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高 2025 届学业质量调研抽测（第一次）
数学参考答案及评意见
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1-4：C B C D 5-8：A A D A
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求. 全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. ACD 10. AC 11.ABD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.3 13. 4 14.
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 解：（Ⅰ） ， ， …………………………2分
， ，
………………………………………………………………………5分
……………………………………………7分
（Ⅱ） ， ， ， …………………10分
,
……………………………………………………………………13分
16. 解 ： （ Ⅰ ） 由 已 知 得 ， 又 因 为 在 处 的 切 线 方 程 为
…………………………………………………………2分
即 得 . …………………6分
（Ⅱ）令 ，得到 ，即 ，即 ，令
，得到 .
∴函数 得单调增区间为 ，单调减区间为 .…………10分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知， ，由（Ⅱ）知 的最小值为 ，
不等式 恒成立，
∴ ， 或 .…………………………………15分
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学科网（北京）股份有限公司17．（Ⅰ）证明：由已知得 平面 ，又 平面 ，
A
1 C
1
,……………………………2分
B
1
, ,
A
D C
又 平面 ，
B
平面 ， 平面 .………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 平面 ，又 平面 , .
以 为原点， 为 轴， 为 轴，过 与平面 垂直的直线为Z轴，建立如图所示的空间
直角坐标系 .…………………………………………………………………6分
z
A
设 ，则 , ， , , 1 C 1
, , B
1
, , x A D C
B
, ,
y
, …………………………………8分
设平面 的法向量 ，
则 令 ，则 …………10分
设平面 的法向量 ，
则 令 ，则 ………12分
.
∴二面角 的正弦值是 ………………………………………15分
18.解：（Ⅰ）由题： ， ①
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学科网（北京）股份有限公司左焦点 到点 的距离为： ，②
由①②可解得 ，
∴所求椭圆 的方程为 .……………………………………………5分
（Ⅱ）设 ，将 代入椭圆方程得：
，
∴ ， ，
且 ， ………………………………………………………9分
∵以 为直径的圆过椭圆左顶点 ，
, ,
,
,
,
整理得 ，即 ，
∴ 或 ，都满足 ………………………………………………13分
若 时，直线 为 ，恒过定点 ，不合题意舍去；
若 时，直线 为 ，恒过定点 ……17分
19.解：（Ⅰ）记第一球比赛甲运动员获胜的事件为 ，第二球比赛甲运动员获胜的事件为 ，由题意
知： ，且 ，
∴ …………………………………………………3分
(Ⅱ)记甲运动员在第 球比赛中获胜的概率为 ，则
，
那么： ， ,…………………5分
①当 时， ，又 ，因此 是一个递减数列，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，所以 与前提矛盾, …6分
②当 时， ，不合题意，
③当 时， ，又 ，因此 是一个递增数列，
只需要 ，即 .
④当 时， , ………………………………………………………………8分
⑤当 时， ，又 ，因此 是一个摆动数列，
若 为偶数，则 ， ；
若 为奇数，则 是一个递增数列，只需要 ，即 ，
，于是 ，
得： ，…………………………………………10分
综上： 时，甲运动员以后每球比赛获胜的概率都大于0.6………………11分
(Ⅲ)由（Ⅱ）可知， ，则 ，
，……………………………………………………………14分
………………………………………………17分
故：
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