2024届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（三）数学答案_2024年5月_01按日期_20号_2024届云南省“3+3+3”高考备考诊断性联考（三）

2024 届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（三） 数学参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B A B A D C 【解析】 1．由题意知：A(0，)，BR，所以AB(0，)，故选C． 2．由z(1i)(2i)13i，所以|z| 10，故选D． 9(a a ) 3．由a a 18，所以2a 18，所以a 9，所以S  1 9 45，故选B． 8 10 9 9 9 2 4．由题意可知：小明共有C1 C2 12种情况，故选A． 2 4           5．当a与b方向相反时，ab0，所以ab0是a与b所成角为钝角非充分条件；当a与b         所成角为钝角时，由ab|a||b|cos，故ab0是a与b所成角为钝角的必要条件，故 选B．  π  π π  π π  π π 3 6．由 sinsin sin  sin  2sin cos  ，所以  3  6 6  6 6  6 6 2  π 1 sin  ，故选A．  6 2 21 7．如图 1，正方体与正方体的棱切球形成六个球冠，且H  ， 2 1 1 21 R ，所以所求曲面的面积为：S 62π  3( 21)π， 2 2 2 故选D． 图1 8．由 f(x)在区间(0，)上单调递增，所以 f(x)axblnx≥0 在(0，)上恒成立，即 axb≥lnx在(0，)上恒成立，由图象的几何意义可知，对于任意的a要使得b取得最 小值时，直线yaxb和函数ylnx的图象相切，对函数ylnx上的任意一点(x，lnx ) 0 0 数学参考答案·第1页（共7页） {#{QQABTYAEogCoQIIAABgCQwnyCgCQkAGCCKoOhAAEIAAAiQNABAA=}#}1 1 1 的切线为ylnx  (xx )，即y xlnx 1，令a ，blnx 1，所以2ab≥ 0 x 0 x 0 x 0 0 0 0 2 2 1 2 x2 lnx 1. 令g(x) lnx1(x0)，所以g(x)   ，所以g(x)在(0，2) x 0 x x x2 x2 0 上单调递减，在(2，)上单调递增，所以g(x)  g(2)ln2，所以2ab的最小值为ln2， min 故选C． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项 是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 AD BCD BCD 【解析】 π  π  π π π T 9．由 f(x)sin(x)及A ，1，B ，0，所以    ，即T π，所以2， 12   3  3 12 4 4 π  π π 故 A 正确；又sin 1，所以  2kπ，kZ，又0，(0，π)，所以 6  6 2 π  π 11  11 π  ，故 B 不正确；由 f(x)sin2x ，则 f  πsin π 1，故 C 不正 3  3 12   6 3  5π π  确； f(x)的单调递增区间为   kπ， kπ  ，kZ，所以D正确，故选AD．  12 12  10．如图 2，当点 P在顶点 B处时， APPC  ABBC 2，故 B选项正确；当点 P在线 6 2 段BC的中点时，APPC  ，故 C选项正确；当点 P为BC与 AC 的交点时， 2 APPC  2 2 ，故 D 选项正确；由题意可知 2 2 为 APPC的最小值，故 A 选项不正确，故选 BCD． 图2 数学参考答案·第2页（共7页） {#{QQABTYAEogCoQIIAABgCQwnyCgCQkAGCCKoOhAAEIAAAiQNABAA=}#}11．若 f(x)为一次函数，令 f(x)axb，所以得到：a2(x y)(a1)bx(ab)y，所以 (a1)b0，故而a1，b0，f(x)x或者a1，b2，f(x)2x，所以当 f(x)为一 次函数时， f(0)0或 f(0)2，所以 A 不正确； f(1)1，所以 B 正确；令y1，则 f(x f(x1)x f(x1) ，由 f(0)0 ，令 x1，所以 f(1)1，令 y1，则 f(x f(x1)) f(x)x f(x1) f(x)，由 f(0)0，令x1，所以 f(1)1，故D正 确，故选BCD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 42 11 答案 0 11 18 【解析】 1 y 1 4x 1 x 1 12．由x y4，所以      1≥2 10，当且仅当x y2时取等号． x 4 x 4 x 4 4  1 13．由∠A120，且AB3，AC 5，所以BC2 925235 49，即BC 7，  2 94925 33 11 AB 42 则cosB   ，又cosB ，所以BD ． 237 42 14 BD 11 14．设A：从标号为1的盒子中取出的2个球中有i个红球，i0，1，2；B：3号盒子里面是 i 2个红球和2个白球，所以B A B AB A B， P(B) P(A B AB A B)P(A B) 0 1 2 0 1 2 0 C2 C1C1 C1C1 C1C1 P(AB)P(A B)P(B|A )P(A )P( B|A)P(A)P(B|A )P(A ) 2  1 3  2 2  2 2 1 2 0 0 1 1 2 2 C2 C2 C2 C2 4 4 4 4 C2 C1C1 1 1 2 2 1 1 11  2  1 3        ． C2 C2 6 2 3 3 6 2 18 4 4 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 解：（1）由概率和为1得：2(0.020.030.050.050.15a0.050.040.01)1， 解得a0.1．……………………………………………………………………………（4分） 数学参考答案·第3页（共7页） {#{QQABTYAEogCoQIIAABgCQwnyCgCQkAGCCKoOhAAEIAAAiQNABAA=}#}（2）由题意知， t为全校师生日平均阅读时间，则 t 0.0410.0630.150.170.390.2110.1130.08150.02179.16， 所以全校师生日平均阅读时间为t 9.16（小时）．……………………………………（8分） （3）将t保留整数则t 9，由题意知： 2 0.04(19)2 0.06(39)2 0.1(59)2 0.1(79)2 0.3(99)2 0.2(119)2 0.1(139)2 0.08(159)2 0.02(179)2 13.28. 所以估算师生日平均阅读时间的方差为13.28． ……………………………………（13分） 16．（本小题满分15分） 解：（1）由a S 1(n≥1，nZ)， n1 n 所以当n≥2时，有a S 1，两式相减得：a a S S a ， n n1 n1 n n n1 n 即a 2a ． ……………………………………………………………………………（5分） n1 n 又有当a S 1a 12a ， 2 1 1 1 所以{a }是以a 1为首项，公比为2的等比数列，所以a 2n1． ………………（7分） n 1 n log a 1 n1 （2）由（1）知：b  2 n1 n  ，…………………………………………（9分） n a 2 n 1 0 1 1 1 2 1 n2 1 n1 所以T 1  2  3  …(n1)  n  ， n 2 2 2 2 2 T 1 1 1 2 1 3 1 n1 1 n 则 n 1  2  3  …(n1)  n  ， 2 2 2 2 2 2 T 1 1 2 1 n1 1 n 所以 n 1   …  n  ， 2 2 2 2 2 1 n1 所以T 4(n2)  ． ……………………………………………………………（15分） n 2 17．（本小题满分15分） （1）证明：如图3，连接AB，取BB的中点Q，连接 AQ，CQ， 由ABBA为菱形，所以AB AB． 又由AB⊥BC，且ABBC B， 图3 数学参考答案·第4页（共7页） {#{QQABTYAEogCoQIIAABgCQwnyCgCQkAGCCKoOhAAEIAAAiQNABAA=}#}所以AB⊥平面BAC，故而AB⊥AC①．……………………………………………（3分） π 又由∠ABB ，所以△ABB为等边三角形， 3 所以AQ⊥BB． 由BC BC ，所以CQBB，且AQCQQ， 所以BB平面ACQ，所以AC BB②，……………………………………………（6分） 由①②及BBABB，所以AC 平面ABBA， 故而平面ABBA平面ABC． ………………………………………………………………………………………（7分） （2）解：如图4，取AB的中点F ，连接AF ， 由（1）知：AB AC，AC AF， 由F为AB的中点，则AF  AB，即AF  AB， 由ABBA平面ABC， 所以AF 平面ABC，所以AB，AC，AF两两垂直， ……………………………………………（8分） 图4 建立如图所示的空间直角坐标系，由AB AC 2， 所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，A(1，0， 3)，E(0，1，0)，   所以EB(2，1，0)，AB(3，0， 3)．…………………………………………（10分）   设P(x，y，z )，由2EA 5EP，得：2(1，1， 3)5(x，y 1，z )， 0 0 0 1 0 0 0 2 3 2 3   2 3 2 3 所以x  ，y  ，z  ，所以AP ， ， ． 0 5 0 5 0 5   5 5 5      nEB0，  2x  y 0， 1 1 令n(x，y，z )，则  即 令x 1，则y 2，z  3， 1 1 1 n AB0， 3x 1  3z 1 0， 1 1 1  所以n(1，2， 3)，……………………………………………………………………（13分） 令为AP与平面ABE所成线面角，   |n AP| 2 2 所以sin     ， |n||AP| 8 1 2 2 所以AP与平面ABE所成线面角的正弦值为 ．…………………………………（15分） 2 数学参考答案·第5页（共7页） {#{QQABTYAEogCoQIIAABgCQwnyCgCQkAGCCKoOhAAEIAAAiQNABAA=}#}18．（本小题满分17分） 解：（1）当a0时，由 f(x)(x2)ex，所以 f(x)(x1)ex， 所以 f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增， 所以 f(x)的最小值为 f(1)e． ………………………………………………………（4分） a （2）由 f(x)(x2)ex  x2 ax， 2 所以 f(x)(x1)ex a(x1)(x1)(ex a)． ………………………………………（6分） ①当a≥0时， 若x(，1)时， f(x)0，所以 f(x)为(，1)上的单调递减函数； 若x(1，)时， f(x)0，所以 f(x)为(1，)上的单调递增函数； ……………………………………………………………………………………（9分） ②当a(e，0)时，ln(a)1， 若x(，ln(a))时， f(x)0，所以 f(x)为(，ln(a))上的单调递增函数； 若x(ln(a)，1)时， f(x)0，所以 f(x)为(ln(a)，1)上的单调递减函数； 若x(1，)时， f(x)0，所以 f(x)为(1，)上的单调递增函数； ……………………………………………………………………………………（12分） ③当ae时，ln(a)1， 对xR， f(x)≥0，所以 f(x)为R上的单调递增函数；………………………（14分） ④当a(，e)时，ln(a)1， 若x(，1)时， f(x)0，所以 f(x)为(，1)上的单调递增函数； 若x(1，ln(a))时， f(x)0，所以 f(x)为(1，ln(a))上的单调递减函数； 若x(ln(a)，)， f(x)0，所以 f(x)为(ln(a)，)上的单调递增函数． ……………………………………………………………………………………（17分） 19．（本小题满分17分） c 1 解：（1）由题意可知：  ，① a 2 1 又 2bc 3，所以bc 3，② 2 数学参考答案·第6页（共7页） {#{QQABTYAEogCoQIIAABgCQwnyCgCQkAGCCKoOhAAEIAAAiQNABAA=}#}由①②及a2 b2 c2，所以a2，b 3， x2 y2 所以椭圆C的方程为：  1．……………………………………………………（5分） 4 3 （2）设切点A(x，y )，B(x，y )，由题意可知： 1 1 2 2 xx y y 切线PA的方程为： 1  1 1， 4 3 xx y y 切线PB的方程为： 2  2 1，…………………………………………………（7分） 4 3 所以：x  y 1，x  y 1，故直线AB的方程为x y10． 1 1 2 2 ………………………………………………………………………………………（9分） （3）由题意可知直线l的斜率存在，且k 0，设直线l的方程为：yk(x4)3， ………………………………………………………………………………………（10分） x2 y2 联立椭圆C的方程  1， 4 3 得(34k2)x2 (32k2 24k)x64k2 96k240， 令M(x，y )，N(x，y )， 3 3 4 4 32k2 24k 64k2 96k24 所以x x  ，x x  . ………………………………（12分） 3 4 34k2 3 4 34k2 yk(x4)3， 24k 令Q(x，y )，解方程组 得x  ．…………………………（13分） 0 0 x y10， 0 k1 |PQ| |PQ| x 4 x 4 (x 4)(x x 8) 又   0  0  0 3 4 ………………………………（15分） |PM| |PN| x 4 x 4 (x 4)(x 4) 3 4 3 4 6 (24k32k2 32k2 24) (x 4)(x x 8) k1  0 3 4  2， x x 4(x x )16 64k2 96k244(24k32k2)16(34k2) 3 4 3 4 |PQ| |PQ| 所以  2．…………………………………………………………………（17分） |PM| |PN| 数学参考答案·第7页（共7页） {#{QQABTYAEogCoQIIAABgCQwnyCgCQkAGCCKoOhAAEIAAAiQNABAA=}#}