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3.1.2 椭圆
【题组一 直线与椭圆的位置关系】
1．（2020·全国高二课时练习）若直线 没有交点，则过点 的直线与椭
圆 的交点个数为（ ）
A．2个 B．至多一个 C．1个 D．0个
【答案】A
【解析】直线 没有交点，故
点P(m,n)在以原点为圆心，半径为2的圆内，故圆 =2内切于椭圆，，故点P(m,n)在椭圆内，则过
点 的直线与椭圆 的交点个数为2个
2．（2018·全国高二课时练习）如果过点M(-2,0)的直线l与椭圆 +y2=1有公共点,那么直线l的斜率k的
取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设过点M（-2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），
联立 ，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2-2=0，∵过点M（-2，0）的直线l与椭圆 有公共点，
∴△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）≥0，
整理，得k2≤ 解得
∴直线l的斜率k的取值范围是 故选：D
3．（2020·全国高二课时练习）已知椭圆 与直线 有公共点，则实数 的取值范围
是____________.
√5 √5
− ≤m≤
【答案】 2 2
【解析】由 ，得 ．
因为直线与椭圆有公共点，所以 ，
√5 √5
− ≤m≤
即 ，解得 2 2 ．
4．当 取何值时，直线 与椭圆 相切、相交、相离．
【答案】详见解析
【解析】将 代入 中，化简得 ，其判别式
.当 ，即 时，直线和椭圆相交，当 ，即 时，直线和椭
圆相切.当 ，即 或 时，直线和椭圆相离.
【题组二 弦长】
1．（2019·广西百色田东中学高二期中（文））椭圆 被直线 截得的弦长为________.
【答案】
【解析】由 消去y并化简得
设直线与椭圆的交点为M(x ,y),N(x ,y),则
1 1 2 2
所以弦长 . 故填 .
2．（2020·辽宁葫芦岛高二期中（文））已知椭圆 及直线 ．
（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数 的取值范围；
（2）求被椭圆截得的最长弦长及此时直线 的方程．
【答案】（1） ；（2）直线被椭圆截得的最长弦长为 ；此时
【解析】（1）将直线方程与椭圆方程联立得：
即：
直线和椭圆有公共点 ，解得：
（2）由（1）可知，直线与圆相交时， ，即
设直线与椭圆交于 ，
则 ，当 时， ，则
直线被椭圆截得的最长弦长为 ；此时
3（2020·武威市第六中学高二月考（理））点 是椭圆 一点， 为椭圆 的一
个焦点， 的最小值为 ，最大值为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 被椭圆 截得的弦长为 ，求 的值
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由点 是椭圆 一点， 为椭圆 的一个焦点， 的最小值为
，最大值为 ．
可得 ，解得 ，进而 ，
所以椭圆方程为： .
（2）设直线 与曲线 的交点分别为
联立 得 ,
,即又 ，
，化简 ，
整理得 ，∴ ，符合题意.综上， .
4.（2020·四川双流中学）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的中心在原点 ，焦点在 轴上短轴长
为2，离心率为 ，过左顶点 的直线 与椭圆交于另一点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ，求直线 的倾斜角.
【答案】（1） ；（2） 或 .
【解析】（1）由题意的 ，则 得到椭圆方程为 .
（2）由题意直线的斜率存在，因为左顶点为 ，
设直线 的方程为 ，代入椭圆方程，得到
，
因为一个根为 ，则另外一个根为 ，则 ，
化简 ，即 ， ，
则倾斜角 或 .
5．（2019·四川高二期末（文））已知椭圆 .
（1）求椭圆C的离心率e；
（2）若 ，斜率为 的直线与椭圆交于 、 两点，且 ，求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1） 椭圆 ， 椭圆长半轴长为 ，短半轴长为 ，
；
（2）设斜率为 的直线 的方程为 ，且 、 ，
， 椭圆 的方程为 ，
由 ，.消去 得 ，又有 .
，解得：
满足 ， 直线 的方程为 .故 到直线的距离 ， .
【题组三 点差法】
1．（2018·海林市朝鲜族中学高二课时练习）椭圆 的一条弦被点 平分，则此弦所在的直
线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设过点A的直线与椭圆相交于两点，E（x，y），F（x，y），
1 1 2 2
则有 ①， ②，
①﹣②式可得：
又点A为弦EF的中点，且A（4，2），∴x+x=8，y+y=4，
1 2 1 2
∴ （x﹣x）﹣ （y﹣y）=0
1 2 1 2
即得k =
EF
∴过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y﹣2=﹣ （x﹣4），即x+2y﹣8=0．故选：D．
2．（2020·湖北宜都二中高二期末（理））椭圆 中以点M(1，2)为中点的弦所在直线斜率为（
）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】设弦的两端点为 ， ，代入椭圆得 ，
两式相减得 ，
即 ，
即 ，即 ，
即 ，∴弦所在的直线的斜率为 ，故选A.
3．（2019·内蒙古一机一中高二期中（文））斜率为 的直线l被椭圆 截得的
弦恰被点 平分，则 的离心率是______．
【答案】 .
【解析】设直线l与椭圆的交点为
因为弦恰被点 平分，所以
由 ，两式相减可得：
化简可得： ，因为直线l的斜率为 ，所以
即 所以离心率 故答案为
4．过点M(－2,0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P，P 两点，线段PP 中点为P，设直线l的斜率为
1 2 1 2k(k≠0)，直线OP的斜率为k(O为原点)，则k·k 的值为________.
1 1 2 1 2
【答案】－
【解析】设直线 的方程为： ，由 ，整理得
： ，所以 ， ，
所以 ，所以
， ，所以
5．（2019·甘肃兰州一中高二期末（理））椭圆 与直线 交于A，B两点，
过原点与线段AB中点的直线的斜率为 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】把y＝1﹣x代入椭圆ax2+by2＝1得ax2+b（1﹣x）2＝1，
整理得（a+b）x2﹣2bx+b﹣1＝0，
设A（x，y），B（x，y），则x+x ，y+y＝2 ，
1 1 2 2 1 2 1 2
∴线段AB的中点坐标为（ ， ），∴过原点与线段AB中点的直线的斜率k ．
∴ ．故选：A．
6．（2019·山东高考模拟（理））已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过左焦点
作斜率为－2的直线与椭圆交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为 ，
则a的值是______.
【答案】2
【解析】椭圆 ，所以焦点在x轴上
因为过左焦点 作的直线斜率为－2， P是AB的中点，设 ，
将A、B坐标代入椭圆方程，可得 ，两式相减，化简得
，即
进一步化简得 ，代入 解得a=2
