文档内容
2024 年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）
数学
命题：___________ 主审：___________
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，
在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在
本试题卷上作答无效.
3.考试结束后，考生将答题卡交回.
第I卷（选择题共60分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，集合 ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的交并补即可求解.
【详解】由题知 ，
故选：A.
2. 设复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】利用复数的除法解出 ，由模长公式计算 .
【详解】由 解得 ，所以 .
故选：C.
3. 曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求在 处的导数值，即切线的斜率，再写出切线方程.
【详解】由题知， 切线方程为 ，即 ，
故选：B.
4. 已知单位向量 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量垂直得到方程，求出 ，再利用向量夹角余弦公式求出答案.
【详解】由 得 ，
又 为单位向量，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
.
故选：B.
5. 已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大
圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 100
【答案】C
【解析】
【分析】设这100个圆的半径从小到大依次为 ，由题意得 且 ，可求 .
【详解】设这100个圆的半径从小到大依次为 ，则由题知，
每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，
有 ，则 是首项为1公差为1的等差数列， ，
所以 ，得 .
故选：C.
6. 如图，小明从街道的 处出发，到 处的老年公寓参加志愿者活动，若中途共转向3次，则小明到老
年公寓可以选择的不同的最短路径的条数是（ ）
.
A 8 B. 12 C. 16 D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】根据分步分类计数原理即可求解.
【详解】中途共三次转向可以分为两类:
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学科网（北京）股份有限公司第一类，先向北走再往东走的情况，即第一次向右转，第二次向上转，第三次向右转，此时有
种方法，
第二类，先向东走再往北走的情况上右上，此时共有 种方法.
故总的方法有24种，
故选：D.
7. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据和差角公式以及诱导公式可得 ，由辅助角公式以及二倍角公式即可求
解.
【详解】由 得 ，进而可得
，
结合辅助角公式得 ，
则 ，
故选：B.
8. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】观察选项，构造函数 ，利用导数求得其单调性，结合指数函数的性质即可得解.
【详解】令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递增；在 上单调递减，
所以 且 ，
所以 且 ，即 且 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
综上所述， ，
故选：D.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下图是离散型随机变量 的概率分布直观图，其中 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由所有取值频率之和为1，结合已知条件，解出 ，利用期望和方差公式计算数据，验证选
项即可.
【详解】由题知 解得 ，A选项正确；
所以 ，B选项正确；
，C选项正确；
，D选项错误.
故选：ABC.
10. 已知双曲线 的两个焦点分别为 ，且满足条件 ，可以解得双曲线 的方
程为 ，则条件 可以是（ ）
A. 实轴长为4 B. 双曲线 为等轴双曲线
C. 离心率为 D. 渐近线方程为
【答案】ABD
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据双曲线实轴、离心率、渐近线方程等性质逐项分析即可.
【详解】设该双曲线标准方程为 ，则 .
对于A选项，若实轴长为4，则 ， ，符合题意；
对于B选项，若该双曲线为等轴双曲线，则 ，又 ， ，
可解得 ，符合题意；
的
对于C选项，由双曲线 离心率大于1知，不合题意；
对于D选项，若渐近线方程为 ，则 ，结合 ，可解得 ，符合题意，
故选：ABD.
11. 如图，点 是函数 的图象与直线 相邻的三个交点，且
，则（ ）
A.
B.
C. 函数 在 上单调递减
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学科网（北京）股份有限公司D. 若将函数 的图象沿 轴平移 个单位，得到一个偶函数的图像，则 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】令 求得 根据 求得 ，根据 求得 的
解析式，再逐项验证BCD选项.
【详解】令 得， 或 ， ，
由图可知： ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，故A选项正确，
所以 ，由 得 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
，故B错误.
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 在 为减函数，故 在 上单调递减，故C正确；
将函数 的图象沿 轴平移 个单位得 ，（ 时向右平移， 时向
左平移），
为偶函数得 ， ，
所以 ， ，则 的最小值为 ，故D正确.
故选：ACD.
12. 正方体的8个顶点分别在4个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的
距离为1，则该正方体的棱长为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】BD
【解析】
【分析】分类讨论两个平面的位置，作截面结合正方体的结构特征运算求解.
【详解】设该正方体为 ，且其棱长为 ，
若考虑4个平面中最中间的两个平面，共有两种情况.
①若中间的两个平面为平面 和平面 ，如图1所示，
则过 作截面，截面图如图2所示，
其中 分别为 中点，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司设相邻两平面间距离即为A到 的距离 ，
可得 ，解得 ，
即相邻两平面间距离即为A到 的距离 ，
可知 ，解得 ；
②若中间的两个平面如图3所示，过 作截面，截面图如图4所示，
其中 分别为 中点，则 ，
的
设相邻两平面间距离即为 到 距离 ，
可得 ，解得 ，
即相邻两平面间距离即为 到 的距离 ，
则 ，解得 ；
故选：BD.
【点睛】方法点睛：根据题意分类讨论平面的位置分布，结合正方体的结构特征以及截面分析求解.
第II卷（非选择题共90分）
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
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学科网（北京）股份有限公司13. 的展开式中常数项的二项式系数为__________.
【答案】20
【解析】
【分析】求出二项式展开式的通项公式，令 的次数为0，求得答案.
【详解】此二项式展开式的通项公式为 ，
，则当 时，对应的为常数项，
故常数项的二项式系数为 ，
故答案为：20.
14. 已知抛物线 的焦点为 ，若点 是抛物线 上到点 距离最近的点，则
__________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据两点间距离公式，结合二次函数的性质即可求解, 由抛物线的焦半径公式即可求解.
【 详 解 】 由 题 知 ， 设 ， 其 中 ， 则
由于点 是抛物线 上到点 距离最近的点， ，
故答案为：3.
15. 的一个充分不必要条件是__________.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据三角函数的性质结合充分不必要条件即可求解.
【详解】因为 时 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 可得 ,
故 的一个充分不必要条件是 ，
故答案为： （答案不唯一）
16. 已知 是半径为1的球面上不同的三点，则 的最小值为__________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据数量积的几何意义结合二次函数的性质即可求解.
【详解】 是球面上不同的三点， 不共线，故平面 截球面得到的是一个圆，
记此圆半径为 ，当且仅当平面 过球心时， .
在半径为 的圆中，对于任意的弦 ，过 作 于 ,
由向量数量积的几何意义知，当 在如图所示的位置时，
取最小值，
则 的最小值为 ，
当 时， 取最小值 ，
又 的最大值为1，故所求最小值为 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知等比数列 的各项均为正数，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求证： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用等比数列基本量计算；
（2）根据对数运算求得 ，由 得证.
【小问1详解】
设 的公比为 ，由 知 ，
，
由 得 ，
.
【小问2详解】
证明：由题知 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司.
18. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
（1）求证： ；
（2）当 取最小值时，求 的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理并结合正弦函数两角和差公式化简即可求解.
（2）利用基本不等式求得 的最小值时的取等条件 ，再结合余弦定理从而求解.
【小问1详解】
证明：由余弦定理知 ，又因为 ，
所以 ，化简得 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，
所以 或 （舍），所以 .
【小问2详解】
由题知， ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时取等，又因为 ，所以 ，
所以 .
19. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ，且 ，
，点 在线段 上，点 在线段 上.
（1）求证： ；
（2）若 平面 ，求 的值；
（3）在（2）的条件下，求平面 与平面 所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角形全等，可证明线线垂直，进而可得线面垂直，进而可求证，
（2）建立空间直角坐标系，利用向量即可求解.或者利用空间垂直关系的转化即可结合三角形的边角关系
求解.
（3）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
证明：过 作 直线 于 ，连接 .
由题知 ，
，即 ，
又 平面 , 平面 ，
又 平面 ，
，即
【小问2详解】
方法一： 平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 .
以 为原点，以 的长度为单位长度，以 的方向分别为 轴， 轴， 的正
方向建立空间直角坐标系 ，如图，则 .
平面 .
为 中点，由题知
设 ，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司又在 中， ，
所以 .
方法二： 平面 .设 ，由 知， .
平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
平面 ，又 平面 ，又 ，
平面 .
【小问3详解】
由（2）知，平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 令 则 ，
，
平面 与平面 所成角的余弦值为 .
20. 某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地
网约车用户（后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行）对甲，乙两个公司的乘
车费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：
①用户选择甲公司的频率为 ，选择乙公司的频率为 ：
②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为 ，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为 ；
③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为 ，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为 ；
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学科网（北京）股份有限公司④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为 ，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为 .
将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.
（1）分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对哪个
因素满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小.
的
（2）若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司 网约车出行？并说明理由.
【答案】（1）答案见解析
（2）该用户选择乙公司出行的概率更大，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用全概率公式可计算出用户网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满
意的概率，即可得出结论；
（2）利用条件概率公式计算出该用户对甲、乙两个公司网约车舒适度满意率，比较大小后可得出结论.
【小问1详解】
解：设事件 用户选择甲公司的网约车出行，事件 用户对等待时间满意，
事件 用户对乘车舒适度满意，事件 用户对乘车费用满意.
则 ，
，
所以，用户对等待时间满意的概率最大，对乘车费用满意的概率最小.
【小问2详解】
解：由题知， ，
，
所以， ，故该用户选择乙公司出行的概率更大.
21. 已知如图，点 为椭圆 的短轴的两个端点，且 的坐标为 ，椭圆 的离心率为 .
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学科网（北京）股份有限公司（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 不经过椭圆 的中心，且分别交椭圆 与直线 于不同的三点 （点 在线段
上），直线 分别交直线 于点 .求证：四边形 为平行四边形.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据条件列方程组求解 得椭圆方程；
（2）设直线方程，证明 后知 平分对角线得四边形 为平行四边形.
【小问1详解】
由题知 解得 .故椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
方法一：显然直线 不能水平，故设直线 方程为 ，
设 ，
由 得 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 得， .
所以 ，
令 ，得 .故直线 方程为 ，
直线 方程为 .
由 得 ，
将 中 换成 得 .
，
为线段 中点，又 为 中点，
四边形 为平行四边形.
方法二：设 .
直线 方程为 ，
当直线 的斜率不存在时，设 方程为 ，
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学科网（北京）股份有限公司此时 ，直线 方程的为 ，
由 得 ，同理 ，
当直线 斜率存在时，设 方程为 ，
由 得 .
令 得， .
由韦达定理得 .
将 代入 得
直线 的方程为
由 得
同理可得 .
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学科网（北京）股份有限公司，
，综上所述， 为线段 中点，
又 为 中点，
为
四边形 平行四边形.
【点睛】关键点点睛：证明四边形 为平行四边形的方法用对角线相互平分得到.
22. 已知函数 ，其中 为实数.
（1）若函数 是定义域上的单调函数，求 的取值范围；
（2）若 与 为方程 的两个不等实根， 恒成立，求实数 的取值范
围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数研究函数单调性，分类讨论函数是定义域上的单调函数的条件；
（2）根据方程 解出两个不等实根 与 ，有 ，所以
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学科网（北京）股份有限公司，令 ，构造函数 ，
利用导数求函数单调性，通过 的取值范围求 的取值范围.
【小问1详解】
函数 的定义域为 ，
当 时， 在 上单调递增，
当 时，由于 ，所以 在 上单调递减，
当 时， 恒成立，当且仅当 时取等，所以 在 上单调递减.
当 时，令 ，解得 或 ，
则函数 在 和 上单调递减，
令 ，解得 ，
得函数 在 上单调递增，此时不合题意.
综上所述， 的取值范围是 .
【小问2详解】
不妨设 根据题意， 与 是方程 的两根，
，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司，且 ，
所以
，
令 ， ，则 .
故 在 上单调递减，又 .
故由 恒成立可得 ，进而解得 ，
所以 的取值范围是 .
方法二：
由题知 与 为方程 的两个不等实根， ，
即 ，两式相减并化简可得 ，则 ，
不妨设 ，则
，
由 可得 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ， ，
则 ，所以函数 单调递增.
又 ，
故由 恒成立可得
所以 ，所以 ，
令 ， ，则 在 上恒成立，
在 上单调递减， ，即 ，
所以 ，进而解得 的取值范围是
【点睛】方法点睛：
利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论
和数形结合思想的应用，不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.
许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
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学科网（北京）股份有限公司
