数？ 练 习 １从５名教师中挑选２人，分别担任两个班的班主任，有多少种不同的安排 方案？ ２有４种不同的蔬菜，从中选出３种，分别种植在不同土质的３块土地上进行 试验，有多少种不同的种植方法？ ３如图，按５粒不同弹子的排列顺序制造弹子锁，能生产多少种不同的锁？ （第３题） ４从０，１，２，３，４，５，６这７个数字中取出４个数字，试问： （１）有多少个没有重复数字的排列？ （２）能组成多少个没有重复数字的四位数？ 习题７．２ 感受·理解 １（１）写出从犪，犫，犮，犱，犲这５个字母中取出２个字母的所有排列； （２）写出从犪，犫，犮，犱，犲这５个字母中取出２个字母的排列中，犪不在首位的 所有排列． ２（１）已知Ａ犿 ＝１０×９×…×５，那么犿＝ ； １０ （２）已知Ａ２＝５６，那么狀＝ ； 狀 （３）已知Ａ２＝７Ａ２ ，那么狀＝ ． 狀 狀－４ ３计算： （１）４Ａ２＋５Ａ３； （２）Ａ１＋Ａ２＋Ａ３＋Ａ４； ４ ５ ４ ４ ４ ４ （３） ２Ａ７ １２ Ａ３ ５； （４） Ａ３ １０ Ａ７ ７． Ａ１２ １０！ １２ ４１２名选手参加校园歌手大奖赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各１名．问： 一共有多少种不同的获奖情况？ 犪类的１０个元素 ５按序给出犪，犫两类元素，犪类中的元素排序为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、 叫作天干，犫类的１２ 壬、癸，犫类中的元素排序为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．在犪， 个元素叫作地支．两 犫两类中各取１个元素组成１个排列，求犪类中选取的元素排在首位，犫类 者按固定顺序相配， 中选取的元素排在末位的排列的个数． 形成古代纪年历法． ６（１）一天有６节课，安排６门学科，这一天的课程表有几种排法？ （２）上午有４节课，一个教师要上３个班级的课，每个班１节课，若不能连 上３节，则这个教师的课有几种排法？ ７有红、黄、蓝小旗各１面，信号兵从中选择１面、２面或３面，将其从上到下 挂在竖直旗杆上表示信号．若不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示 多少种不同的信号？ ６５选择性必修第二册 数学 思考·运用 ８求证：Ａ狀＝Ａ犿Ａ狀－犿． 狀 狀 狀－犿 ９证明（狀＋１）！－狀！＝狀·狀！，并用它来化简１×１！＋２×２！＋３×３！＋…＋ １０×１０！． １０学校要安排一场文艺晚会的１１个节目的演出顺序，除第一个节目和最后一 个节目已确定外，４个音乐节目要求排在第二、五、七、十的位置，３个舞蹈节 目要求排在第三、六、九的位置，２个曲艺节目要求排在第四、八的位置，共 有多少种不同的排法？ 探究·拓展 １１（１）由数字１，２，３，４，５可以组成多少个没有重复数字的五位数？可以组成 多少个没有重复数字的正整数？ （２）由数字１，２，３，４可以组成多少个没有重复数字且比１３００大的正整数？ １２（１）如果使用２个大写的英文字母后接４个阿拉伯数字的方式构成汽车号 牌号码（英文字母中的Ｉ和Ｏ避而不用，以免与数字中的１和０混淆）， 那么可能的汽车号牌号码有多少个？ （２）调查你所在地区的车牌号码（或电话号码）构成方式的变迁，并指出新 的构成方式有什么优点． ６６７ 计数原理 第 章 ７．３ 组 合 考察下面两个问题： （１）高二（１）班准备从甲、乙、丙这３名学生中选２名学生代表， 有多少种不同的选法？ （２）从１，２，３这３个数字中取出２个数字，能构成多少个不同的 集合？ ● 这两个问题与上一节中相应的排列问题有何区别？有何 联系？ 与排列问题不同的是，这两个问题都与所选的元素的顺序无关． 如问题（１）中，甲、乙两同学当选代表就与他们的顺序无关，只要选出 的元素相同就是同样的结果． 上节中相应的排列问题还可以这样解决：第一步，从３个元素中 选出２个元素构成一组；第二步，将这组中的２个元素按一定的顺序 排成一列．上面的问题其实就是第一个步骤的结果．这就是本节将要 研究的组合问题． 一般地，从狀个不同元素中取出犿（犿≤狀）个元素并成一组，叫 作从狀个不同元素中取出犿个元素的一个组合（ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ）． 怎样才能无重复无遗漏地把所有的组合写出来呢？ 例１ 写出从犪，犫，犮这３个元素中，每次取出２个元素的所有 组合． 解 先画一个示意图（图７ ３ １）： 图７ ３ １ 由此即可写出所有的组合： 犪犫，犪犮，犫犮． 从狀个不同元素中取出犿（犿≤狀）个元素的所有组合的个数，叫作 如无特别说明， 从狀个不同元素中取出犿个元素的组合数，用符号Ｃ犿 表示． 取出若干个元素都是 狀 指无重复地选取． 由例１我们得到Ｃ２＝３．如果不写出所有的组合，那么怎样才能 ３ 得到组合的种数呢？ ６７选择性必修第二册 数学 我们已经知道，组合是选择的结果，排列是选择后再排序的 结果． 一般地，求从狀个不同元素中取出犿个元素的排列数Ａ犿 ，可分 狀 为两步： 第一步 求出从这狀个不同元素中取出犿个元素的组合数Ｃ犿 ； 狀 第二步 求每一个组合中犿个元素的全排列数Ａ犿． 犿 根据分步计数原理，得到Ａ犿＝Ｃ犿·Ａ犿 ，因此，我们得到组合数 狀 狀 犿 公式 Ａ犿 狀（狀－１）（狀－２）…（狀－犿＋１） Ｃ 狀 犿＝ Ａ 狀 犿 ＝ 犿！ ． 犿 这里狀，犿∈犖  ，并且犿≤狀．因为 狀！ Ａ 狀 犿＝ （狀－犿）！ ， 所以，上面的组合数公式还可以写成 狀！ Ｃ 狀 犿＝ 犿！（狀－犿）！ ． 我们以从４个不同元素犪，犫，犮，犱中取出３个元素为例，从表７ ３ １中可以看出组合与排列的关系． 表７ ３ １ 所有组合 所 有 排 列 犪 犫 犮 犪犫犮 犪犮犫 犫犪犮 犫犮犪 犮犪犫 犮犫犪 犪 犫 犱 犪犫犱 犪犱犫 犫犪犱 犫犱犪 犱犪犫 犱犫犪 犪 犮 犱 犪犮犱 犪犱犮 犮犪犱 犮犱犪 犱犪犮 犱犮犪 犫 犮 犱 犫犮犱 犫犱犮 犮犫犱 犮犱犫 犱犫犮 犱犮犫 例２ 计算： （１）Ｃ２ ； （２）Ｃ５ ； （３）Ｃ７ ． ９ ８ ３５ ９×８ 解 （１）Ｃ２＝ ＝３６． ９ ２×１ ８×７×６×５×４ （２）Ｃ５＝ ＝５６． ８ ５×４×３×２×１ ３５×３４×…×２９ （３）Ｃ７ ＝ ＝６７２４５２０． ３５ ７×６×…×１ ６８７ 计数原理 第 章 练 习 １下列问题是排列问题，还是组合问题？ （１）从９名学生中选出４名参加一场联欢会，共有多少种不同的选法？ （２）从２，３，５，７，１１这５个质数中，每次取２个数分别作为分子和分母构成 一个分数，共有多少个不同的分数？ （３）已知空间有８个点，其中任何４点都不共面，则从这８个点中任意选取４ 点作为顶点构成一个四面体，共可以构成多少个四面体？ ２甲、乙、丙、丁４支足球队举行单循环赛， （１）列出所有各场比赛的双方； （２）列出所有冠亚军的可能情况． ３计算： （ １） Ｃ ３ ； （ ２） Ｃ ３ ； （ ３） Ｃ １９７ ； （４）Ｃ３＋Ｃ４． １５ ２００ ２００ ８ ８ ４６个朋友聚会，每两人握手１次，一共握手多少次？ ５（１）平面内有１０个点，以其中２个点为端点的线段共有多少条？ （２）平面内有１０个点，以其中２个点为端点的有向线段共有多少条？ ６．化简：Ｃ狀 Ｃ狀－２． 狀＋１ 狀 ７填空： （１）从５人中选派３人去参加某个会议，不同的选法共有 种； （２）从５件不同的礼物中选出３件分别送给３名同学，不同的方法共有 种； （３）设集合犃有犿个元素，集合犅有狀个元素，从这两个集合中各取出１个 元素，不同的方法共有 种． ８在桥牌比赛中，发给４名参赛者每人１３张牌，一名参赛者可能得到多少种不 同的牌？（用排列数记号或组合数记号表示） 例３ 在歌手大奖赛的文化素质测试中，选手需从５道试题中 任意选答３题，问： （１）有几种不同的选题方法？ （２）若有１道题是必答题，有几种不同的选题方法？ 分析 由题意可知，所选的试题与顺序无关，所以这是一个组合 问题． 解 （１）所求不同的选题方法数，就是从５个不同元素里每次取 出３个元素的组合数， ５×４×３ Ｃ３ ５ ＝ ３！ ＝１０（种）． （２）因为已有１道题必选，所以只要在另外４道题中选２道，不 同的选题方法有 ４×３ Ｃ２ ４ ＝ ２！ ＝６（种）． 对于（１），还可以换一个角度考虑：从５道试题中剔去２题，将剩 下的３题取出，这样共有Ｃ２ 种不同的选题方法．由此可见，Ｃ３＝Ｃ２． ５ ５ ５ ６９选择性必修第二册 数学 注意到（２）与（１）的关系：Ｃ３ 种方法中包括含必答题与不含必答 ５ 题两类，方法数分别为Ｃ２ 和Ｃ３．由此可见，Ｃ３＝Ｃ２＋Ｃ３． ４ ４ ５ ４ ４ 一般地，我们可以得到组合数的两个重要性质： Ｃ犿＝Ｃ狀－犿 ， 狀 狀 Ｃ犿 ＝Ｃ犿－１＋Ｃ犿． 狀＋１ 狀 狀 为了使第一个性质在犿＝狀时也能成立，我们规定Ｃ０＝１． 狀 例４ 在１００件产品中，有９８件合格品，２件不合格品．从这 １００件产品中任意抽出３件，问： （１）一共有多少种不同的抽法？ （２）抽出的３件中恰好有１件是不合格品的抽法有多少种？ （３）抽出的３件中至少有１件是不合格品的抽法有多少种？ 解 （１）所求的不同抽法的种数，就是从１００件产品中取出３件 的组合数，即 １００×９９×９８ Ｃ３ ＝ ＝１６１７００． １００ ３×２×１ （２）抽出的３件中恰好有１件是不合格品，分２个步骤进行． 第一步，从２件不合格品中抽出１件不合格品，抽法有Ｃ１ 种； ２ 第二步，从９８件合格品中抽出２件合格品，抽法有Ｃ２ 种． ９８ 根据分步计数原理，抽出的３件中恰好有１件是不合格品的抽法 种数是 Ｃ１Ｃ２ ＝２×４７５３＝９５０６． ２ ９８ （３）方法１ 抽出的３件中至少有１件是不合格品，包括两种情 况：恰好有１件不合格品，恰好有２件不合格品． 由（２）知恰好有１件是不合格品的抽法有Ｃ１Ｃ２ 种．同理，恰好有 ２ ９８ ２件是不合格品的抽法有Ｃ２Ｃ１ 种． ２ ９８ 根据分类计数原理，抽出的３件中至少有１件是不合格品的抽法 的种数是 Ｃ１Ｃ２ ＋Ｃ２Ｃ１ ＝９５０６＋９８＝９６０４． ２ ９８ ２ ９８ 方法２ 抽出的３件中至少有１件是不合格品的抽法种数，也就 是从１００件中抽出３件的抽法种数减去３件中全是合格品的抽法种 数，即 Ｃ３ －Ｃ３ ＝１６１７００－１５２０９６＝９６０４． １００ ９８ 答 不同的抽法分别有１６１７００，９５０６和９６０４种． ７０７ 计数原理 第 章 思 考 在例４中，若“抽出的３件中至多有１件是不合格品”，应如何 求解？ 例５ 房间里有５盏电灯，分别由５个开关控制，至少开１盏灯 用以照明，有多少种不同的方法？ 解法１ 因为开灯照明，与开灯的先后顺序无关，而只与开灯的 多少有关，所以可分成开１盏、２盏……５盏灯五种情况． 开１盏灯有Ｃ１ 种方法，开２盏灯有Ｃ２ 种方法……５盏灯全开有 ５ ５ Ｃ５ 种方法．根据分类计数原理，不同的开灯方法有 ５ Ｃ１＋Ｃ２＋…＋Ｃ５＝３１（种）． ５ ５ ５ 解法２ 因为对任何１盏电灯都有“开”或“不开”两种处理方法， 所以开灯照明这件事可分成对每盏灯逐个处理的５个步骤来进行． 根据分步计数原理，５盏电灯就有２×２×２×２×２＝２５ 种处理方 法，其中１盏都不开的情况应除外．所以不同的开灯方法有 ２×２×２×２×２－１＝２５－１＝３１（种）． 答 至少开１盏灯用以照明，有３１种不同的方法． 思 考 比较例５中的两种解法，你能推测出什么结论？能做进一步的推 广吗？ 练 习 １计算： （１）Ｃ４８； ５０ （２）Ｃ２ ＋Ｃ３； ９９ ９９ （３）Ｃ１＋Ｃ２＋Ｃ３． ４ ４ ５ ２若Ｃ６＝Ｃ５，则狀＝ ，Ｃ１０＝ ． 狀 狀 狀 ３求证：狉Ｃ狉＝狀Ｃ狉－１． 狀 狀－１ ４已知犃，犅，犆，犇４个点，其中任意３个点不在同一条直线上，从中取出两点 作直线，共能作出多少条直线？ ５学校开设了６门选修课，问： （１）某学生从中选３门，共有多少种不同的选法？ （２）某学生从中至少选２门，共有多少种不同的选法？ （３）某学生从中至多选４门，共有多少种不同的选法？ ６一个口袋内装有７只不同的白球和１只黑球． （１）从口袋内取出３只球，共有多少种不同的取法？ （２）从口袋内取出３只球，其中必有１只黑球，有多少种不同的取法？ （３）从口袋内取出３只球，其中没有黑球，有多少种不同的取法？ ７１选择性必修第二册 数学 解决计数问题，关键是设计完成一件事情的合理过程，建立适当 的模型，灵活运用两个基本计数原理．具体地说，要分清需要完成的 事情与顺序是否有关，要优先考虑特殊的元素或特殊的位置，还要多 角度思考问题，用多种方法验证计算结果． 例６ 高二（１）班有３０名男生、２０名女生．从５０名学生中选３ 名男生、２名女生分别担任班长、副班长、学习委员、宣传委员、体育委 员，共有多少种不同的选法？ 解 完成这件事情可分３步进行： 第一步 从３０名男生中选３名男生，有Ｃ３ 种方法； ３０ “先选后排”是解 第二步 从２０名女生中选２名女生，有Ｃ２ 种方法； ２０ 决这类计算问题的常 第三步 将选出的５名学生进行分工，即全排列，有Ａ５ 种方法． ５ 用方法． 根据分步计数原理，共有 Ｃ３Ｃ２Ａ５＝９２５６８０００ ３０ ２０ ５ 种选法． 答 共有９２５６８０００种不同的选法． 如果分两步解决上面问题，即先从３０名男生中选３名担任３种 思 考 不同职务，再从２０名女生中选２名担任２种不同职务，那么结果为 Ａ３Ａ２ ．这样做对吗？为什么？ ３０ ２０ 例７ 从０，１，２，…，９这１０个数字中选出５个不同的数字组成 五位数，其中大于１３０００的共有多少个？ 解法１ 满足条件的五位数有两类： 第一类 万位数大于１，这样的五位数共有８Ａ４ 个； ９ 第二类 万位数为１，千位数不小于３，这样的五位数共有７Ａ３ 个． ８ 根据分类计数原理，大于１３０００的五位数共有 ８Ａ４＋７Ａ３＝２６５４４（个）． ９ ８ 解法２ 由０，１，２，…，９这１０个数字中不同的５个数字组成的 五位数共有９Ａ４ 个，其中不大于１３０００的五位数的万位数都是１，且 ９ 千位数小于３，这样的数共有２Ａ３ 个，所以满足条件的五位数共有 ８ ９Ａ４－２Ａ３＝２６５４４（个）． ９ ８ 答 大于１３０００的五位数共有２６５４４个． 思 考 在例７中，大于１３５００的数共有多少个？ 练 习 １文娱晚会中，学生的节目有９个，教师的节目有２个，如果教师的节目不排 在最后１个，那么有多少种排法？ ７２７ 计数原理 第 章 ２从１，３，５，７，９中任取３个数字，从２，４，６，８中任取２个数字，一共可以组成 多少个没有重复数字的五位数？ ３将４位司机、４位售票员分配到４辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分 别有１位司机和１位售票员，共有多少种不同的分配方案？ ４电视台有８个节目准备分２天播出，每天播出４个，其中某电视剧和某专题 报道必须在第一天播出，某谈话节目必须在第二天播出，共有多少种不同的 播出方案？ 习题７．３ 感受·理解 １若Ｃ狓＝Ｃ３狓－８，则狓的值为 ． ２８ ２８ ２用组合数公式证明： （１）Ｃ犿＝Ｃ狀－犿； 狀 狀 （２）Ｃ犿 ＝Ｃ犿－１＋Ｃ犿． 狀＋１ 狀 狀 ３圆上有１０个点，问： （１）从中任取两点作弦，一共可画多少条弦？ （２）从中任取三点作三角形，一共可画多少个三角形？ ４（１）空间有８个点，其中任何４点不共面，过每３个点作１个平面，一共可 以作多少个平面？ （２）空间有１０个点，其中任何４点不共面，以每４个点为顶点作１个四面 体，一共可以作多少个四面体？ ５凸五边形有多少条对角线？凸狀边形呢？ ６已知一个集合有６个元素，那么该集合的非空真子集共有多少个？ ７在２００件产品中，有３件不合格品，从中任取５件，问： （１）“恰有２件不合格品”的取法有多少种？ （２）“没有不合格品”的取法有多少种？ （３）“至少有１件不合格品”的取法有多少种？ ８某旅行团要从８个景点中选２个作为当天的旅游地，满足下列条件的选法 各有多少种？ （１）甲、乙２个景点至少选１个； （２）甲、乙２个景点至多选１个； （３）甲、乙２个景点必须选１个且只能选１个． ９某次足球赛共１２支球队参加，分三个阶段进行． ① 小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组６队进行单循环比赛，以积分和净 胜球数取前两名； ② 半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名进行主、 客场交叉淘汰赛（每两队主、客场各赛１场），决出胜者； ③ 决赛：两个胜队参加，比赛１场，决出胜负． 问：全部赛程共需比赛多少场？ ７３选择性必修第二册 数学 思考·运用 １０利用组合数的性质进行计算： （１）Ｃ５－Ｃ５ ＋Ｃ４ ＝ ； 犿 犿＋１ 犿 （２）Ｃ２＋Ｃ２＋Ｃ２＋…＋Ｃ２ ＝ ． ２ ３ ４ １０ １１（１）４个不同的小球放入编号为１，２，３，４的４个盒子中，一共有多少种不同 的放法？ （２）４个不同的小球放入编号为１，２，３，４的４个盒子中，恰有１个空盒的放 法共有多少种？ １２如图，湖面上有４个相邻的小岛犃，犅，犆，犇，现要建３座桥梁，将这４个小岛 连接起来，共有多少种不同的方案？ （第１２题） 探究·拓展 １３如图，某地有南北街道５条、东西街道６条．一邮递员从该地东北角的邮局 犃出发，送信到西南角的犅地，且途经犆地，要求所走路程最短，共有多少 种不同的走法？ （第１３题） １４（阅读题）ＤＮＡ是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线状分子，由 称为碱基的化学成分组成．它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链，两条 链上的碱基之间由氢键相结合．在ＤＮＡ中只有４种类型的碱基，分别用 Ａ，Ｃ，Ｇ和Ｔ表示，ＤＮＡ中的碱基能够以任意顺序出现．两条链之间能形 成氢键的碱基或者是Ａ Ｔ，或者是Ｃ Ｇ，不会出现其他的联系．因此，如果 我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知道了另一条链 上碱基的顺序．由氢键联系着的两个碱基称为碱基对． 一个典型的细菌基因是一段有着１５００个碱基对的ＤＮＡ，试计算该细 菌基因可能的种数． ７４７ 计数原理 第 章 ７．４ 二项式定理 由多项式的乘法法则可以知道： （犪＋犫） ２＝犪２＋２犪犫＋犫２ ， （犪＋犫） ３＝犪３＋３犪２犫＋３犪犫２＋犫３ ， （犪＋犫） ４＝犪４＋４犪３犫＋６犪２犫２＋４犪犫３＋犫４． ● 你能写出 （犪＋犫） 狀 （狀∈犖  ）的展开式吗？ ７．４．１ 二项式定理 为了确定（犪＋犫） 狀 （狀∈犖  ）的展开式，我们必须明确展开式中的 项是如何产生的．为此，我们先看狀＝２，３的情形： （犪＋犫） ２＝ （犪＋犫）（犪＋犫） ＝犪２＋犪犫＋犫犪＋犫２ ＝犪２＋２犪犫＋犫２． 上面展开式中的每一项都是从两个括号中各取１个字母的乘积． （犪＋犫） ３＝ （犪＋犫）（犪＋犫）（犪＋犫） ＝（犪２＋犪犫＋犫犪＋犫２ ）（犪＋犫） ＝犪３＋犪２犫＋犪２犫＋犪犫２＋犫犪２＋犫２犪＋犫２犪＋犫３ ＝犪３＋３犪２犫＋３犪犫２＋犫３． 由上述过程可以看出，（犪＋犫） ３ 展开式中的每一项都是从 （犪＋犫）（犪＋犫）（犪＋犫）的每个括号中各取１个字母的乘积． 一般地，由 （犪＋犫） 狀＝ （犪＋犫）（犪＋犫）…（犪＋犫） 烏 烐 烑 狀个（犪＋犫） 可知，（犪＋犫） 狀 展开式是从每个括号中各取１个字母的一切可能乘积 的和，它的每一项都具有犪狀－狉犫狉 （狉＝０，１，２，…，狀）的形式． 对于某个狉（狉＝０，１，２，…，狀），对应的项犪狀－狉犫狉 是由狀－狉个 （犪＋犫）中选犪，狉个（犪＋犫）中选犫得到的．由于犫选定后，犪的选法也 随之确定，因此，犪狀－狉犫狉 的系数就是在（犪＋犫）（犪＋犫）…（犪＋犫）的狀个 括号中选狉个取犫的方法种数． ７５选择性必修第二册 数学 具体地，在这狀个括号中， 每个都不取犫的情况有１种，即Ｃ０ 种，所以犪狀 的系数是Ｃ０ ； 狀 狀 恰有１个取犫的情况有Ｃ１ 种，所以犪狀－１犫的系数是Ｃ１ ； 狀 狀 恰有２个取犫的情况有Ｃ２ 种，所以犪狀－２犫２ 的系数是Ｃ２ ； 狀 狀 …… 恰有狉个取犫的情况有Ｃ狉 种，所以犪狀－狉犫狉 的系数是Ｃ狉 ； 狀 狀 …… 都取犫的情况有Ｃ狀 种，所以犫狀 的系数是Ｃ狀． 狀 狀 因此， （犪＋犫） 狀＝Ｃ０犪狀＋Ｃ１犪狀－１犫＋…＋Ｃ狉犪狀－狉犫狉＋…＋Ｃ狀犫狀 （狀∈犖  ）． 狀 狀 狀 狀 这个公式叫作二项式定理（ｂｉｎｏｍｉａｌｔｈｅｏｒｅｍ），右边的多项式叫 作 （犪＋犫） 狀 的二项展开式，它一共有狀＋１项，其中Ｃ狉犪狀－狉犫狉 叫作二项 狀 展开式的第狉＋１项（也称通项），用犜 表示，即 狉＋１ 犜 ＝Ｃ狉犪狀－狉犫狉． 狉＋１ 狀 Ｃ狉 （狉＝０，１，…，狀）叫作第狉＋１项的二项式系数． 狀 思 考 对于 （犪＋犫） 狀 ，在合并同类项之前，其展开式共有多少项？ 例１ 利用二项式定理展开下列各式： （１）（犪－犫） ６ ； （ ） １ ４ （２）１＋ ． 狓 解 （１）（犪－犫） ６＝ ［犪＋（－犫）］ ６ ＝Ｃ０犪６＋Ｃ１犪５ （－犫）＋Ｃ２犪４ （－犫） ２＋Ｃ３犪３ （－犫） ３ ６ ６ ６ ６ ＋Ｃ４犪２ （－犫） ４＋Ｃ５犪（－犫） ５＋Ｃ６（－犫） ６ ６ ６ ６ ＝犪６－６犪５犫＋１５犪４犫２－２０犪３犫３＋１５犪２犫４－６犪犫５＋犫６． （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） １ ４ １ １ ２ １ ３ １ ４ （２）１＋ ＝１＋Ｃ１ ＋Ｃ２ ＋Ｃ３ ＋Ｃ４ 狓 ４ 狓 ４ 狓 ４ 狓 ４ 狓 ４ ６ ４ １ ＝１＋ ＋ ＋ ＋ ． 狓 狓２ 狓３ 狓４ ７６７ 计数原理 第 章 例２ 在 （１＋２狓） ７ 的展开式中，求： （１）第４项的二项式系数； （２）含狓３ 的项的系数． 解 （１）由二项式定理可知，在 （１＋２狓） ７ 的展开式中，第４项的 二项式系数为 展开式中某一项 Ｃ３＝３５． ７ 的系数与该项的二项 （２）由二项式定理可知，在（１＋２狓） ７ 的展开式中，第狉＋１项为 式系数是两个不同的 概念． 犜 ＝Ｃ狉·１７－狉·（２狓） 狉 狉＋１ ７ ＝Ｃ狉·２狉·狓狉． ７ 当狉＝３时，（１＋２狓） ７ 展开式中含狓３ 的项的系数为 Ｃ３·２３＝２８０． ７ （ ） 例３ 求 狓－ １ ６的二项展开式中的常数项． ２狓 解 设二项展开式中的常数项为第狉＋１项，即 （ ） １ 狉 １ 犜 ＝Ｃ狉狓６－狉－ ＝ （－１） 狉Ｃ狉· ·狓６－２狉． 狉＋１ ６ ２狓 ６ ２狉 根据题意，得 ６－２狉＝０， 狉＝３． 因此，二项展开式中的常数项为 Ｃ３ ５ 犜 ＝－ ６ ＝－ ． ４ ８ ２ 练 习 １ ． 利 用 二 项 式 定 理 展 开 下 列 各 式 ： （１）（１＋狓）５； （２）（２－狓）４． ２（狓－２狔）７ 的展开式中第３项的二项式系数是（ ）． Ａ．Ｃ２ Ｂ．Ｃ３ Ｃ．４Ｃ２ Ｄ．１６Ｃ５ ７ ７ ７ ７ ３（狓－１）１０ 的展开式中含狓５ 的项的系数是（ ）． Ａ．Ｃ６ Ｂ．－Ｃ６ Ｃ．Ｃ５ Ｄ．－Ｃ５ １０ １０ １０ １０ ４写出（狓３＋２狓）９ 的展开式的第犽项（１≤犽≤１０，犽∈犖 ）． ５求（１－２狓）６ 的展开式中含狓２ 的项． （ ） ６求 狓＋ １ ６的展开式中的常数项． 狓 ７７选择性必修第二册 数学 ７．４．２ 二项式系数的性质及应用 当狀依次取０，１，２，３，…时，观察（犪＋犫） 狀 展开式的二项式系数： 图７ ４ １ 二项式系数有什么特点？ 图７ ４ １左侧是根据二项式定理得到的，右侧是算出组合数的 值后所得的结果．由此我们发现： （１）每一行中的二项式系数是“对称”的，即第１项与最后一项的 二项式系数相等，第２项与倒数第２项的二项式系数相等…… （２）图中每行两端都是１，而且除１以外的每一个数都等于它“肩 上”两个数的和（图７ ４ ２）． 这个表称为杨辉 三角．有关介绍见第 ８３页“阅读”． 图７ ４ ２ （３）图中每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大． （４）第１行为１＝２０ ，第２行的两数之和为２，第３行的三数之和 为２２ ……第７行的各数之和为２６ （图７ ４ ２）． 一般地，（犪＋犫） 狀 展开式的二项式系数Ｃ０ ，Ｃ１ ，…，Ｃ狀 有如下性质： 狀 狀 狀 （１）Ｃ犿＝Ｃ狀－犿 ； 狀 狀 （２）Ｃ犿＋Ｃ犿－１＝Ｃ犿 ； 狀 狀 狀＋１ 狀－１ 狀－１ 当狀为偶数时，二 （３）当狉＜ ２ 时，Ｃ狉 狀 ＜Ｃ狉 狀 ＋１ ；当狉＞ ２ 时，Ｃ狉 狀 ＋１＜Ｃ狉 狀 ； 项式系数中，以Ｃ狀 ２ 最 （４）Ｃ０＋Ｃ１＋…＋Ｃ狀＝２狀． 狀 狀 狀 狀 大；当狀为奇数时，二 （１）（２）证明从略．下面给出（３）（４）的证明． 项式系数中，以Ｃ狀－１和 狀－１ 狀 ２ 证明 （３）当狉＜ 时，要证明Ｃ狉＜Ｃ狉＋１ ，只要证 ２ 狀 狀 Ｃ狀＋１（两者相等）最大． 狀２ ７８７ 计数原理 第 章 狀！ 狀！ ＜ ， 狉！（狀－狉）！ （狉＋１）！（狀－狉－１）！ 即要证 １ １ ＜ ， 狀－狉 狉＋１ 即要证 狀－１ 狉＜ ， ２ 狀－１ 而狉＜ 是已知条件，故结论得证． ２ 狀－１ 同理，当狉＞ 时，Ｃ狉＋１＜Ｃ狉 也成立． ２ 狀 狀 （４）在二项式定理中，令犪＝犫＝１，就有 ２狀＝Ｃ０＋Ｃ１＋…＋Ｃ狀 ， 狀 狀 狀 这表明（犪＋犫） 狀 展开式各项的二项式系数的和等于２狀． 例４ 证明：在（犪＋犫） 狀 的展开式中，奇数项的二项式系数的和 等于偶数项的二项式系数的和． 证明 在二项式定理 （犪＋犫） 狀＝Ｃ０犪狀＋Ｃ１犪狀－１犫＋Ｃ２犪狀－２犫２＋…＋Ｃ狀犫狀 狀 狀 狀 狀 中，令犪＝１，犫＝－１，得 （１－１） 狀＝Ｃ０－Ｃ１＋Ｃ２－Ｃ３＋…＋（－１） 狀Ｃ狀 ， 狀 狀 狀 狀 狀 即 ０＝ （Ｃ０＋Ｃ２＋…）－（Ｃ１＋Ｃ３＋…）， 狀 狀 狀 狀 所以 Ｃ０＋Ｃ２＋… ＝Ｃ１＋Ｃ３＋…． 狀 狀 狀 狀 即在（犪＋犫） 狀 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项 的二项式系数的和． 例５ 用二项式定理证明：９９１０－１能被１０００整除． 证明 ９９１０－１ ＝ （１００－１） １０－１ ＝Ｃ０１００１０－Ｃ１１００９＋…＋Ｃ８１００２－Ｃ９１００＋Ｃ１０－１ １０ １０ １０ １０ １０ ＝Ｃ０１００１０－Ｃ１１００９＋…＋Ｃ８１００２－１０００． １０ １０ １０ ７９选择性必修第二册 数学 因为上式的每一项都能被１０００整除，所以９９１０－１能被１０００ 整除． 练 习 １填空： （１）（狓＋狔）１０ 的展开式中二项式系数的最大值是 ； （２）Ｃ１ ＋Ｃ３ ＋…＋Ｃ６３＝ ； ６４ ６４ ６４ （３）３８ 被５除所得的余数是 ． ２Ｃ５＋Ｃ６ 等于（ ）． １２ １２ Ａ ． Ｃ ５ Ｂ ． Ｃ６ １３ １３ Ｃ．Ｃ１１ Ｄ．Ｃ７ １３ １２ ３求证：Ｃ犿 ＝Ｃ犿－１＋Ｃ犿 ＋Ｃ犿－１． 狀＋１ 狀 狀－１ 狀－１ ４求证：１＋２Ｃ１＋４Ｃ２＋…＋２狀－１Ｃ狀－１＋２狀Ｃ狀＝３狀． 狀 狀 狀 狀 ５求证：当狀为偶数时，Ｃ０＋Ｃ２＋Ｃ４＋…＋Ｃ狀＝２狀－１． 狀 狀 狀 狀 习题７．４ 感受·理解 １利用二项式定理展开下列各式： （１）（犪＋２犫）５； （ ） （２）狓－ １ ７ ． 狓 ２化简：Ｃ７－Ｃ８ ＋Ｃ８． 犿 犿＋１ 犿 ３化简： （１）（１＋狓）６－（１－狓）６； （２）（１＋槡狓）５＋（１－槡狓）５； （ ） （ ） １ ４ １ ４ （３）狓＋ － 狓－ ． 狓 狓 ４已知０＜狆＜１． （１）写出［狆＋（１－狆）］狀的展开式； （２）化简Ｃ０狆３＋Ｃ１狆２（１－狆）＋Ｃ２狆（１－狆）２＋Ｃ３（１－狆）３． ３ ３ ３ ３ ５（１）求 （１－２狓）１５ 展开式中的前４项； （２）求（２犪３－３犫２）１０ 展开式中的第８项； （ ） （３）求 槡狓 ＋ １ １２展开式中的第７项． ３ 槡狓 （ ） ６．（１）求 １－ １ １０展开式中含 １ 的项； ２狓 狓５ （ ） （２）求 ２狓３－ １ １０展开式中的常数项． ２狓２ （ ） ７已知 槡５狓－ １ 狀展开式中的第４项是常数项，求狀的值． 狓 ８求证：２狀－Ｃ１·２狀－１＋Ｃ２·２狀－２＋…＋（－１）狀－１Ｃ狀－１·２＋（－１）狀＝１． 狀 狀 狀 思考·运用 ９用二项式定理证明：（狀＋１）狀－１能被狀２ 整除（狀∈犖 ）． ８０７ 计数原理 第 章 １０已知（１＋狓）狀 的展开式中第４项与第８项的二项式系数相等，求这两项的二 项式系数． （ ） １ 狀 １１在 槡狓＋ 的展开式中，前３项的系数成等差数列，求展开式中狓的 ２槡４狓 一次项． １２．求（１＋狓）＋（１＋狓）２＋…＋（１＋狓）１０（狓≠－１，且狓≠０）的展开式中狓３ 的系数． １３设（２狓＋槡３）４＝犪＋犪狓＋犪狓２＋犪狓３＋犪狓４，求下列各式的值： ０ １ ２ ３ ４ （１）犪＋犪＋犪＋犪＋犪； ０ １ ２ ３ ４ （２）犪＋犪＋犪＋犪； １ ２ ３ ４ （３）（犪＋犪＋犪）２－（犪＋犪）２． ０ ２ ４ １ ３ 探究·拓展 １４从函数角度看，Ｃ狉可以看成以狉为自变量的函数犳（狉），其定义域是 狀 ｛狉狘狉∈犖，狉≤狀｝． （１）画出函数 φ（狉）＝Ｃ狉（狉＝０，１，２，…，７）的图象； ７ 狀－狉＋１ （２）求证：犳（狉）＝ 犳（狉－１）； 狉 （３）试利用（２）的结论来证明：当狀为偶数时，（犪＋犫）狀 的展开式最中间 一项的二项式系数最大；当狀为奇数时，（犪＋犫）狀 的展开式最中间两 项的二项式系数相等且最大． ８１选择性必修第二册 数学 问题与探究 算 两 次 我们曾用组合模型发现了组合恒等式： Ｃ犿＝Ｃ狀－犿 ， 狀 狀 Ｃ犿 ＝Ｃ犿＋Ｃ犿－１． 狀＋１ 狀 狀 这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次， 由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫作“算两 次”．对此，我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同 一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范．再如， 我们还可以用这种方法，结合二项式定理得到很多组合恒等式，如由 等式 （１＋狓） ２狀＝ （１＋狓） 狀 （１＋狓） 狀 可知左边狓狀 的系数为Ｃ狀 ，而右边 ２狀 （１＋狓） 狀 （１＋狓） 狀 ＝ （Ｃ０＋Ｃ１狓＋Ｃ２狓２＋…＋Ｃ狀狓狀 ）（Ｃ０＋Ｃ１狓＋Ｃ２狓２＋…＋Ｃ狀狓狀 ）， 狀 狀 狀 狀 狀 狀 狀 狀 其中狓狀 的系数为 Ｃ０Ｃ狀＋Ｃ１Ｃ狀－１＋Ｃ２Ｃ狀－２＋…＋Ｃ狀Ｃ０ 狀 狀 狀 狀 狀 狀 狀狀 ＝ （Ｃ０ ） ２＋（Ｃ１ ） ２＋（Ｃ２ ） ２＋…＋（Ｃ狀 ） ２． 狀 狀 狀 狀 由（１＋狓） ２狀＝ （１＋狓） 狀 （１＋狓） 狀 恒成立，可得 （Ｃ０ ） ２＋（Ｃ１ ） ２＋（Ｃ２ ） ２＋…＋（Ｃ狀 ） ２＝Ｃ狀． 狀 狀 狀 狀 ２狀 （１）你能用“算两次”的方法证明等式Ａ犿＋犿Ａ犿－１＝Ａ犿 吗？ 狀 狀 狀＋１ （２）你能通过“算两次”独立发现新的组合恒等式吗？ ８２７ 计数原理 第 章 阅 读 杨 辉 三 角 我国北宋数学家贾宪（约１１世纪）有一部著作《黄帝九章算法细 草》，其中有“开方作法本源”图．贾宪的书已失传，杨辉（约１３世纪）在 《详解九章算法》一书中征引了贾宪的材料，说明“出释锁算书，贾宪 用此术”．“开方作法本源”图现称为“杨辉三角”（或“贾宪三角”），它 实际上是一张二项式系数表，我国数学家发现这张表不晚于１１世纪． 图１ 如图１（１），“开方作法本源”图中每一横行即是二项式某次幂展 开式中的各项系数，即 （狓＋犪） ０＝１， （狓＋犪） １＝狓＋犪， （狓＋犪） ２＝狓２＋２犪狓＋犪２ ， （狓＋犪） ３＝狓３＋３犪狓２＋３犪２狓＋犪３ ， （狓＋犪） ４＝狓４＋４犪狓３＋６犪２狓２＋４犪３狓＋犪４ ， （狓＋犪） ５＝狓５＋５犪狓４＋１０犪２狓３＋１０犪３狓２＋５犪４狓＋犪５ ， （狓＋犪） ６＝狓６＋６犪狓５＋１５犪２狓４＋２０犪３狓３＋１５犪４狓２＋６犪５狓＋犪６． 二项展开式的系数对于开方是极为重要的．从《九章算术》的开 平方术、开立方术和刘徽注中可知，古代数学家已经知道 （狓＋犪） ２＝狓２＋２犪狓＋犪２ ， （狓＋犪） ３＝狓３＋３犪狓２＋３犪２狓＋犪３ 两式的代数意义．贾宪把这些公式扩充到（狓＋犪） ６ 的展开式，并指出 各项系数所遵循的规律． “左袤乃积数，右袤乃隅算”，“袤”字本是“衺”字，衺是古“邪”字， 通“斜”．就是说，左边斜线上的数字（一、一、一……）是各次开方积 ８３选择性必修第二册 数学 （常数犪狀 ）的系数，右边斜线上的数字（一、一、一……）是各项开方的 “隅算”（狓狀 ）的系数．第三句“中藏者皆廉”是说图中各横行中的“二”， “三、三”，“四、六、四”等分别是二次方、三次方、四次方时除“积”“隅” 以外各项的系数（“廉”）．“以廉乘商方”是说用各次廉乘商（一位得 数）的相应次方．“命实而除之”是说从被开方数“实”中减去最后所得 的廉与商的乘积． 元朝数学家朱世杰《四元玉鉴》（１３０３）卷首的“古法七乘方图”也 给出二项式系数，如图２所示． 图２ 法国数学家帕斯卡（Ｂ．Ｐａｓｃａｌ，１６２３—１６６２）在他的著作《算术三 角形专论》中，给出了图３．所以，欧洲把这种二项式系数表称为帕斯 卡三角形．这表明，我国发现杨辉三角要比欧洲早五百年左右． 图３ ８４７ 计数原理 第 章 本章回顾 本 章 概 览 本章用排列和组合两个模型刻画了两类计数问题，以分类计数 原理和分步计数原理为工具，研究了解决排列、组合问题的方法，运 用排列、组合知识解决了相关的应用问题．根据多项式乘法的运算法 则得到了二项式定理，并研究了二项式定理的一些简单应用． 两个基本计数原理是处理计数问题的理论基础．解决计数问题 时，要善于设计完成一件事情的合理的过程，建立适当的模型，灵活 运用两个基本计数原理，并注意区分排列与组合是两类不同的问题． 排列、组合、二项式定理等知识，不仅能帮助我们解决社会生活 中的计数问题，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用，它们是概 率论和数理统计的基础． 复 习 题 感受·理解 １已知两条异面直线犪，犫上分别有５个点和８个点，用这１３个点可确定多少 个不同的平面？ ２从集合犕＝｛１，２，３，４，５，６，７，８，９｝中分别取２个不同的数作为对数的 底数与真数，一共可得到多少个不同的对数值？ ８５选择性必修第二册 数学 ３如图，某电子器件由４个电阻串联而成形成回路，它共有５个焊接点．如果 焊接点脱落，那么整个电路就会不通．问：焊接点脱落的可能情况共有多 少种？ （第３题） ４３张卡片的正、反两面分别写有数字１，２；３，４；５，６．将这３张卡片排成一排， 可构成多少个不同的三位数？ ５由１０个元素组成的集合有多少个子集？ ６由０，１，２，３，４，５这６个数字可以组成多少个没有重复数字的奇数？ ７求下列各展开式中的指定项： （ ） （１）狓＋ ２ ６展开式中的第４项； 狓 （２）（２狓＋５）４ 展开式中的第３项． ８求证：３２狀＋Ｃ１·３２狀－２＋Ｃ２·３２狀－４＋…＋Ｃ狀－１·３２＋１＝１０狀． 狀 狀 狀 狀 １ １ ９．证明 ＝ － ，并利用这一结果化简： （狀＋１）！ 狀！ （狀＋１）！ １ ２ ３ ９ （１） ＋ ＋ ＋…＋ ； ２！ ３！ ４！ １０！ １ ２ ３ 狀 （２） ＋ ＋ ＋…＋ ． ２！ ３！ ４！ （狀＋１）！ 思考·运用 １０甲、乙、丙３人排成一行，其中甲不排在第１位，乙不排在第２位，丙不排在 第３位，共有多少种不同的排法？ １１将３位教师分到６个班级任教，每位教师教２个班，共有多少种不同的 分法？ １２设（３狓－１）７＝犪＋犪狓＋犪狓２＋犪狓３＋犪狓４＋犪狓５＋犪狓６＋犪狓７，求： ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ （１）犪＋犪＋犪＋犪； ０ ２ ４ ６ （２）犪＋犪＋犪＋犪； １ ３ ５ ７ （３）狘犪狘＋狘犪狘＋狘犪狘＋狘犪狘＋狘犪狘＋狘犪狘＋狘犪狘＋狘犪狘． （０ １） ２ ３ ４ ５ ６ ７ ２ 狀 １３．已知 槡狓－ 的展开式中，第５项与第３项的二项式系数之比为１４∶３， 狓２ 求展开式中的常数项． １４求（狓２＋３狓＋２）５ 展开式中含狓项的系数． １５设实数狓＞０，试判别（１＋狓）１０与１＋１０狓＋４５狓２的大小关系，并说明理由． １６有１０只不同的试验产品，其中有４只不合格品、６只合格品．现每次取１只 测试，直到４只不合格品全部测出为止．问：最后１只不合格品正好在第５ 次测试时被发现的不同情形有多少种？ ８６７ 计数原理 第 章 探究·拓展 １７（探究题）根据杨辉三角，我们可以得到很多与组合数有关的性质． 例如，在下图中， Ｃ１＋Ｃ１＋Ｃ１＋…＋Ｃ１＝Ｃ２ ， １ ２ ３ 狀 狀＋１ Ｃ２＋Ｃ２＋Ｃ２＋…＋Ｃ２＝Ｃ３ ， ２ ３ ４ 狀 狀＋１ …… （１）根据你发现的规律，猜想： Ｃ狉＋Ｃ狉 ＋Ｃ狉 ＋…＋Ｃ狉＝ （狀＞狉）， 狉 狉＋１ 狉＋２ 狀 并证明你的结论； （２）你还能发现有关组合数的哪些性质？ ８７选择性必修第二册 数学 本章测试 一、填空题 １．从３名女同学和２名男同学中，选出１人主持某次主题班会，不同的选法种 数为 ． ２．若Ｃ３＝Ｃ７，则狀的值是 ． 狀 狀 ３在（１＋２狓）５的展开式中含狓２的项的系数为 ． ４．２位同学分别从甲、乙、丙３门课程中选修１门，且２人选修的课程不同，则 不同的选法共有 种． ５．若（狓－１）２１＝犪＋犪狓＋犪狓２＋…＋犪狓２１，则犪 ＋犪 的值是 ． ０ １ ２ ２１ １０ １１ ６．今有２只红球、３只黄球，同色球不加以区分，将这５只球排成一列，有 种不同的方法（用数字作答）． 二、选择题 ７．８９×９０×９１×…×１００可以表示为（ ）． Ａ ． Ａ １０ Ｂ ． Ａ１ １ １００ １００ Ｃ．Ａ１２ Ｄ．Ａ１３ １００ １００ ８．从７本书中任意选取２本，不同的选法种数为（ ）． Ａ．８４ Ｂ．４２ Ｃ．３０ Ｄ．２１ （ ） 槡犪６ ９．若狓－ 展开式中的常数项为６０，则常数犪的值为（ ）． 狓２ Ａ．４ Ｂ．２ Ｃ．８ Ｄ．６ １０．由１，２，３，４，５，６组成没有重复数字且１，３不相邻的六位数的个数是 （ ）． Ａ．３６ Ｂ．７２ Ｃ．４８０ Ｄ．６００ １１．某校足球队有高一学生６人，高二学生５人，高三学生８人． 三、解答题 （１）若每个年级各选１名学生担任召集人，则有多少种不同的选法？ （２）若选派２人外出参观学习，要求这２人来自不同年级，则有多少种不同 的选法？ １２．由０，１，２，３，４，５这６个数字， （１）可以组成多少个无重复数字的四位数？ （２）可以组成多少个无重复数字且能被２５整除的四位数？ １３．甲组有５名男生，３名女生；乙组有６名男生，２名女生．若从甲、乙两组中各 选出２名学生，则选出的４人中恰有１名女生的不同选法共有多少种？ １４．已知犳（狓）＝（１＋狓）犿＋（１＋狓）狀（犿∈犖，狀∈犖），犳（狓）的展开式中含 狓的项的系数为１１，那么当犿，狀为何值时，含狓２的项的系数取得最小值？ ８８７ 计数原理 第 章 （ ） １ 狀 １５．在 槡狓－ （狀≥３，狀∈犖）的展开式中，第２，３，４项的二项式系数 ２槡４狓 依次成等差数列． （１）证明展开式中没有常数项； （２）求展开式中所有的有理项． ８９第８章 概 率 书书书在表面上是偶然性起作用的地方，这种偶然性始终是 受内部的隐蔽着的规律支配的，而问题只是在于发现这些 规律． 恩格斯 某企业生产了１０００００根金属棒，每根标准长度为６ｃｍ，质量检 测标准为允许有０．５％的误差． 为了解这批金属棒的合格率，需要进行检测．一种方法是对所有 产品都进行检测，但因金属棒太多，这种检测方法工作量太大，成本 太高．根据必修部分学习的知识，解决这类问题通常的做法是抽取样 本进行检测． 为此，我们可以考虑以下方案． 方案１：用有放回抽样，或无放回抽样获取样本，再用样本中次 品的频率估计本批产品的次品率． 方案２：多次实施方案１，运用频率的稳定性对次品率做出更为 精确的估计． 方案３：根据大量重复检测下的次品率的分布规律来检测产品 质量． ● 上述三个方案分别可以构建哪些概率模型？ ９２８ 概 率 第 章 ８．１ 条件概率 为研究引言中的问题，我们先从数量较小的情形入手．考察下面 的问题： 袋中放有形状、大小完全相同的３个红球和２个白球，从中先后 取一个球．事件犃：第一次取出球的颜色为红色；事件犅：第二次取出 球的颜色为白色． （１）如果第一次取一个球，记下其颜色后放回袋中，接着第二次 取一个球，那么事件犃是否发生对事件犅发生的概率有没有影响？ （２）如果第一次取一个球，不放回，接着第二次取一个球，那么事 件犃是否发生对事件犅发生的概率有没有影响？ ● 上述两个问题有什么区别与联系？ ８．１．１ 条件概率 根据必修教材的内容可知，上面的问题（１）中，事件犃与事件犅 相互独立．而问题（２）中，事件犃与事件犅是不独立的，那么 两个事件犃，犅相 互独立的充要条件是 ● 事件犃发生时，事件犅发生的概率是多少？ 犘（犃犅）＝犘（犃）犘（犅）． 将三个红球分别编号为１，２，３，两个白球分别编号为犪，犫，则随 机试验“第一次取一个球，不放回，接着第二次取一个球”的样本空 间为 Ω＝ ｛（１，２），（１，３），（１，犪），（１，犫），（２，１），（２，３）， （２，犪），（２，犫），（３，１），（３，２），（３，犪），（３，犫），（犪，１）， （犪，２），（犪，３），（犪，犫），（犫，１），（犫，２），（犫，３），（犫，犪）｝． 于是 犃＝ ｛（１，２），（１，３），（１，犪），（１，犫），（２，１），（２，３）， （２，犪），（２，犫），（３，１），（３，２），（３，犪），（３，犫）｝， 犅＝｛（１，犪），（２，犪），（３，犪），（１，犫），（２，犫），（３，犫），（犪，犫）， （犫，犪）｝， 犃犅＝ ｛（１，犪），（２，犪），（３，犪），（１，犫），（２，犫），（３，犫）｝． 由图８ １ １可以看出，事件犃发生的条件下事件犅发生的概 率，实际上是以犃为样本空间，事件犃犅发生的概率．下面以古典概 型为例加以说明． ９３选择性必修第二册 数学 图８ １ １ 设古典概型的样本空间为Ω，事件犃犅所含样本点的集合为犛， １ 事件犅犃所含样本点的集合为犛，事件犃犅所含样本点的集合为犛 ２ ３ （图８ １ ２），则有 狀（犛＋犛） 狀（犛）＋狀（犛） 犘（犃）＝ １ ３ ＝ １ ３ ， 狀（Ω） 狀（Ω） 图８ １ ２ 狀（犛） 犘（犃犅）＝ ３ ． 狀（犕）表示集合犕 狀（Ω） 中所含元素的个数． 因此，事件犃发生的条件下事件犅发生的概率是 狀（犛） ３ 狀（犛） 狀（Ω） 犘（犃犅） ３ ＝ ＝ ． 狀（犛）＋狀（犛） 狀（犛）＋狀（犛） 犘（犃） １ ３ １ ３ 狀（Ω） 犘（犃犅） 一般地，设犃，犅为两个事件，犘（犃）＞０，我们称 为事件犃 犘（犃） 在竖线“｜”之后 发生的条件下事件犅发生的条件概率（ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ），记为 的部分表示条件． 犘（犅狘犃），读作“犃发生的条件下犅发生的概率”，即 犘（犃犅） 犘（犅狘犃）＝ （犘（犃）＞０）． 犘（犃） 由上述公式可知 犘（犃犅）＝犘（犅狘犃）犘（犃）． 通常将此公式称为概率的乘法公式． 条件概率有如下性质： （１）犘（Ω狘犃）＝１； （２）犘（狘犃）＝０； （３）若犅，犅 互斥，则犘（（犅 ＋犅）狘犃）＝犘（犅狘犃）＋ １ ２ １ ２ １ 犘（犅狘犃）． ２ 思 考 试用条件概率说明两个随机事件的独立性． ９４８ 概 率 第 章 例１ 抛掷一颗质地均匀的骰子，样本空间Ω＝｛１，２，３，４，５， ６｝，事件犃＝ ｛２，３，５｝，犅＝ ｛１，２，４，５，６｝，求犘（犃），犘（犅）， 犘（犃犅），犘（犃狘犅）． 解 由已知得犃犅＝｛２，５｝，由古典概型可知 ３ １ ５ ２ １ 犘（犃）＝ ＝ ，犘（犅）＝ ，犘（犃犅）＝ ＝ ， ６ ２ ６ ６ ３ 所以 犘（犃犅） ２ 犘（犃狘犅）＝ ＝ ． 犘（犅） ５ 例２ 在一个盒子中有大小一样的２０个球，其中有１０个红球 和１０个白球．现无放回地依次从中摸出１个球，求第一次摸出红球且 第二次摸出白球的概率． 解 记“第一次摸出红球”为事件犃，“第二次摸出白球”为事件 犅，则 １０ １ １０ 犘（犃）＝ ＝ ，犘（犅狘犃）＝ ． ２０ ２ １９ 由概率的乘法公式得 犘（犃犅）＝犘（犅狘犃）犘（犃） １０ １ ＝ × ≈０．２６３２． １９ ２ 答 第一次摸出红球且第二次摸出白球的概率约为０．２６３２． 例１、例２表明，乘法公式犘（犃犅）＝犘（犅狘犃）犘（犃）既可以用于 求条件概率，也可以用于求两个事件同时发生的概率． 练 习 １．抛掷一颗质地均匀的骰子，样本空间Ω＝｛１，２，３，４，５，６｝，事件犃＝｛１， ３，５｝，犅＝｛２，３，５，６｝，求犘（犃），犘（犅），犘（犃犅），犘（犃狘犅）． ２．在一个袋子里有大小一样的１０个球，其中有６个红球和４个白球．现无 放回地依次从中摸出１个球，求第一次摸出红球且第二次摸出白球的 概率． ３．设犃犅，且犘（犃）＝０．２，犘（犅）＝０．７，求犘（犅狘犃）和犘（犃狘犅）的值． ４．某个班级４５名学生中，有男生２５名，女生２０名，男生中有１６名团员，女生 中有１２名团员．在该班中随机选取１名学生，如果选到的是团员，那么选到 的是男生的概率是多少？ ９５选择性必修第二册 数学 ８．１．２ 全概率公式 考察下面的问题： 甲袋中有３个白球和２个红球，乙袋中有２个白球和３个红球． 先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球． ● 该球为红球的概率是多少？ 随机取一只袋，设取到的是甲袋为事件犃，取到的是乙袋为事件 １ 犃．再从袋中随机取一个球，取出的球是红球为事件犅，则事件犅有 ２ 两类：取出的是甲袋且从中取出的是红球，取出的是乙袋且从中取出 的是红球，即犅＝犃犅＋犃犅．（如图８ １ ３） １ ２ 因为犃犅与犃犅互斥，所以 １ ２ 犘（犅）＝犘（犃犅＋犃犅）＝犘（犃犅）＋犘（犃犅）． １ ２ １ ２ 由概率的乘法公式可得 图８ １ ３ 犘（犅）＝犘（犃）犘（犅狘犃）＋犘（犃）犘（犅狘犃）． １ １ ２ ２ 因为 １ Ｃ１ ２ 犘（犃）＝ ，犘（犅狘犃）＝ ２ ＝ ， １ ２ １ Ｃ１ ５ ５ １ Ｃ１ ３ 犘（犃）＝ ，犘（犅狘犃）＝ ３ ＝ ， ２ ２ ２ Ｃ１ ５ ５ １ ２ １ ３ １ 所以 犘（犅）＝ × ＋ × ＝ ． ２ ５ ２ ５ ２ 一般地， ∑狀 若事件犃，犃，…，犃 两两互斥，且它们的和 犃＝Ω， １ ２ 狀 犻 犻＝１ 犘（犃）＞０，犻＝１，２，…，狀，则对于Ω中的任意事件犅，有 犻 ∑狀 犘（犅）＝ 犘（犃）犘（犅狘犃）． 犻 犻 犻＝１ 这个公式称为全概率公式（ｔｏｔａｌｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｆｏｒｍｕｌａ）． 例３ 某批麦种中，一等麦种占９８％，二等麦种占２％，一、二等 麦种种植后所结的穗含有５０粒以上麦粒的概率分别为０．５，０．１５．求 用这批种子种植后所结的穗含有５０粒以上麦粒的概率． 解 用犅表示事件“任取一粒麦种，其种植后所结的穗含有５０ 粒以上的麦粒”，用犃（犻＝１，２）表示事件“任取一粒麦种，结果为第犻 犻 ９６８ 概 率 第 章 等麦种”，显然犃 与犃 互斥，且犃＋犃 为样本空间Ω． １ ２ １ ２ 由全概率公式，得 犘（犅）＝犘（犃）犘（犅狘犃）＋犘（犃）犘（犅狘犃） １ １ ２ ２ ＝０．９８×０．５＋０．０２×０．１５＝０．４９３． 答 用这批种子种植后所结的穗含有５０粒以上麦粒的概率为 ０．４９３． 在上述例３中，事件犅、事件犃 及事件犃 的完整表述分别 １ ２ 如下． 事件犅：“任取一粒麦种，结果为一等麦种或二等麦种，且种植后 所结的穗含有５０粒以上的麦粒；” 事件犃：“任取一粒麦种，结果为一等麦种，且种植后所结的穗含 １ 有５０粒及以上或不足５０粒的麦粒；” 事件犃：“任取一粒麦种，结果为二等麦种，且种植后所结的穗含 ２ 有５０粒及以上或不足５０粒的麦粒．” 例４ 设甲袋中有３个白球和４个红球，乙袋中有１个白球和２ 个红球．现从甲袋中任取２个球放入乙袋，再从乙袋中任取２个球．求 从乙袋中取出的是２个红球的概率． 解 记事件犃：从甲袋中取出２个红球，犃：从甲袋中取出２个 １ ２ 白球，犃：从甲袋中取出１个白球和１个红球，犅：从乙袋中取出２个 ３ 红球． 显然，犃，犃，犃 两两互斥，且犃＋犃＋犃正好为“从甲袋中任 １ ２ ３ １ ２ ３ 取２个球”的样本空间Ω．由全概率公式，得 ∑３ 犘（犅）＝ 犘（犃）犘（犅狘犃） 将“从甲袋中取２ 犻 犻 犻＝１ 个球”分解为犃，犃， １ ２ 犃 后，使“再从乙袋 ＝ Ｃ２ ４· Ｃ２ ４＋ Ｃ２ ３· Ｃ２ ２＋ Ｃ１ ３ Ｃ１ ４· Ｃ２ ３ ＝ ５ ． ３ Ｃ２ Ｃ２ Ｃ２ Ｃ２ Ｃ２ Ｃ２ １４ 中任取２个球”的前 ７ ５ ７ ５ ７ ５ 提得以确定． ５ 答 从乙袋中取出的是２个红球的概率为 ． １４ 练 习 １．某厂用甲、乙两台机器生产同样的零件，它们的产量各占４５％，５５％．而各 自的产品中废品率分别为３％，２％．求该厂这种零件的废品率． ２．有三个罐子，１号罐子中装有２个红球、１个黑球，２号罐子中装有３个红 球、１个黑球，３号罐子中装有２个红球、２个黑球．现从中随机取一个罐子， 再在该罐子中随机取出一个球，求取得的球是红球的概率． ９７选择性必修第二册 数学 ８．１．３ 贝叶斯公式 对于上节的节首问题，考察下面的问题： ● 在取到的球是红球的条件下，这个红球取自甲袋的概率是 多少？ 随机取一只袋，设取到的是甲袋为事件犃，取到的是乙袋为事件 １ 犃．再从袋中随机取一个球，取出的球是红球为事件犅，则本题即要 ２ 求犘（犃｜犅）．根据上节内容可知，易于求得犘（犃），犘（犅｜犃）及 １ １ １ 犘（犅）．由概率的乘法公式可得犘（犃｜犅）与犘（犅｜犃）之间有下面的 １ １ 关系： 犘（犅狘犃）犘（犃）＝犘（犃犅）＝犘（犃狘犅）犘（犅）． １ １ １ １ 由此得 １ ２ × 犘（犃）犘（犅狘犃） ２ ５ ２ 犘（犃狘犅）＝ １ １ ＝ ＝ ． １ 犘（犅） １ ５ ２ 一般地，若事件犃，犃，…，犃 两两互斥，且犃 ∪犃 ∪ … ∪ １ ２ 狀 １ ２ 犃 ＝Ω，犘（犃）＞０，犻＝１，２，…，狀，则对于Ω中的任意事件犅， 狀 犻 犘（犅）＞０，有 犘（犃狘犅）犘（犅）＝犘（犅狘犃）犘（犃）． 犻 犻 犻 因此 犘（犃）犘（犅狘犃） 犘（犃狘犅）＝ 犻 犻 ． 犻 犘（犅） 再由全概率公式得 犘（犃）犘（犅狘犃） 犘（犃狘犅）＝ 犻 犻 ． 犻 ∑狀 犘（犃）犘（犅狘犃） 犼 犼 犼＝１ 这个公式称为贝叶斯公式． 例５ 某品牌锄草机由甲、乙、丙三个工厂生产，其中甲厂占 ２５％，乙厂占３５％，丙厂占４０％，且各厂的次品率分别为５％，４％， ２％．如果某人已经买到一台次品锄草机，问：该次品锄草机由哪个厂 出产的可能性较大？ 解 设事件犃：锄草机是甲厂生产的，事件犃：锄草机是乙厂 １ ２  本节为选学内容． ９８８ 概 率 第 章 生产的，事件犃：锄草机是丙厂生产的，事件犅：买到一台次品锄 ３ 草机．由题意知 犘（犃）＝０．２５，犘（犃）＝０．３５，犘（犃）＝０．４， １ ２ ３ 犘（犅狘犃）＝０．０５，犘（犅狘犃）＝０．０４，犘（犅狘犃）＝０．０２． １ ２ ３ 由全概率公式得 ∑３ 犘（犅）＝ 犘（犃）犘（犅狘犃）＝０．０３４５． 犻 犻 犻＝１ 由贝叶斯公式知 犘（犃）犘（犅狘犃） ０．２５×０．０５ 犘（犃狘犅）＝ １ １ ＝ ≈０．３６２３． １ ∑３ ０．０３４５ 犘（犃）犘（犅狘犃） 犻 犻 犻＝１ 同理可得 犘（犃狘犅）≈０．４０５８， ２ 犘（犃狘犅）≈０．２３１９． ３ 答 该次品锄草机由乙厂出产的可能性较大． 练 习 １设某公路上经过的货车与客车的数量之比是１∶２，货车中途停车修车的概 率为０．０２，客车中途停车修车的概率为０．０１．今有一辆汽车中途停车修理， 求该车是货车的概率． ２在８．１．２节的练习第２题中，求在取得红球的条件下，该球取自１号罐子的 概率． 习题８．１ 感受·理解 １．已经连续抛掷质地均匀的硬币９次，都出现了正面向上的结果，那么，第１０ １ 次随机地抛掷这枚硬币，其反面向上的概率是否会大于 ？ ２ ２．一个盒子中装有犪个黑球和犫个白球，现从中先后有放回地任取２个球，每 次取１个．设犃表示事件“第一次取得黑球”，犅表示事件“第二次取得黑 球”，试计算犘（犃）与犘（犃｜犅）的值，并判断犃与犅是否为独立事件． ３．电路中，电压超过额定值的概率为狆，在电压超过额定值的情况下，电气设 １ 备被烧坏的概率为狆．求电压超过额定值且电气设备被烧坏的概率． ２ ４．某种动物活到２０岁的概率是０．８，活到２５岁的概率是０．４．问：现龄２０岁 的这种动物活到２５岁的概率是多少？ ５．某机构对某品牌机电产品进行了质量调查，下面是消费者关于质量投诉的 数据： ９９选择性必修第二册 数学 擦伤 凹痕 外观 合计 保质期内 １８％ １３％ ３２％ ６３％ 保质期后 １２％ ２２％ ３％ ３７％ 合 计 ３０％ ３５％ ３５％ １００％ （１）如果该品牌机电产品收到一个消费者投诉，那么投诉的原因不是凹痕 的概率是多少？ （２）如果该品牌机电产品收到一个消费者投诉，且投诉发生在保质期内，那 么投诉的原因是产品外观的概率是多少？ （３）已知投诉发生在保质期后，投诉的原因是产品外观的概率是多少？ （４）若事件犃：投诉的原因是产品外观，事件犅：投诉发生在保质期内，则 犃和犅是独立事件吗？ ６．某工厂有４个车间生产同一种计算机配件，４个车间的产量分别占总产量 的１５％，２０％，３０％和３５％．已知这４个车间的次品率依次为０．０４，０．０３， ０．０２，０．０１，现在从该厂生产的这种产品中任取１件，恰好抽到次品的概率 是多少？ ７．盒中有４个红球、５个黑球．随机地从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并 加上３个与取出的球同色的球，再第二次从盒中随机地取出一个球，求第二 次取出的是黑球的概率． 思考·运用 ８．一批产品共８件，其中正品６件，次品２件．现不放回地从中取产品２次，每 次取１件，求第２次取到正品的概率．如果抽取次数改为３次，那么第３次 取得正品的概率是多少？由此，你有怎样的发现？ ９．某单位入口处有一台摄像机用于记录进入该入口的人员．下面是在系统测 试中对不同气候条件下检测到的人数与未检测到的人数的统计表： 晴天 阴天 雨天 下雪 刮风 检测到的人数 ２１ ２２８ ２２６ ７ １８５ 未检测到的人数 ０ ６ ６ ３ １０ 合 计 ２１ ２３４ ２３２ １０ １９５ （１）在阴天条件下，监控系统检测到进入者的概率是多少？ （２）已知监控系统漏检了一个进入者，气候条件是下雪天的概率是多少？ １０．甲袋中有３个白球和２个红球，乙袋中有２个白球和３个红球，丙袋中有４ 个白球和４个红球．先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取２个球． （１）求第一次取出的球是红球的概率； （２）求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率． １００８ 概 率 第 章 探究·拓展 １１．假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相 同．如果一个种群从这样一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率 是多少？ １２．（探究题）盒子里放着三张卡片，一张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是 黑色，剩下的一张卡片一面是红色一面是黑色．现在随机抽出一张卡片，并 展示它一面的颜色．假设这一面的颜色是红色，那么剩下一面的颜色也是红 色的概率是多少？ 考察下面的解法： 随意从三张卡片中抽出一张，抽到任何一张都是等概率的．如果抽出的 卡片有一面是红色，那么这张卡片有可能是两面全是红色的那张，也可能是 １ 一面红一面黑的那张，因此抽到的是两面全红的那张卡片的概率是 ． ２ 好像很简单，但请再换个问题研究一下：如果展示出来的那一面是黑 １ 色，由上面的思路可得抽到两面全是黑色的卡片的概率也是 ．所以，不管 ２ １ 我们看到的是什么颜色，抽到两面同色的卡片的概率都是 ．这意味着虽然 ２ 三张卡片中只有两张是同色的卡片，但随机抽到其中任何一张的概率都 １ 是 ． ２ 肯定有什么地方出错了． 请问：上述解法中，哪里出现错误了呢？ １０１选择性必修第二册 数学 ８．２ 离散型随机变量及其分布列 在必修部分我们已经知道，对于每一个随机事件，都存在唯一的 概率值与之对应．这表明随机事件的概率构成一个从事件到实数的 对应关系，这种对应关系类似于函数的概念． ● 能否运用函数思想研究概率问题？ ８．２．１ 随机变量及其分布列 随机事件是样本空间的子集，如果在样本空间与实数集之间建 立某种对应，那么就能方便我们表示和研究随机事件． ● 如何建立样本空间与实数集之间的对应关系？ 样本空间是以样本点为元素的集合，很多情况下的样本点容易 与实数建立对应关系，例如： 在一块地里种下１０棵树苗，用实数犿（犿＝０，１，２，…，１０）表 示“成活树苗的棵数”； 抛掷两颗骰子，观察向上的点数，样本空间为Ω＝ ｛（狓，狔）狘狓， 狔＝１，２，…，６｝，用狓＋狔表示“两颗骰子向上的点数之和”，那么样 本点（狓，狔）就与实数狓＋狔对应； 接听一个电话，用狋（狋∈ （０，＋∞））表示“通话时长”． 当随机试验的样本点不涉及实数时，我们可以通过适当的方式， 为每个样本点指定一个实数，例如： 抛掷一枚硬币，将试验结果“正面向上”用１表示，“反面向上”用 ０表示； 抽查学生的某项体育测试成绩，将成绩等级为优、良、中、及格、 不及格分别用数值５，４，３，２，１来表示． 由此可以看出，通过引入一个取值依赖于样本点的变量犡，来 建立样本点和实数的对应关系，从而实现了样本点的数量化．由于 随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量犡的取值也具有随 机性． 随机变量就是建 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一 立在Ω到犚的单值对 的实数犡（ω）与之对应，则称犡为随机变量（ｒａｎｄｏｍｖａｒｉａｂｌｅ）．通常 应，样本空间Ω相当 于函数的定义域，不同 用大写英文字母犡，犢，犣（或小写希腊字母 ξ ， η ， ζ ）等表示随机变量， 的是Ω未必是数集． 而用小写英文字母狓，狔，狕（加上适当下标）等表示随机变量的取值． １０２８ 概 率 第 章 例１ 下列变量中哪些是随机变量？如果是随机变量，那么可 能的取值有哪些？ （１）一实验箱中装有标号为１，２，３，３，４的５只白鼠，从中任取 １只，记取到的白鼠的标号为犡； （２）明天的降雨量犔（单位：ｍｍ）； （３）先后抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面向上的次数犡． 解 （１）根据条件可知，犡是随机变量，可能的取值是１，２， ３，４． （２）降雨量具有一定的随机性，所以犔是随机变量，可能的取值 有无数多个，可以是［０，＋∞）内的某个数． （３）用Ｈ表示“正面向上”，Ｔ表示“反面向上”，则样本空间为 ｛ＨＨ，ＨＴ，ＴＨ，ＴＴ｝．正面向上（即出现Ｈ）的次数犡是随机变量， 取值是０，１，２． 植树成活的树苗数、抛掷骰子向上的点数……像这种取值为 离散的数值的随机变量称为离散型随机变量（ｄｉｓｃｒｅｔｅｒａｎｄｏｍ ｖａｒｉａｂｌｅ）．而接听电话的时长、降雨量……取值为连续的实数区间，具 有这种特点的随机变量称为连续型随机变量（ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｒａｎｄｏｍ ｖａｒｉａｂｌｅ）． 引入随机变量后，随机事件就可以用随机变量来表示了．在 例１（１）中，随机事件“从装有标号为１，２，３，３，４的５只白鼠的实验 箱中任取１只，取到１号白鼠”可以表示为｛犡＝１｝，而随机事件｛犡＜ ３｝表示“从装有标号为１，２，３，３，４的５只白鼠的实验箱中任取１ 只，取到１号或２号白鼠”，也就是说，复杂的随机事件也可以用随机 变量的取值来表示． 练 习 １．下列变量是不是随机变量？在随机变量中，哪些是离散型随机变量，哪些是 连续型随机变量？ （１）某人上班途中共有５个红绿灯路口，此人某天上班遇到红灯的次数． （２）某地区今后每一年的人口的出生数． （３）某单位全体员工体检时每人的血清转氨酶测定值． （４）某水库某一时刻的水位． （５）某车间生产的１００件产品中有２件次品，其余都是正品．从这１００件产 品中随机抽出１件，如果是次品，抽样结束，如果是正品，则将抽出的产 品放回；再从１００件产品中抽出１件，如果是次品，抽样结束，如果是正 品，则将抽出的产品放回……重复这样的操作，直到取出的产品是次品 时终止操作．到终止操作时抽样的次数． ２．下列结论中，正确的是（ ）． Ａ．随机事件的个数与随机变量一一对应 Ｂ．随机变量与区间一一对应 Ｃ．随机变量的取值是实数 Ｄ．随机变量与自然数一一对应 １０３选择性必修第二册 数学 既然随机事件可以用随机变量表示，那么随机事件发生的概率 就可以用随机变量的取值的概率表示了． 例如，随机试验“抛掷一枚硬币”，结果有两个：正面向上和反面 向上，引入随机变量犡，用犡＝０表示“反面向上”，犡＝１表示“正面 向上”．于是，事件“抛掷一枚硬币，反面向上”可以表示为｛犡＝０｝，其 １ 概率可以表示为犘（｛犡＝０｝）＝ ；事件“抛掷一枚硬币，正面向上” ２ １ 可以表示为｛犡＝１｝，其概率可以表示为犘（｛犡＝１｝）＝ ．通常将 ２ 犘（｛犡＝０｝），犘（｛犡＝１｝）分别简记为犘（犡＝０），犘（犡＝１）．这一 结果也可以用表８ ２ １来描述． 表８ ２ １ 犡 ０ １ １ １ 犘 ２ ２ 一般地，随机变量犡有狀个不同的取值，它们分别是狓，狓，…， １ ２ 狓，且 狀 犘（犡＝狓）＝狆，犻＝１，２，…，狀， ① 犻 犻 称①为随机变量犡的概率分布列，简称为犡的分布列．①也可以用 表８ ２ ２的形式来表示． 表８ ２ ２ 犡 狓 狓 … 狓 １ ２ 狀 犘 狆 狆 … 狆 １ ２ 狀 我们将表８ ２ ２称为随机变量犡的概率分布表．它和①都叫 作随机变量犡的概率分布． 显然，这里的狆（犻＝１，２，…，狀）满足条件 犻 狆≥０， 犻 狆＋狆＋…＋狆＝１． １ ２ 狀 随机变量的概率分布给出了随机试验所有基本事件对应的 概率． 例２ 求例１（３）中的随机变量犡的概率分布． 解 根据题意，可得图８ ２ １． 故随机变量犡的概率分布如表８ ２ ３所示． １０４８ 概 率 第 章 图８ ２ １ 表８ ２ ３ 犡 ０ １ ２ １ １ １ 犘 ４ ２ ４ 例３ 从装有６个白球和４个红球的口袋中任取１个球，用犡 表示“取到的白球个数”，则犡的取值为０或１，即 烄０，取到的球为红球， 犡＝烅 烆１，取到的球为白球， 求随机变量犡的概率分布． 解 由题意知 ４ ２ ６ ３ 犘（犡＝０）＝ ＝ ，犘（犡＝１）＝ ＝ ， ６＋４ ５ ６＋４ ５ 故随机变量犡的概率分布如表８ ２ ４所示． 表８ ２ ４ 犡 ０ １ ２ ３ 犘 ５ ５ 在例３中，随机变量犡只取两个可能值０和１．像这样的例子还 有很多，例如：在射击中，只考虑“命中”与“不命中”；对产品进行检验 时，只关心“合格”与“不合格”．我们把这一类概率分布称为０ １分布 或两点分布，并记为犡～０ １分布或犡～两点分布．此处“～”表示 “服从”． 例４ 同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数． 设两颗骰子出现的点数分别为犡，犡，记犡＝ｍａｘ｛犡，犡｝． １ ２ １ ２ （１）求犡的概率分布； （２）求犘（２＜犡＜５）． 解 （１）由题意知，掷两颗骰子出现的点数有３６种等可能的结 果：（１，１），（１，２），（１，３），（１，４），（１，５），（１，６），（２，１），…， １０５选择性必修第二册 数学 （６，５），（６，６），故犡的可能取值为１，２，３，４，５，６，详见表８ ２ ５． 表８ ２ ５ 样本点 犡的值 样 本 点 的个数 １ （１，１） １ ２ （２，２）（２，１）（１，２） ３ ３ （３，３）（３，２）（３，１）（２，３）（１，３） ５ ４ （４，４）（４，３）（４，２）（４，１）（３，４）（２，４）（１，４） ７ ５ （５，５）（５，４）（５，３）（５，２）（５，１）（４，５）（３，５）（２，５）（１，５） ９ ６ （６，６）（６，５）（６，４）（６，３）（６，２）（６，１）（５，６）（４，６）（３，６）（２，６）（１，６） １１ 由古典概型可知犡的概率分布如表８ ２ ６所示． 表８ ２ ６ 犡 １ ２ ３ ４ ５ ６ １ ３ ５ ７ ９ １１ 犘 ３６ ３６ ３６ ３６ ３６ ３６ （２）犘（２＜犡＜５）＝犘（犡＝３）＋犘（犡＝４） ５ ７ １ ＝ ＋ ＝ ． ３６ ３６ ３ 思 考 在例４中，记犢＝ｍｉｎ｛犡，犡｝，求犢的概率分布． １ ２ 练 习 １．一种新型节能灯使用寿命低于１０００ｈ的概率为０．１，定义随机变量 烄０，寿命＜１０００ｈ； 犡＝烅 烆１，寿命≥１０００ｈ． 试写出随机变量犡的概率分布列． ２．已知随机变量犡的概率分布如下： 犡 －１ －０．５ ０ １．８ ３ 犘 ０．１ ０．２ ０．１ ０．３ 犪 求： （１ ）犪 ； （ ２） 犘 （犡 ＜ ０ ）； （３）犘（－０．５≤犡＜３）； （４）犘（犡＜－２）； （５）犘（犡＞１）； （６）犘（犡＜５）． 习题８．２（１） 感受·理解 １．下列随机试验的结果能否用随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的 取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果． （１）抛掷两颗骰子，所得点数之差； １０６８ 概 率 第 章 （２）某篮球运动员１０次定点投篮中命中的次数； （３）早上６：００～７：００通过某路口的车辆数． ２．任意抽取一瓶标有２５００ｍｌ的某种饮料，其实际量与规定量之差为犡，犡是 不是随机变量？若是，其取值的集合是什么？ ３．用随机变量表示随机现象：明天降雨或不降雨． ４．在掷一枚图钉的随机试验中，令 烄１，钉尖向上； 犡＝烅 烆０，钉尖向下． 若钉尖向上的概率为狆，试写出随机变量犡的分布列． ５．在某项体能测试中，跑１ｋｍ所用时间不超过４ｍｉｎ为优秀．某同学跑１ｋｍ 所用时间为犡． （１）犡是不是随机变量？ （２）若只关心该同学能否取得优秀成绩，应该如何定义随机变量？ ６．对飞机进行射击，按照受损伤影响的不同，飞机的机身可分为两个部分．要击 落飞机，必须在第一部分命中一次或在第二部分命中三次．设炮弹击中飞机 时，命中第一部分的概率是０．３，命中第二部分的概率是０．７，射击进行到击 落飞机为止．写出每次射击均命中的情况下，击落飞机的命中次数的分布列． 思考·运用 ７．某同学会做老师给出的６道题中的４道．现从这６道题中任选３道让该同学 做，规定至少做出２道才能及格，试求： （１）选做的３道题中该同学会做的题目数的分布列； （２）该同学能及格的概率． ８．一批产品中有２３％的次品，现从中随机抽样（不放回），直到抽出１件次品为 止．令犢表示直到抽出１件次品时已经抽出的产品个数，且犢的概率分布由 下面的公式给出： 犘（狔）＝０．２３·０．７７狔－１，狔＝１，２，３，…． （１）求犘（１），并解释这个结果； （２）求犘（５），并解释这个结果； （３）求犘（犢≥２），并解释这个结果． ８．２．２ 离散型随机变量的数字特征 随机变量的概率分布完整地描述了随机变量的取值规律，但在 实际问题中往往不容易求出精确的分布规律．而对于很多此类问题， 并不需要了解这个规律的全貌，只要知道能揭示其分布特征的某些 重要数字就够了．例如，可以用学生成绩的样本平均数刻画班级学生 的学习水平，可以用水稻单产样本的方差（标准差）刻画水稻产量的稳 定程度．这里的平均数、方差（标准差）都是样本的数字特征．那么， ● 离散型随机变量有哪些数字特征呢？ １０７选择性必修第二册 数学 １．离散型随机变量的均值 某种福利彩票每张面值２元，购买者可从０，１，２，…，９这十个 数字中选择３个数字（可以重复）．当所选３个数字与随机摇出的开奖 号码数字及顺序均相同时，可以获得５００元奖金．如果你长期购买这 购买彩票是爱心 种彩票，那么你的收益状况如何？ 奉献，这里的“收益” 要了解长期收益情况，也就是要确定在购买很多次这种彩票的 不是指投资收益． 前提下，平均每张彩票的收益金额． 因为从０，１，２，…，９这１０个数字中抽取３个数字（可以重复抽 １ 取），共有１０００种抽法，所以购买一张彩票的获奖概率为 ． １０００ 根据条件可知，若设随机变量犡为购买一张彩票时的中奖金额， 则其概率分布如表８ ２ ７所示． 表８ ２ ７ 犡 ０ ５００ 犘 ０．９９９ ０．００１ 也就是说，在购买很多张彩票的前提下，平均来说，每１０００张彩 票中有且只有１张中奖，即中奖总金额为５００元．因此，平均每张彩票 ５００ 的中奖金额为 ＝０．５元．我们将０．５称为购买一张彩票的收益 １０００ 均值或数学期望． 这里的０．５也可以由下面的式子 ０×０．９９９＋５００×０．００１ 求得． 一般地，随机变量犡的概率分布如表８ ２ ８所示， 表８ ２ ８ 犡 狓 狓 … 狓 １ ２ 狀 概率狆 狆 狆 … 狆 １ ２ 狀 其中狆≥０，犻＝１，２，…，狀，狆＋狆＋…＋狆＝１，我们将 犻 １ ２ 狀 狆狓＋狆狓＋…＋狆狓 １ １ ２ ２ 狀狀 称为随机变量犡的均值（ｍｅａｎ）或数学期望（ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ）， 记为犈（犡）或 μ． 例１ 根据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为０．２５， 有大洪水的概率为０．０１．设工地上有一台大型设备，为保护设备有以 下三种方案． １０８８ 概 率 第 章 方案１：运走设备，此时需花费３８００元． 方案２：建一保护围墙，需花费２０００元．但围墙无法防止大洪 水，当大洪水来临，设备受损，损失费为６００００元． 方案３：不采取措施，希望不发生洪水．此时大洪水来临损失 ６００００元，小洪水来临损失１００００元． 试从方案的花费与期望损失的和最小的角度比较哪一种方案 较好． 解 对于方案１，花费为３８００元，损失为０元，花费与期望损失 之和为３８００元． 对于方案２，花费为２０００元，损失费的概率分布如表８ ２ ９ 所示， 表８ ２ ９ 损失费／元 ６００００ ０ 概 率 ０．０１ ０．９９ 期望损失为６００００×０．０１＋０×０．９９＝６００（元），所以花费与期望损失 之和为２０００＋６００＝２６００（元）． 对于方案３，花费为０元，损失费的概率分布如表８ ２ １０所示， 表８ ２ １０ 损失费／元 ６００００ １００００ ０ 概 率 ０．０１ ０．２５ ０．７４ 期望损失为６００００×０．０１＋１００００×０．２５＋０×０．７４＝３１００（元），所 以花费与期望损失之和为３１００元． 比较三种方案，我们发现第二种方案的花费与期望损失的和最 小，故方案２较好． 例２ 在一个人数很多的地区普查某种疾病，由以往经验知道， 该地区居民得此病的概率为０．１％．现有１０００人去验血，给出下面两 种化验方法． 方法１：对１０００人逐一进行化验． 方法２：将１０００人分为１００组，每组１０人．对于每个组，先将１０ 人的血各取出部分，并混合在一起进行一次化验，如果结果呈阴性， 那么可断定这１０人均无此疾病；如果结果呈阳性，那么再逐一化验． 试问：哪种方法较好？ 解 第１种方法的化验次数为１０００． 第２种方法：如果某组的混合血液化验结果呈阴性，就可以断定 这１０人均无此疾病，那么对这１０人只化验１次； 如果结果呈阳性，那么必须对这１０人再逐一化验，这时共需进行 １０９选择性必修第二册 数学 １１次化验．因为对所有人来说，化验结果呈阳性的概率均为０．００１，而 且这些人的化验结果是相互独立的，所以每个人的化验次数犡的概 率分布如表８ ２ １１所示． 表８ ２ １１ １ １１ 犡 １０ １０ 犘 （１－０．００１）１０ １－（１－０．００１）１０ 因为每个人化验次数犡的均值为 １ １１ 犈（犡）＝ ×（１－０．００１） １０＋ ×［１－（１－０．００１） １０ ］， １０ １０ 所以１０００人的化验次数的均值为 ｛ ｝ １ １１ １０００× ×（１－０．００１） １０＋ ×［１－（１－０．００１） １０ ］ １０ １０ ＝１１００－１０００×０．９９９１０≈１１０． 因此，方法２远好于方法１． 练 习 １．某公司计划一项投资，风险评估专家给出了其收益犡（单位：百万元）的概率 分布为 犡 １ １．５ ２ ４ １０ 犘 ０．１ ０．２ ０．４ ０．２ ０．１ 求该项投资收益的均值． ２．由相关专家组成的研究小组对某地台风到来时紧急撤离计划进行了研究，估 计１３～１８ｈ疏散居民的概率分布为 估计的疏散时间的概率分布 疏散时间 １３ １４ １５ １６ １７ １８ （最接近的时间） 概 率 ０．０４ ０．２５ ０．４０ ０．１８ ０．１０ ０．０３ 求疏散时间的均值． ３．从甲、乙两名射击运动员中选择一名参加比赛，现统计了这两名运动员在训 练中命中环数犡，犢的概率分布如下表，问：哪名运动员的平均成绩较好？ 犡 ８ ９ １０ 犘 ０．３ ０．１ ０．６ 犢 ８ ９ １０ 犘 ０．２ ０．５ ０．３ １１０８ 概 率 第 章 ２．离散型随机变量的方差与标准差 甲、乙两名工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产 １００件产品所出的不合格品数分别用犡，犡 表示，犡，犡 的概率 １ ２ １ ２ 分布如表８ ２ １２所示． 表８ ２ １２ 犡 ０ １ ２ ３ １ 狆 ０．６ ０．２ ０．１ ０．１ 犽 犡 ０ １ ２ ３ ２ 狆 ０．５ ０．３ ０．２ ０ 犽 从均值看，犈（犡），犈（犡）都是０．７，那么甲、乙两名工人哪个的技术 １ ２ 稳定性更好一些？ 我们知道，当样本平均数相差不大时，可以利用样本方差考察样 本数据与样本平均数的偏离程度．能否用一个类似于样本方差的量 来刻画随机变量的波动程度呢？ 一般地，若离散型随机变量犡的概率分布如表８ ２ １３所示， 表８ ２ １３ 犡 狓 狓 … 狓 １ ２ 狀 犘 狆 狆 … 狆 １ ２ 狀 其中，狆≥０犻，＝１，２，…，狀，狆＋狆＋…＋狆＝１，则（狓－μ ） ２ （ μ＝ 犻 １ ２ 狀 犻 犈（犡））描述了狓犻（＝１，２，…，狀）相对于均值 μ 的偏离程度，故 犻 （狓－μ ） ２狆＋（狓－μ ） ２狆＋…＋（狓－μ ） ２狆 １ １ ２ ２ 狀 狀 （其中狆≥０，犻＝１，２，…，狀，狆＋狆＋…＋狆＝１）刻画了随机 犻 １ ２ 狀 变量犡与其均值 μ 的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量 犡的方差，记为犇（犡）或σ２．即 犇（犡）＝σ２＝ （狓－μ ） ２狆＋（狓－μ ） ２狆＋…＋（狓－μ ） ２狆． １ １ ２ ２ 狀 狀 ∑狀 方差也可用公式犇（犡）＝ 狓２狆－μ２ 计算，有兴趣的同学可以 犻犻 犻＝１ 尝试证明． 随机变量犡的方差也称为犡的概率分布的方差，犡的方差 犇（犡）的算术平方根称为犡的标准差，即 σ＝槡犇（犡）． 思 考 随机变量的方差和样本方差有何区别和联系？ １１１选择性必修第二册 数学 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值 的平均程度．方差或标准差越小，随机变量偏离于均值的平均程度就 越小． 对于前面的问题，通过计算可以求出犡，犡 的标准差分别为 １ ２ １．００５，０．７８１，这说明乙的技术稳定性比甲的好一些． 例３ 已知随机变量犡的概率分布如表８ ２ １４所示，求犡 的方差犇（犡）和标准差σ． 表８ ２ １４ 犡 ０ １ 犘 １－狆 狆 解 因为 μ＝０×（１－狆）＋１×狆＝狆， 所以 犇（犡）＝ （０－狆） ２ （１－狆）＋（１－狆） ２狆＝狆（１－狆）， σ＝ 槡狆（１－狆）． 例４ 设有甲、乙两地生产的两批原棉，它们的纤维长度犡，犢 的概率分布如表８ ２ １５、表８ ２ １６所示． 表８ ２ １５ 犡 ２５ ２４ ２３ ２２ ２１ ２０ 犘 ０．１ ０．２ ０．３ ０．１ ０．１ ０．２ 表８ ２ １６ 犢 ２５ ２４ ２３ ２２ ２１ ２０ 犘 ０．０５ ０．２ ０．２５ ０．３ ０．１ ０．１ 试问：这两批原棉的质量哪一批较好？ 解 两批原棉纤维长度的均值分别为 犈（犡）＝２５×０．１＋２４×０．２＋２３×０．３＋２２×０．１＋ ２１×０．１＋２０×０．２＝２２．５， 犈（犢）＝２５×０．０５＋２４×０．２＋２３×０．２５＋２２×０．３＋ ２１×０．１＋２０×０．１＝２２．５． 这两批原棉的纤维平均长度相等． 两批原棉纤维长度的方差分别为 犇（犡）＝ （２５－２２．５） ２×０．１＋（２４－２２．５） ２×０．２＋ （２３－２２．５） ２×０．３＋（２２－２２．５） ２×０．１＋ （２１－２２．５） ２×０．１＋（２０－２２．５） ２×０．２＝２．６５， １１２８ 概 率 第 章 犇（犢）＝ （２５－２２．５） ２×０．０５＋（２４－２２．５） ２×０．２＋ （２３－２２．５） ２×０．２５＋（２２－２２．５） ２×０．３＋ （２１－２２．５） ２×０．１＋（２０－２２．５） ２×０．１＝１．７５． 这说明乙地原棉纤维更加齐整，故乙地原棉的质量比甲地原棉 的要好一些． 练 习 １．某种生丝的级别及相应的概率为 级 别 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 概 率 ０．０４ ０．０８ ０．１２ ０．１６ ０．２０ ０．１６ ０．１２ ０．０８ ０．０４ 试求该生丝的级别犡的方差与标准差． ２．随机变量犡的概率分布为 １ 犘（犡＝犽）＝ （犽＝２，４，６，…，１００）． ５０ 试求犈（犡），犇（犡）． 习题８．２（２） 感受·理解 １．设随机变量犡的概率分布如下表，求犈（犡）和犇（犡）． 犡 １ ２ ３ ４ ５ 犘 ０．２ ０．２ ０．２ ０．２ ０．２ ２．随机变量犡的概率分布为 犡 －１ ０ １ ２ ３ １ １ １ １ １ 犘 ３ １２ ４ ６ ６ 试求犈（犡），犇（犡）． １ ３．随机变量犡～０ １分布，证明犇（犡）≤ ． ４ ４．抛掷一颗质地均匀的骰子，设犡表示掷出的点数，求犡的方差． ５．袋中有形状、大小完全相同的３个球，编号分别为１，２，３．从袋中取出２个 球，以犡表示取出的２个球中的最大号码． （１）写出犡的分布列； （２）求犡的均值与方差． ６．某学校共有１０３２名学生．为鼓励学生自主阅读，学校举办“有奖阅读”活 动：每个学期，在全体学生中设一等奖４名，每名奖５００分；二等奖８名，每 名奖１００分；三等奖２０名，每名奖６０分；四等奖１０００名，每名奖４分．学生 可以利用获得的“奖分”去兑换他们喜欢的文具、书籍．求该学校每名学生获 得奖分的均值． １１３选择性必修第二册 数学 思考·运用 ７．对第１题中的随机变量犡，分别求： （１）犈（犡＋２），犈（３犡），犈（犡２）； （２）犇（犡＋２），犇（３犡），犇（犡２）； （３）分别考察它们与犈（犡），犇（犡）之间的关系，你能得到随机变量的均值 和方差的哪些性质？ ８．将第５题改为“有放回地从袋中取两次，每次取１个球”，其他条件相同． （１）写出犡的分布列； （２）求犡的均值与方差． 探究·拓展 ９．已知随机变量犡满足犘（犡＝狀）＝ １ ，狀＝１，２，３，…，求犈（犡）． ２狀 ８．２．３ 二项分布 射击手射击１次，击中目标的概率为狆（狆＞０）．现连续射击３次， 记击中目标的次数为犡，则犡为随机变量，其取值为０，１，２，３． ● 随机变量犡的概率分布是什么？ 分析１ 求犡的概率分布，即要求出概率犘（犡＝犽）（犽＝０，１，２， ３），即事件“连续射击３次，结果恰有犽次击中目标（犽＝０，１，２，３）” 的概率． ▲瑞士数学家雅·伯 为直观起见，我们用图８ ２ ２的树形图来表示射击３次这一试 努 利 （Ｊ．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ， 验的过程和结果．其中犃 表示事件“第犻次射击，结果击中目标” １６５４—１７０５），对微积 犻 分、微分方程、变分法 （犻＝１，２，３），犘（犃）＝狆，犘（犃）＝１－狆（记为狇）． 和概率论都做出了重 犻 犻 要贡献．狀次独立重复 试验就是由他首先研 究的，故又称伯努利 概型． 因为犃，犃，犃 １ ２ ３ 相 互 独 立，从 而 犘（犃犃犃）＝ １ ２ ３ 犘（犃）犘（犃）犘（犃）． １ ２ ３ 图８ ２ ２ １１４８ 概 率 第 章 由树形图可见，随机变量犡的概率分布如表８ ２ １７所示． 表８ ２ １７ 犡 ０ １ ２ ３ 犘 狇３ ３狆狇２ ３狆２狇 狆３ 比较分析１和分 分析２ 在犡＝犽时，根据试验的独立性，事件“射击１次，击中目 析２，体会引入随机变 标”在某指定的犽次发生时，其余的（３－犽）次则不发生，其概率为 量的重要性． 狆犽狇３－犽．而３次试验中发生“射击１次，击中目标”犽次的方式有Ｃ犽种， ３ 故有 犘（犡＝犽）＝Ｃ犽狆犽狇３－犽，犽＝０，１，２，３． ３ 因此，随机变量犡的概率分布如表８ ２ １８所示． 表８ ２ １８ 犡 ０ １ ２ ３ 犘 Ｃ０狇３ Ｃ１狆狇２ Ｃ２狆２狇 Ｃ３狆３ ３ ３ ３ ３ 我们把只包含两个可能结果的试验叫作伯努利试验（Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ ｔｒｉａｌｓ）．将一个伯努利试验独立地重复进行狀次所组成的随机试验称 为狀重伯努利试验．上述问题就是一个３重伯努利试验． 在狀重伯努利试验中，每次试验事件犃发生的概率均为狆（０＜ 狆＜１），即犘（犃）＝狆，犘（犃）＝１－狆＝狇．由于试验的独立性，狀次 试验中，事件犃在某指定的犽次发生，而在其余（狀－犽）次不发生的概 率为狆犽狇狀－犽．又由于在狀重伯努利试验中，事件犃恰好发生犽次的方 式有 Ｃ犽 种，所 以 在狀重 伯 努 利 试 验 中，事 件 犃恰 好 发 生 狀 犽（０≤犽≤狀）次的概率为 犘（０）＋犘（１）＋…＋ 犘（犽）＝Ｃ犽狆犽狇狀－犽，犽＝０，１，２，…，狀， 狀 狀 狀 狀 犘（狀）等于１吗？ 狀 它恰好是 （狇＋狆）狀的二项展开式中的第犽＋１项． 若随机变量犡的分布列为 犘（犡＝犽）＝Ｃ犽狆犽狇狀－犽， 狀 其中０＜狆＜１，狆＋狇＝１，犽＝０，１，２，…，狀，则称犡服从参数为狀， 狆的二项分布（ｂｉｎｏｍｉａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ），记作犡～犅（狀，狆）．其概率分 布如表８ ２ １９所示． 表８ ２ １９ 犡 ０ １ ２ … 狀 犘 Ｃ０狆０狇狀 Ｃ１狆狇狀－１ Ｃ２狆２狇狀－２ … Ｃ狀狆狀狇０ 狀 狀 狀 狀 １１５选择性必修第二册 数学 例１ 求随机抛掷１００次均匀硬币，正好出现５０次正面的 概率． 分析 将一枚均匀硬币随机抛掷１００次，相当于做了１００次独立 重复试验，每次试验有２个可能结果． 解 设犡为抛掷１００次均匀硬币出现正面的次数，依题意，随机 变量犡～犅（１００，０．５），则 犘（犡＝５０）＝Ｃ５０狆５０狇１００－５０＝Ｃ５０ ０．５１００≈８％． １００ １００ 答 随机抛掷１００次均匀硬币，正好出现５０次正面的概率约 为８％． 思 考 “随机抛掷１００次均匀硬币正好出现５０次反面”的概率是多少？ 例２ 设某保险公司吸收１００００人参加人身意外保险，该公 司规定：每人每年付给公司１２０元，若意外死亡，公司将赔偿 １００００元．如果已知每人每年意外死亡的概率为０．００６，那么该公 司会赔本吗？ 解 设这１００００人中意外死亡的人数为犡，依题意，随机变量 犡～犅（１００００，０．００６）： 犘（犡＝犽）＝Ｃ犽 ０．００６犽（１－０．００６）１００００－犽． １００００ 死亡人数为犡人时，公司要赔偿犡万元，此时公司的利润为 （１２０－犡）万元．由上述分布，公司赔本的概率为 ∑１２０ 犘（１２０－犡＜０）＝１－犘（犡≤１２０）＝１－ 犘（犡＝犽） 犽＝０ ∑１２０ ＝１－ （Ｃ犽 ０．００６犽·０．９９４１００００－犽） １００００ 犽＝０ ≈０， 这说明，公司几乎不会赔本． 答 公司几乎不会赔本． 例３ 从批量较大的成品中随机取出１０件产品进行质量检查， 已知这批产品的不合格品率为０．０５，随机变量犡表示这１０件产品中 的不合格品数，求随机变量犡的数学期望和方差、标准差． 解 由于批量较大，可以认为随机变量犡～犅（１０，０．０５）， 犘（犡＝犽）＝狆＝Ｃ犽狆犽（１－狆）１０－犽，犽＝０，１，２，…，１０． 犽 １０ 随机变量犡的概率分布如表８ ２ ２０所示． １１６８ 概 率 第 章 表８ ２ ２０ 犡 ０ １ ２ ３ ４ ５ 狆 Ｃ０狆０（１－狆）１０Ｃ１狆１（１－狆）９Ｃ２狆２（１－狆）８Ｃ３狆３（１－狆）７Ｃ４狆４（１－狆）６Ｃ５狆５（１－狆）５ 犽 １０ １０ １０ １０ １０ １０ 犡 ６ ７ ８ ９ １０ 狆 Ｃ６狆６（１－狆）４Ｃ７狆７（１－狆）３Ｃ８狆８（１－狆）２Ｃ９狆９（１－狆）１Ｃ１０狆１０（１－狆）０ 犽 １０ １０ １０ １０ １０ 故 ∑１０ 犈（犡）＝μ＝ 犽狆 ＝０．５． 犽 犽＝０ ∑狀 由犇（犡）＝σ２＝ 狓２狆－μ２得 犻犻 犻＝１ σ２＝０２×Ｃ００．０５０×０．９５１０＋１２×Ｃ１０．０５１×０．９５９＋…＋ １０ １０ １０２×Ｃ１００．０５１０×０．９５０－０．５２≈０．７２５－０．２５＝０．４７５， １０ 标准差 σ≈０．６８９２． 答 随机变量犡的数学期望为０．５，方差约为０．４７５，标准差约 为０．６８９２． 一般地，当犡～犅（狀，狆）时， 犈（犡）＝狀狆， 犇（犡）＝狀狆（１－狆）， σ＝槡狀狆（１－狆）． 思 考 例２中的保险公司年平均收益为多少？ 信息技术 ＥＸＣＥＬ ● 在Ｅｘｃｅｌ中，计算二项分布的函数是“ＢＩＮＯＭＤＩＳＴ”，选择“插 入／函数／统计”，可依提示输入相应的参数，或在单元格内直接输入 “＝ＢＩＮＯＭＤＩＳＴ（１２０，１００００，０．００６，１）”，就可得到例２中犘（犡≤１２０） 的值（图８ ２ ３）． 图８ ２ ３ １１７选择性必修第二册 数学 函数ＢＩＮＯＭＤＩＳＴ中最后一个参数ｃｕｍｕｌａｔｉｖｅ为一逻辑值，用 于确定函数的形式．若ｃｕｍｕｌａｔｉｖｅ为１，则函数ＢＩＮＯＭＤＩＳＴ返回累 积分布函数，即至多ｎｕｍｂｅｒ＿ｓ次成功的概率；若ｃｕｍｕｌａｔｉｖｅ为０，则 函数ＢＩＮＯＭＤＩＳＴ返回概率密度函数，即ｎｕｍｂｅｒ＿ｓ次成功的概率． 用函数“ＢＩＮＯＭＤＩＳＴ（）”得到随机变量的二项分布表，进而求得 该随机变量的均值和方差．图８ ２ ４是例３的计算过程，其中函数 “ＳＵＭＰＲＯＤＵＣＴ（）”用于计算相应数组或区域乘积的和． 图８ ２ ４ ＧＧＢ ● 在ＧＧＢ的输入框或运算区内输入“二项分布［１００，０．５，５０， ｆａｌｓｅ］”，就可得到例１中犘（犡＝５０）的值（图８ ２ ５）． 图８ ２ ５ 练 习 １．一次测验中有１０道判断题，随意作答，答对不少于８题的概率是多少？ １ ２．如果事件犃在一次试验中发生的概率为 ，那么平均来看，进行多少次试 １００ 验事件犃会发生一次？ ３．假设一批集成芯片中次品的概率是０．１，随机挑选的２０个芯片中，最多３个 样品是次品的概率是多少？ ４．假设在１０次交通事故中有６次主要是因为超速引起的，求在８次交通事故 中有６次主要是因为超速引起的概率． ５设随机变量犡的概率分布如下表所示，试求犡的均值和标准差． 犡 １ ２ ３ ４ ５ １ １ １ １ １ 犘 ５ ５ ５ ５ ５ ６．某商家有一台电话交换机，其中５个分机专供与顾客通话．设每个分机在１ｈ 内平均占线２０ｍｉｎ，并且各个分机是否占线是相互独立的，求任一时刻占线 的分机数目犡的均值与方差． １１８８ 概 率 第 章 习题８．２（３） 感受·理解 １．已知某种节能灯的使用寿命至少为８０００ｈ的概率为０．９，在２０只此种节能 灯中，求： （１）有１８只使用寿命至少为８０００ｈ的概率； （２）至少有１５只使用寿命至少为８０００ｈ的概率； （３）至少有２只达不到使用寿命至少为８０００ｈ的概率． ３ ２某种元件经受住打击测试的概率为 ，求４个此种元件中有２个经受住打击的概率． ４ ３甲、乙、丙３人独立地破译某个密码，每人译出此密码的概率均为０．２５．设随 机变量犡表示译出密码的人数，求犈（犡），犇（犡）和σ． ４某人每次射击命中目标的概率为０．８，现连续射击３次，求击中目标的次数 犡的均值和方差． 思考·运用 ５假定某射手每次射击命中目标的概率为 ２ ．现有３发子弹，该射手一旦射中目 ３ 标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为犡，求： （１）犡的概率分布； （２）均值犈（犡）； （３）标准差槡犇（犡）． ６．飞机的几个发动机之间是独立工作的，并且每个发动机出现故障的概率均为 ０．００４．假设飞机安全飞行的条件是至少有一半的发动机能正常工作．问：一 架有４个发动机的飞机是否比有２个发动机的飞机更安全？ ８．２．４ 超几何分布 一批产品共１００件，其中有５件不合格品，从中有放回地随机抽 取１０件产品，则不合格品数犡服从二项分布． ● 如果从中不放回地随机抽取１０件产品，则不合格品数犡服 从何种分布？ 从１００件产品中随机抽取１０件有 Ｃ１０ 个等可能的结果． １００ ｛犡＝２｝表示随机事件“取到２件不合格品和８件合格品”，依据分步 计数原理知有Ｃ２Ｃ８ 个等可能的结果，根据古典概型，得 ５ ９５ Ｃ２Ｃ８ 犘（犡＝２）＝ ５ ９５． Ｃ１０ １００ 类似地，可以求得犡取其他值时对应的随机事件的概率，从而得 到不合格品数犡的概率分布如表８ ２ ２１所示． １１９选择性必修第二册 数学 表８ ２ ２１ 犡 ０ １ ２ ３ ４ ５ Ｃ０Ｃ１０ Ｃ１Ｃ９ Ｃ２Ｃ８ Ｃ３Ｃ７ Ｃ４Ｃ６ Ｃ５Ｃ５ 犘 ５ ９５ ５ ９５ ５ ９５ ５ ９５ ５ ９５ ５ ９５ Ｃ１０ Ｃ１０ Ｃ１０ Ｃ１０ Ｃ１０ Ｃ１０ １００ １００ １００ １００ １００ １００ 对一般情形，一批产品共犖件，其中有犕件不合格品，随机取出 的狀件产品中，不合格品数犡的概率分布如表８ ２ ２２所示． 表８ ２ ２２ 犡 ０ １ ２ … 犾 Ｃ０Ｃ狀 Ｃ１Ｃ狀－１ Ｃ２Ｃ狀－２ Ｃ犾Ｃ狀－犾 犘 犕 犖－犕 犕 犖－犕 犕 犖－犕 … 犕 犖－犕 Ｃ狀 Ｃ狀 Ｃ狀 Ｃ狀 犖 犖 犖 犖 其中犾＝ｍｉｎ｛狀，犕｝． 一般地，若一个随机变量犡的分布列为 Ｃ狉Ｃ狀－狉 犘（犡＝狉）＝ 犕 犖－犕， ① Ｃ狀 犖 其中狉＝０，１，２，３，…，犾，犾＝ｍｉｎ｛狀，犕｝，则称犡服从超几何分布 （ｈｙｐｅｒｇｅｏｍｅｔｒｉｃｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ），记为犡～犎（狀，犕，犖），并将犘（犡＝ Ｃ狉Ｃ狀－狉 狉）＝ 犕 犖－犕记为犎（狉；狀，犕，犖）． Ｃ狀 犖 例１ 生产方发出了一批产品，产品共５０箱，其中误混了２箱 不合格产品．采购方接收该批产品的标准是：从该批产品中任取５箱 产品进行检测，若至多有１箱不合格产品，则接收该批产品．问：该批 产品被接收的概率是多少？ 解 用犡表示“５箱中不合格产品的箱数”，则犡～犎（５，２，５０）． 这批产品被接收的条件是５箱中没有不合格产品或只有１箱不合格 产品，所以被接收的概率为犘（犡≤１），即 Ｃ０Ｃ５ Ｃ１Ｃ４ ２４３ 犘（犡≤１）＝ ２ ４８＋ ２ ４８ ＝ ≈０．９９１８４． Ｃ５ Ｃ５ ２４５ ５０ ５０ 答 该批产品被接收的概率约是０．９９１８４． 例２ 高三（１）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中 装有１０个红球和２０个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸 出５个球，摸到４个红球和１个白球的就获一等奖，用随机变量犡表 示取到的红球数． （１）求获一等奖的概率； （２）求犈（犡）． １２０８ 概 率 第 章 解 （１）随机变量犡服从超几何分布犎（５，１０，３０）． 由公式①得 Ｃ４Ｃ５－４ ７００ 犎（４；５，１０，３０）＝ １０ ２０ ＝ ≈０．０２９５． Ｃ５ ２３７５１ ３０ 故获一等奖的概率约为０．０２９５． （２）犡的概率分布如表８ ２ ２３所示． 表８ ２ ２３ 犡 ０ １ ２ ３ ４ ５ ２５８４ ８０７５ ８５５０ ３８００ ７００ ４２ 犘 ２３７５１ ２３７５１ ２３７５１ ２３７５１ ２３７５１ ２３７５１ 因此，随机变量犡的均值为 ２５８４ ８０７５ ８５５０ 犈（犡）＝０× ＋１× ＋２× ＋ ２３７５１ ２３７５１ ２３７５１ ３８００ ７００ ４２ ３× ＋４× ＋５× ２３７５１ ２３７５１ ２３７５１ ５ ＝ ≈１．６６６７． ３ 答 获得一等奖的概率约为０．０２９５，随机变量犡的数学期望 犈（犡）约为１．６６６７． 一般地，当犡～犎（狀，犕，犖）时， ∑犾 狀犕 犈（犡）＝ 犽犘＝ ， 犽 犖 犽＝０ 其中犾＝ｍｉｎ｛狀，犕｝． 思 考 如果一批产品的数额（即犖）很大，能否将超几何分布近似地看 作二项分布？取犖＝１０００，犕＝２０，狀＝１０，分别以超几何分布和二项 分布作为模型，用计算机（器）计算，并考察差异的大小． 信息技术 在Ｅｘｃｅｌ中，可以直接使用超几何分布函数进行计算．例如， 按“插入／函数／统计”选择超几何分布函数“ＨＹＰＧＥＯＭＤＩＳＴ”，然 后依次输入狉，狀，犕，犖的 值，或 直 接 在 单 元 格 内 输 入“＝ ＨＹＰＧＥＯＭＤＩＳＴ（４；５，１０，３０）”，即可得到例２中获一等奖的概率 约为０．０２９４７２４４３． 练 习 １一个班级有３０名学生，其中１０名女生．现从中任选３名学生当班委，设随机 变量犡表示３名班委中女生的人数，随机变量犢表示３名班委中男生的人 数，试求犡与犢的概率分布． １２１选择性必修第二册 数学 ２设５０件商品中有１５件一等品，其余为二等品．现从中随机选购２件，用随机 变量犡表示所购２件商品中一等品的件数，写出犡的概率分布． ３．已知１５００件产品中有１００件不合格品，从中抽取１５件进行检查，用随机变 量犡表示取出的１５件产品中不合格品的件数．求： （１）犡的分布列； （２）犡的均值犈（犡）． 习题８．２（４） 感受·理解 １．已知１５件同类型的零件中有２件不合格品，从中任取３件，用随机变量犡 表示取出的３件中不合格品的件数．求： （１）犡的概率分布； （２）犡的均值犈（犡）． ２．某公司有５０件货物，其中包含２０％的次品，对这批货物的检验程序为：随机 选取５件，如果次品数不超过２件就通过．求这批货物通过的概率． ３．某班有５０名学生，其中１５人选修Ａ课程，另外３５人选修Ｂ课程，从班级中 任选两名学生，求他们是选修不同课程的学生的概率． ４．环保部门就违规排泄污染物问题，对２０家工厂进行检查，其中３家有违规行 为．现从这２０家工厂中随机抽取５家进行检查，求： （１）没有发现工厂有违规行为的概率； （２）发现２家工厂有违规行为的概率． 思考·运用 ５１０００只灯泡中含有狀（２≤狀≤９９２）只不合格品，从中一次任取１０只，记恰 含有２只不合格品的概率为犳（狀）． （１）求犳（狀）的表达式； （２）当狀为何值时，犳（狀）取得最大值？ 探究·拓展 ６栖息于某地区的动物个体总数是未知的，为了得到对栖息在该地区的动物总 数的大致估计，生态学家常常进行如下试验：先在这个地区捕捉一些动物 （如犿只），标上记号后放掉它们．过一段时间，当这些有标记的动物充分散 布到整个地区后，再捉一批（如狀只），其中有标记的动物共狆只，试估计该 地区动物总数． １２２８ 概 率 第 章 ８．３ 正态分布 二项分布、超几何分布是刻画离散型随机变量分布的数学模型， 在实际应用中，还有许多随机变量可以取某一区间中的一切值．这类 随机变量就是连续型随机变量．例如，在必修“统计”一章中给出的金 属棒长度的样本数据如下： ６．０２ ６．０１ ６．０４ ５．９４ ５．９７ ５．９６ ５．９８ ６．０１ ５．９８ ６．０２ ６．００ ６．０３ ６．０７ ５．９７ ６．０１ ６．００ ６．０３ ５．９５ ６．００ ６．００ ６．０５ ５．９３ ６．０２ ５．９９ ６．００ ５．９５ ６．００ ５．９７ ５．９６ ５．９７ ６．０３ ６．０１ ６．００ ５．９９ ６．０４ ６．００ ６．０２ ５．９９ ６．０３ ５．９８ ● 测量一次，你能确定测量的结果在区间（５．９７，６．０３）上的概 率吗？ 要解决这样的问题，就要了解随机试验所得数据的分布规律．为 此，将这组数据以０．０２为组距进行分组，可得频率直方图（图８ ３ １）： 图８ ３ １ 这个直方图大体呈中间高、两边低、左右大致对称的特点．如果 增加更多的测量数据，那么这种趋势会更加明显． 可以设想，如果数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图 上的折线将趋于一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线 （图８ ３ ２）． 图８ ３ ２ １２３选择性必修第二册 数学 从图８ ３ ２可以看出，曲线存在一条过曲线峰顶的对称轴，数 据的平均值就在曲线峰顶在狓轴上的垂直投影处，在平均值附近的 值相对较多，而远离平均值的值相对较少，即很小或很大的数据值所 占的比例差不多且很小． １ 函数犘（狓）＝ ｅ－ （狓－μ）２（狓∈犚）的图象与上述曲线非常吻合， 槡２πσ ２σ２ 我们将该函数的图象称为正态密度曲线．这里有两个参数 μ 和σ，其 中σ＞０， μ∈犚． 如图８ ３ ３，不同的 μ 和σ对应着不同的正态密度曲线． 图８ ３ ３ 正态密度曲线具有如下特征： （１）当狓＜μ 时，曲线上升；当狓＞μ 时，曲线下降；当曲线向左右 两边无限延伸时，以狓轴为渐近线． （２）曲线关于直线狓＝μ 对称． （３）σ越大，曲线越扁平；σ越小，曲线越尖陡． （４）在曲线下方和狓轴上方范围内的区域面积为１． 设犡是一个随机变量，若对任给区间（犪，犫］，犘（犪＜犡≤犫）是正态密 正态分布在统计 度曲线下方和狓轴上（犪，犫］上方所围成的图形的面积（图８ ３ ４），则称 学上的应用始于拉普 拉斯和高斯．１８９３年， 随机变量犡服从参数为 μ 和σ２的正态分布（ｎｏｒｍａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ），简 英国数学家皮尔逊 记为犡～犖（ μ ，σ２）． （Ｋ．Ｐｅａｒｓｏｎ，１８５７— １９３６）首先使用“正态 分布”这一名称． 图８ ３ ４ 现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如，反复测量某一 个物理量，其测量误差犡通常服从正态分布；某一地区同性别同年龄 组儿童的体重犠近似地服从正态分布；某一地区成年人的身高近似 地服从正态分布；某地每年１月份的平均气温犜也可认为近似地服 从正态分布． 若犡～犖（ μ ，σ２），则随机变量犡在 μ 的附近取值的概率很大，在 离 μ 很远处取值的概率很小． 具体地，如图８ ３ ５，随机变量犡取值 １２４８ 概 率 第 章 图８ ３ ５ 落在区间 （ μ－σ， μ＋σ）内的概率约为６８．３％； 落在区间 （ μ－２σ， μ＋２σ）内的概率约为９５．４％； 落在区间 （ μ－３σ， μ＋３σ）内的概率约为９９．７％． 事实上， μ 就是随机变量犡的均值，σ２就是随机变量犡的方差， 它们分别反映犡取值的平均大小和稳定程度． 对于节首问题，由于随机的测量误差，使得测量的长度犔服从均 值约为６的正态分布，再用样本方差估计总体方差，得σ≈０．０３１，故 随机测量一次，其测量的长度在区间（５．９７，６．０３）上的概率约为 ６８．３％． 我们将正态分布犖（０，１）称为标准正态分布（图８ ３ ６，其中犃 栏为狓的取值，犅栏为犘（狓）的值），通过查标准正态分布表（见附录） 可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率． 图８ ３ ６ 例 １ 已 知 随 机 变 量 犣 ～ 犖 （０ ，１ ）， 查 标 准 正 态 分 布表，求： （１）犘（犣≤１．５２）； （２）犘（犣＞１．５２）； （３）犘（０．５７＜犣≤２．３）； （４）犘（犣≤－１．４９）． 解 （１）犘（犣≤１．５２）＝０．９３５７（图８ ３ ７（１））． （２）犘（犣＞１．５２）＝１－犘（犣≤１．５２） 标准正态分布表 是针对犣≥０ 设计 ＝１－０．９３５７＝０．０６４３． 的，若犣＜０，则须转 （３）犘（０．５７＜犣≤２．３）＝犘（犣≤２．３）－犘（犣≤０．５７） 换再查．查表前，可画 ＝０．９８９３－０．７１５７ 个草图，以帮助查表． ＝０．２７３６（图８ ３ ７（２））． １２５选择性必修第二册 数学 （４）犘（犣≤－１．４９）＝犘（犣≥１．４９）＝１－犘（犣≤１．４９） ＝１－０．９３１９＝０．０６８１（图８ ３ ７（３））． 图８ ３ ７ 例２ 某批待出口的水果罐头，每罐净重犡（单位：ｇ）服从正态 分布犖（１８４，２．５２），求： （１）随机抽取１罐，其净重超过１８４．５ｇ的概率； （２）随机抽取１罐，其净重在１７９ｇ与１８９ｇ之间的概率． （ ） 犡－１８４ １８４．５－１８４ 当犡～犖（μ，σ２） 解 （１）犘（犡＞１８４．５）＝犘 ＞ ２．５ ２．５ （μ≠０或σ２≠１）时， 犡－μ ＝犘（犣＞０．２）＝１－犘（犣≤０．２） 犣＝ 服从标准 σ ＝１－０．５７９３＝０．４２０７． 正态分布． （ ） １７９－１８４ 犡－１８４ １８９－１８４ （２）犘（１７９＜犡≤１８９）＝犘 ＜ ≤ ２．５ ２．５ ２．５ ＝犘（－２＜犣≤２） ＝犘（犣≤２）－犘（犣≤－２） ＝犘（犣≤２）－犘（犣≥２） ＝犘（犣≤２）－［１－犘（犣≤２）］ ＝２犘（犣≤２）－１ ＝２×０．９７７２－１ ＝０．９５４４． 答 随机抽取１罐，其净重超过１８４．５ｇ的概率是０．４２０７，净重 在１７９ｇ与１８９ｇ之间的概率为０．９５４４． １２６８ 概 率 第 章 在实际生活中遇到的很多随机现象，随机变量大体满足其取值 以某个值为中心且左右对称这种特性，一般都可以尝试用正态分布 来描述这个随机变量的取值规律． 数学家们发现，在多种微小因素影响下，如果没有一种影响占主 导地位，那么这样的随机变量服从正态分布．特别是在独立地大数量 重复试验时，就平均而言，任何一个随机变量的分布都将趋近于正态 分布． 信息技术 在Ｅｘｃｅｌ中，计算正态分布的函数是“ＮＯＲＭＤＩＳＴ”，选择“插入／ 函数／统计”，按提示输入相应的参数，或在单元格内直接输入“＝ ＮＯＲＭＤＩＳＴ（１８４．５，１８４，２．５，１）”，就可以得到犘（犡≤１８４．５）的值 （图８ ３ ８）． 图８ ３ ８ 犘（犡＞１８４．５）和犘（１７９＜犡≤１８９）可分别转化为１－犘（犡≤ １８４．５）和犘（犡≤１８９）－犘（犡≤１７９）来计算（图８ ３ ９）． 图８ ３ ９ 练 习 １  已 知随 机 变 量 犣 ～犖 （０ ， １） ，查 标 准 正 态 分布 表 ， 求： （１）犘（犣≤２．７５）； （２）犘（犣＜０．５）； （３）犘（犣＞－１．５）； （４）犘（２＜犣＜２．９）； （５）犘（－２＜犣≤２．９）． ２已知随机变量 ξ～犖（２，２．５２），查标准正态分布表，求： （１）犘（０＜ξ＜１．９０）； （２）犘（－１．８３＜ξ＜０）； （３）犘（狘ξ狘＜１）． ３某金属元件的抗拉强度服从正态分布，均值为１００００ｋｇ／ｃｍ２，标准差是 １００ｋｇ／ｃｍ２．测量记录精确到５０ｋｇ／ｃｍ２． （１）求抗拉强度超过１０１５０ｋｇ／ｃｍ２ 的元件的比例； （２）如果要求所有元件的抗拉强度在９８００～１０２００ｋｇ／ｃｍ２ 的范围内，那么 被报废的元件的比例是多少？ １２７选择性必修第二册 数学 链 接 二项分布与正态分布 二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概 率分布．但是，随着二项分布的试验次数的增加，便会发现它们之间 的内在关系． 例如，抛掷２０枚质地均匀的硬币，出现正面的次数的概率分布为 １ 试验次数为２０、事件发生的概率为 的二项分布，其分布折线图如 ２ 图８ ３ １０所示．这个分布的均值为１０，方差为５．图８ ３ １１是均 值为１０、方差为５的正态分布曲线： 图８ ３ １０ 图８ ３ １１ 从图中可以看到，两者极为相似．如果将抛掷次数增加到１００次时，二 项分布折线图（图８ ３ １２）与均值、方差都相同的正态分布曲线 （图８ ３１３）就很难区分了． 图８ ３ １２ 图８ ３ １３ 因为二项分布的概率计算公式较为繁琐，所以在试验次数较大 时，可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题． 习题８．３ 感受·理解 １已知随机变量 ξ～犖（０，１），Φ（狓）＝犘（ξ≤狓），判断下列等式是否成立： （１）Φ（－狓）＝１－Φ（狓）； （２）犘（狘ξ狘≤狓）＝１－２Φ（狓）； （３）犘（狘ξ狘＜狓）＝２Φ（狓）－１； （４）犘（狘ξ狘＞狓）＝２［１－Φ（狓）］． ２已知随机变量犡～犖（２，２．５２），查标准正态分布表，计算： （１）犘（犡＜２．２）； （２）犘（犡＞１．７６）； １２８８ 概 率 第 章 （３）犘（犡＜－０．７８）； （４）犘（狘犡狘＜１．５５）； （５）犘（狘犡狘＞２．５）； （６）犘（－１．８＜犡＜２）． ３已知随机变量犡～犖（０，１），且犘（－犪＜犡≤犪）＝０．６，犪＞０，求犪的值． 思考·运用 ４．在标准正态曲线下，求满足下列条件的狕的值： （１）大于狕的面积是０．３６２２； （２）小于狕的面积是０．１１３１； （３）０和狕之间的面积是０．４８３８，其中狕＞０； （４）－狕和狕之间的面积是０．９５００，其中狕＞０． ５假设从你家到学校体育馆所要花费的时间服从均值为４０ｍｉｎ、标准差为 ７ｍｉｎ的正态分布．如果你要从家到学校体育馆参加下午２：００开始的一项活 动，要想做到有９５％的把握不迟到，那么最晚何时出发？ 探究·拓展 ６下面是一批检波器测量噪声（噪声电平）的１００个观测值（单位：ｍＶ，真值为 以下数据乘以１０），试作出这些数据的频率直方图，判断其是否服从正态分 布，再估计噪声在区间［－２．５，２．５］上的概率． ０．１ －１．０ １．９ －０．１ ０．０ ０．３ －１．２ ０．０ －０．４ ０．１ １．５ ０．３ １．０ －１．３ ０．５ －１．２ －３．４ －３．０ －０．５ １．９ ０．２ ０．１ ０．７ １．３ ２．４ －０．５ ０．５ －３．５ ０．４ ０．７ ２．０ －０．４ －１．３ －１．９ －０．５ －１．５ －０．１ －１．１ ０．０ ０．２ －２．３ ０．５ ０．７ －２．１ －０．６ －０．４ ２．４ １．５ １．６ ０．６ －０．１ ０．５ －０．１ １．１ ２．５ －２．６ －０．３ １．２ －０．８－２．４ ０．７ １．２ ０．５ ０．０ －０．５ －０．３ －１．８ ０．２ －１．９－０．８ －０．４ －１．１ ２．９ －１．１ ０．４ ０．０ －０．４ －０．３ １．７－１．５ －１．０ １．１ ０．０ －１．１ ０．９ １．７ －０．３ ２．１ ０．７ ０．７ －０．６ ２．３ ２．０ －１．１ １．２ １．０ ０．１ －０．５ －０．３－０．２ １２９选择性必修第二册 数学 问题与探究 你的彩票被扔掉了吗？ ２０世纪９０年代，一家瑞典知名报纸以“你的彩票都被扔了！”为 题发布了一则消息，引起了很大的骚动．该消息与当时的流行电视节 目“宾戈乐透”有关．人们买乐透彩票寄给节目组，主持人在现场直播 时从大邮袋中抽出一张彩票，宣布中奖．细心的记者发现，这个大邮 袋中只有小部分寄来的彩票，因此得出结论：你的彩票被扔掉了！ 节目组解释说：拿到现场的小部分彩票是从所有寄来的彩票中， 用随机的方法抽出的，也就是说，抽奖过程分为两个步骤：先从所有 彩票中随机抽出一部分，再当场从这部分彩票中随机抽出获奖彩票． 这个过程仍然是公平的． 你能对节目组的说法给出数学证明吗？ 阅 读 高斯与概率统计 高斯（Ｃ．Ｆ．Ｇａｕｓｓ，１７７７—１８５５），德国伟大的数学家、统计学家 和物理学家，近代数学奠基人之一． 法国数学家棣莫 高斯以他丰富的天文观察和土地测量的经验，发现观察值狓与 弗（ＤｅＭｏｉｖｒｅ，１６６７— 真正值μ的误差服从正态分布．他运用极大似然法及其他数学知识， １７５４）早于高斯给出此 推导出测量误差的概率分布公式．“误差分布曲线”这个术语就是高 分布，甚至有人认为瑞 斯提出来的，后人为了纪念他，称这种分布曲线为高斯分布曲线，也 士数学家丹尼尔·伯 就是今天的正态分布曲线． 努利（ＤａｎｉｅｌＢｅｒｎｏｕｌｌｉ， １８０１年元旦，一颗小行星（后来被命名为谷神星）被发现，当时它 １７００—１７８２）更早就发 好像在向太阳靠近．天文学家虽然有４０天的时间可以观察它，但不能 现了． 计算它的轨道．高斯只做了３次观察就提出了一种计算轨道参数的方 法，而且达到的精确度使得天文学家在１８０１年末和１８０２年初能够毫 无困难地确定它的位置．高斯在这一计算中用到了他创造的最小二 乘法（大约在１７９４年创造的），在天文学中这一成就立即得到公认．他 在《天体运动理论》中叙述的这一方法今天仍在使用．后来，高斯在小 行星“智神星”研究方面也获得类似的成功． 有人曾把高斯形容为“能从九霄云外的高度按照某种观点掌握 星空和深奥数学的天才”，而他自己却认为：假如别人和我一样深刻 和持续地思考数学真理，他们会做出同样的发现． 查阅相关资料，了解高斯的数学成就，感受他的科学精神． １３０８ 概 率 第 章 本章回顾 本 章 概 览 本章在古典概型的基础上，研究了条件概率、全概率公式和贝叶 斯公式．通过引入随机变量的概念，研究了几种类型的随机变量的概 率分布，用随机变量的均值（数学期望）和方差（或标准差），对随机变 量的集中趋势和离散程度进行了刻画． 随机事件 → 随机变量  ↓  ↓ ↓  ↓ 条件概率 离散型随机变量 连续型随机变量  ↓ ↓ ↓  ↓ ↓   全概率公式 二项分布 超几何分布 正态分布      ↓ ↓  贝叶斯公式 ↓ ↓   概率分布列 数字特征 ↓  ↓ ↓   均值 方差 通过引入随机变量描述随机事件，使我们能够运用函数等数学 知识来研究概率问题，为研究复杂的随机现象提供了工具．二项分 布、超几何分布和正态分布都是重要的概率模型，在社会、生活和科 学研究中有着广泛的应用． 概率论是现代统计学的理论基础，是处理数据、进行统计推断的 理论依据．我们要善于运用概率的思想和理论，分析并处理现实世界 中大量存在的随机现象． 复 习 题 感受·理解 １甲、乙两人射击，中靶的概率分别为０．８，０．７．若两人同时独立射击，则他们 都击中靶的概率是（ ）． Ａ ． ０ ．５６ Ｂ ． ０． ４８ Ｃ ． ０． ７５ Ｄ．０．６ １ １ １ ２已知随机事件犃，犅，犘（犃）＝ ，犘（犅）＝ ，犘（犅狘犃）＝ ，求犘（犃犅）， ２ ３ ２ 犘（犃狘犅）． １３１选择性必修第二册 数学 ３一个盒子中装有４只产品，其中３只一等品、１只二等品．从中抽取产品两次，每 次任取一只，不放回抽样．求在第一次取到一等品时，第二次取到一等品的概率． ４某种小麦在田间出现自然变异植株的概率为０．００４５，今调查该种小麦１００ 株，试计算获得２株和２株以上变异植株的概率． ５一批产品共１００件，其中有５件不合格品．从中任取５０件，问：没有不合格 品的概率是多少？恰有１件不合格品的概率是多少？ ６某批产品中有２０％的不合格品，进行有放回地重复抽样检查，共取５个样 品，其中不合格品数为犡，试确定犡的概率分布． ７已知一个人由于输血而引起不良反应的概率为０．００１，求： （１）２０００人中恰有２人引起不良反应的概率； （２）２０００人中多于１人引起不良反应的概率； （３）２０００人中引起不良反应的人数的均值与方差． ８对批量（即一批产品中所含产品的件数）很大的某种产品进行抽样质量检查 时，采用一件一件地抽取进行检查．若检查的５件产品中未发现不合格产 品，则停止检查并认为该批产品合格；若检查的５件产品中发现不合格产 品，则也停止检查并认为该批产品不合格．假定该批产品的不合格率为 ０．０５，检查产品的件数为犡，问： （１）各次抽查是否可认为相互独立？为什么？ （２）求犡的概率分布及均值． ９．如果两个商场的奖项设置分别为 Ａ商场： 奖项／元 概率 １０００ ０．１ １００ ０．７ １０ ０．２ Ｂ商场： 奖项／元 概率 ２５０ ０．５ １５０ ０．３ １０ ０．２ 虽然概率分布不同，但是均值都为１７２元，那么能否认为这两种奖项设置对 顾客来说同等合算？ １０．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为０．１５，第 二车间的次品率为０．１２，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库里．假设 第一车间和第二车间生产的成品比例为２∶３，今有一客户从成品仓库中随 机提取一台产品，求该产品合格的概率． １１．设犡～犖（０，１），求犘（犡≤－１．４），犘（狘犡狘＞２．１）． １２．设犡～犖（３，２２），求犘（０＜犡＜５），犘（狘犡狘＜４）． １３２８ 概 率 第 章 思考·运用 １３一部车床生产某种零件的不合格品率为２％，若从这部车床生产的一组５ 个零件的随机样本中发现有２个或２个以上的不合格品，则停机维修．试求 停机维修的概率． １４盒中有犪个红球和犫个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并 加上与取出的球同色的球犮个，再从盒中第二次取出一个球，求第二次取出的 是黑球的概率． １５．抽样表明，某市新生儿体重犡（单位：ｋｇ）近似地服从正态分布犖（３．４，σ２）， 已知该市新生儿体重不足２ｋｇ的占３．１％．试求该市新生儿体重超过 ４ｋｇ的百分比． 探究·拓展 １６在一种称为“幸运３５”的福利彩票中，规定从０１，０２，…，３５这３５个号码中 任选７个不同的号码组成一注，并通过摇奖机从这３５个号码中摇出７个不 同的号码作为特等奖．与特等奖号码仅６个相同的为一等奖，仅５个相同的 为二等奖，仅４个相同的为三等奖，其他的情况不得奖．为了便于计算，假定 每个投注号只有１次中奖机会（只计奖金额最大的奖），该期的每组号码均 有人买，且彩票无重复号码．若每注彩票为２元，特等奖奖金为１００万元／ 注，一等奖奖金为１万元／注，二等奖奖金为１００元／注，三等奖奖金为１０元／ 注，试求： （１）奖金额犡（元）的概率分布； （２）这一期彩票售完可以为福利事业筹集多少资金（不计发售彩票的 费用）？ １７（操作题）用抛掷１枚一元硬币和１枚五角硬币来模拟孟德尔的豌豆实验， 设２枚硬币的正面对应ＤＤ，一元硬币的正面与五角硬币的反面对应Ｄｄ，一 元硬币的反面与五角硬币的正面对应ｄＤ，２枚硬币的反面对应ｄｄ．抛掷这 ２枚硬币１００次，记下出现ＤＤ，Ｄｄ，ｄＤ和ｄｄ的次数，考察你的结果是否基 本符合１∶１∶１∶１的比例． １３３本章测试 一、填空题 １．袋中有大小相同的４个红球和３个白球，从袋中任意取出１个球（不放回）， 直到取出的球是白球为止．设取球的次数为犡，则随机变量犡的所有可能 取值为 ． ３ ３ ２．若犘（犃犅）＝ ，犘（犃）＝ ，则犘（犅犃）＝ ． １０ ５ １ ３．３个同学猜同一个谜语，如果每人猜对的概率都是 ，并且各人猜对与否 ３ 互不影响，那么他们同时猜对的概率为 ． ４．某人参加一次考试，共有４道试题，至少答对其中３道试题才能合格．若他 答每道题的正确率均为０．５，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概 率为 ． ５．若随机抛掷一颗质地均匀的正方体骰子１次，则所得点数犡的均值是 ． 犻 ６．设犪为实数，如果随机变量犡的分布列为犘（犡＝犻）＝ （犻＝１，２，３），那 ２犪 么犪＝ ． 二、选择题 ７．设随机变量犡的可能取值为１，２，…，狀，并且取１，２，…，狀是等可能的． 若犘（犡＜４）＝０．３，则下面结论中正确的是（ ）． Ａ．狀＝３ Ｂ．狀＝４ Ｃ．狀＝１０ Ｄ．狀不能确定 （ ） １ ８．如果随机变量犡～犅６， ，那么犇（犡）等于（ ）． ３ ４ Ａ．１ Ｂ． ３ Ｃ．２ Ｄ．６ ９．已知盒中有１０个球（除颜色外其他属性都相同），其中６个白球和４个黑球． 从盒中一次随机地取出２个球，其中至少有１个黑球的概率为（ ）． １ ２ Ａ． Ｂ． ５ ３ １ ２ Ｃ． Ｄ． ３ ５ １０．如果随机变量犡～犖（２，σ２），且犘（犡≤４）＝０．８，那么犘（犡≤０）的值为 （ ）． Ａ．０．２ Ｂ．０．３２ Ｃ．０．４ Ｄ．０．８ １３４８ 概 率 第 章 三、解答题 １１．在１，２，３，…，９这９个自然数中，任取２个不同的数． （１）求这２个数中恰有１个奇数的概率； （２）设犡为所取的２个数中奇数的个数，求随机变量犡的概率分布及均值． １２．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为１∶２，货车与客车中途停车修 理的概率分别为０．００２，０．００１．求该公路上行驶的汽车停车修理的概率． １３．已知１０道试题中有４道选择题，甲、乙两人依次不放回地抽取１道，求： （１）甲抽到选择题的概率； （２）在甲抽到选择题的情况下，乙抽到选择题的概率． １ １ １４．甲、乙两人投篮命中率分别为 和 ，并且他们投篮互不影响．现每人分 ２ ３ 别投篮２次，求甲比乙进球数多的概率． １５．甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每 ２ １ 一局甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 ．如果比赛采用“三局两胜（即有一 ３ ３ 方先胜２局即获胜，比赛结束）”或“五局三胜（即有一方先胜３局即获胜，比 赛结束）”两种规则，求在哪种比赛规则下，甲胜的概率较大． １３５第９章 统 计 书书书有些人不喜欢统计学，但是我觉得它充满美感并对其 感兴趣．不论何时，统计学都不是蛮不讲理的．在实际应用 中，只要运用正确的方法，它就可以细致并严谨地解释问 题．统计学处理复杂事件的能力是无与伦比的． ———弗朗西斯·高尔顿 公安人员在勘察案发现场时，总是非常仔细地搜寻犯罪嫌疑人 的脚印，一个重要的原因就是可以根据脚印的长短来推测其身高．从 直觉上看，成年人的身高与脚长（脚趾到脚跟的长度）存在着某种 关系． 相关研究发现，我国成年人的身高与脚长有着下面的关系（单 位：ｃｍ）： 身高＝６．８７６×脚长＋误差． 例如，若犯罪嫌疑人留下的脚印长度为２５ｃｍ，则根据这个公式 推测犯罪嫌疑人身高约为６．８７６×２５＝１７１．９（ｃｍ），也就是说脚印长 度为２５ｃｍ的人的身高在１７１．９ｃｍ上下． 这类问题大量地存在于现实生活中：商品的销售量与广告宣传 费之间的关系、吸烟与患呼吸道疾病之间的关系…… ● 这是一种怎样的关系？ ● 如何研究这些问题？ １３８９．１ 线性回归分析 人的脚长与身高之间具有某种关联．但是，两个脚长一样的人， 他们的身高并不一定相同．也就是说，人的脚长与身高之间并不是确 定的函数关系． ● 人的脚长与身高之间是一种怎样的关系呢？ ９．１．１ 变量的相关性 人的脚长与身高有关，一般来说，脚越长，个子越高，但不能用一 个确定的函数来表示身高与脚长之间的关系； 农作物的产量与施肥量有关，一般来说，在一定范围内，施肥量 越多，农作物的产量就越高，但不能用一个确定的函数来表示产量与 施肥量之间的关系； 家庭的收入与支出有一定的关系，收入高的家庭往往支出也较 多，但不能用一个函数来精确地表示家庭支出与收入之间的关系． 通常把上述问题中的脚长、施肥量、家庭收入等称为自变量，与 之对应的身高、农作物的产量、家庭支出等称为相应的因变量． ● 上述问题中的自变量与因变量之间是一种怎样的关系？ 对于上述三个问题，在多次重复观测中，自变量取一定值，因变 量不一定取一个确定的值与之对应，而是有或多或少的差异．这是因 为作为因变量的事物，除受问题中的自变量的影响外，还受到其他许 多因素的影响．这些因素中有的是可知的，有的难以明确． 像这样，两个变量之间具有一定的联系，但又没有确定性函数关 试举出具有相关 系，这种关系称为相关关系（ｃｏｒｒｅｌａｔｉｖｉｔｙ）． 关系的实例． 例１ 试判断下列各个问题中两个变量之间是否具有相关关系： （１）商品的销售价格与其供应量； （２）汽车的耗油量与行驶速度； （３）真空中自由降落的小球的位移（单位：ｍ）与时间（单位：ｓ）； （４）空气中污染物浓度（单位： μｇ／ｍ３）与日降雨量（单位：ｃｍ）． 解 （１）商品的销售价格与其供应量之间具有相关关系．一般来 说，在品质相当的情况下，供应量越大，价格就越低；供应量越小，价 格就越高．某些品牌商品限量供应，就是保持较高价位的销售策略． （２）汽车的耗油量与行驶速度之间具有相关关系．通常情况下， １３９选择性必修第二册 数学 当速度很慢或速度很快时，耗油较多，而在中等车速（不同的汽车范 围不一定一样）时，速度稍高，耗油反而较少． （３）根据自由落体运动方程，自由降落的小球的位移与时间之间 是函数关系． （４）空气中污染物浓度与日降雨量之间具有相关关系．通常情况 下，降雨量越大，空气中污染物浓度就越低． 练 习 １．试举几例具有相关关系的变量． ２．判断下列两个变量之间是否具有相关关系： （１）家庭月用电量与月平均气温； （２）一天中的最高气温与最低气温； （３）某企业生产的一种商品的销量与其广告费用； （４）谷物的价格与牛肉的价格； （５）在公式犔犠＝１２中的犔与犠． ３．与同学一起测量脚长与身高，并用适当方式探究它们之间是否具有相关关系． 在分析上面几个问题时，我们都是用“直觉”与“经验”进行判断 的，具有粗略、不够精确的特点．如何进行更为科学、严密的推断呢？ 下面我们先考察一个具体问题． 全国城镇居民人均年可支配收入与人均年支出的部分数据（来 源：《中国统计年鉴（２０１６）》）如表９ １ １所示． 表９ １ １ 年 份 １９９０ ２０００ ２０１０ ２０１１ ２０１２ ２０１３ ２０１４ ２０１５ 人均年可支配收入／元 １５１０ ６２８０ １９１０９ ２１８１０ ２４５６５ ２６４６７ ２８８４４ ３１１９５ 人均年支出／元 １２７９ ４９９８ １３４７１ １５１６１ １６６７４ １８４８８ １９９６８ ２１３９２ 上述人均年支出与人均年可支配收入的大致关系也可用图来表 示．我们以横坐标狓表示人均年可支配收入，纵坐标狔表示人均年支 尽管不是函数关 出，建立平面直角坐标系，将表中数据构成的８个点在坐标系内标出， 系，但仍可运用函数 思想进行研究． 得到图９ １ １．今后我们称这类图为散点图（ｓｃａｔｔｅｒｐｌｏｔ）． 图９ １ １ １４０９ 统 计 第 章 人均年可支配收 通过散点图可以看出，随着人均年可支配收入的增加，人均年支 入与年份之间是否具 出也在提高，这８个点散布在一条直线附近，说明人均年支出狔与人 有线性相关关系？剔 均年可支配收入狓具有相关关系．我们将具有这种特性的相关关系 除前面两列数据后是 称为线性相关关系． 否具有线性相关关系？ 这些散点呈从左下向右上方向发展的趋势，我们称这两个变量 这说明研究相关关系 之间正相关．同理，如果具有相关关系的两个变量的散点图呈从左上 时应注意怎样的问题？ 逐渐向右下方向发展的趋势，则称这两个变量之间负相关． 思 考 观察下列散点图（图９ １ ２），并思考：这些描述样本数据的图 反映出相应的变量之间是否具有相关关系？是正相关还是负相关？ 图９ １ ２ 下面我们用向量的方法来研究数据的相关性． 犪·犫 根据向量的数量积犪·犫＝狘犪狘狘犫狘ｃｏｓθ可知ｃｏｓθ＝ ， 狘犪狘狘犫狘 其中θ为向量犪，犫的夹角． 对于向量犪＝ （犪，犪），犫＝ （犫，犫）， １ ２ １ ２ 犪犫＋犪犫 ｃｏｓθ＝ １ １ ２ ２ ． 槡犪２＋犪２ 槡犫２＋犫２ １ ２ １ ２ 对于向量犪＝ （犪，犪，犪），犫＝ （犫，犫，犫）， １ ２ ３ １ ２ ３ 犪犫＋犪犫＋犪犫 ｃｏｓθ＝ １ １ ２ ２ ３ ３ ． 槡犪２＋犪２＋犪２ 槡犫２＋犫２＋犫２ １ ２ ３ １ ２ ３ 一般地，对于向量犪＝ （犪，犪，…，犪），犫＝ （犫，犫，…，犫）， １ ２ 狀 １ ２ 狀 犪犫＋犪犫＋…＋犪犫 ｃｏｓθ＝ １ １ ２ ２ 狀狀 槡犪２＋犪２＋…＋犪２ 槡犫２＋犫２＋…＋犫２ １ ２ 狀 １ ２ 狀 １４１选择性必修第二册 数学 ∑狀 犪犫 犻犻 ＝ 犻＝１ ． 槡∑狀 犪２ 槡∑狀 犫２ 犻 犻 犻＝１ 犻＝１ 犪犪＋犫犫 对于向量犪＝（犪，犫），犫＝（犪，犫），由ｃｏｓθ＝ １ ２ １２ １ １ ２ ２ 槡犪２＋犫２ 槡犪２＋犫２ １ １ ２ ２ 知，｜ｃｏｓθ｜越接近于１，犪，犫的夹角θ就越接近于０或π，这时，向量犪， 犫趋于共线． 对于两对数据（狓，狔），（狓，狔），设点犃（狓，狔），犃（狓， １ １ ２ ２ １ １ １ ２ ２ （ ） 狓＋狓 狔＋狔 狔），线段犃犃 的中点为犕（狓，狔）其中狓＝ １ ２，狔＝ １ ２ ． ２ １ ２ ２ ２ 构造向量犪与犫，犪＝ （狓－狓，狓－狓），犫＝（狔－狔，狔－狔）， １ ２ １ ２ 当犪，犫共线时，存在非零实数λ，使得 犫＝λ犪， 烄狔－狔＝λ（狓－狓）， 即 １ １ 烅 烆狔－狔＝λ（狓－狓）． ２ ２ → → 这说 明 向 量犕犃 与犕犃 共 线，即 犃，犃，犕 三 点 共 线 １ ２ １ ２ （图９ １ ３）． 图９ １ ３ 对于三对数据（狓，狔），（狓，狔），（狓，狔），设点犃（狓，狔）， １ １ ２ ２ ３ ３ １ １ １ （ 狓＋狓＋狓 犃（狓，狔），犃（狓，狔），取点犕（狓，狔） 其中狓＝ １ ２ ３， ２ ２ ２ ３ ３ ３ ３ ） 狔＋狔＋狔 狔＝ １ ２ ３ ． ３ 构造向量犪与犫，犪＝ （狓－狓，狓－狓，狓－狓），犫＝ （狔－狔， １ ２ ３ １ 狔－狔，狔－狔），并记 〈犪，犫〉＝θ，则 ２ ３ ∑３ （狓－狓）（狔－狔） 犻 犻 ｃｏｓθ＝ 犻＝１ ． 槡∑３ （狓－狓） ２ 槡∑３ （狔－狔） ２ 犻 犻 犻＝１ 犻＝１ 当｜ｃｏｓθ｜越大（越接近于１）时，犪，犫的夹角θ就越接近于０或π， １４２９ 统 计 第 章 这时，向量犪，犫趋于共线．当犪，犫共线时，存在非零实数λ，使得 犫＝λ犪， 烄狔－狔＝λ（狓－狓）， １ １ 即 烅狔－狔＝λ（狓－狓）， ２ ２ 烆狔－狔＝λ（狓－狓）． ３ ３ → → → 这说明，向量犕犃，犕犃，犕犃趋于共线，即犃，犃，犃，犕四 １ ２ ３ １ ２ ３ 点接近于共线（图９ １ ４）． 图９ １ ４ 图９ １ ５ 一般地，对于狀对数据（狓，狔），（狓，狔），…，（狓，狔），设点 １ １ ２ ２ 狀 狀 （ 犃（狓，狔），犃（狓，狔），…，犃（狓，狔），取点犕（狓，狔）其中狓＝ １ １ １ ２ ２ ２ 狀 狀 狀 狓＋狓＋…＋狓 狔＋狔＋…＋狔 ） １ ２ 狀，狔＝ １ ２ 狀 ． 狀 狀 构造向量犪与犫，犪＝（狓－狓，狓－狓，…，狓－狓），犫＝（狔－狔， １ ２ 狀 １ 狔－狔，…，狔－狔），并记 〈犪，犫〉＝θ，则 ２ 狀 ∑狀 （狓－狓）（狔－狔） 犻 犻 ｃｏｓθ＝ 犻＝１ ． （） 槡∑狀 （狓－狓） ２ 槡∑狀 （狔－狔） ２ 犻 犻 犻＝１ 犻＝１ 当｜ｃｏｓθ｜越大（越接近于１）时，犪，犫的夹角θ就越接近于０或π， 这时，向量犪，犫趋于共线．当犪，犫共线时，存在非零实数λ，使得 犫＝λ犪， 烄狔－狔＝λ（狓－狓）， １ １ 狔－狔＝λ（狓－狓）， 即 ２ ２ 烅 … 烆狔－狔＝λ（狓－狓）． 狀 狀 → → → 这说明，向量犕犃，犕犃，…，犕犃趋于共线，即点犃，犃，…， １ ２ 狀 １ ２ 犃，犕这狀＋１个点接近于共线（图９ １ ５）． 狀 我们将（）式称为狀对数据（狓，狔），（狓，狔），…，（狓，狔）的 １ １ ２ ２ 狀 狀 相关系数（ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ），记为狉． １４３选择性必修第二册 数学 这里的相关系数 相关系数狉可由下面的公式计算： 狉是对线性相关关系 ∑狀 而言的． （狓－狓－）（狔－狔－） 犻 犻 狉＝ 犻＝１ 槡∑狀 （狓－狓－）２ ∑狀 （狔－狔－）２ 犻 犻 犻＝１ 犻＝１ ∑狀 （∑狀 ）（∑狀 ） 狀 狓狔－ 狓 狔 犻犻 犻 犻 ＝ 犻＝１ 犻＝１ 犻＝１ ． 槡 ［ 狀 ∑狀 狓２－ （∑狀 狓 ） ２ ］［ 狀 ∑狀 狔２－ （∑狀 狔 ） ２ ］ 犻 犻 犻 犻 犻＝１ 犻＝１ 犻＝１ 犻＝１ 相关系数狉具有下列性质： （１）－１≤狉≤１； （２）狉＞０时狔与狓呈正相关关系，狉＜０时狔与狓呈负相关 关系； （３）｜狉｜越接近１，狔与狓相关的程度就越强，｜狉｜越接近０，狔与狓 相关的程度就越弱． 通常情况下，当狘狉狘＞０．５时，认为线性相关关系显著；当 狘狉狘＜０．３时，认为几乎没有线性相关关系． 对于上面的人均年可支配收入与人均年支出的问题，计算得相 关系数狉≈０．９９９５．这说明，我国城镇居民的人均年支出与人均年可 支配收入之间存在很强的正相关关系． 例２ ２０个工业企业某年的平均固定资产价值与总产值（单 位：百万元）如表９ １ ２所示． 表９ １ ２ 企业 年平均固定 企业 年平均固定 年总产值 年总产值 编号 资产价值 编号 资产价值 １ ３６ ３２．０ １１ ５０ ４５．５ ２ ４３ ４０．２ １２ ７０ ６５．０ ３ ５０ ４７．５ １３ ６２ ５６．０ ４ ４０ ４１．５ １４ ５８ ５５．０ ５ ５５ ５１．０ １５ ５２ ５５．０ ６ ５８ ５３．４ １６ ６３ ５７．０ ７ ３８ ３３．８ １７ ６４ ５４．２ ８ ４５ ４２．８ １８ ５３ ５６．５ ９ ４７ ４５．６ １９ ５４ ５０．２ １０ ４２ ４０．８ ２０ ５６ ４９．２ １４４９ 统 计 第 章 设年平均固定资产价值为狓，年总产值为狔，单位均为百万元．试 画出散点图，计算相关系数． 解 散点图如图９ １ ６所示． 图９ １ ６ 由表中数据可得 ∑２０ ∑２０ ∑２０ 狓＝１０３６， 狔＝９７２．２， 狓狔＝５１７５２．３， 犻 犻 犻犻 犻＝１ 犻＝１ 犻＝１ ∑２０ ∑２０ 狓２＝５５３１４， 狔２＝４８５９０．２． 犻 犻 犻＝１ 犻＝１ ∑狀 （∑狀 ）（∑狀 ） 狀 狓狔－ 狓 狔 犻犻 犻 犻 根据狉＝ 犻＝１ 犻＝１ 犻＝１ ， 槡 ［ 狀 ∑狀 狓２－ （∑狀 狓 ） ２ ］［ 狀 ∑狀 狔２－ （∑狀 狔 ） ２ ］ 犻 犻 犻 犻 犻＝１ 犻＝１ 犻＝１ 犻＝１ 可得相关系数为 狉≈０．９３９６． 因此，狔与狓有着很强的正相关关系． 信息技术 ＥＸＣＥＬ ● 在Ｅｘｃｅｌ中，函数“ＣＯＲＲＥＬ（）”用于计算两组数据的相关系数． 如在例２中，在单元格内输入“ＣＯＲＲＥＬ（Ｂ２：Ｕ２，Ｂ３：Ｕ３）”，就可得 到相关系数（图９ １ ７）． 图９ １ ７ ＧＧＢ ● ＧＧＢ中的函数“相关系数［］”可用于计算两组数据的相关系数． 在输入框中输入“Ｂ５＝相关系数［Ｂ２：Ｕ２，Ｂ３：Ｕ３］”，即得例２中的 相关系数（图９ １ ８）． １４５选择性必修第二册 数学 图９ １ ８ 练 习 １．下列几对变量，哪些有明显的正相关、明显的负相关、接近于０的相关系数？ （１）广告费与销售额； （２）施肥量与粮食产量； （３）汽车车速与司机的年龄； （４）人的体重与身高． ２．充气不足或过于膨胀会增加轮胎磨损，并减少行驶里程．对一种新型轮胎在 不同压力下的行驶里程进行测试，数据如下表： 压力狓／（ｌｂ／ｉｎ２） 里程狔／１０３ｋｍ 压力狓／（ｌｂ／ｉｎ２） 里程狔／１０３ｋｍ ３０ ２９．５ ３３ ３７．６ ３０ ３０．２ ３４ ３７．７ ３１ ３２．１ ３４ ３６．１ ３１ ３４．５ ３５ ３３．６ ３２ ３６．３ ３５ ３４．２ ３２ ３５．０ ３６ ２６．８ ３３ ３８．２ ３６ ２７．４ （１）画出散点图； （２）求出相关系数； （３）将散点图与相关系数进行比照分析，并作出适当解释． ３．统计表明，世界各国人均拥有电视机的数量与人均寿命有着较高的正相关的 相关系数．这是否说明：国家的人均寿命与人均拥有电视机的多少有关？运 送一大批电视机到某人均寿命低的国家是否能延长该国人的寿命？ ９．１．２ 线性回归方程 我国城镇居民人均年支出与人均年可支配收入之间具有线性相 关关系，那么，能否根据这种关系由人均年可支配收入预测对应的人 均年支出呢？为了解决这个问题，就要找到一条反映它们之间的线性 相关关系的直线． ● 怎样选择恰当的直线反映两个变量之间的线性相关关系？ 从图９ １ ９可以看出，这些点在一条直线附近，但并不都在这 条直线上．也就是说，上述直线并不能精确地反映狓与狔之间的关 １４６９ 统 计 第 章 系，狔的值不能由狓确定，在此，我们将两者之间的关系表示为 狔＝犪＋犫狓＋ε， 图９ １ ９ 其中犪＋犫狓是确定性函数，ε称为随机误差（ｒａｎｄｏｍｅｒｒｏｒ）． 随机误差产生的主要原因有：所用的确定性函数不恰当引起的 误差；忽略了某些因素的影响；存在观测误差． 我们将狔＝犪＋犫狓＋ε称为线性回归模型（ｌｉｎｅａｒｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎｍｏｄｅｌ）． 对于这样的线性回归模型，我们需要考虑下面两个问题： Ⅰ 模型是否合理； Ⅱ 在模型合理的情况下，如何估计犪，犫． 对于问题Ⅰ，可用线性相关性检验的方法处理．本书对相关性检 验的方法不作要求，只要根据相关系数作出判断． 对于问题Ⅱ，设有狀对观测数据（狓，狔）（犻＝１，２，３，…，狀），根据 犻 犻 线性回归模型，对于每一个狓，对应的随机误差项ε＝狔－（犪＋ 犻 犻 犻 犫狓），我们希望狔＝犪＋犫狓＋ε与狔＝犪＋犫狓越“接近”越好，即狘ε狘＋ 这里的｜ε｜就是 犻 １ 犻 狘ε狘＋…＋狘ε狘越小越好． 直线狔＝犪＋犫狓上的 ２ 狀 点（狓，犪＋犫狓）到点 由于狘ε狘＋狘ε狘＋…＋狘ε狘是绝对值之和的形式，这对进一步 犻 犻 １ ２ 狀 犘（狓，狔）的距离． 的运算与推导带来很多不便，而ε＋ε＋…＋ε很小并不表示｜ε｜＋ 犻 犻 犻 １ ２ 狀 １ ｜ε｜＋…＋｜ε｜很小，因此，通常用“ε２＋ε２＋…＋ε２ 越小越好”来代替 ２ 狀 １ ２ 狀 “｜ε｜＋｜ε｜＋…＋｜ε｜越小越好”． １ ２ 狀 ∑狀 于是，只要求出使犙（α， β ）＝ （狔－α－β狓）２取最小值时的α， 犻 犻 犻＝１ 读作“犪估计”． β 的值，分别将它们作为犪和犫的估计值，记为 ， ，其计算公式为 ∑狀 （∑狀 ）（∑狀 ） ∑狀 狀 狓狔－ 狓 狔 （狓－狓）（狔－狔） 犻犻 犻 犻 犻 犻 ＝ 犻＝１ 犻＝１ 犻＝１ ＝犻＝１ ， 烄 ∑狀 （∑狀 ） ∑狀 狀 狓２－ 狓２ （狓－狓）２ 烅 犻 犻 犻 （１） 犻＝１ 犻＝１ 犻＝１ 烆 ＝狔－ 狓， １∑狀 １∑狀 其中狓＝ 狓，狔＝ 狔．由此得到的直线 ＝ ＋ 狓称为这 狀 犻 狀 犻 犻＝１ 犻＝１ １４７选择性必修第二册 数学 狀对数据的回归直线，此直线方程称为线性回归方程（ｅｑｕａｔｉｏｎｏｆ ｌｉｎｅａｒｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ）．其中 称为回归截距， 称为回归系数， 称为回 归值． ， 的计算公式也可化为 ∑狀 狓狔－狀狓狔 犻犻 ＝犻＝１ ， 烄 ∑狀 狓２－狀（狓）２ 烅 犻 （１′） 犻＝１ 烆 ＝狔－ 狓． 我们把上述方法称为“最小二乘法”，推导过程见“链接”． 根据表９ １ １，可以求得我国城镇居民人均年可支配收入与人 均年支出的线性回归方程中的 ≈５０２．８６， ≈０．６７２２， 故线性回归方程为 狔＝０．６７２２狓＋５０２．８６． ∧ 回归直线如图９ １ １０所示． 图９ １ １０ 表９ １ ３是我国城镇居民人均年支出的实际观测值与由线性 回归方程求出的估计值的对照表： 表９ １ ３ 年 份 １９９０ ２０００ ２０１０ ２０１１ ２０１２ ２０１３ ２０１４ ２０１５ 观测值 １２７９ ４９９８ １３４７１１５１６１１６６７４１８４８８１９９６８２１３９２ 估计值 １５１８ ４７２４ １３３４８１５１６４１７０１５１８２９４１９８９２２１４７２ 从表９ １ ３可以看出，由回归方程得到的估计值与实际观测值差异 查阅相关资料，获 取当年我国农村居民 较小，比较可靠．因此，我们可以用该回归方程根据城镇居民人均年 人均可支配收入，并对 可支配收入来对城镇居民人均年支出进行估计． 人均支出进行估计． １４８９ 统 计 第 章 链 接 回 归 系 数 运用最小二乘法求回归直线方程时，如何确定犪，犫的估计值 ，呢？ 通常有两种推导方法． 方法１：（配方法） 为了求使犙（α， β ）取最小值时的α， β的值，我们对犙（α， β ）进行 如下变换． ∑狀 犙（α， β ）＝ （狔－β狓－α）２ 犻 犻 犻＝１ ｛ ｝ ＝ ∑狀 （狔－狔）＋［狔－（ β狓＋α）］－β （狓－狓）２ 犻 犻 犻＝１ ∑狀 ∑狀 ＝ （狔－狔）２＋狀［狔－（ β狓＋α）］２＋β２ （狓－狓）２＋ 犻 犻 犻＝１ 犻＝１ ∑狀 ２［狔－（ β狓＋α）］ （狔－狔）－ 犻 犻＝１ ∑狀 ∑狀 （狔－狔）＝０， ２β ［狔－（ β狓＋α）］ （狓 犻 －狓）－ 犻 犻＝１ 犻＝１ ∑狀 ∑狀 （狓－狓）＝０． ２β （狓－狓）（狔－狔） 犻 犻 犻 犻＝１ 犻＝１ ∑狀 ∑狀 ＝ （狔－狔）２＋狀［狔－（ β狓＋α）］２＋β２ （狓－狓）２－ 犻 犻 犻＝１ 犻＝１ ∑狀 ２β （狓－狓）（狔－狔） 犻 犻 犻＝１ ∑狀 ＝ （狔－狔）２＋狀［狔－（ β狓＋α）］２＋ 犻 犻＝１ ∑狀 熿 （狓－狓）（狔－狔）燄 ∑狀 犻 犻 （狓－狓）２β２－２β犻＝１ 犻 ∑狀 犻＝１ （狓－狓）２ 燀 燅 犻 犻＝１ ∑狀 ＝ （狔－狔）２＋狀［狔－（ β狓＋α）］２＋ 犻 犻＝１ ∑狀 熿 （狓－狓）（狔－狔）燄２ ∑狀 犻 犻 （狓－狓）２β－犻＝１ － 犻 ∑狀 犻＝１ （狓－狓）２ 燀 燅 犻 犻＝１ ［∑狀 ］ （狓－狓）（狔－狔）２ 犻 犻 犻＝１ ∑狀 （狓－狓）２ 犻 犻＝１ １４９选择性必修第二册 数学 ∑狀 ＝狀［狔－（ β狓＋α）］２＋ （狓－狓）２· 犻 犻＝１ ∑狀 熿 （狓－狓）（狔－狔）燄２ 犻 犻 ∑狀 β－犻＝１ ＋ （狔－狔）２－ ∑狀 犻 （狓－狓）２ 犻＝１ 燀 燅 犻 犻＝１ ［∑狀 ］ （狓－狓）（狔－狔）２ 犻 犻 犻＝１ ． ∑狀 （狓－狓）２ 犻 犻＝１ 上式中后两项与α， β无关，前两项为非负数，因此当且仅当前两 项的值都为０时，犙（α， β ）取最小值，即有 ∑狀 （狓－狓）（狔－狔） 犻 犻 β＝犻＝１ ， 烄 ∑狀 （狓－狓）２ 烅 犻 犻＝１ 烆 α＝狔－β狓． 此时的α， β的值作为犪，犫的估计值，记为 ， ，即 ∑狀 （狓－狓）（狔－狔） 犻 犻 ＝犻＝１ ， 烄 ∑狀 （狓－狓）２ 烅 犻 犻＝１ 烆 ＝狔－ 狓． 方法２：（求导法） ∑狀 犙（α， β ）＝ （狔－β狓－α） ２ 犻 犻 犻＝１ ∑狀 ＝ ［（狔－β狓） ２－２（狔－β狓）α＋α２ ］ 犻 犻 犻 犻 犻＝１ ［∑狀 ］ ∑狀 ＝狀α２－２ （狔－β狓）α＋ （狔－β狓） ２． 犻 犻 犻 犻 犻＝１ 犻＝１ 将β视为常数，则当犙（α， β ）关于α的导数为０时，犙（α， β ）取得 最小值． ∑狀 （狔－β狓） 犻 犻 即当α＝犻＝１ 时，犙（α， β ）的最小值为 狀 ∑狀 ［∑狀 ］ 狀 （狔－β狓） ２－ （狔－β狓）２ 犻 犻 犻 犻 犻＝１ 犻＝１ ． 狀 １５０９ 统 计 第 章 这是一个关于β的二次函数，其关于β的导数为０时，取得最小 值．即当 ∑狀 （∑狀 ）（∑狀 ） 狀 狓狔－ 狓 狔 犻犻 犻 犻 β＝ 犻＝１ 犻＝１ 犻＝１ ∑狀 （∑狀 ） 狀 狓２－ 狓２ 犻 犻 犻＝１ 犻＝１ 时，犙（α， β ）取得最小值，故取 ∑狀 （∑狀 ）（∑狀 ） 狀 狓狔－ 狓 狔 犻犻 犻 犻 ＝ 犻＝１ 犻＝１ 犻＝１ ， 烄 ∑狀 （∑狀 ） 狀 狓２－ 狓２ 犻 犻 烅 犻＝１ 犻＝１ ∑狀 （狔－ 狓） 犻 犻 烆 ＝犻＝１ ． 狀 以下略． 例３ 求例２中狓，狔的线性回归方程． 解 由表中数据可求得 ∑２０ ∑２０ 狓＝１０３６， 狔＝９７２．２， 犻 犻 犻＝１ 犻＝１ ∑２０ ∑２０ 狓２＝５５３１４， 狓狔＝５１７５２．３， 犻 犻犻 犻＝１ 犻＝１ 代入公式（１），求得回归系数 ２０×５１７５２．３－１０３６×９７２．２ ＝ ≈０．８４４３． ２０×５５３１４－１０３６２ ９７２．２ １０３６ ＝ －０．８４４３× ≈４．８７５３． ２０ ２０ 因此，线性回归方程为 狔＝４．８７５３＋０．８４４３狓． ∧ 例４ 表９ １ ４为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统 计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关 系．如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相 关关系，说明理由． 表９ １ ４ 机动车辆数狓／１０３辆 ９５ １１０ １１２ １２０ １２９ １３５ １５０ １８０ 交通事故数狔／１０３件 ６．２ ７．５ ７．７ ８．５ ８．７ ９．８ １０．２ １３ １５１选择性必修第二册 数学 解 计算相应的数据之和： ∑８ ∑８ 狓＝１０３１， 狔＝７１．６， 犻 犻 犻＝１ 犻＝１ ∑８ ∑８ ∑８ 狓２＝１３７８３５， 狔２＝６７１， 狓狔＝９６１１．７． 犻 犻 犻犻 犻＝１ 犻＝１ 犻＝１ 根据相关系数公式可得狉＝０．９９２７，故两变量之间具有很强的线 性相关关系．再由公式（１）计算得 ≈０．０７７４， ≈－１．０２４１． 因此，所求线性回归方程为 狔＝－１．０２４１＋０．０７７４狓． ∧ 例５ 统计学家Ｋ．Ｐｅａｒｓｏｎ收集了大量父亲和儿子的身高数 据，表９ １ ５是从中随机抽取的１０对父子的身高数据． 表９ １ ５ 父亲的身高狓／ｃｍ １５２．４ １５７．５ １６２．６ １６５．１ １６７．６ １７０．２ １７２．７ １７７．８ １８２．９ １８８．０ 儿子的身高狔／ｃｍ １６１．３ １６５．６ １６７．６ １６６．４ １６９．９ １７０．４ １７１．２ １７３．５ １７８．１ １７７．８ 试估计父亲身高为１６６ｃｍ时，他的儿子的身高． 解 根据表中数据画出散点图，如图９ １ １１所示． 图９ １ １１ 由表中数据可得 ∑１０ ∑１０ ∑１０ 狓＝１６９６．８， 狔＝１７０１．８， 狓２＝２８９０２１．１２， 犻 犻 犻 犻＝１ 犻＝１ 犻＝１ ∑１０ ∑１０ 狔２＝２８９８６６．０８， 狓狔＝２８９２８１．２７． 犻 犻犻 犻＝１ 犻＝１ 根据线性相关系数公式可得狉＝０．９８０１，说明父亲与儿子的身高 之间具有很强的线性相关关系． １５２９ 统 计 第 章 再由公式（１）计算得 ≈０．４６９１， ≈９０．５７７， 故线性回归方程为狔＝０．４６９１狓＋９０．５７７，当狓＝１６６时，狔＝ ∧ ∧ ０．４６９１×１６６＋９０．５７７≈１６８，即父亲身高为１６６ｃｍ时，他的儿子的 身高约为１６８ｃｍ． 思 考 上述结论是否说明，身高为１６６ｃｍ的父亲，其儿子的身高就一定 是１６８ｃｍ呢？ 英国著名统计学 首先，这个结论是对当地、当时的父子身高而言的，对其他地区 家高尔顿（Ｆ．Ｇａｌｔｏｎ， 或该地区的不同年代，这个结论不一定成立；其次，父亲身高为１６６ｃｍ １８２２—１９１１）研 究 发 现，高个子父亲有生高 时，他的儿子的身高不一定是１６８ｃｍ，因为人的身高还受到母亲的身 个子儿子的趋势，但一 高、生长的条件等多种因素的影响．上述结果说明：对于当地、当时的 群高个子父亲的儿子 们的平均身高要低于 父子而言，身高为１６６ｃｍ的父亲们，其儿子的身高大多在１６８ｃｍ附 父亲们的平均身高．类 似地，矮个子父亲有生 近，且平均身高约为１６８ｃｍ．因此，我们可以做出推断：父亲身高为 矮个子儿子的趋势，但 １６６ｃｍ时，他的儿子的身高一般在１６８ｃｍ左右． 一群矮个子父亲的儿 子们的平均身高要高 事实上，在线性回归方程狔＝ 狓＋ 中， 表示自变量狓每增加 ∧ 于父亲们的平均身高． 高尔顿将这种后代的 １个单位时因变量狔平均地增加 ，狔表示当自变量为狓时因变量狔 ∧ 身高向中间值靠近的 的平均值． 趋势称为“回归现象”． 信息技术 运用Ｅｘｃｅｌ可以方便地建立线性回归方程： （１）在工作表中输入数据，选中数据区，按“插入／图表／图表类 型／散点图”作出散点图； （２）观察发现，散点近似在一条直线上．右击数据系列以选定并 显示快捷菜单，选择“添加趋势线”，在６种类型中选择“线性”，在“选项” 中选定“显示公式”和“显示犚平方值”复选框，最后得到图９ １ １２． 图９ １ １２ １５３选择性必修第二册 数学 练 习 １为了探讨学生的物理成绩狔与数学成绩狓之间的关系，从某批学生中随机 抽取１０名学生的成绩（狓，狔）（犻＝１，２，…，１０），并已计算出∑１０ 狓＝７５８， 犻 犻 犻 犻＝１ ∑１０ 狓２＝５８７３２， ∑１０ 狔＝７７４， ∑１０ 狓狔＝５９６８６．试求： 犻 犻 犻犻 犻＝１ 犻＝１ 犻＝１ （１）物理成绩狔关于数学成绩狓的线性回归方程； （２）当数学成绩为９２分时，物理成绩狔的线性回归估计值． ２．某种产品的广告费支出狓与销售额狔之间有如下对应数据： 狓／１０６元 ２ ４ ５ ６ ８ 狔／１０６元 ３０ ４０ ６０ ５０ ７０ （１）画出散点图； （２）求出线性回归方程． ３．每立方米混凝土的水泥用量狓（单位：ｋｇ）与２８天后混凝土的抗压强度狔（单 位：ｋｇ／ｃｍ２）之间有如下对应数据： 狓／ｋｇ １５０ １６０ １７０ １８０ １９０ ２００ 狔／（ｋｇ／ｃｍ２） ５６．９ ５８．３ ６１．１ ６４．６ ６８．１ ７１．３ 狓／ｋｇ ２１０ ２２０ ２３０ ２４０ ２５０ ２６０ 狔／（ｋｇ／ｃｍ２） ７４．１ ７７．４ ８０．２ ８２．６ ８６．４ ８９．７ （１）画出散点图； （２）求出线性回归方程． 相 关 系 数 链 接 ∑狀 （狓－狓）（狔－狔） 犻 犻 由前面的“链接”可知，当β＝犻＝１ ，α＝狔－β狓 ∑狀 （狓－狓）２ 犻 犻＝１ ∑狀 时，犙（α， β ）＝ （狔－ ）２取得最小值，且最小值 犻 犻 犻＝１ ［∑狀 ］ （狓－狓）（狔－狔）２ ∑狀 犻 犻 犙（α， β ） ＝ （狔－狔）２－ 犻＝１ ｍｉｎ 犻 ∑狀 犻＝１ （狓－狓）２ 犻 犻＝１ ［∑狀 ］ 烄 （狓－狓）（狔－狔）２ 烌 ∑狀 犻 犻 ＝ （狔－狔）２烅１－ 犻＝１ 烍． 犻 ∑狀 ∑狀 犻＝１ 烆 （狓－狓） ２ （狔－狔）２烎 犻 犻 犻＝１ 犻＝１ 直观上看，我们可以感觉到犙（α， β ）的最小值越接近于０，线性回 １５４９ 统 计 第 章 ［∑狀 ］ （狓－狓）（狔－狔）２ 犻 犻 归模型就越合理，即１－ 犻＝１ 越接近于０越 ∑狀 ∑狀 （狓－狓） ２ （狔－狔）２ 犻 犻 犻＝１ 犻＝１ 好，也即 ∑狀 （狓－狓）（狔－狔） 犻 犻 犻＝１ （） 槡∑狀 （狓－狓）２ ∑狀 （狔－狔）２ 犻 犻 犻＝１ 犻＝１ 的绝对值越接近于１越好． 这说明，（）式可以表示狓与狔的线性相关的程度．这就是这狀 对数据的相关系数狉．｜狉｜越接近于１，狓与狔的线性相关性越强；｜狉｜ 越接近０，狓与狔的线性相关性越弱． 实习作业 选择适当课题，按下列步骤进行相关性研究： （１）收集数据（狓，狔），犻＝１，２，…，狀； 犻 犻 （２）根据所收集的数据绘制散点图； （３）求相关系数； （４）求线性回归方程； （５）对所求出的回归方程做出解释． 习题９．１ 感受·理解 １．某小吃店的日盈利狔（单位：百元）与当天平均气温狓（单位：℃）之间有如 下数据： 狓／℃ －２ －１ ０ １ ２ 狔／百元 ５ ４ ２ ２ １ 甲、乙、丙３位同学对上述数据进行了分析，发现狔与狓之间具有线性相关 关系，他们通过计算分别得到３个线性回归方程：①狔∧ ＝－狓＋２．８； ②狔∧＝－狓＋３；③狔∧＝－１．２狓＋２．６．其中正确的是 ．（填序号） ２．二手车车龄与其价格之间是正相关，还是负相关？为什么？（古董车除外） ３．车重与其每千米耗油量之间的相关系数是正还是负？为什么？ ４．某工厂在某年里每月产品的总成本狔（单位：万元）与月产量狓（单位：万 件）之间有如下一组数据： 狓／万件 １．０８１．１２１．１９１．２８１．３６１．４８１．５９１．６８１．８０１．８７１．９８２．０７ 狔／万元 ２．２５２．３７２．４０２．５５２．６４２．７５２．９２３．０３３．１４３．２６３．３６３．５０ １５５选择性必修第二册 数学 （１）画出散点图； （２）求相关系数； （３）求线性回归方程． ５某研究所研究耕种深度狓（单位：ｃｍ）与水稻每公顷产量狔（单位：ｔ）的关 系，所得数据资料如下表，试求每公顷水稻产量与耕种深度的相关系数和线 性回归方程． 耕种深度狓／ｃｍ ８ １０ １２ １４ １６ １８ 每公顷产量狔／ｔ ６．０ ７．５ ７．８ ９．２ １０．８ １２．０ ６．为了解发动机的动力狓（单位：ＰＨ）与排气温度狔（单位：℃）之间的关系， 某部门进行相关试验，得到如下数据： 狓／ＰＨ 狔／℃ 狓／ＰＨ 狔／℃ ４３００ ９６０ ４０１０ ９０７ ４６５０ ９００ ３８１０ ８４３ ３２００ ８０７ ４５００ ９２７ ３１５０ ７５５ ３００８ ６８８ ４９５０ ９９３ （１）求相关系数； （２）求线性回归方程； （３）估计当狓＝３１００时对应狔的值． ７．为测定湖中水的清洁程度，将一有刻度线的玻璃片放入水中直至完全看不 见刻度线，此时它与水表面的距离称为“Ｓｅｃｃｈｉ深度”．为了测量湖水被水藻 污染的程度，科学家要确定水中叶绿素的总浓度．在某一湖中，从四月至九 月每周四中午都测量Ｓｅｃｃｈｉ深度和叶绿素的总浓度．这两个变量间是正相 关还是负相关？简要说明理由． 思考·运用 ８对下面这组数据： 狓 １ ２ ３ ４ １０ １０ 狔 １ ３ ３ ５ １ １１ 计算相关系数，大概在０．５左右．对这组数据大部分点来说，狓与狔之间有 很强的线性相关关系．是什么因素导致相关系数只有０．５左右？ ９在彩色显像中，根据以往的经验，形成染料的光学密度狔与析出银的光学密 度狓之间存在关系式狔＝犪ｅ－犫（犫＞０）．现对狔与狓同时做１０次观测，获得 狓 １０对数据如下表，试根据表中数据，求出犪与犫的估计值． １５６９ 统 计 第 章 编号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 狓 ０．０５ ０．０６ ０．０７ ０．１０ ０．１４ ０．２０ ０．２５ ０．３１ ０．３８ ０．４３ 狔 ０．１０ ０．１４ ０．２３ ０．３７ ０．５９ ０．７９ １．００ １．１２ １．１９ １．２５ １０（操作题）用图形计算器绘制第１４４页例２中的散点图． （第１０题） 探究·拓展 １１下表是研究某品种小麦的施肥量与小麦产量之间关系时所获得的数据： 亩施肥量狓／ｋｇ ０ ２．５ ５ ７．５ １０ １２．５ １５ １７．５ ２０ 亩产量狔／ｋｇ ７６ １５０２０２．５２７３．５３２６．５ ３９６ ４３６ ４２０ ３９０ 可以求得狔与狓的线性相关系数约为０．９３７５，狔与狓具有很强的线性 相关关系．不过，从下面的散点图可以看出，当施肥量超过１５ｋｇ时，小麦产 量在下降，这与经验判断一致：过量施肥会降低农作物产量． （第１１题） （１）施肥量在怎样的范围内，线性回归模型的拟合效果比较好？ （２）感兴趣的同学可以查阅相关资料，尝试用二次函数模型进行拟合， 并与线性回归模型比较，看哪种模型更加符合本题中的现实问题． １５７９．２ 独立性检验 在日常生活中，人们常常关心两个分类变量（其“值”非数量，如 性别变量）之间是否有关系．例如， 某医疗机构为了解呼吸道疾病与吸烟是否有关，进行了一次抽 样调查，共调查了５１５个成年人，其中吸烟者２２０人，不吸烟者２９５ 人．调查结果是：吸烟的２２０人中，有３７人患呼吸道疾病（以下简称 患病），１８３人未患呼吸道疾病（以下简称未患病）；不吸烟的２９５人 中，有２１人患病，２７４人未患病． ● 根据这些数据能否断定：患呼吸道疾病与吸烟有关？ 为了研究这个问题，我们将上述数据用表９ ２ １表示． 表９ ２ １ 患 病 未患病 合 计 吸 烟 ３７ １８３ ２２０ 不吸烟 ２１ ２７４ ２９５ 合 计 ５８ ４５７ ５１５ 列联表是一个描 形如表９ ２ １的表格称为２×２列联表．由此表可以粗略地估 述两个分类变量分布 ３７ 计出：在吸烟的人中，有 ≈１６．８２％ 的人患病；在不吸烟的人中， 的频数表． ２２０ ２１ 有 ≈７．１２％ 的人患病．因此，从直观上可以得到结论：吸烟者与 ２９５ 不吸烟者患病的可能性存在差异． 上述结论给我们的印象是患病与吸烟有关，事实果真如此吗？ 能有多大的把握认为“患病与吸烟有关”呢？ 若将事件“某成年人吸烟”记为犃，事件“某成年人患病”记为犅， 则事件“某成年人不吸烟”为犃，事件“某成年人不患病”为犅．这样，回 答“患病与吸烟是否有关？”其实就是需要回答“事件犃与事件犅是否 独立？”． 为了回答这个问题，我们先做出判断“患病与吸烟没有关系”，即 提出如下假设 犎 称为原假设． 犎：患病与吸烟没有关系． ０ ０ 犎 不成立，即“患病与 ０ 由两个事件相互独立的充要条件，又可将上述假设记为 吸烟有关系”，称为备 择假设． 犎：犘（犃犅）＝犘（犃）犘（犅）． ０ １５８９ 统 计 第 章 这里的犘（犃），犘（犅）和犘（犃犅）的值都不知道，我们可以用频率 来代替概率，估计出犘（犃），犘（犅）和犘（犃犅）的值． 为了便于研究一般情况，我们将表９ ２ １中的数据用字母代 替，得到字母表示的２×２列联表（表９ ２ ２）． 表９ ２ ２ 患 病 未患病 合 计 吸 烟 犪 犫 犪＋犫 不吸烟 犮 犱 犮＋犱 合 计 犪＋犮 犫＋犱 犪＋犫＋犮＋犱 若设狀＝犪＋犫＋犮＋犱，则有 犪＋犫 犘（犃）≈ ， 狀 犪＋犮 犘（犅）≈ ， 狀 故 犪＋犫犪＋犮 犘（犃犅）≈ · ． 狀 狀 因此，在犎 成立的条件下，吸烟且患病的人数为 ０ 犪＋犫犪＋犮 狀·犘（犃犅）≈狀· · ． 狀 狀 同理可得：吸烟但未患病的人数为 犪＋犫犫＋犱 狀·犘（犃犅）≈狀· · ， 狀 狀 不吸烟但患病的人数为 犮＋犱 犪＋犮 狀·犘（犃犅）≈狀· · ， 狀 狀 不吸烟且未患病的人数为 犮＋犱犫＋犱 狀·犘（犃犅）≈狀· · ． 狀 狀 如果实际观测值与在事件犃，犅相互独立的假设下的估计值相 差不“大”，那么我们就可以认为这些差异是由随机误差造成的，假设 犎 不能被所给数据否定．否则，应认为假设犎 不能接受． ０ ０ 怎样描述实际观测值与估计值的差异呢？ 为此，考虑实际观测值与在事件犃，犅独立的假设下的估计值的 １５９选择性必修第二册 数学 差（表９ ２ ３）． 表９ ２ ３ 患 病 未患病 犪＋犫 犪＋犮 犪＋犫 犫＋犱 吸 烟 犪－狀· · 犫－狀· · 狀 狀 狀 狀 犮＋犱 犪＋犮 犮＋犱 犫＋犱 不吸烟 犮－狀· · 犱－狀· · 狀 狀 狀 狀 为了避免正负相消及消除样本容量对差异大小的影响，可以将 它们分别平方并除以对应的估计频数（即估计值），最后相加，得到 （ ） （ ） ２ 犪＋犫 犪＋犮 ２ 犪－狀· · 犪＋犫 犫＋犱 犫－狀· · 狀 狀 狀 狀 χ２读作“卡方”． χ２＝ ＋ 犪＋犫 犫＋犱 ＋ 犪＋犫 犪＋犮 狀· · 狀· · 狀 狀 狀 狀 （ ） （ ） ２ ２ 犮＋犱 犪＋犮 犮＋犱 犫＋犱 犮－狀· · 犱－狀· · 狀 狀 狀 狀 ＋ ， 犮＋犱 犪＋犮 犮＋犱 犫＋犱 狀· · 狀· · 狀 狀 狀 狀 化简，得 狀（犪犱－犫犮）２ χ２＝ ． （１） （犪＋犫）（犮＋犱）（犪＋犮）（犫＋犱） 统计学中通常采用统计量 χ２来刻画这个差异． 那么，如何根据 χ２统计量进行推断呢？统计学对随机变量 χ２的 概率分布有明确的结论，其概率密度曲线如图９ ２ １所示． 图９ ２ １ 根据表９ ２ １中的数据，利用公式（１）计算得 χ２ 的值为 １１．８６３４，这个值大不大呢？ １６０９ 统 计 第 章 统计学已有明确的结论：在 犎 成立的情况下，随机事件 ０ “ χ２≥６．６３５”发生的概率约为０．０１，即 犘（ χ２≥６．６３５）≈０．０１． （２） 也就是说，在犎 成立的情况下，对统计量 χ２ 进行多次观测，观 ０ 测值超过６．６３５的概率约为０．０１． 现在的 χ２＝１１．８６３４＞６．６３５，由（２）式可知，出现这样的观测值 χ２的概率不超过０．０１．因此，我们有９９％ 的把握认为犎 不成立，即 ０ 有９９％ 的把握认为“患呼吸道疾病与吸烟有关系”． 认为“患呼吸道疾病”与“吸烟”有关，是否指吸烟的成年人一定 思 考 会患呼吸道疾病？ 以上我们研究了吸烟与患呼吸道疾病是否有关的问题．用这种 方法还可以研究类似的问题，如花的颜色与花粉的形状是否有关、用 药效果与用药方式是否有关等．用 χ２统计量研究这类问题的方法称 为独立性检验（ｔｅｓｔｏｆｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ）． 上述进行独立性检验的思想是：要研究“患呼吸道疾病与吸烟有 关”（备择假设）这一结论的可靠程度，先假设该结论不成立，即假设 “患呼吸道疾病与吸烟没有关系”（原假设）成立，在该假设下构造 χ２ 统计量．如果 χ２ 的观测值很大，那么在一定程度上说明该假设不合 理．根据 χ２的含义，可以通过（２）式评价该假设不合理的程度．如果计 算出 χ２＞６．６３５，那么说明假设不合理的程度约为９９％，即“患呼吸道 疾病与吸烟有关系”这一结论成立的可信程度约为９９％． 一般地，对于两个分类变量Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值，即类犃和类犅（如 吸烟与不吸烟）；Ⅱ也有两类取值，即类１和类２（如患呼吸道疾病和未患 呼吸道疾病）．我们得到如下列联表所示的抽样数据（表９ ２ ４）： 表９ ２ ４ Ⅱ 类 １ 类 ２ 合 计 类犃 犪 犫 犪＋犫 Ⅰ 类犅 犮 犱 犮＋犱 合 计 犪＋犮 犫＋犱 犪＋犫＋犮＋犱 要推断“Ⅰ与Ⅱ有关系”，可按下面的步骤进行： （１）提出假设犎：Ⅰ与Ⅱ没有关系； ０ １６１选择性必修第二册 数学 （２）根据２×２列联表与公式（１）计算 χ２的值； （３）根据临界值（表９ ２ ５），做出判断． 表９ ２ ５ 犘（χ２≥狓） ０．５０ ０．４０ ０．２５ ０．１５ ０．１０ ０．０５ ０．０２５０．０１００．００５０．００１ ０ 狓 ０．４５５０．７０８１．３２３２．０７２２．７０６３．８４１５．０２４６．６３５７．８７９１０．８２８ ０ 例如： （１）若 χ２＞１０．８２８，则有９９．９％的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”； （２）若 χ２＞６．６３５，则有９９％ 的把握认为“Ⅰ 与 Ⅱ 有关系”； （３）若 χ２＞２．７０６，则有９０％的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”； （４）若 χ２ ≤２．７０６，则认为没有充分的证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关 系”，但也不能得出结论“犎 成立”，即Ⅰ与Ⅱ没有关系． ０ 由《数学（必修第二册）》学习的内容可知，用样本估计总体时，由 在实际应用中， 于抽样的随机性，结果并不唯一．因此，由某个样本得到的推断有可 通常要求犪，犫，犮，犱 能正确，也有可能错误．利用 χ２进行独立性检验，可以对推断的正确 均不小于５． 性的概率做出估计，狀越大，这个估计越准确． 例１ 在５００人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们１ 年中的感冒记录与另外５００名未用血清的人的感冒记录进行比较，结 果如表９ ２ ６所示．问：该种血清对预防感冒是否有作用？ 表９ ２ ６ 未 感 冒 感 冒 合 计 使用血清 ２５８ ２４２ ５００ 未使用血清 ２１６ ２８４ ５００ 合 计 ４７４ ５２６ １０００ 解 提出假设 在使用该血清的 人 中 患 感 冒 率 为 犎：感冒与是否使用该种血清没有关系． ０ ４８．４％，在未使用该 根据列联表中的数据，可以求得 血清的人中患感冒率 为５６．８％，两者可能 χ２＝ １０００×（２５８×２８４－２４２×２１６）２ ≈７．０７５． ５００×５００×４７４×５２６ 存在差异．用独立性 检验可以得到明确的 因为当犎 成立时， χ２ ≥６．６３５的概率约为０．０１，所以我们有 ０ 结论． ９９％的把握认为，该种血清能起到预防感冒的作用． 探 究 用χ２进行独立性检验时，当抽取的样本量很小时，其结论是否可 靠？有兴趣的同学可以查阅有关资料来了解相关知识． １６２９ 统 计 第 章 例２ 为研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效 与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果如表９ ２ ７所 示．根据所选择的１９３个病人的数据，能否做出药的效果与给药方式 有关的结论？ 表９ ２ ７ 有 效 无 效 合 计 口 服 ５８ ４０ ９８ 注 射 ６４ ３１ ９５ 合 计 １２２ ７１ １９３ 解 提出假设 犎：药的效果与给药方式没有关系． ０ 根据列联表中的数据可以求得 １９３×（５８×３１－４０×６４）２ χ２＝ ≈１．３８９６＜２．０７２． ９８×９５×１２２×７１ 因为当犎 成立时， χ２≥１．３８９６的概率大于１５％，这个概率比 ０ 较大，所以根据目前的调查数据，不能否定假设犎，即不能做出药的 ０ 效果与给药方式有关的结论． 例３ 气管炎是一种常见的呼吸道疾病．医药研究人员对两种 中草药治疗慢性气管炎的疗效进行了对比，所得数据如表９ ２ ８所 示．问：它们的疗效有无差异？ 表９ ２ ８ 有 效 无 效 合 计 复方江剪刀草 １８４ ６１ ２４５ 胆 黄 片 ９１ ９ １００ 合 计 ２７５ ７０ ３４５ 解 提出假设 犎：两种中草药的治疗效果没有差异， 从药物的有效性 ０ 看，例２、例３都有差 即病人使用这两种药物中何种药物对疗效没有明显差异． 异，只是差异的程度略 根据列联表中的数据可以求得 有区别．独立性检验可 ３４５×（１８４×９－６１×９１）２ χ２＝ ≈１１．０９８． 以做出更精细的推断． ２４５×１００×２７５×７０ 因为当犎 成立时，犘（ χ２ ≥１０．８２８）≈０．００１，这里的 χ２ ≈ ０ １１．０９８＞１０．８２８，所以我们有９９．９％ 的把握认为，两种药物的疗效 有差异． １６３选择性必修第二册 数学 信息技术 利用ＧＧＢ解决卡方检验问题的步骤（以例３为例）： （１）在工作表中输入数据，选中数据区Ｂ２：Ｃ３后右击，选择“创 建／矩阵”，得到“矩阵１”； （２）在输入框中输入“卡方检验［矩阵１］”，得到“列表１”，它表明 犘（ χ２≥１１．０９８）≈０．０００８６（图９ ２ ２）． 图９ ２ ２ 练 习 １．某桑场为了解职工发生皮炎是否与采桑有关，对其工作人员进行了一次调 查，结果如下表．问：发生皮炎是否与采桑有关？ 采 桑 不 采 桑 合 计 患 皮 炎 １８ １２ ３０ 未患皮炎 ４ ７８ ８２ 合 计 ２２ ９０ １１２ ２．为了鉴定新疫苗的效力，将６０只豚鼠随机地分为两组，在其中一组接种疫苗 后，两组都注射了病源菌，其结果列于下表．问：能否有９０％的把握认为新疫 苗有效？ 发 病 没 发 病 合 计 接 种 ３ ２７ ３０ 没接种 １７ １３ ３０ 合 计 ２０ ４０ ６０ 习题９．２ 感受·理解 １．某医疗研究机构为了解打鼾与患心脏病的关系，进行了一次抽样调查，得到 如下数据．问：打鼾与患心脏病是否有关？ 患心脏病 未患心脏病 合 计 每一晚都打鼾 ３０ ２２４ ２５４ 不 打 鼾 ２４ １３５５ １３７９ 合 计 ５４ １５７９ １６３３ １６４９ 统 计 第 章 ２．为了解小麦种子是否灭菌与小麦发生黑穗病的关系，经试验观察，得到如下 数据．根据这组数据，能否认为发生黑穗病与种子是否灭菌有关？ 种子灭菌 种子未灭菌 合 计 有黑穗病 ２６ １８４ ２１０ 无黑穗病 ５０ ２００ ２５０ 合 计 ７６ ３８４ ４６０ ３．下表所示的是关于１１岁儿童患花粉热与湿疹情况的调查数据．若按９５％的 可靠性的要求，则对１１岁儿童能否做出花粉热与湿疹有关的结论？ 患花粉热 未患花粉热 合 计 患 湿 疹 １４１ ４２０ ５６１ 未患湿疹 ９２８ １３５２５ １４４５３ 合 计 １０６９ １３９４５ １５０１４ 思考·运用 ４．一个随机抽取的样本包括１１０位女士和９０位男士，女士中约有９％是左利 手，男士中约有１１％是左利手．基于这些数据，你认为在样本所代表的总体 中，左利手与性别有关吗？为什么？ 探究·拓展 ５．“使用动物做医学实验是正确的，这样做能够挽救人的生命”．某机构调查了 １１５２位成年人对这种说法的态度，以下是调查对象回答情况的列联表： 回答情况 男性 女性 同意 ３４６ ３０６ 不置可否 ８７ １３９ 不同意 ８３ １９１ （１）用适当的方式描述男性与女性对该问题态度的差异（比例、图或文字 均可）． （２）你能用独立性检验的思想方法研究“男性与女性对该问题态度的差异” 吗？如果希望解决这个问题，请在独立研究的基础上，查阅相关资料，给 出你的结论． １６５选择性必修第二册 数学 应用与建模 区 分 蠓 蚊 １９８１年，生物学家Ｗ．Ｌ．Ｇｒｏｇａｎ和Ｗ．Ｗ．Ｗｉｒｔｈ在巴西的丛林 里发现了两种新的叮咬型昆虫，它们被称为蠓蚊．他们给其中一种起 名为Ａｐｆ蚊，另一种起名为Ａｆ蚊．生物学家发现，Ａｐｆ蚊是一种衰竭 性疾病的载体，当人们被受感染的蚊叮咬后，将导致脑肿胀，并可能 引起永久性残疾．而另一种蚊Ａｆ是无害的．为了区分这两个物种，生 物学家开始测量他们捉住的这两种蚊．最容易获得的２个尺寸是翅膀 的长度和触角的长度（单位：ｃｍ）． Ａｆ蚊的翅膀长度与触角长度 翅膀长度／ｃｍ １．７２ １．６４ １．７４ １．７０ １．８２ １．８２ １．９０ １．８２ ２．０８ 触角长度／ｃｍ １．２４ １．３８ １．３６ １．４０ １．３８ １．４８ １．３８ １．５４ １．５６ Ａｐｆ蚊的翅膀长度与触角长度 翅膀长度／ｃｍ １．７８ １．８６ １．９６ ２．００ ２．００ １．９６ 触角长度／ｃｍ １．１４ １．２０ １．３０ １．２６ １．２８ １．１８ （１）基于翅膀长度和触角长度来区分Ａｆ蚊和Ａｐｆ蚊可行吗？ （２）如果可行，请用你的方法基于翅膀长度和触角长度来区分这 三只新蚊（１．８０，１．２４），（１．８４，１．２８），（２．０４，１．４０）（前一坐标是翅 膀长度，后一坐标是触角长度）． 阅 读 世界一流的统计学家———许宝 ! 许宝 （１９１０—１９７０），被公认为在数理统计和概率论方面第一 ! 个具有国际声望的中国数学家．他的像片悬挂在斯坦福大学统计系 的走廊上，只有世界一流的统计学家才有这样的资格． １９２９年许宝 考入清华大学数学系，１９３３年毕业并获理学学士 ! 学位，经考试获得赴英留学资格，但体检时发现体重太轻不合格，未 能成行． １９３６年他再次经考试获得赴英留学资格，被派往伦敦大学学院 （ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＣｏｌｌｅｇｅＬｏｎｄｏｎ），在统计系学习数理统计，攻读博士学 位．１９３８年获得了哲学博士学位．在２０世纪３０年代后期，他先后发 许宝 （１９１０—１９７０） ! 表了多篇重要论文，对统计学相关分支起到了奠基作用，并因此于 １９４０年获得了科学博士学位． 抗日战争爆发后，他于１９４０年回到了遭到战争创伤的祖国，赴昆 明任教于西南联合大学数学系． １９４５年秋，应美国加州大学伯克利分校和哥伦比亚大学的联合 邀请，许宝 前往美国任访问教授．１９４６年秋，在北卡罗莱纳大学统 ! １６６９ 统 计 第 章 计系任职．一年后，他谢绝了一些大学的聘任，回到北京大学任教授． 回国后不久他发现自己患肺结核病，但仍长期带病工作，教学科 研一直未间断，在矩阵论、概率论和数理统计方面发表了１０余篇 论文． 到１９５０年代末，他身患多种疾病，行动已非常不便，但仍坚持工 作．他在卧室的外间挂了一块黑板，继续给本科高年级学生、研究生 和青年教师讲课．１９６０年代初，他虚弱到每次只能在黑板前站立四五 分钟，但仍没有停止教学．可以说，中国的概率论、数理统计的教学与 研究工作就是由许宝 开创的． ! １９５５年，许宝 当选为中国科学院学部委员．１９６３年他的肺病 ! 已非常严重，组织屡次安排他休养，他均谢绝，并且一个人领导３个讨 论班（平稳过程、马氏过程、数理统计），带领青年人搞科研． １９７０年１２月１８日，许宝 在其简陋的住所溘然长逝．床前小茶 ! 几上所留下的是一叠叠计算草稿和那支使用多年的帕克钢笔． 许宝 在统计推断和多元分析等方面做了一系列开创性工作， ! 把许多数学中的分支，如矩阵论、函数论、测度论等引进统计学，使统 计学中的许多问题的理论基础更加深厚．从１９４１年到１９４５年，他在 生物统计学（Ｂｉｏｍｅｔｒｉｋａ）、伦敦数学期刊（Ｊ．ＬｏｎｄｏｎＭａｔｈ．）、数理统 计年鉴（Ａｎｎ．Ｍａｔｈ．Ｓｔａｔ．）等许多国际权威性刊物上发表了十多篇 有关数理统计等方面的开创性文章．他在内曼 皮尔逊理论、参数估计 理论、多元分析、极限理论等方面取得了卓越成就，是多元统计分析 学科的开拓者之一． 写 作 概率与统计的发展 收集概率与统计形成与发展的历史资料，撰写论文，论述概率与 统计发展的过程、重要的结果，概率与统计发展中的重要人物、事件 及其对人类文明的贡献． １６７选择性必修第二册 数学 本章回顾 本 章 概 览 本章在《数学（必修第二册）》所学的统计知识的基础上，结合典 型案例学习了几种常用统计方法的基本思想及其初步应用． 本章主要讨论了如何运用样本数据对总体进行分析、估计和预 测．线性回归分析用相关系数对两个数值变量之间的线性相关程度 进行了较为精细的刻画，运用线性回归方程可以根据已知量对相关 量进行估计．独立性检验通过χ２ 统计量，运用假设检验的方法，研究 了两个分类变量之间是否有关系这一在医学、社会经济、生活以及科 学技术等方面具有重要意义的问题． 统计学在现代社会中有着广泛的应用．在本章学习的过程中，要 充分领会统计分析的基本思想，了解统计方法的基本特点． 复 习 题 感受·理解 １某医院用光电比色计检验尿汞时，得到尿汞含量狓（单位：ｍｇ／Ｌ）与消光系数 狔的资料如下表： 尿汞含量狓／（ｍｇ／Ｌ） ２ ４ ６ ８ １０ 消光系数狔 ６４ １３８ ２０５ ２８５ ３６０ １６８９ 统 计 第 章 （１）求狓和狔之间的相关系数狉； （２）求狔关于狓的线性回归方程； （３）估计当尿汞含量为７ｍｇ／Ｌ时的消光系数． ２．在森林学中，树腰直径狓（容易测量）常用来预测树的高度狔（难直接度量）． 下表数据是３６个白云杉样本的树腰直径（单位：ｃｍ）和高度（单位：ｍ）： 树腰直径狓／ｃｍ 高度狔／ｍ 树腰直径狓／ｃｍ 高度狔／ｍ １８．９ ２０．０ １６．６ １８．８ １５．５ １６．８ １５．５ １６．９ １９．４ ２０．２ １３．７ １６．３ ２０．０ ２０．０ ２７．５ ２１．４ ２９．８ ２０．２ ２０．３ １９．２ １９．８ １８．０ ２２．９ １９．８ ２０．３ １７．８ １４．１ １８．５ ２０．０ １９．２ １０．１ １２．１ ２２．０ ２２．３ ５．８ ８．０ ２３．６ １８．９ ２０．７ １７．４ １４．８ １３．３ １７．８ １８．４ ２２．７ ２０．６ １１．４ １７．３ １８．５ １９．０ １４．４ １６．６ ２１．５ １９．２ １３．４ １２．９ １４．８ １６．１ １７．８ １７．５ １７．７ １９．９ ２０．７ １９．４ ２１．０ ２０．４ １３．３ １５．５ １５．９ １７．６ ２２．９ １９．２ （１）用计算器求出相关系数． （２）狔与狓是否具有线性相关关系？若有线性相关关系，试估计树腰直径为 ２０ｃｍ时树高大约为多少米？若没有线性相关关系，试说明理由． ３６６名学生的英语考试成绩与数学考试成绩如下表所示，根据该班６６人成绩 的数据，能否有９５％的把握认为英语成绩与数学成绩有关？ 及 格 不 及 格 合 计 英 语 ６１ ５ ６６ 数 学 ５７ ９ ６６ 合 计 １１８ １４ １３２ １６９选择性必修第二册 数学 思考·运用 ４．某地区对本地企业进行了一次抽样调查，下表是这次抽查中所得到的各企业 的人均资本狓（单位：万元）与人均产值狔（单位：万元）的数据： 人均资本 ３ ４ ５．５ ６．５ ７ ８ ９ １０．５ １１．５ １４ 狓／万元 人均产值 ４．１２４．６７８．６８１１．０１１３．０４１４．４３１７．５０２５．４６２６．６６４５．２０ 狔／万元 （１）设狔与狓之间具有近似关系狔≈犪狓犫（犪，犫为常数），试根据表中数据估 计犪和犫的值； （２）估计企业人均资本为１６万元时的人均产值（精确到０．０１）． 探究·拓展 ５．下面的表里是统计学家安斯库姆（Ｆ．Ａｎｓｃｏｍｂｅ）所提供的四组数据．这四组 数据的线性相关系数非常接近，均约等于０．８１６１，它们的线性回归方程也基 本一致，均可表示为狔＝３＋０．５狓． 数据组Ａ 狓 １０ ８ １３ ９ １１ １４ ６ ４ １２ ７ ５ 狔 ８．０４６．９５７．５８８．８１８．３３９．９６７．２４４．２６１０．８４４．８２５．６８ 数据组Ｂ 狓 １０ ８ １３ ９ １１ １４ ６ ４ １２ ７ ５ 狔 ９．１４８．１４８．７４８．７７９．２６８．１０６．１３３．１０９．１３７．２６４．７４ 数据组Ｃ 狓 １０ ８ １３ ９ １１ １４ ６ ４ １２ ７ ５ 狔 ７．４６６．７７１２．７４７．１１７．８１８．８４６．０８５．３９８．１５６．４２５．７３ 数据组Ｄ 狓 ８ ８ ８ ８ ８ ８ ８ ８ ８ ８ １９ 狔 ６．５８５．７６７．７１８．８４８．４７７．０４５．２５５．５６７．９１６．８９１２．５０ （１）这四组数据的线性相关程度真的如此一致吗？ （２）对哪个（些）组的数据，可以用回归直线来预测狓＝１０时的狔值？ （３）分别对四组数据提出自己的见解． １７０本章测试 一、填空题 １．如果狓，狔之间的一组数据如下表所示，那么回归直线必过的一个定点坐标 是 ． 狓 ０ １ ２ ３ 狔 １ ２ ５ ８ ２．下表中的数据是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，那么女性青 年观众喜欢戏剧的频率与男性青年观众喜欢戏剧的频率的比值是 ． 不喜欢戏剧 喜欢戏剧 合 计 男性青年观众 ４０ １０ ５０ 女性青年观众 ４０ ６０ １００ 合 计 ８０ ７０ １５０ ３．某单位通过对数据的统计与分析得知，日用电量狔（单位：ｋＷ·ｈ）与当天 平均气温狓（单位：℃）之间线性相关，且线性回归方程为 ＝－２狓＋６０．据 此可以预测，当平均气温为－４℃时，日用电量的度数约为 ． ４．已知变量狔与狓线性相关，若狓－＝５，狔－＝５０，且狔与狓的线性回归直线的 斜率为６．５，则线性回归方程是 ． ５．为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验后得到如下数据．经过计 算得 χ２≈６．９７９，根据 χ２临界值表，可以认为该种药物对预防疾病有效果 的把握为 ． 患 病 未 患 病 合 计 服 用 药 １０ ４６ ５６ 未服用药 ２２ ３２ ５４ 合 计 ３２ ７８ １１０ ６．已知狓，狔的取值如下表所示，从散点图分析可知狔与狓线性相关，如果线 性回归方程为 ＝０．９５狓＋２．６，那么表格中的数据犿的值为 ． 狓 ０ １ ３ ４ 狔 ２．２ ４．３ ４．８ 犿 二、解答题 ７．某中学对５０名学生的学习兴趣和主动预习情况进行了长期的调查，得到的 统计数据如下表所示．试运用独立性检验的思想方法判断：是否有９９％以 上的把握认为，学生的学习兴趣与主动预习有关． １７１选择性必修第二册 数学 主动预习 不太主动预习 合 计 学习兴趣高 １８ ７ ２５ 学习兴趣一般 ６ １９ ２５ 合 计 ２４ ２６ ５０ 狓－ ＝７７．５，狔－ ＝８５， ８．为了对某班考试成绩进行分析，现从全班同学中随机抽取８位，他们的数 ∑８ 学、物理成绩如下表所示．根据表中数据分析：变量狓与狔是否具有线性相 （狓－狓－）２＝１０５０， 犻 关关系． 犻＝１ ∑８ （狔－狔－）２ ＝４５６， 学生编号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 犻 犻＝１ ∑８ 数学分数狓 ６０ ６５ ７０ ７５ ８０ ８５ ９０ ９５ （狓－狓－）（狔－狔－） 犻 犻 犻＝１ 物理分数狔 ７２ ７７ ８０ ８５ ８８ ９０ ９３ ９５ ＝ ６８５，槡１０５０ ≈ ３２．４，槡４５６≈２１．４． ９．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别 到气象局与某医院抄录了１～６月份每月１０日的昼夜温差情况与因患感冒 而就诊的人数，得到如下资料： １月 ２月 ３月 ４月 ５月 ６月 日 期 １０日 １０日 １０日 １０日 １０日 １０日 昼夜温差狓／℃ １０ １１ １３ １２ ８ ６ 就诊人数狔 ２２ ２５ ２９ ２６ １６ １２ 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这６组数据中选取２组，用剩下的 ４组数据求线性回归方程，再用被选取的２组数据进行检验． （１）若选取的是１月与６月的两组数据，请根据２～５月份的数据，求出狔关 于狓的线性回归方程 ＝ 狓＋ ． （２）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超 过２人，则认为得到的线性回归方程是理想的．问：该小组所得线性回 归方程是否理想？ １０．下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量狓（单位：ｔ）与 相应的生产能耗狔（单位：ｔ标准煤）的几组对应数据： 狓／ｔ ３ ４ ５ ６ 狔／ｔ标准煤 ２．５ ３ ４ ４．５ （１）请画出表中数据的散点图，并求出狔关于狓的线性回归方程 ＝ 狓＋ ； （２）已知该厂技术改造前１００ｔ产品的生产能耗为９０ｔ标准煤，试根据（１） 中求出的线性回归方程，预测该厂技术改造后１００ｔ产品的生产能耗比 技术改造前降低了多少ｔ标准煤． １７２数学建模与数学探究 专题 专题 数学建模与数学探究 计算机技术的高速发展，使大量随机抽样试验可以在计算机上 实现，从而使模拟方法建模有了技术的保证和可能． 计算机随机模拟方法，又称为蒙特卡罗（ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ）方法，蒙特 １９４６年，美国物 卡罗方法的基本思想是：为解决数学、物理、工程技术以及生产管理 理学家、数学家冯·诺 等方面的问题，首先建立一个概率模型或随机过程，使它的参数等于 依曼（ＶｏｎＮｅｕｍａｎｎ） 在第一台电子计算机 问题的解，然后通过对模型或过程的观察或抽样试验来计算所求参 上模拟了中子的连锁 数的统计特征，最后给出所求问题的近似解． 反应，并把这种方法称 用蒙特卡罗方法可以解决的问题主要分为两类．第一类是确定 为“蒙特卡罗方法”． 性的数学问题，即建模对象的行为是确定的．主要做法是构造一个概 率模型，使所求的解就是所建立的模型的概率分布或数学期望（如计 算面积、体积，解方程等）．第二类是随机性问题，即建模对象的行为 是随机的．主要做法是根据实际情况的概率法则，用计算机进行抽样 试验，从而得出规律性的结论（如库存问题、排队问题等）． 运用蒙特卡罗方法可以解决其他方法无法解决的实际问题，对 理论研究也有补充及辅助作用． 案例分析 １．（面积问题）用蒙特卡罗方法求曲线狔＝ｓｉｎ狓（狓∈［０，π］）与 狓轴所围区域的面积． ◆ 构造概率模型 在矩形区域犇＝｛（狓，狔）狘０≤狓≤π，０≤狔≤１｝中随机投一 个点，此点落在区域犛＝｛（狓，狔）狘０≤狓≤π，０≤狔≤ｓｉｎ狓｝（图１ 中的阴影部分）的概率为 犛的面积 狆＝ ． 犇的面积 图１ 让计算机在区域犇中产生狀个均匀分布的随机点，统计出这狀 个点中落在区域犛中的点的个数（记为犿），则 犿 狆≈ ， 狀 犿 π犿 故犛的面积 ≈ ·犇的面积 ＝ ． 狀 狀 ◆ 操作与模拟 我们利用ＧＧＢ来实现上述模拟． １７３选择性必修第二册 数学 （１）画矩形及正弦线：在指令栏内输入“多边形 ［（０，０），（π， ０），（π，１），（０，１）］”，画出矩形；输入“函数［ｓｉｎ（狓），０，π］”，画出正 弦函数狔＝ｓｉｎ狓（狓∈ ［０，π］）． （２）建立参数：选择“滑动条”，设置参数狀（投点数），最小值０， 最大值１０００００，增量１００． 随机函数“ｒａｎｄｏｍ （３）投点：输入“序列［（πｒａｎｄｏｍ（），ｒａｎｄｏｍ（）），犻，１，狀］”， （）”产生０到１之间 得到狀个有序数对（列表１），这些点均匀随机地出现在矩形内． 的随机数． （４）计数和估计：输入“犿＝条件计数［狔（犻）＜ｓｉｎ（狓（犻）），犻，列 表１］”以及“犛＝π犿／狀”，即得所求面积的估计值． 拖动滑动条狀，观察模拟的效果及估计的结果．图２为模拟次数 狀＝１０００时的效果． 图２ 增加模拟次数，可以发现结果与２非常接近．因此，可以估计所求 区域的面积为２． 利用选修中的微积分知识，可以求出曲线狔＝ｓｉｎ狓（狓∈［０，π］） 与狓轴所围区域的面积为２．但当某图形面积用微积分方法难以计算 时，用蒙特卡罗方法仍然可以很方便地进行估计． 案例分析 ２．（报亭问题）有一个报亭，每天早上从报刊发行处购进报纸后 零售，每卖出一份报纸可赚０．２元．若晚上报纸卖不完，则可再退回发 行处，此时每退一份报纸要赔０．４元．报亭若购进的报纸太少，则不够 卖，会少赚钱；若购进的报纸太多，则卖不完，会赔钱．请为报亭筹划 一下，应该如何确定每天购进报纸的数量，使得期望收益达到最大． ◆ 分析与假设 显然，应该根据需求量确定购进量，每天的需求量是随机的，报 亭可以根据以往对报纸的需求量的统计，估计每天能卖出犽份报纸的 概率狆． 犽 设报亭每天购进量为狀份，而报纸每天的需求量为狉份，狉为随 机变量，其概率分布为 １７４数学建模与数学探究 专题 犘｛狉＝犽｝＝狆，犽＝０，１，２，… 犽 若这天的需求量狉＜狀，则售出狉份，退回（狀－狉）份；若这天的需 求量狉≥狀，则狀份报纸将全部售完．因此，期望收益为 ∑狀 ∑＋∞ 犔（狀）＝ ［０．２犽－０．４（狀－犽）］狆＋ ０．２狀狆． 犽 犽 犽＝１ 犽＝狀＋１ 我们的目标是找到能使犔（狀）取最大值时的狀． 当需求量狉的概率分布已知且不太复杂时，我们可以运用本册 ８．２节的知识求解．而当需求量狉的概率分布比较复杂时，用解析的 方法求解就有些困难了．此时，可以用随机模拟的方法来探求． 假设该报亭根据对以往报纸的需求量的统计，估计出每天能卖 出犽份报纸的概率狆如表１所示． 犽 表１ 报亭每天能卖出犽份报纸的概率 犽 ３００ ３５０ ４００ ４５０ ５００ ５５０ ６００ ６５０ ７００ 狆 ０．０２５ ０．０５ ０．１ ０．１７５ ０．３ ０．１７５ ０．１ ０．０５ ０．０２５ 犽 给定一个购进量狀，让计算机产生随机数狉： 烄３００， ０≤狓＜０．０２５； ３５０， ０．０２５≤狓＜０．０７５； ４００， ０．０７５≤狓＜０．１７５； ４５０， ０．１７５≤狓＜０．３５０； 狉＝烅５００， ０．３５０≤狓＜０．６５０； ５５０， ０．６５０≤狓＜０．８２５； ６００， ０．８２５≤狓＜０．９２５； ６５０， ０．９２５≤狓＜０．９７５； 烆７００， ０．９７５≤狓≤１． 其中，狓是区间［０，１］上的均匀随机数． 判断狉是否小于狀．若狉＜狀，则说明有（狀－狉）份报纸卖不掉，当天 的利润为［０．２狉－０．４（狀－狉）］元；若狉≥狀，则狀份报纸全部能卖完，利 润为０．２狀元． 通过多次模拟，可以计算出在购进量为狀的情况下，每天的平均 利润．对不同的狀进行搜索，就可以找到最佳购进量． ◆ 操作与模拟 设犜０为预定模拟的天数，狀为订报量，狀０为最优订报量，犕为订 报量狀的上界估计值，犔为累计利润值，犔０为利润初始值． 在ＥｘｃｅｌＶＢＡ中编写程序，当犜０＝１００００，犕＝８００，犔０＝６０时 的模拟结果如图３所示，估计最优订报量约为４５０份． １７５选择性必修第二册 数学 Ｒｎｄ 为 Ｅｘｃｅｌ ＶＢＡ中的随机函数， 产生０到１之间的随 机数． 图３ 用上述方法不难求出在每天报纸需求量服从任意分布的情况 下，使报亭期望利润最大的报纸购进量，而且对该报亭问题模拟系统 适当修改，可用于企业的订货和库存策略研究． 课题推荐 借助信息技术解决实际问题（建立数学模型、求数值解、进行计 算机模拟）或研究数学问题（探索、猜想、求解、验证），可以提高数学 建模和数学探究活动的有效性．结合本册学习内容以及本专题案例， 以下课题供同学们研究讨论． （１）已知单位圆的面积等于π，试用蒙特卡罗方法探求π的近似 值（模拟向正方形内随机投点的过程，通过计算落在正方形内切圆内 的点数与落在正方形内的点数之比，以此估计π）． （２）如何用最基本的随机函数Ｒｎｄ（区间［０，１］中的均匀随机 数）产生二项分布的一个随机数？ （３）小明与小强玩一个投篮游戏，两人的投篮命中率均为５０％． 小明先投，若投中，则小明赢；否则由小强投，若投中，则小强赢；否则 由小明接着投，直到有一人投中为止．问：此游戏是否公平？如果不 公平，那么，小明与小强赢得比赛的概率分别是多少？试用蒙特卡罗 方法模拟这一游戏过程． １７６犘（犣≤狕） 附录 标准正态分布 数值表 狕 ０．００ ０．０１ ０．０２ ０．０３ ０．０４ ０．０５ ０．０６ ０．０７ ０．０８ ０．０９ ０．００．５０００ ０．５０４０ ０．５０８０ ０．５１２０ ０．５１６０ ０．５１９９ ０．５２３９ ０．５２７９ ０．５３１９ ０．５３５９ ０．１０．５３９８ ０．５４３８ ０．５４７８ ０．５５１７ ０．５５５７ ０．５５９６ ０．５６３６ ０．５６７５ ０．５７１４ ０．５７５３ ０．２０．５７９３ ０．５８３２ ０．５８７１ ０．５９１０ ０．５９４８ ０．５９８７ ０．６０２６ ０．６０６４ ０．６１０３ ０．６１４１ ０．３０．６１７９ ０．６２１７ ０．６２５５ ０．６２９３ ０．６３３１ ０．６３６８ ０．６４０６ ０．６４４３ ０．６４８０ ０．６５１７ ０．４０．６５５４ ０．６５９１ ０．６６２８ ０．６６６４ ０．６７００ ０．６７３６ ０．６７７２ ０．６８０８ ０．６８４４ ０．６８７９ ０．５０．６９１５ ０．６９５０ ０．６９８５ ０．７０１９ ０．７０５４ ０．７０８８ ０．７１２３ ０．７１５７ ０．７１９０ ０．７２２４ ０．６０．７２５７ ０．７２９１ ０．７３２４ ０．７３５７ ０．７３８９ ０．７４２２ ０．７４５４ ０．７４８６ ０．７５１７ ０．７５４９ ０．７０．７５８０ ０．７６１１ ０．７６４２ ０．７６７３ ０．７７０４ ０．７７３４ ０．７７６４ ０．７７９４ ０．７８２３ ０．７８５２ ０．８０．７８８１ ０．７９１０ ０．７９３９ ０．７９６７ ０．７９９５ ０．８０２３ ０．８０５１ ０．８０７８ ０．８１０６ ０．８１３３ ０．９０．８１５９ ０．８１８６ ０．８２１２ ０．８２３８ ０．８２６４ ０．８２８９ ０．８３１５ ０．８３４０ ０．８３６５ ０．８３８９ １．００．８４１３ ０．８４３８ ０．８４６１ ０．８４８５ ０．８５０８ ０．８５３１ ０．８５５４ ０．８５７７ ０．８５９９ ０．８６２１ １．１０．８６４３ ０．８６６５ ０．８６８６ ０．８７０８ ０．８７２９ ０．８７４９ ０．８７７０ ０．８７９０ ０．８８１０ ０．８８３０ １．２０．８８４９ ０．８８６９ ０．８８８８ ０．８９０７ ０．８９２５ ０．８９４４ ０．８９６２ ０．８９８０ ０．８９９７ ０．９０１５ １．３０．９０３２ ０．９０４９ ０．９０６６ ０．９０８２ ０．９０９９ ０．９１１５ ０．９１３１ ０．９１４７ ０．９１６２ ０．９１７７ １．４０．９１９２ ０．９２０７ ０．９２２２ ０．９２３６ ０．９２５１ ０．９２６５ ０．９２７９ ０．９２９２ ０．９３０６ ０．９３１９ １．５０．９３３２ ０．９３４５ ０．９３５７ ０．９３７０ ０．９３８２ ０．９３９４ ０．９４０６ ０．９４１８ ０．９４２９ ０．９４４１ １．６０．９４５２ ０．９４６３ ０．９４７４ ０．９４８４ ０．９４９５ ０．９５０５ ０．９５１５ ０．９５２５ ０．９５３５ ０．９５４５ １．７０．９５５４ ０．９５６４ ０．９５７３ ０．９５８２ ０．９５９１ ０．９５９９ ０．９６０８ ０．９６１６ ０．９６２５ ０．９６３３ １．８０．９６４１ ０．９６４９ ０．９６５６ ０．９６６４ ０．９６７１ ０．９６７８ ０．９６８６ ０．９６９３ ０．９６９９ ０．９７０６ １．９０．９７１３ ０．９７１９ ０．９７２６ ０．９７３２ ０．９７３８ ０．９７４４ ０．９７５０ ０．９７５６ ０．９７６１ ０．９７６７ ２．００．９７７２ ０．９７７８ ０．９７８３ ０．９７８８ ０．９７９３ ０．９７９８ ０．９８０３ ０．９８０８ ０．９８１２ ０．９８１７ ２．１０．９８２１ ０．９８２６ ０．９８３０ ０．９８３４ ０．９８３８ ０．９８４２ ０．９８４６ ０．９８５０ ０．９８５４ ０．９８５７ ２．２０．９８６１ ０．９８６４ ０．９８６８ ０．９８７１ ０．９８７５ ０．９８７８ ０．９８８１ ０．９８８４ ０．９８８７ ０．９８９０ ２．３０．９８９３ ０．９８９６ ０．９８９８ ０．９９０１ ０．９９０４ ０．９９０６ ０．９９０９ ０．９９１１ ０．９９１３ ０．９９１６ ２．４０．９９１８ ０．９９２０ ０．９９２２ ０．９９２５ ０．９９２７ ０．９９２９ ０．９９３１ ０．９９３２ ０．９９３４ ０．９９３６ ２．５０．９９３８ ０．９９４０ ０．９９４１ ０．９９４３ ０．９９４５ ０．９９４６ ０．９９４８ ０．９９４９ ０．９９５１ ０．９９５２ ２．６０．９９５３ ０．９９５５ ０．９９５６ ０．９９５７ ０．９９５９ ０．９９６０ ０．９９６１ ０．９９６２ ０．９９６３ ０．９９６４ ２．７０．９９６５ ０．９９６６ ０．９９６７ ０．９９６８ ０．９９６９ ０．９９７０ ０．９９７１ ０．９９７２ ０．９９７３ ０．９９７４ ２．８０．９９７４ ０．９９７５ ０．９９７６ ０．９９７７ ０．９９７７ ０．９９７８ ０．９９７９ ０．９９７９ ０．９９８０ ０．９９８１ ２．９０．９９８１ ０．９９８２ ０．９９８２ ０．９９８３ ０．９９８４ ０．９９８４ ０．９９８５ ０．９９８５ ０．９９８６ ０．９９８６ ３．００．９９８７ ０．９９８７ ０．９９８７ ０．９９８８ ０．９９８８ ０．９９８９ ０．９９８９ ０．９９８９ ０．９９９０ ０．９９９０ １７７选择性必修第二册 数学 说 明 江苏凤凰教育出版社出版的《普通高中教科书·数学》是根据教 育部制定的《普通高中数学课程标准（２０１７年版）》编写的． 该套教科书充分体现数学课程标准的基本理念，使学生通过高 中阶段的学习，能获得适应现代生活和未来发展所必需的数学素养， 满足他们个人发展与社会进步的需求． 教科书力图使学生在丰富的、现实的、与他们经验紧密联系的背 景中感受数学、建立数学、运用数学，做到“入口浅，寓意深”．通过创 设合适的问题情境，引导学生进行操作、观察、探究和运用等活动，感 悟并获得数学知识与思想方法．在知识的发生、发展与运用过程中， 培养学生的思维能力、创新意识和应用意识，提升他们的数学学科核 心素养． 教科书按知识发展、背景问题、思想方法、核心素养四条主线，通过 问题将全书贯通．每个主题围绕中心教育目标展开，每章围绕核心概念 或原理展开．教科书充分关注数学与自然、生活、科技、文化、各门学科 的联系，让学生感受到数学与外部世界是息息相通、紧密相连的． 教科书充分考虑学生的不同需求，为所有学生的发展提供帮助，为 学生的不同发展提供较大的选择空间．整个教科书设计为：一个核心 （基本教学要求），多个层次，多种选择．学好核心内容后，根据需要，学 生有多种选择，每一个人都能获得必备的数学素养与最优发展． 衷心感谢２００４年版《普通高中课程标准实验教科书·数学》（苏 教版）的主编单墫教授，副主编李善良、陈永高、王巧林，以及所有编 写的专家，审读、试教教师． 众多的数学家、心理学家、数学教育专家、特级教师参加了本套 教科书的编写与讨论工作．史宁中、鲍建生、谭顶良等教授对教科书 编写提出许多建议，仇炳生、于明、祁建新等老师参与本书的编写设 计与讨论，在此向他们表示衷心感谢！ 感谢您使用本书，您在使用本书时有建议或疑问，请及时与我们 联系，电话：０２５８３６５８７３７，电子邮箱：ｓｊｇｚｓｘ＠１２６．ｃｏｍ，ｌｉｓｈａｎｌｉａｎｇ ２０１９＠１２６．ｃｏｍ，４６６６０６３５１＠ｑｑ．ｃｏｍ． 本书编写组 ２０１９年９月