文档内容
西南大学附属中学重庆育才中学万州高级中学
高 2024 届拔尖强基联盟高三上十二月联合考试
数学试题
（满分：150分：考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；
必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.
3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知复数 满足 ，则复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设复数 的代数形式，代入运算，由复数相等的条件求解方程组即可.
【详解】设 ，
代入 得，
，
则有 ，解得 ，即复数 的虚部为 .
故选：A.
2. 设集合 ， ，则 中元素的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】由定义域为 ，先求函数 值域 即可，再由交集运算可得.
【详解】设函数 ，
则 ，
所以集合 ，由集合 ，
则 ， 中元素的个数为 ，
故选：B.
3. 已知 ，则 的最小值为（ ）
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】由于 ，得出 和 的对应关系，再设定 和 为 ，得到基本
不等式形式：“ 和 模型”，求解即可.
【详解】由于 ，得 ，
所以设 ， ，且 ，
则 ，
其中 （等号成立时 ，即 时成立）.
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学科网（北京）股份有限公司故选：C.
4. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱 ，若侧面 水平放置时，水面恰好过 ，
， ， 的中点，那么当底面 水平放置时，水面高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用水的体积不变，转化求解即可.
【详解】如图，
设 ， ， 的中点分别为E，F，G，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ，
所以水部分四棱柱与原三棱柱的底面面积之比为 ，
由于两种状态下水的体积相等，
所以当底面 水平放置时，水面高为侧棱长的 ，即 .
故选：C
5. 加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W区心理协会派遣具有社会心理工作资
格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学
生，则不同的安排方法共有（ ）种
A. 90 B. 125 C. 180 D. 243
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知对五位同学分3组，然后全排列即可求解.
【详解】根据题意，具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生，
要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，
则把五位同学分3组，且三组人数为2、2、1，然后分配给3位专家，
所以不同的安排方法共有 种.
故选：A．
6. 表示不超过 的最大整数，如 ， ，已知数列 满足 ， ，
，若 ， 为数列 的前 项和，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据递推公式变形并构造数列得出 ，再适当放缩得出 ，再结合等差数列的求和公式计算
即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由 可知 ，所以数列 是常数列，
又 ， ，所以 ，则数列 各项均为1，
即 ， ，
则数列 是以 为首项，4为公比的等比数列，
即 ，
由 ，
，
故 ，
根据题意可知： ，
所以 .
故选：B
7. 过双曲线 上任一点 作两渐近线的平行线 ， 且与两渐近线交于 ， 两
点，且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. 3 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出 的坐标，然后利用斜率之积建立方程，利用离心率公式求解离心率即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】过点 与双曲线渐近线 平行的直线 为 ，
于是有： ，解得 ，即 ，
过点 与双曲线渐近线 平行的直线 为 ，
于是有： ，解得 ，即 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以双曲线的离心率为 .
故选：D
8. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由常用不等式与作差法比较大小,
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学科网（北京）股份有限公司【详解】设 ， ，
则 ，则 在 单调递增，
故 ，即 ，则 ，且 .
，且
所以 ，
则 ；
因为 ，
则 ，
则 ，
所以 ，
由 ，则 ，即 .
所以 .
故选：A
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数 的图象中相邻两条对称轴的距离是 ，现将
的图象向右平移个 单位长度，得到函数 的图象，若 是偶函数，且最大值为2，则下列
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学科网（北京）股份有限公司结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期是 B. 的图象关于直线 对称
C. 的图象关于点 对称 D. 在 上单调递减
【答案】CD
【解析】
【分析】根据对称性求得周期判断A，整体代换法求解对称轴、对称中心判断BC，代入正弦函数单调减
区间求解判断D.
【详解】因为函数 的图象中相邻两条对称轴的距离是 ，
所以函数 的最小正周期为 ，所以 ，故A错误；
，将 的图象向右平移个 单位长度，得到函数 的图象，
则 ，又 是偶函数，且最大值为2，所以 ，
即 ，又 ，所以 ，所以 ，
由 ，得 ，
即 图象的对称轴方程为 ，当 时， ，故B错误；
由 ，得 ，即 图象的对称点为 ，
当 时， 的图象关于点 对称，故C正确；
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学科网（北京）股份有限公司当 ，解得： ，
所以当 时， 在区间 上单调递减，故D正确.
故选：CD
10. 对自然人群进行普查，发现患某病的概率 .为简化确诊手段，研究人员设计了一个简化
方案，并进行了初步试验研究，该试验具有以下的效果：若以 表示事件“试验反应为阳性”，以 表示事
件“被确诊为患病”，则有 .根据以上信息，下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据对立事件概率公式判断AC，根据条件概率和全概率公式判断BD.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，故选项A错误，C正确；
因为 ，故选项B正确；
由全概率公式可得 ，
则由条件概率公式知
，故选项D错误.
故选：BC
11. 统计学中的标准分 是以平均分 为参照点，以标准差 为单位，表示一个数据 在整组数据中相对
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学科网（北京）股份有限公司位置的数值，其计算公式是 （ ）.若一组原始数据如下：
序号
1 2 3 4 5
对应值
10 5 6 6 8
则下列说法正确的是（ ）
A. 该数组的平均值 B. 对应的标准分
C. 该组原始数据的标准分 的方差为1 D. 存在 ，使得 ， 同时成立
【答案】AC
【解析】
【分析】根据平均数计算公式判断 A，先求标准差 ，然后利用标准分计算 判断 B，计算
，代入方差计算公式求解判断C，利用 与 关系判断D.
【详解】该数组的平均值 ，故选项A正确；
因为标准差 ，
所以 ，故选项B错误；
， ， ，
，所以标准分 的平均值为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以该组原始数据的标准分 的方差为
，
故选项C正确；
由题意 ，若 ，且 ，则 ，故选项D错误.
故选：AC
12. 定 义 域 为 的 函 数 ， 的 导 函 数 分 别 为 ， ， 且 ，
，则下列说法错误的为（ ）
A. 当 是 的零点时， 是 的极大值点
B. 当 是 的零点时， 是 的极小值点
C. ， 可能有相同的零点
D. ， 可能有相同的极值点
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合导数，根据零点和极值点定义逐个判断抽象函数满足的条件即可.
【详解】 ，设 ，则 ，
则 ，所以 ，
的
AB选项,若 ,则 不是 极大值点,也不是极小值点，故AB错误；
C选项,考虑 ，则 ，显然两者有共同零点0，故C正确；
D选项,若 在 处取得极值,
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学科网（北京）股份有限公司①若 处取得极大值, ,则在 左右两侧无限小的区间内 ,
即 时,必有 ,
所以 在 上单增,不符合题意,
同理 ,有 时,必有 ,所以不符合题意.
②若 处取得极小值,同理可得也不符合题意,所以D选项错误.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：利用导数判断抽象函数零点和极值点的问题，属于中档题.常用方法有：
（1）结合导数得出原函数表达式；
（2）假设成立，判断命题真假；
（3）转化思想应用.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量 ，若 ，则实数a＝___.
【答案】
【解析】
【详解】 ，由 ，得 ，解得 .
14. 已知 ， ，则 ______.
【答案】0
【解析】
【分析】利用同角三角函数的商数关系及正切的二倍角公式计算即可.
【详解】易知 ，
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司若 ，显然 ，上式恒成立，
若 ，则 ，
所以 ，无解，
综上可知 .
故答案为：0
15. 过直线 上任意一点 作圆 ： 的两条切线，则切点分别是 ，则 面积的最
大值为______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】由 得出点 在以 为直径的圆 上是关键，通过两圆方程相减得到直
线 的方程，从而求出 面积的表达式，运用函数思想求解即得.
【详解】
如图，设点 ，因 ,故点 在以 为直径的圆 上，
因圆心 ，半径为 ，故圆 的方程为： ，
又圆 ： ，将两式左右分别相减，整理得直线 的方程为： ，
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学科网（北京）股份有限公司于是，点 到直线 的距离为： ，
，
故 的面积为： ，
不妨设 则 ，且 ，故 ，
因 在 上单调递增，故 ，此时 ，
即 时，点 时， 面积的最大值为 .
故答案为： .
16. 已知四面体 满足 ，它的体积为 ，其外接球球 的表面积为 ，
则点 在球 表面的轨迹长度为__________；线段 长度的最小值为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用外接球的表面积求出外接球半径 ，再根据勾股定理求出球心 到平面 的距离，再由
锥体体积求出点A到平面 的距离 ，直观想象可得点A在球 表面的轨迹，计算可得轨迹长度；由
点A在圆上运动，到定点 的距离最值转化为圆台母线最短求解即可.
【详解】设外接球半径为 ，
因为外接球的表面积为 ，则 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司设 的中心为 ，则 ，
如图过点 作球的轴截面，
则 ，
设点A到平面 的距离为 ，
，解得 .
则由题意知，点A在以 为半径的球面上，且距离平面 为 的平面内，
的
则点A在球 表面 轨迹为圆，设圆心为 ，且
则 ， 即圆 的半径为 ，
所以点A在球 表面的轨迹长度为 ；
由题意可看作点A在圆台 底面圆周 上运动，
则当 为圆台母线时， 最小，
即当 四点共面时， 取最小值，
如图， .
故答案为： ； .
【点睛】方法点睛：对于立体几何空间轨迹的问题，研究的主要还是解析几何中的几种曲线：直线、圆、
椭圆、双曲线与抛物线.常规解决方法有以下几种：
1.几何法：根据对动点运动过程中点、线、面性质或位置关系的分析，进行判定；
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学科网（北京）股份有限公司为
2.定义法：转化 平面轨迹问题，用圆锥曲线定义判定，或用代数法进行计算；
3.交轨法： 根据研究动点满足的不同条件分别确定动点所在空间几何体（线、面），再由公共（相交）
部分确定轨迹；
4.基底（建系）法：通过选择基底（或建系）将几何问题数量化，得到动点满足的方程（组），进而分析
方程表示的轨迹；
5.特殊值法：特别地，对于轨迹问题的选择题，根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列 中， ，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）求 的前10项和 .
【答案】（1） ；
（2）707
【解析】
【分析】（1）分奇偶项讨论结合等差数列、等比数列的通项公式计算即可；
（2）直接利用等差数列和等比数列求和公式计算即可.
【小问1详解】
由题意可知当 时，
有 ，此时数列 的奇数项成等差数列，
由题意可知 ，公差为2，则 ，
所以 ，（ 为奇数），
当 时，有 ，
即此时数列 的偶数项成等比数列，
由题意可知 ，公比为4，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，（ 为偶数），
综上 .
【小问2详解】
由上可知
18. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 （ ）.
（1）求 ；
（2）若 是角 的内角平分线，且 ，求 周长的最小值.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由已知结合正弦定理以及三角恒等变换公式即可求解;
（2）由 是角 的内角平分线，可得到 ，化简得到 ，表示出周长，
利用基本不等式计算即可.
【小问1详解】
因为 ，
由正弦定理可得： ,
所以
因为在 内，有 ,所以 ，
所以 ,
所以 ,或 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ， 或 ，由 ，故 .
【小问2详解】
因为 是角 的内角平分线，且 ，
所以 ,即 ，
整理得： ，所以 ，所以 ，
当且仅当 时，上式取到最小值，
在 中由余弦定理可得： ，
所以 周长：
，
当且仅当 时，等号成立，所以 周长的最小值为 .
19. 已知三棱锥 中， ， ， ， .
（1）求点 到平面 的距离；
（2）求平面 与平面 夹角的正弦值.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理证得 平面 ，再利用勾股定理求得 ，从
而得解；
（2）结合（1）中结论建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.
【小问1详解】
取 中点 ，连接 ， ，
在 和 中， ， ， ，
可得 ，则 ，所以 ，
因为 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，
在平面 中，过 点作 ，交 延长线于点 ，连接 ， ， ，
因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，即 为点 到平面 的距离，
在 中， ， ，
由余弦定理可得 ，则 ，
中， ，
在
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学科网（北京）股份有限公司在 中， ，
在 中， ，
则 ，解得 ，
则 ，即 ，
所以点 到平面 的距离为 .
【小问2详解】
由（1）知 ，所以四边形 是平行四边形，
又 ，所以四边形 是正方形，
以A为原点， 为 轴， 为 轴，如图建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
可得 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，即 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司设平面 与平面 的夹角 ，则 ，
可得 ，
，
所以平面 与平面 的夹角的正弦值 .
20. 在直角坐标系 中，动点 到 轴的距离比点 到点 的距离少1.
（1）求动点 的轨迹方程 ；
（2）当 时，过点 的直线与 交于 两点，连接 ， 延长与 分别交于 、
两点，求 与 面积之和 的最小值.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由点到直线及点的距离公式结合抛物线的定义计算即可；
（2）设直线 和 坐标，利用直线过定点及焦点弦性质先得出 坐标，从而判定 过定点，通
过消元转化及基本不等式求面积最值即可.
【小问1详解】
设点 ，则由题意可知： ，
化简得 ，
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学科网（北京）股份有限公司若 ，即 ，
若 ，
综上可知动点 的轨迹方程 为： ；
【小问2详解】
根据（1）知 时， ，
由题意可设 ， ，
不妨令 在第一象限，则 在第四象限， 在第一象限，如图所示，
联立抛物线方程 ，显然 ，
同理可设过 点的直线为 ，与抛物线联立有 ，
则 ，所以 ，
若 时，易得 ，则 ，即 ，
若 ，则 斜率存在，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司化简得 ，
综上可知直线 横过定点 ，
所以
，
当且仅当 时取得最小值 .
21. “大地”渔业公司从 、 两不同设备生产厂商处共购买了80台同类型的设备.
（1）若这80台设备的购买渠道和一段时间后故障的记录如下表：
从 处购买（台） 从 处购买（台）
运行良好（台） 46 14
出现故障（台） 14 6
试根据小概率值 的独立性检验，分析设备故障情况是否与购买渠道有关；
（2）若每台设备发生故障的概率都是0.01，且发生故障时由一个人独立完成维修.现有两种配备维修工人
的方案，甲方案是由4个人维修，每个人各自独立负责20台；乙方案是由3个人共同维护这80台.请判断
在这两种方案下设备发生故障时不能及时维修的概率的大小关系？并从公司经营者的角度给出方案选择的
建议.
附：
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】（1）否 （2）甲方案下设备发生故障时不能及时维修的概率大，选择乙方案
【解析】
【分析】（1）根据 计算公式运算，对比临界值即可求解；
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据题意，分别求得甲方案和乙方案，结合对立事件和独立重复试验的概率计算公式，分别求得设
备发生故障时不能及时维修的概率，根据大小关系，即可得到结论.
【小问1详解】
假设设备故障情况与购买渠道无关联，
由题意， ，
依据小概率值 的独立性检验，可推断假设成立，即认为设备故障情况与购买渠道无关联.
【小问2详解】
对于甲方案：以X记“第1人维护的20台设备中同一时刻发生故障的台数”，
以 表示事件“第 人维护的20台设备发生故障时不能及时维修”，
则知80台设备发生故障时不能及时维修的概率为： ，
而 ，故有 ，
所以 ；
对于乙方案：以Y记“80台设备中同一时刻发生故障的台数”，此时 ，
则80台设备发生故障时不能及时维修的概率为
，可得 ，
故选择乙方案能让故障设备更大概率得到及时维修，使得公司的生产效率更高.
22. 设函数 ， .
（1）①当 时，证明： ；
②当 时，求 的值域；
（2）若数列 满足 ， ， ，证明：
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学科网（北京）股份有限公司.
（ ）
【答案】（1）①证明过程见解析，②
（2）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）①求导，得到函数单调性，求出 ；②先得到 为偶
函数，考虑 时，求导，结合①可知， 在 上单调递减，从而求出函数最值，求出值
域；
（2）先得到 ，故只需证明 ，由
（1）可知 ，从而裂项相消法求和得到证明.
【小问1详解】
① 在 恒成立，
故 在 上单调递增，
故 ，证毕；
② ，恒有 ，
故 为偶函数，
当 时， ，
由①可知， 在 上恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，故 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，
故 ， ，
结合函数在 上为偶函数可得，函数值域为 ；
【小问2详解】
因为 ， ，
所以 ，
其中 ，故只需证明 ，
因为 ， ，
所以 ，
由（1）可知 ，
上式两边取倒数得 ，故 ，
于是
， ，
所以 （ ）.
【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中
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学科网（北京）股份有限公司的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知
的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.
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学科网（北京）股份有限公司
