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宁德一中 2024 届高三第一次考试
数学试题
宁德一中高三数学组命制
2023.8.29
本试题卷共5页、22题． 全卷满分150分． 考试用时
120分钟．
一、单选题（每题5分，错选不得分，共40分）
1. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题可得答案.
【详解】因为全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，
所以命题“ ， ”的否定是“ ， ”.
故选：C.
2. 已知全集为 ，集合 ， ，则 的真子集个数为（ ）
.
A 3 B. 4 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用分式不等式求解集合 ，再利用集合的补集和交集运算求解 ，最后求解集合的真子集个
数即可.
【详解】由 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ，
即 ，
或 ，
，
则 的元素个数为3个.
所以真子集个数为7.
故选：C.
3. 在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则平面 截正方体所得的截面
多边形的形状为（ ）
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
【答案】B
【解析】
【分析】把截面 补形可得利用四点共面可得．
【详解】解：如图，把截面 补形为四边形 ，
连接 ， ，
因为 ， 分别为 ， 的中点，则 ，
又在正方体 中，
所以 ，则 四点共面.
则平面 截正方体所得的截面多边形的形状为四边形.
故选：B.
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学科网（北京）股份有限公司4. 函数 在区间 上的图象大致为（ ）
A. B. C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇偶性排除D，再取特值 排除AB.
【详解】因为 ，关于原点对称，
，
所以函数 为奇函数，故D错误；
因为 ，所以 ，所以 ，故A错误；
因为 ，所以 ，所以 ，故B错误；
故选：C.
5. 某地区居民的肝癌发病率为 ，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是可能存有误
差的．已知患有肝癌的人其化验结果 呈阳性，而没有患肝癌的人其化验结果 呈阳性，现在某
人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】记事件 某人患肝癌，事件 化验结果呈阳性，利用全概率公式求出 的值，再利用条件
概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件 某人患肝癌，事件 化验结果呈阳性，
由题意可知 ， ， ，
所以， ，
现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是
.
故选：C.
6. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数解析式，分别在坐标系画出分段函数两个函数图象，结合图象可得满足函数
在 上单调递增时实数 的取值范围.
【详解】解：在同一坐标系下，作出函数 与 的图象，如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司当 时， 或 ，由图可知函数 在 上单调递增，当
时能满足.
故选：A.
7. 如图，正方体 的棱长为2，点 为底面 的中心，点 在侧面 的边界
及其内部运动．若 ，则 面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取 的中点 ，由题意结合正方体的几何特征及平面几何的知识可得 ，
，由线面垂直的判定与性质可得 ，进而可得点 的轨迹为线段 ，找到 的最
大值即可得解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】取 的中点 ，连接 、 、 、 ，连接 、 、 、 、 ，如图：
因为正方体 的棱长为2，
所以 , ， ， 平面 ， 平面
， 平面 ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
由 可得 平面 ，
所以 ，所以点 的轨迹为线段 ，
又 ,
所以 面积的最大值 .
故选：C.
【点睛】本题考查了正方体几何特征的应用，考查了线面垂直的判定与性质，关键是找到点 的轨迹，属
于中档题.
8. 已知函数 ，若 有3个不同的解 ， ， 且 ，则
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学科网（北京）股份有限公司的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对函数变形，利用导数研究函数的单调性及图象，把原函数有 3 个不同的解转化为
有两个解，从而利用根的分布求解即可.
【详解】 ，
令 ，则 ，
令 得 ，令 得 且 ，
所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
如图：
则 ，
所以 有3个不同的解等价于 有两个解 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司整理可得 ，且 ， ，
根据根的分布得 ，解得 ，又 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】关键点睛：复合方程解的个数问题的解题策略为：首先要能观察出复合的形式，分清内外层；其
次要能根据复合的特点进行分析，将方程问题转化为函数的交点问题；最后通过数形结合的方式解决问题.
二、多选题（每题5分，错选不得分，部分选对得2分，共20分）
9. 已知函数 ，则（ ）
A. B. 若 ，则 或
C. 函数 在 上单调递减 D. 函数 在 的值域为
【答案】BD
【解析】
【分析】作出函数图象，根据图象逐个分析判断即可
【详解】函数 的图象如左图所示．
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学科网（北京）股份有限公司，故A错误；
当 时， ，此时方程无解；当 时，
或 ，故B正确；
由图象可得， 在 上单调递增，故C错误；
由图象可知当 时， ， ，故
在 的值域为 ，D正确．
故选：BD．
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 数据 的第25百分位数是2
B. 若事件 的概率满足 且 ，则 相互独立
C. 已知 ，则
D. 已知随机变量 ，若 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，根据百分位数的定义计算判断即可，对于 B，由对事件的性质和独立事件的定义分析判
断，对于 C，由正态分布的性质分析判断，对于 D，由二项分布的性质可得 ，从而可求出
，然后解方程求解即可.
【详解】对于A，因为 ，所以第25百分位数为 ，所以A错误，
对于B，因为 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ，所以 相互独立，所以B正确，
对于C，因为 ，所以 ，
所以 ，所以C正确，
对于D，因为 ，所以 ，
所以 ，所以D正确，
故选：BCD
11. 如图，正方体 的棱长为2，若点 在线段 上运动，则下列结论正确的是（
）
A. 直线 可能与平面 相交
B. 三棱锥 与三棱锥 的体积之和为
C. 的周长的最小值为
D. 当点 是 的中点时， 与平面 所成角最大
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，根据线面平行和面面平行推出 平面 ，故A错误；对于B，根据等体积法
求出两个三棱锥的体积之和可得 B正确；对于C，将平面 与平面 展成同一平面，根据点
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学科网（北京）股份有限公司共线时， 最小，计算可得C错误；对于D，当点 是 的中点时，可证 平
面 ，从而可得D正确；
【详解】对于A，连 ， ， ， ， ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，同理得 平面 ，
又 平面 ， ，
所以平面 平面 ，因为 平面 ，
所以 平面 ，故A错误；
对于B，过点 作 ，垂足为 ，作 ，垂足为 ，
易得 ，因为 平面 ，所以 平面 ，
，因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， ，所以 ，
所以
.故B正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于C， 的周长为 ， ，则 最小时， 的周长最小，
将平面 与平面 展成同一平面，如图：
当点 共线时， 最小，
作 ，交 的延长线于 ，则 ， ，
则 ，
所以 ，即 的周长的最小值为 ，故C错误；
对于D，当点 是 的中点时， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以 与平面 所成角为 ，为最大角，故D正确.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：C选项中将平面 与平面 展成同一平面，根据点 共线求的
最小值是解题关键.
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学科网（北京）股份有限公司12. 已知函数 ， 的定义域均为 ， 为偶函数， ，且当
时， ，则（ ）
A. 为偶函数
B. 的图象关于点 对称
C.
D. 8是函数 的一个周期
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定等式推理可得 ，结合 为偶函数，再逐项判断作答.
【详解】依题意， ， ，即有 ，
两式相加整理得 ，因此 的图象关于点 对称，B正确；
由 为偶函数，得 ，于是 ，
有 ，因此函数 的周期为4，8是函数 的一个周期，D正确；
由 ，得 ，而 ，因此 ， 为偶函
数，A正确；
由当 时， ，得 ，而 ， ， ，
即有 ， ，
C错误.
故选：ABD
【点睛】结论点睛：函数 的定义域为D， ，
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学科网（北京）股份有限公司(1)存在常数a，b使得 ，则函数 图象关于点
对称.
(2)存在常数a使得 ，则函数 图象关于直线 对称.
三、填空题（每空5分，共20分）
13. 已知函数 的图像在 处的切线方程是 ，则 ______．
【答案】10
【解析】
【分析】通过切线可得斜率即可导数值，再求函数值即可.
【详解】由已知切点在切线上，所以 ，
切点处的导数为切线斜率，所以 ，所以 .
【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，属于基础题.
14. 正实数 满足 ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为 ，利用基本不等式求出 的最小值，再解一元二次不等式
即可.
【详解】因为不等式 恒成立，
所以 ，
因为 ，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号是成立的，
所以 ，所以 ，即 ，
解得 .
故答案为：
15. 某次数学考试中，学生成绩 服从正态分布 .若 ，则从参加这次考试
的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩高于120的概率是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性求出学生的成绩高于120的概率，再根据独立重复试验的概率公式可求出
结果.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
则所求概率为 .
故答案为：
16. 在三棱锥 中，平面 平面 ，底面 是边长为3 的正三角形，若该三棱锥外接
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学科网（北京）股份有限公司球的表面积为 ，则该三棱锥体积的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件做出图形，利用球的表面积公式及正弦定理，结合棱锥的体积公式及线面垂直的性
质定理，再利用勾股定理及矩形的特征即可求解.
【详解】依题意，点 是三棱锥 外接球的球心，设球 的半径为 是 外接圆的圆心，
设圆 的半径为 ，点 到底面 的距离为 ，
由题意，可得 ，则 .
因为 是边长为3的正三角形，
所以由正弦定理，可得 ，则 .
所以三棱锥 的体积为 ，
三棱锥 的体积取最大值则需要 最大.
由题意可知，点 在过 且与底面 （此处底面 为水平）垂直的截面圆的圆周上运动，当点
运动到该圆的最高点时， 最大.
取 的中点 ，连接 ，过点 作 .如图所示，
由圆的对称性可知，此时 ，则 .
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学科网（北京）股份有限公司又平面 平面 ，且平面 平面 平面 ，
所以 平面 .
因为在 中， ，
又 ，
所以 .
易得四边形 为矩形，
所以 .
因为在 中， ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：根据已知条件做出图形，要使三棱锥 的体积取最大值则需要 最大即可.
四、解答题（除17题外每题12分，共70分）
17. 已知全集 ，非空集合 ， ．
（1）当 时，求 ；
（2）命题 ，命题 ，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1） ，当 时， ， 再运用交、补集的运算，计算求
解即可；
（2）由已知可得 ，故 ，计算求解即可得到结论．
【小问1详解】
不等式 的解集为
所以 ，
当 时， ，化简得 ，
全集 ，
或 ，
∴ ；
【小问2详解】
由q是p的必要条件，可得 ，
所以 ，
因为
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以不等式 的解集为 ，
所以 ，
，解得 或 ，
所以 实数a的取值范围是 .
18. 已知奇函数 的定义域为 .
（1）求实数 的值；
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1） ，b=3
（2）
【解析】
【分析】⑴利用奇函数 和定义域关于原点对称的性质即可解题；
⑵利用分离参数的思路把 转化成 ，再利用换元法对
进行换元，求出最小值，让 小于最小值即可.
【小问1详解】
因为函数 是奇函数，所以 ，即 ，
即 ，即 ，
整理得 ，所以 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，因为定义域为 关于原点对称，所以b=3；
【小问2详解】
因为 ，所以 ，又当 时， 恒成立，所以
， 时恒成立，令 ，则
， 时恒成立，
所以让 小于 的最小值，
而 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 ，
，即 的取值范围是 .
19. 民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现
代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献.某农民专业合作社为某品牌服装进行代加
工，已知代加工该品牌服装每年需投入固定成本30万元，每代加工 万件该品牌服装，需另投入 万
元，且 根据市场行情，该农民专业合作社为这一品牌服装每代加工
一件服装，可获得12元的代加工费.
的
（1）求该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费 年利润y（单位：万元）关于年代加工量x（单位：
万件）的函数解析式.
（2）当年代加工量为多少万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大?并求出年利
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学科网（北京）股份有限公司润的最大值.
【答案】（1）
（2）当年代加工量为15万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大，最大值为25
万元
【解析】
【分析】（1）根据利润与成本之间的关系，即可结合 的表达式求解，
（2）根据二次函数以及不等式求解最值，由分段函数的性质即可求解最大值.
【小问1详解】
当 时， ；
当 时， .
故
【小问2详解】
当 时，函数 为开口向下的二次函数，且对称轴为直线
所以 在 上单调递增，
故 （万元）；
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时，等号成立.
即当 时， （万元）.
因为 ，所以当年代加工量为15万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大，
最大值为25万元.
20. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三
个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，
0.8，各项目的比赛结果相互独立.
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用 表示乙学校的总得分，求 的分布列与期望.
（3）设用 表示甲学校的总得分，比较 和 的大小（直接写出结果）.
【答案】（1）
（2）分布列见解析， 的期望为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式，可以求出甲学校获胜2场或者3场的概率，可以得到甲
学校获得冠军的概率；
（2）乙学校的总得分 的值可取0，10，20，30，分别求出 取上述值时的概率，可得分布列与数学期
望；
（3）求甲学校的总得分 的分布列 ，再求得 和 的大小，即可得大小.
【小问1详解】
甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：
第一场比 第二场比 第三场比
赛 赛 赛
甲学校获胜概率 0.5 0.4 0.8
乙学校获胜概率 0.5 0.6 0.2
甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场，
①甲学校3场全胜，概率为： ，
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学科网（北京）股份有限公司②甲学校3场获胜2场败1场，概率为： ，
所以甲学校获得冠军的概率为： ；
【小问2详解】
乙学校的总得分 的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为：
，
，
，
，
则 的分布列为：
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
的期望 ；
【小问3详解】
甲学校的总得分 的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为：
，
，
，
，
则 的分布列为：
0 10 20 30
0.06 0.34 0.44 0.16
的期望 ；
故 ，
第23页/共28页
学科网（北京）股份有限公司由（2）可得 ，
故 .
21. 如图所示，在三棱锥 中，已知 平面 ，平面 平面 ．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ，在线段 上（不含端点），是否存在点 ，使得二面角
的余弦值为 ，若存在，确定点 的位置；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在； 是 上靠近 的三等分点
【解析】
【分析】（1）过点 作 于点 ，由面面垂直性质定理可得 平面 ，由此证明
，再证明 ，根据线面垂直判定定理证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求平面 ，平面 的法向量，利用向量夹角公式求法向量夹角，由条
件列方程确定点 的位置；
【小问1详解】
过点 作 于点 ，
因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ．
【小问2详解】
假设在线段 上（不含端点），存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ，
以 为原点，分别以 、 为 轴， 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
即 取 ， ， ，
所以 为平面 的一个法向量，
因为 在线段 上（不含端点），所以可设 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
即 ，
取 ， ， ，
所以 为平面 的一个法向量，
，又 ，
由已知可得
解得 或 （舍去），
所以，存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ，
此时 是 上靠近 的三等分点．
22. 已知 有两个极值点 ，
（1）求实数 的取值范围；
（2）证明： .
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；
（2）见详解.
【解析】
【分析】（1）先对函数求导，将函数有两极值点，转化为导函数对应的方程在 上有两不等实根，
结合一元二次方程根的分布问题的求法，即可求解；
（2）由（1）根据韦达定理，以及函数解析式，先得到 ，将要证明的问题
转化为证明 ，构造新的函数，利用导数的方法求新函数的最大值，即可证明不等式
成立.
【小问1详解】
由题意， 的定义域为 ， ，
因为 有两个极值点 ，
所以方程 即 在 上有两不等实根，
即函数 在 上有两不同零点，
因此只需 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 ；
【小问2详解】
由（1）知， ， ， ，
所以
，
第27页/共28页
学科网（北京）股份有限公司因此要证 ，即证 ，
即证 ，
构造函数 ， ，
则 ，
又 在 上显然恒成立，
所以 在 上单调递减，
又 ， ，
由函数零点存在性定理可得， ，使得 ，即 ，即 ；
所以当 时， ，则 单调递增；
当 时， ，则 单调递减；
所以 ，
又 在 上显然单调递增，
所以 ，
所以 ，即 ，
故 .
【点睛】思路点睛：
导数的方法证明不等式问题时，一般需要结合题中条件，先将要证明的不等式化到最简形式，再构造新函
数，用导数的方法求新函数的最值或值域，即可证明不等式成立；有时也会将要证明的不等式变形，构造
两个新的函数，导数的方法求两新函数的最值，即可证明不等式成立.
第28页/共28页
学科网（北京）股份有限公司
