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2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
文科数学试题和答案（详细解析版）
本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
1
参考公式：锥体的体积公式V = Sh，其中S为柱体的底面积，h为
3
柱体的高.
4
球的体积V = pR3，其中R为球的半径。
3
一组数据x ,x , ,x 的标准差
1 2 L n
1
s = [(x -x)2 +(x -x)2 + +(x -x)2]，
n 1 2 L n
其中x表示这组数据的平均数。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
3+4i =
1.设i为虚数单位，则复数
i
A. -4i-3i B. -4i+3i C. 4+3i D. 4-3i
2.设集合U={1.2.3.4.5.6}，M={1.3.5}，则ð M =
U
A.{2.4.6} B.{1.3.5} C.{1.2.4} D.U
uuur uuur uuur
3.若向量AB=(1,2)，BC =(3,4)，则AC =
A.（4.6） B.（-4,-6） C.（-2，-2） D.（2，2）
4.下列函数为偶函数的是
A.y =sinx B.y = x3 C.y =ex D.y =ln x2 +1
ìx+ y£1
ï
5.已知变量x，y满足约束条件íx- y£1.则z=x+2y的最小值为
ï
x+1³0
î
第1页 | 共12页A．3 B.1 C.-5 D.-6
6.在 ABC中，若ÐA=60°, ∠B=45°，BC=3 2 ，则AC=
V
3
A．4 3 B 2 3 C. 3 D
2
7．某几何的三视图如图1所示，它的体积
为
A．72π B 48π C.30π D.24π
8．在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y
-
5=0与圆x2+y2=4相交A、B两点，则弦A
B的长等于
A．3 3 B2 3 C 3 D 1
9．执行如图2所示的程序图，若输入n的值为6，则
输出s的值为
A．105 B．16 C．15 D．1
10．对任意两个非零的平面向量α和β，定义
ab
ab= g .
g
bb
g
若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角
æp pö ìn ü
qÎ ç , ÷ ，且a.b和b.a都在集合 í |nÎZý 中，则a.b
è 4 2ø î2 þ
=
5 3 1
A． B． C．1 D．
2 2 2
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20
第2页 | 共12页分。
（一）必做题（11~13题）
x+1
11.函数y = 的定义域为 .
x
1
12.若等比数列{a }满足a a = ,则aa2a = .
n 2 4 2 1 3 5
13.由正整数组成的一组数据x ,x ,x ,x ,其平均数和中位数都是2，且
1 2 3 4
标准差等于1，则这组数据为 .（从小到大排列）
（二）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲
ìn ìn ü
线C 和C 的参数方程分别为 í |nÎZ í |nÎZý （q为参数，
1 2 î2 î2 þ
ì 2
ïx=1- t
p ï 2
(0£q£ ) í （t为参数），则曲线C 和C 的交点坐标为
2 ï 2 1 2
y =- t
ï
î 2
.
15.（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB与圆O相切于点B,D
是玄AC上的点，ÐPBA=ÐDBA.若AD=m,AC=n,则AB= .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证
明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分）
第3页 | 共12页x p p
已知函数 f(x)= Acos( + ),xÎR，且f( )= 2.
4 6 3
（1）求A的值；
é pù 4 30 2 8
（2）设a,bÎ 0, , f(4a+ p)=- , f(4b- p)= 求cos(a+b)的值.
ê ú
ë 2û 3 17 3 5.
17.（本小题满分13分）
某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直
方图如图4所示，其中成绩分组区间是：
[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分.
（3）若这100名学生语文成绩某些份数段的人数（x）与数学成绩相
应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的
人数.
18（本小题满分13分）
如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，
AB^平面PAD,AB//CD,PD= AD,E是PB
1
的中点，F 是CD上的点，且DF = AB,
2
第4页 | 共12页PH 为DPAD中AD边上的高。
（1）证明：PH ^平面ABCD；
（2）若PH =1，AD= 2，FC =1，求三棱锥E-BCF 的体积；
（3）证明：EF ^平面PAB.
19. （本小题满分14分）
设数列a 前n项和为S ，数列S 前n项和为T ，满足T =2S -n2，
n n n n n n
nÎN*.
(1)求a 的值；
1
（2）求数列a 的通项公式.
n
20.（本小题满分14分）
x2 y2
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C : + =1（a>b>0）的左焦
1 a2 b2
点为F(-1,0),且点P(0,1)在C .
1 1
（1）求椭圆C 的方程；
1
（2）设直线l同时与椭圆C 和抛物线C :y2 =4x相切，求直线l的
1 2
方程.
21.（本小题满分14分）
设00},B={xÎR|2x2 -3(1+a)x+6a>0},
D= AÇB.
(1)求集合D(用区间表示)
(2)求函数 f(x)=2x3 -3(1+a)x2 +6ax在D内的极值点.
第5页 | 共12页2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科）答案（详细解析版）
3+4i (3+4i)i
1、【解析】选D 依题意： = =4-3i
i i2
2． 【解析】选A C M ={2,4,6}
U
uuur uuur uuur
3. 【解析】选A AC = AB+BC =(4,6)
4. 【解析】选D y =sinx与y = x3是奇函数,，y =ex是非奇非偶函数
5. 【解析】选C 约束条件对应DABC边际及内的区域：
A(1,0),B(-1,2),C-1,-2)
则z = x+2yÎ[-5,3]
6. 【解析】选B
BC AC 3 2 AC
由正弦定理得： = Û = Û AC =2 3
sinA sinB sin60° sin45°
【解析】选C 几何体是半球与圆锥叠加而成
1 4 1
它的体积为V = ´ p´3 3 + ´p´3 2 ´ 52 -32 =30p
2 3 3
8. 【解析】选B
圆x2 + y2 =4的圆心O(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离
-5
d = =1
5
弦AB的长 AB =2 r2 -d2 =2 3
第6页 | 共12页9. 【解析】选C
s 1 1 3 15
i 1 3 5 7
10、【解析】选A
r r
a b
r r r r r r r r 1
a b= cosq>0,b a= cosq>0Þ(a b)´(b a)=cos2qÎ(0, )
o r o r o o
b a 2
r r r r ìn
a o b,b o a都在集合 í nÎZ}中得：
î2
r r r r nn r r 1
(a b)´(b a)= 1 2 (n ,n ÎN*)Þa b=
o o 4 1 2 o 2
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20
分。
(一）必做题（11-13题）
11.【解析】定义域为______[-1,0) (0,+¥)
U
x+1 ìx+1³0
y = 中的x满足： í Û -1£ x<0或x>0
x î x¹0
1
12. 【解析】aa2a = _____
1 3 5 4
1 1 1
a a = Û a2 = ,aa2a =a4 =
2 4 2 3 2 1 3 5 3 4
13. 【解析】这组数据为_________1,1,3,3
不妨设x £ x £ x £ x 得：
1 2 3 4
第7页 | 共12页x +x =4,x +x +x +x =8Þ x +x =4
2 3 1 2 3 4 1 4
s2 =1Û(x -2)2 +(x -2)2 +(x -2)2 +(x -2)2 =4Þ x -2 =0,1,2
1 2 3 4 i
①如果有一个数为0或4；则其余数为2，不合题意
②只能取 x -2 =1；得：这组数据为1,1,3,3
i
（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）
14. 【解析】它们的交点坐标为_______(2,1)
C :x2 + y2 =5(x,y³0),C : y = x-1 解得：交点坐标为(2,1)
1 2
15.(【解析】AB=_______ mn
ÐPBA=ÐDBA=ÐACB,ÐBAD=ÐCABÞDBAD DCAB
:
AB AD
得： = Û AB2 = AC´AD=mnÛ AB= mn
AC AB
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证
明过程和演算步骤。
16. (本小题满分12分)
p p
【解析】（1） f( )= 2 Û Acos = 2 Û A=2
3 4
4p 30 p 15 15 8
（2） f(4a+ )=- Ûcos(a+ )=- Ûsina= ,cosa=
3 17 2 17 17 17
2p 8 4 3
f(4b- )= Ûcosb= ,sinb=
3 5 5 5
4 8 3 15 13
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb= ´ - ´ =-
5 17 5 17 85
17.【解析】（1）(2a+0.02+0.03+0.04)´10=1Û a=0.005
（2）平均分为55´0.05+65´0.4+75´0.3+85´0.2+95´0.05=73
（3）数学成绩在[50,90)内的人数为
1 4 5
(0.005+ ´0.04+ ´0.03+ ´0.02)´10´100=90人
2 3 4
数学成绩在[50,90)外的人数为100-90=10人
答：（1）a=0.005 （2）这100名学生语文成绩的平均分为73
第8页 | 共12页（3）数学成绩在[50,90)外的人数为10人。
18.【解析】（1）AB^平面PAD，PH Ì面PAD Þ PH ^ AB
又PH ^ AD,AD AB= AÞ PH ^面ABCD
I
1 1
（2）E是PB中点Þ点E到面BCF 的距离h= PH =
2 2
三棱锥E-BCF 的体积
1 1 1 1 1 2
V = S ´h= ´ ´FC´AD´h= ´1´ 2´ =
3 DBCF 3 2 6 2 12
（3）取PA的中点为G，连接DG,EG
PD= ADÞ DG ^ PA，又AB^平面PAD Þ面PAD^面
PAB Þ DG ^面PAB
点E,G是棱PB,PA的中点
1 1
Þ EG// AB,DF// ABÞ EG//DF Þ DG//EF
2 2
得：EF ^平面PAB
19.(本小题满分14分)
【解析】（1）在T =2S -n2，nÎN*中，令n=1Þa =2a -1Û a =1
n n 1 1 1
（2）T =2S -n2，T =2S -(n+1)2，相减得：S =2S +(2n+1)
n n n+1 n+1 n+1 n
S =2S +(2n+1)，S =2S +(2n+3)，相减得：a =2a +2
n+1 n n+2 n+1 n+2 n+1
a =1ÞS =2S +3Û a =4，得a =2a +2
1 2 1 2 n+1 n
a =2a +2Û a +2=2(a +2)
n+1 n n+1 n
得：数列{a +2}是以a +2=3为首项，公比为2的等比数列
n 1
a +2=3´2n-1 Û a =3´2n-1-2
n n
20.(本小题满分14分)
【解析】（1）由题意得：b=1,c= a2 -b2 =1Û a= 2,b=c=1
x2
故椭圆C 的方程为： + y2 =1
1 2
（2）①设直线l:x=m，直线l与椭圆C 相切Û m=± 2
1
第9页 | 共12页直线与抛物线C : y2 =4x相切Û m=0，得：m不存在
2
②设直线l: y =kx+m
直线l与椭圆C 相切Û(1+2k2)x2 +4kmx+2m2-2=0两根相等
1
Û D =0Û m2 =2k2 +1
1
直线与抛物线C : y2 =4x相切Û k2x2 +2(km-2)x+m 2=0
2
两根相等
Û D =0Û km=1
2
2 2 2
解得：k = ,m= 2 或k =- ,m=- 2 Þl: y =± (x+2)
2 2 2
21.（本小题满分14分）
【解析】（1）对于方程2x2 -3(1+a)x+6a =0
判别式D=9(1+a)2 -48a =3(a-3)(3a-1)
因为a<1，所以a-3<0
1
① 当1>a> 时，D<0，此时B=R，所以D= A；
3
1
② 当a = 时，D=0，此时B={x|x¹1}，所以D=(0,1) (1,+¥)；
U
3
1
当a< 时，D>0，设方程2x2 -3(1+a)x+6a =0的两根为x ,x 且x < x ，
3 1 2 1 2
则
3(1+a)- 3(a-3)(3a-1) 3(1+a)+ 3(a-3)(3a-1)
x = ，x =
1 4 2 4
B={x|x< x或x> x }
1 2
1 3
③ 当00，x x =3a >0，所以x >0,x >0
3 1 2 2 1 2 1 2
此时，D=(x,x ) (x ,+¥)
1 U 2
第10页 | 共12页3(1+a)- 3(a-3)(3a-1) 3(1+a)+ 3(a-3)(3a-1)
=(0, ) ( ,+¥)
U
4 4
（2） f¢(x)=6x2 -6(1+a)x+6a =6(x-1)(x-a)，a<1
所以函数 f(x)在区间[a,1]上为减函数，在区间(-¥,a]和[1,+¥)上
为增函数
1
①x=1是极点Û1ÎBÛ
