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3.1.1 椭圆
【题组一 椭圆的定义】
1．（2020·全国高三其他（理））已知平面内两个定点 和点 ， 是动点，且直线 ,
的斜率乘积为常数 ，设点 的轨迹为 .
① 存在常数 ，使 上所有点到两点 距离之和为定值；
② 存在常数 ，使 上所有点到两点 距离之和为定值；
③ 不存在常数 ，使 上所有点到两点 距离差的绝对值为定值；
④ 不存在常数 ，使 上所有点到两点 距离差的绝对值为定值.
其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号）
【答案】②④
【解析】设点P的坐标为：P（x，y），
依题意，有： ，
整理，得： ，
对于①，点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＜0，
椭圆在x轴上两顶点的距离为：2 ＝6，焦点为：2×4＝8，不符；
对于②，点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且c＝4，
椭圆方程为： ，则 ，解得： ，符合；
对于③，当 时， ，所以，存在满足题意的实数a，③错误；对于④，点的轨迹为焦点在y轴上的双曲线，即 ，
不可能成为焦点在y轴上的双曲线，
所以，不存在满足题意的实数a，正确.
所以，正确命题的序号是②④.
2．（2018·福建高二期末（理））已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点
A的轨迹方程是（ ）
A． （x≠0） B． （x≠0）
C． （x≠0） D． （x≠0）
【答案】B
【解析】∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），
∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，
∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4∴b2＝20，
∴椭圆的方程是 故选B．
3．（2020·全国高三其他（文））已知椭圆 ， ， ，点 是椭圆上的一动点，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知 为椭圆的右焦点，设左焦点为 ，由椭圆的定义知 ，
所以 .
又 ，如图，设直线 交椭圆于 ， 两点.当 为点 时， 最小，最小值为 .故选：
B
4．（2019·湖北襄阳。高二期中）椭圆 的左右焦点分别为 ，点 在椭圆上，若 ，
则 ________.
【答案】
【解析】根据题意，椭圆 ，其中 ， ，则 ，
点 在椭圆上，若 ，则 ，
在△ 中， ， ， ，
则 ，则有 ，故答案为 ．
5．（2020·上海高二课时练习）椭圆 上一点 到左焦点 的距离为2， 是 的中点，则
等于______
【答案】
【解析】：根据椭圆的定义： ,所以 , 是 中点， 是 的中点，所以 ．
【题组二 椭圆定义的运用】
1．（2019·吉林省实验高二期末（理））方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上的椭圆的一个充分但不必要条
件是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】方程x2＋ky2＝2可变形为： ，表示焦点在x轴上的椭圆，则有： ，
解得 .易知当 时， ，当 时未必有 ，所以 是 的充分但不必
要条件.故选B.
2．（2018·天津静海一中高二期末（理））已知方程 表示椭圆，则实数m的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，且 ，所以 或 ．
故选D．
3．（2019·福建城厢.莆田一中高二期中）“ ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B
【解析】若方程表示椭圆，则 ，解得： 或
或 是 的真子集，所以“ ”是“方程 表示的
曲线为椭圆”的必要不充分条件.故选：B
4．（2020·四川射洪中学高二期中（文））若椭圆 ： 的一个焦点坐标为 ，则 的
长轴长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由于方程 为椭圆，且焦点 在 轴上，所以 ，解得 ，所
以 ，长轴长为 .故选：D
5．（2020·湖北江岸.武汉二中高二期末） 是方程 表示椭圆的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】若方程 表示椭圆，则有 ，解得 且
所以 是方程 表示椭圆的必要不充分条件故选：B6．（2020·江西九江一中高二月考（理））方程 表示椭圆的一个必要不充分条件是（ ）
A．m＞0 B．m＞4 C．m＞0且m≠4 D．m＜0
【答案】A
【解析】若方程 表示椭圆，则m＞0且m≠4，
∴m＞0是方程 表示椭圆的一个必要不充分条件，故选：A
7．（2019·浙江高三其他）已知p：方程 表示椭圆，q： .则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若方程 表示椭圆，则 解得 且 ，
易知 可以推出 ，但是 不能推出 ，故 是 的充分不必要条件．故选：A.
8．（2020·广西钦州一中高三开学考试（理））设椭圆C： (a>0，b>0)的左､右焦点分别为 ，
，离心率为 .P是C上一点，且 ⊥ .若 的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】 ， ，由椭圆定义， ，
由 ⊥ 得 ，的面积为4，则 ，即 ，
，即 ,解得 ，即 ，故选：C.
【题组三 椭圆的标准方程】
1．（2020·四川青羊.树德中学高三月考（文））已知椭圆 的焦点为 ， ．过点 的直线
与 交于 ， 两点．若 的周长为8，则椭圆 的标准方程为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据椭圆的定义知 的周长为 ，∴ ，又 ，，∴ ，
∴椭圆 的标准方程为 ．
2．（2020·四川外国语大学附属外国语学校高一期末）过点 且与 有相同焦点的椭圆的方
程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】椭圆 ，
∴焦点坐标为：（ ，0），（- ，0），c= ，∵椭圆的焦点与椭圆 有相同焦点
设椭圆的方程为： =1，
∴椭圆的半焦距c= ，即a2-b2=5
结合 ，解得：a2=15，b2=10
∴椭圆的标准方程为 ，故选A．
3．（2020·上海高二课时练习）中心在原点，焦点在 轴上，焦距为8，且过点（3，0）的椭圆方程为（
）.
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】B
【解析】因为焦距为8，所以 ，即
又因为椭圆的焦点在 轴上，且过点（3，0），所以 ，所以椭圆的方程为 .
故选：B
4．（2019·山西高三开学考试（文））在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的中心为原点，焦点 、 在x
轴上，离心率为 ，过 的直线l交C于A、B两点，且 的周长为16，那么C的方程为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意， 的周长为16，即 ,
根据椭圆的性质，有 ，即 ；椭圆的离心率为 ，即 ，则 ，故 ，
则 ，则椭圆的方程为 ，故选：D．
x2 y2 1
5．（2020·福建高二期末（文））焦点在x轴上的椭圆 + =1的离心率为 ，则实数m的值为（ ）
4 m 2
A．1 B．❑√3 C．2 D．3
【答案】D
x2 y2 1
【解析】焦点在x轴上的椭圆 + =1的离心率为 ，则
4 m 2
❑√4-m 1
a2=4,b2=m,c2=4-m,故e= = ⇒m=3. 故答案为：D.
2 2
6．（2020·河北衡水中学高考模拟（文））已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆
的长轴长与焦距之和为6，则椭圆 的标准方程为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意椭圆 ： 的离心率为 得 ，椭圆 的长轴长与焦距之和为6， ，
解得 ， ，则 ，所以椭圆 的标准方程为： ，故选D
7．（2020·海林市朝鲜族中学高三课时练习）已知椭圆过点 和点 ，则此椭圆的方程
是
A． B． 或
C． D．以上均不正确
【答案】A
【解析】设经过两点P 和点Q 的椭圆标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），
代入A、B得， ，解得 ，∴所求椭圆方程为 +x2=1．故选A．
8．（2020·全国高二课时练习）已知P为椭圆C上一点，F，F 为椭圆的焦点，且 ，若|PF|
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与|PF|的等差中项为|FF|，则椭圆C的标准方程为( )
2 1 2
A． B． 或
C． D． 或
【答案】B【解析】由已知 ，∴ .
∵ ，∴ .
∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是 或 .
【题组四 离心率】
1．点P(x，y)是椭圆 (a>b>0)上的任意一点，F，F 是椭圆的两个焦点，且∠FPF ≤90°，则该
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椭圆的离心率的取值范围是( )
A．0<e≤ B． ≤e<1
C．0<e<1 D．e＝
【答案】A
【解析】方法一：∵点P(x，y)是椭圆上的任意一点，F，F 是椭圆的两个焦点，且∠FPF≤90°，
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∴以 为直径的圆与椭圆至多有一个公共点，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ．故选A．
方法二：
由题意得当点P为短轴的端点时，∠FPF 最大，只要此时∠FPF≤90°即可，
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这时|PF|＝|PF|＝a，|FF|＝2c，在△PFF 中由余弦定理得
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，∴a2＋a2≥4c2，解得 ，∴ ．故选A．
2．（2020·四川高三一模（理））已知椭圆 的左焦点 ，过点 作倾斜角为 的直线与圆 相交的弦长为 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过点 倾斜角为 的直线方程为： ，即 ，
则圆心 到直线的距离： ，
由弦长公式可得： ，
整理可得： 则： .本题选择B选项.
3．（2020·河北新华.石家庄二中）若焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，则
（ ）
A．31 B．28 C．25 D．23
【答案】D
【解析】焦点在x轴上，所以 所以 离心率 ，所以
解方程得m=23所以选D
4．（2020·四川省南充市白塔中学高二月考（文））在平面直角坐标系 中，已知 顶点
和 ，顶点 在椭圆 上，则 （ ）A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】 可得： ，
又 故椭圆的左右焦点分别为： ，
和 是椭圆的左右焦点
由顶点B在椭圆，根据椭圆的定义可得：
根据正弦定理： ，“角化边”
，
故选：A.
5．（2020·四川内江.高二期末（理））已知椭圆 的右顶点为 ，左焦点为 ，
若以 为直径的圆过短轴的一个顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设椭圆 的焦距为 ，则 ， ，
因为圆以 为直径，
所以半径 ，圆心到原点的距离为 ，
因为以 为直径的圆过短轴的一个顶点，
所以 ，即 ，化简得 ， ， ，
则 ， ， ，解得 或 （舍去），
故选：B.
10．（2020·全国高三课时练习（理））已知点 是以 为焦点的椭圆 上一点，
若 ，则椭圆的离心率 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵点P是以F，F 为焦点的椭圆 + =1（a＞b＞0）上一点，PF ⊥PF ，tan∠PF F=2，
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∴ =2，设|PF |=x，则|PF |=2x，由椭圆定义知x+2x=2a，∴x= ，∴|PF |= ，则|PF |== ，由勾
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股定理知|PF |2+|PF |2=|F F|2，∴解得c= a，∴e= = ．
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